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2019版高考数学一轮复习坐标系与参数方程课时训练选修4_4

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                         选修    4­4 坐标系与参数方程
                                第 1 课时 坐 标 系
                           14
                         4,  π
    1. (1) 将点  M 的极坐标(      3 )化成直角坐标;
    (2) 将点  N 的直角坐标(4,-4       3)化成极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
                         14         2π       1                14         2π
                                           -
    解:(1)    ∵  x=4cos   3 π=4cos   3 =4×(   2)=-2,y=4sin     3 π=4sin    3 =
2 3,∴ 点   M 的直角坐标是(-2,2        3).
                                        -4  3
    (2) ∵  ρ=   42+(-4   3)2=8,tan  θ=    4  =-   3,θ∈[0,2π),又点(4,-4
                      5π                     5π
                                           8,
 3)在第四象限,∴ θ=         3 ,∴ 点   N 的极坐标为(      3 ).
                                             π
                                          θ-
    2. 已知圆   C 的极坐标方程为       ρ2+2  2ρsin(    4)-4=0,求圆心的极坐标.
    解:以极坐标系的极点为直角坐标系的原点                  O,极轴为     x 轴的正半轴建立直角坐标系
xOy.
    ∵ 圆  C 的极坐标方程为       ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0,
    ∴ 圆  C 的直角坐标方程为        x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6.
                                                7π
                                              2,
    ∴ 圆心的直角坐标为(1,-1),则其极坐标为(                    4 ).
                                                                  π
                                                              2 3,
    3.           (2017·省扬中等七校联考)在极坐标系中,已知点                   P(   6),直线   l:
        π
      θ+
ρcos(   4)=2  2,求点   P 到直线   l 的距离.
    解:点   P 的直角坐标为(3,        3), 直线  l 的普通方程为      x-y-4=0,    从而点   P 到直线
         |3-  3-4|   2+ 6
l 的距离为        2   =   2  . 
    4. 已知点   P(-1+   2cos α,   2sin α)(其中    α∈[0,2π)),点      P 的轨迹记为曲线

C1,以坐标原点为极点,x          轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点               Q 在曲线   C2:ρ=
    1
        π
 2cos θ+
     (  4)上.
    (1) 求曲线   C1 的极坐标方程和曲线        C2 的直角坐标方程;
    (2) 当 ρ≥0,0≤θ<2π      时,求曲线      C1 与曲线  C2 的公共点的极坐标.
                            2   2                   2
     解:(1)     曲线  C1:(x+1)  +y  =2,极坐标方程为        ρ +2ρcos     θ-1=0,曲线
C2 的直角坐标方程为       y=x-1.
                                                          3π
                                                        (1, )
    (2) 曲线  C1 与曲线   C2 的公共点的坐标为(0,-1),极坐标为                2 .
                                                       π
    5. 在极坐标系中,求圆         ρ2-4ρsin θ-5=0      截直线   θ=3(ρ∈R)所得线段长.
    解:以极点     O 为原点,极轴为       x 轴正半轴建立平面直角坐标系            xOy.则圆  ρ2-4ρsin 
                                                                π
θ-5=0   化为普通方程为        x2+y2-4y-5=0,即     x2+(y-2)2=9.直线    θ=3(ρ∈R)化为
                                                                  | 3 × 0-2|
普通方程为     y=  3x,即   3x-y=0.圆心(0,2)到直线        3x-y=0   的距离为    d=    3+1  =
1,于是所求线段长为         2 9-d2=4   2.
    6.    (2017·金陵中学质检)在极坐标系中,已知圆                C 的极坐标方程为       ρ2-4  2ρcos
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    π
 θ-
(   4)+7=0,直线    l 的极坐标方程为       3ρcos θ-4ρsin θ+a=0.若直线         l 与圆  C 相切,
求实数   a 的值.
    解:圆   C 和直线   l 的直角坐标方程分别为(x-2)2+(y-2)2=1,3x-4y+a=0.
    因为圆   C 与直线   l 相切,
           |6-8+a|
    所以  d=    5   =1,解得     a=-3  或 a=7.
    7.  在极坐标系中,已知圆         A 的圆心为(4,0),半径为         4,点  M 为圆  A 上异于极点     O 的
动点,求弦     OM 中点的轨迹的极坐标方程.
    解:由题意知,圆        A 的极坐标方程为       ρ=8cos θ,
    设弦  OM 中点为   N(ρ,θ),则     M(2ρ,θ),
    因为点   M 在圆  A 上,所以    2ρ=8cos θ,即     ρ=4cos θ.
    又点  M 异于极点    O,所以   ρ≠0,
    所以弦   OM 中点的轨迹的极坐标方程为            ρ=4cos θ(ρ≠0).
                                π
    8.  在极坐标系中,设直线          θ=3与曲线     ρ2-10ρcos    θ+4=0    相交于   A,B 两点,
求线段   AB 中点的极坐标.
                         π
    解:(解法    1)将直线    θ=3化为普通方程,得         y=  3x,
    将曲线   ρ2-10ρcos θ+4=0      化为普通方程,得        x2+y2-10x+4=0,
             y=  3x,
    联立{x2+y2-10x+4=0)并消去        y,得  2x2-5x+2=0,
            1

