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河北省石家庄市2018届高考一模考试数学(理)试题(A)含解析

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高中数学审核员

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                          新余市   2018 年高三“二模”考试

                               数学试题卷(理科)

                               第Ⅰ卷(共      60 分)

一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题      5 分,共  60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.集合   A  x | x2  5x  6  0, B  x | 2x 1  0,则 A B  (    )

                                1             1             1 
A. ,23,         B.     ,3        C.  ,3         D.  ,2  3,
                                2             2            2 

                  z 1 ii3
2.已知复数    z 满足:            1 i 则复数  z 的虚部为(    )
                    2  i

A. i          B. i        C.1       D. 1

3.已知下列命题:

①在某项测量中,测量结果            X 服从正态分布      N 1,   0,若  X 在 0,1内取值范围概

率为  0.4 ,则  X 在 0,2内取值的概率为       0.8 ;
                                        1
②若  a , b 为实数,则“      0  ab 1”是“  b    ”的充分而不必要条件;
                                        a

③已知命题      p :x1, x2  R , f x2  f x1 x2  x1  0 ,则 p 是:


 x1, x2  R , f x2  f x1 x2  x1  0 ;

④  ABC 中,“角     A , B , C 成等差数列”是“        sin C   3 cos A  sin Acos B ”的充分

不必要条件;其中,所有真命题的个数是(    )

A. 0 个         B.1个       C.    2 个        D. 3 个 

4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9 中不放回地依次取       2 个数,事件     A  “第一次取到的是奇数”

 B  “第二次取到的是奇数”,则            PB  A (    )
    1             2          3             1
A.            B.          C.            D.
    2             5         10             5
5.为迎接中国共产党十九大的到来,某校举办了“祖国,你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年

级准备从包括甲、乙、丙在内的              6 名学生中选派     4 名学生参加,且当这         3 名同学都参加时,

甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么不同的朗诵顺序的种数为(    )
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A. 320          B. 324        C. 410          D. 416

                   12
             2017                                           a
6.在   a  x          a  0 的展开式中,      x5 项的系数等于     264 ,则    ex  2x dx 等于
              2018                                              
             x                                              0

(    )

A. e2  3          B. e2  4        C. e 1         D. e  2

7.在如图所示的程序框图中,若输入的                m  98 , n  63,则输出的结果为(    )


A. 9          B.8        C. 7          D. 6

                                    
8.已知关于      的方程                            在区间          上有两个根       ,   ,且
          x       sin   x sin   x  m    0,2           x1  x2
                                 2   


 x1  x2   ,则实数  m 的取值范围是(    )

A.                  B.               C.              D.
     5,1             5,1          1, 5            0,1

9.斜率为   k 的直线   l 过抛物线   y2  2 pxp  0焦点 F ,交抛物线于       A , B 两点,点


 Px0 , y0 为 AB 中点,作  OQ   AB ,垂足为    Q ,则下列结论中不正确的是(    )
                                     
A.  ky0 为定值                     B.  OAOB  为定值       

C.点  P 的轨迹为圆的一部分         D.点          Q 的轨迹是圆的一部分

10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为(    )
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A.136           B.144         C. 36          D. 34

              x2   y2
11.已知椭圆    C :       1a  b  0, F , F 为其左、右焦点,        P 为椭圆   C 上除长轴端
              a2   b2                 1   2
                                         
点外的任一点,       G 为  F1PF2 内一点,满足     3PG   PF1  PF2 , F1PF2 的内心为   I ,且有
    
 IG  F1F2 (其中   为实数),则椭圆        C 的离心率    e 等于(    )

    1            1          2               3
A.            B.          C.           D.
    3            2          3              2


12.定义:如果函数       y  f x在区间a,b上存在      x1, x2 a  x1  x2  b,满足

         f b f a           f b f a
 f ' x            , f ' x            ,则称函数     y  f x是在区间a,b上的
     1      b  a          2       b  a
                                   6
一个双中值函数,已知函数            f x x3   x2 是区间0,t上的双中值函数,则实数            t 的取值
                                   5
范围是(    )

    3 6              2 6           2 3              6 
A.   ,            B.  ,         C.  ,            D. 1, 
    5 5              5 5           5 5              5 

                               第Ⅱ卷(共      90 分)

二、填空题(每题        5 分,满分    20 分,将答案填在答题纸上)
                                                       
13.已知向量    a  x,1, b  1,2, c  1,5,若 a  2b/ /c ,则 a            .