    解得  x1=2,x2=2,
                        x1+x2   5          5
    所以  AB 中点的横坐标为         2  =4,纵坐标为4        3,
                5 π
                 ,
    化为极坐标为(2      3).
    (解法  2)联立直线     l 与曲线  C 的方程,得
              π
           θ=  ,
              3
    {ρ2-10ρcos θ+4=0,)
                 2
    消去  θ,得    ρ -5ρ+4=0,解得       ρ1=1,ρ2=4,
                             ρ1+ρ2  π     5 π
                                   ,       ,
    所以线段    AB 中点的极坐标为(        2    3),即(2  3).
                                  5 π
                                   , +2kπ
    (注:将线段     AB 中点的极坐标写成(2        3     )(k∈Z)亦可)
                                         3π       π
                                       4,      ρ,
    9. 在极坐标系中,已知三点           A(4,0),B(    2 ),C(  6).
    (1) 若 A,B,C   三点共线,求      ρ 的值;
    (2) 求过  O(坐标原点),A,B      三点的圆的极坐标方程.
    解:(1)   由题意知点      A,B 的直角坐标分别为        A(4,0),B(0,-4),所以直线         AB 的方
                                    3ρ ρ        3ρ  ρ
                                      ,
程是   x-y-4=0.因为点      C 的直角坐标为(     2  2),所以    2 -2-4=0,所以      ρ=4(   3+
1).
    (2)    因为   A(4,0),B(0,-4),O(0,0),所以过         O,A,B   三点的圆的标准方程为
(x-2)2+(y+2)2=8,整理得       x2+y2-4x+4y=0,即极坐标方程为           ρ2-4ρcos       θ+
4ρsin θ=0,整理得       ρ=4cos θ-4sin θ.
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                                        π                  π      3
                                      3,                    -θ
    10.  在极坐标系中,设圆         C 经过点   P(   6),圆心是直线      ρsin(3   )= 2 与极轴的交
点,求圆    C 的极坐标方程.
                            π      3
                            -θ
    解:因为圆心为直线         ρsin(3   )= 2 与极轴的交点,所以令          θ=0,得    ρ=1,即圆
                             π                              π
                           3,                   3+1-2   3cos 
心是(1,0).又圆      C 经过点   P(   6),所以圆的半径      r=              6=1,所以圆过原
点,所以圆     C 的极坐标方程是       ρ=2cos θ.
                                                    x=acos φ,
    11.   在平面直角坐标系        xOy 中,曲线    C 的参数方程为{     y=bsin φ )(a>b>0,φ   为参
                                         π
数),且曲线     C 上的点   M(2,  3)对应的参数     φ=3.以   O 为极点,x    轴的正半轴为极轴建立
极坐标系.
    (1) 求曲线   C 的普通方程;
                             π
                       (ρ2,θ+ )
    (2) 若 A(ρ1,θ),B          2 是曲线   C 上的两点,求         +    的值.
                                         π     x=acos φ,
    解:(1)      将 M(2,  3)及对应的参数      φ=3代入{    y=bsin φ )(a>b>0,φ 为参数),得
        π
 2=acos  ,
        3
        π       a=4,
  3=bsin ,
{          )     =  ,
        3  所以{b    2 )
                         x2  y2
    所以曲线    C 的普通方程为16+       4 =1.
                              ρ2cos2θ ρ2sin2θ                         π
                                                               (ρ2,θ+  )
    (2)   曲线   C 的极坐标方程为        16  +   4   =1,将   A(ρ1,θ),B          2 代入得
                                            5
    +     =1,     +     =1,所以       +     =16.
                              第  2 课时 参 数 方 程
                                                 x=3t-2,
    1.  已知在直角坐标系        xOy 中,直线   l 的参数方程为{       y=4t  )(t 为参数),以坐标原
点为极点,x     轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线                 C 的极坐标方程为      ρ2-4ρcos     θ+
3=0.点  P 在直线   l 上,点   Q 在曲线   C 上,求   PQ 的取值范围.
    解:直线    l 的普通方程为      4x-3y+8=0;
    曲线  C 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=1,
    曲线  C 是圆心为(2,0),半径为         1 的圆.
                       |4 × 2-0+8| 16
    圆心到直线的距离        d=      5    =  5 ,
                       11
                         ,+∞
    所以  PQ 的取值范围是[      5    ).
                                    t
                              x=1+  ,
                                   2
    2.  已知直线    l 的参数方程为{      y=t,   )曲线 C 的极坐标方程为       ρ=4sin   θ,试判断
直线   l 与曲线  C 的位置关系.
    解:直线    l 的普通方程为      2x-y-2=0;
    曲线  C 的直角坐标方程为        x2+(y-2)2=4,它表示圆.
                           4   4
    由圆心到直线      l 的距离   d=  5=5   5<2,得直线     l 与曲线   C 相交.
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                                        x=5cos φ,
    3.  在平面直角坐标系        xOy 中,求过椭圆{      y=3sin φ )(φ 为参数)的右焦点,且与直线
 x=4-2t,
{ y=3-t  )(t 为参数)平行的直线的普通方程.
    解:由题意知,椭圆的长半轴长为               a=5,短半轴长为       b=3,从而    c=4,所以右焦点
                                                                            1
为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程得                   x-2y+2=0,故所求的直线的斜率为2,
                       1
因此所求的直线方程为          y=2(x-4),即    x-2y-4=0.
                                                  x=t+1,

    4.        在平面直角坐标系        xOy 中,已知直线      C1:{y=7-2t)(t 为参数)与椭圆       C2:
 x=acos θ,
{ y=3sin θ )(θ 为参数,a>0)的一条准线的交点位于             y 轴上,求实数      a 的值.
    解:直线    C1:2x+y=9,
            y2  x2

    椭圆  C2: 9 +a2=1(0<a<3),
                 9
    准线:y=±      9-a2.
        9
    由  9-a2=9,得    a=2  2.
                                                  x=  t,
                                                      3t
                                                 {y=    )
    5.  在直角坐标系      xOy 中,已知曲线      C1 的参数方程是         3 (t 为参数),在以坐标原
点  O 为极点,x   轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线                 C2 的极坐标方程是      ρ=2,求曲线
C1 与 C2 的交点在直角坐标系中的直角坐标.
           x=  t,
               3t
           y=   ,
    解:由{      3  )
                                  3

    消去  t 得曲线   C1 的普通方程为     y=  3 x(x≥0);
                  2                             2   2
    由 ρ=2,得     ρ =4,得曲线     C2 的直角坐标方程是       x +y  =4.
             3
         y=   x(x ≥ 0),
            3              x=  3,
    联立{   x2+y2=4,   )解得{   y=1. )
    故曲线   C1 与 C2 的交点坐标为(     3,1).
                                               x=acos t,

    6.  在直角坐标系      xOy 中,曲线    C1 的参数方程为{y=1+asin t)(t    为参数,     a>0),在
以坐标原点为极点, x         轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线                C2∶ρ=4cos θ.
    (1)求曲线   C1 的普通方程,并将       C1 的方程化为极坐标方程;
    (2)直线  C3 的极坐标方程为      θ=α0,其中      α0 满足  tan   α0=2,若曲线      C1 与 C2 的公
共点都在    C3 上,求   a.
                                        2       2   2
    解:(1)消去参数      t 得到  C1 的普通方程为     x +(y-1)  =a  ,将  x=ρcos       θ,y=
                                                 2                2
ρsin θ  代入   C1 的普通方程,得到       C1 的极坐标方程为      ρ -2ρsin θ+1-a      =0.
                                           ρ2-2ρsin θ+1-a2=0,

    (2)曲线  C1,C2 的公共点的极坐标满足方程组{                 ρ=4cos  θ,    )若  ρ≠0,由方
程组得   16cos2θ-8sin   θcos    θ+1-a2=0,由已知       tan  θ=2,可解得      1-a2=0,根

据  a>0,得到    a=1,当   a=1 时,极点也为       C1,C2 的公共点,在     C3 上,所以   a=1.
    7.   在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x                 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
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                                                                   1
                                                              x=3+  t,
                                                                   2
                                      1                              3
                                                             {y=3+    t)
C 的极坐标方程为       ρ-2cos   θ-6sin   θ+ρ=0,直线      l 的参数方程为            2  (t 为参
数).
    (1) 求曲线   C 的普通方程;
    (2) 若直线   l 与曲线   C 交于  A,B 两点,点     P 的坐标为(3,3),求      PA+PB 的值.
                                                     1
    解:(1) 曲线    C 的极坐标方程为       ρ-2cos θ-6sin θ+ρ=0,
    可得  ρ2-2ρcos θ-6ρsin θ+1=0,
    可得  x2+y2-2x-6y+1=0,
    曲线  C 的普通方程:x2+y2-2x-6y+1=0.
                                    1
                              x=3+   t,
                                    2
                                     3
                             {y=3+    t)
    (2) 由于直线    l 的参数方程为            2  (t 为参数).
                           2
    把它代入圆的方程整理得 t           +2t-5=0,∴ t1+t2=-2,t1t2=-5.
                                             ( +   ) -
    又 PA=|t1|,PB=|t2|,PA+PB=|t1|+|t2|=        t1 t2 2 4t1t2=2 6.
    ∴ PA+PB  的值为    2 6.
    8.     在平面直角坐标系        xOy 中,以坐标原点为极点,x           轴正半轴为极轴建立极坐标
                             π       3                    x=2cos t,
                              -θ
系.直线    l 的极坐标方程为       ρsin(3   )= 2 ,椭圆   C 的参数方程为{     y=  3sin t )(t 为参数)
.
    (1) 求直线   l 的直角坐标方程与椭圆          C 的普通方程;
    (2) 若直线   l 与椭圆   C 交于  A,B 两点,求线段      AB 的长.
                    π      3          3        1          3     3  1    3
                     -θ
    解:(1)   由  ρsin(3   )= 2  ,得  ρ( 2 cos θ-2sin   θ)=  2 ,即  2 x-2y=  2 ,化
简得   y= 3x-  3,
    所以直线    l 的直角坐标方程是        y=  3x-  3.
       x    y                                       x2  y2
    由(2)2+(  3)2=cos2t+sin2t=1,得椭圆     C 的普通方程为      4 + 3 =1.
                                  y=  3x-  3,
                                   x2 y2
                                     +  =1,
    (2) 联立直线方程与椭圆方程,得{             4   3     )
             x2
    消去  y,得   4 +(x-1)2=1,
                                    8
            2
    化简得   5x -8x=0,解得     x1=0,x2=5,
                      8 3       8 3
                       ,  3      ,  3
    所以  A(0,-   3),B(5  5  )或 A(5 5  ),B(0,-     3),
               8         3      16
            0-  2+  -  3-   3 2
    则 AB=  (   5)  (     5   ) = 5 .
                                                      2
                                                x=-    +rcos θ,
                                                     2
                                                       2
                                               { y=-    +rsin θ )
    9.  在平面直角坐标系         xOy 中,圆  C 的参数方程为            2        (θ 为参数,r>
                                                                         π
                                                                      θ+
0),以  O 为极点,x    轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线                l 的极坐标方程为      ρsin(    4)=
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1,若圆   C 上的点到直线      l 的最大距离为      3,求  r 的值.
                              2
                        x=-    +rcos θ,
                              2
                               2
                       { y=-    +rsin θ )
    解:圆   C 的参数方程为            2        (θ 为参数,r>0),消去参数          θ  得
        2        2                          2    2
     x+      y+                          -   ,-
    (   2 )2+(   2 )2=r2(r>0),所以圆心     C(  2    2 ),半径为    r.
                                π
                             θ+
    直线  l 的极坐标方程为       ρsin(   4)=1,
    化为普通方程为       x+y-   2=0.
                                                   2   2
                                                 -  -   -  2
             2    2                             |  2   2    |
          -   ,-
    圆心  C(  2    2 )到直线   x+y-   2=0 的距离为    d=       2     =2.∵   圆  C 上的点
到直线   l 的最大距离为      3,即  d+r=3,∴ r=3-d=3-2=1.
                                 x=2cos t,
    10. 已知动点     P,Q 都在曲线    C:{  y=2sin t )(t 为参数)上,对应参数分别为         t=α   与
t=2α(0<α<2π),M       为 PQ 的中点.
    (1) 求 M 的轨迹的参数方程;
    (2) 将 M 到坐标原点的距离        d 表示为   α 的函数,并判断       M 的轨迹是否过坐标原点.
    解:(1) 由题意有,P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
    因此  M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α),
                        x=cos α+cos 2α,
    M 的轨迹的参数方程为{         y=sin α+sin 2α )(α 为参数,0<α<2π).
    (2) M 点到坐标原点的距离为         d=  x2+y2=   2+2cos α(0<α<2π),
    当 α=π    时,d=0,故     M 的轨迹过坐标原点.
    11.   若以直角坐标系       xOy 的原点  O 为极点,x    轴正半轴为极轴,选择相同的长度单位
建立极坐标系,得曲线          C 的极坐标方程是       ρsin2θ=6cos θ.
    (1) 将曲线   C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;
                               3  1
                            x=  +  t,
                               2  2
                                  3
                           {  y=  t  )
    (2) 若直线   l 的参数方程为           2   (t 为参数),直线      l 与曲线  C 相交于   A,B  两点,
求线段   AB 的长.
    解:(1) 由   ρsin2θ=6cos θ,得      ρ2sin2θ=6ρcos θ,所以曲线         C 的直角坐标方
                                3
                                 ,0
程为   y2=6x,曲线是以原点为顶点,(2            )为焦点的抛物线.
               3  t
            x=  + ,
               2 2
                3
            y=   t,
                2
           {  =   , )      2
    (2)     y2  6x  化简得    t -4t-12=0,则    t1+t2=4,t1t2=-12,所以       AB=|t1-
      ( +  ) -
t2|=   t1 t2 2 4t1t2=8.
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