                           y  0
                           
14.若实数   x , y 满足不等式组      2x  y  3  0 ,则 z  2y  x 的最小值是          .
                           
                           x  y 1 0
                                                                  tan C
15.在 ABC  中,内角     A , B , C 的对边分别为      a , b , c , b2  c2  2a  0 ,  3 ,则
                                                                  tan B
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 a            .

                  sin x, x 0,2
                  
16.对于函数     f x 1                   ,下列   5 个结论正确的是          (把你认
                    f x  2, x 2,
                  2

为正确的答案全部写上).


(1)任取    x1, x2 0,,都有   f x1  f x2   2 ;

(2)函数     y  f x在4,5上单调递增;

(3)   f x 2kf x  2k K  N  ,对一切 x 0,恒成立;

(4)函数     y  f x ln x 1有 3 个零点;


(5)若关于     x 的方程   f x mm   0有且只有两个不同的实根           x1 , x2 ,则 x1  x2  3 .

三、解答题 (本大题共          6 小题,共    70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 

                                                              1
17. 已知an是各项都为正数的数列,其前               n 项和为   Sn ,且 Sn 为 an 与   的等差中项.
                                                              an

(1)求证:数列          2 为等差数列;
               Sn 


(2)求数列an的通项公式;

            1n
(3)设   bn       ,求bn的前    n 项和Tn  .
             an

18. “微信运动”已成为当下热门的健身方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了

“微信运动”,他随机选取了其中的                40 人(男、女各     20 人),记录了他们某一天的走路步

数,并将数据整理如下:

   步量
          0~2000    2001~5000   5001~8000  8001~10000    >10000
性别

   男         1          2           3           6           8

   女         0          2          10           6           2

(1)已知某人一天的走路步数超过8000               步被系统评定“积极型”,否则为“懈怠型”,根

据题意完成下面的        2 2 列联表,并据此判断能否有           95% 以上的把握认为“评定类型”与

“性别”有关?
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            积极型       懈怠型         总计
   男
   女
   总计
                nad  bc2
附:  k 2                          ,
         a  bc  d a  cb  d 

     2
 PK   k0     0.10        0.05       0.025      0.010


     k0         2.706      3.841       5.024      6.635

(2)若小王以这       40 位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的

概率分布,现从小王的所有微信好友中任选                   2 人,其中每日走路不超过          5000 步的有   X 人,

超过10000   步的有Y    人,设     X Y  ,求   的分布列及数学期望.

19.已知四棱锥     P  ABCD  ,底面   ABCD   为菱形,    PD  PB ,  H 为 PC 上的点,过      AH 的

平面分别交     PB ,  PD 于点  M  , N  ,且  BD / / 平面 AMHN   .

(1)证明:     MN   PC  ;

(2)当   H  为 PC 的中点,     PA  PC   3AB  , PA 与平面   ABCD   所成的角为     60 ,求二面

角  P  AM  N 的余弦值.


20. 已知动圆过定点       0,2,且在    X 轴上截得的弦长为        4 ,记动圆圆心的轨迹为曲线           C .

(1)求直线     x  4y  2  0 与曲线 C 围成的区域面积;

(2)点   P 在直线   l : x  y  2  0 上,点 Q0,1,过点 P 作曲线   C 的切线   PA  、 PB ,切点

分别为    A 、 B ,证明:存在常数        ,使得    PQ 2   QA  QB ,并求    的值.

21. 已知函数     f x 2ax2  bx 1ex ( e 为自然对数的底数).
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           1
(1)若   a    ,求函数    f x的单调区间;
           2
(2)若    f 11,且方程    f x1在  0,1内有解,求实数       a 的取值范围.

请考生在     22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修   4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系      xOy 中,以   O 为极点,     x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆             C 的极坐标方程

                                      3
                               x     t
                                     2
为    4sin ,直线  l 的参数方程为               ( t 为参数),直线      l 和圆 C 交于  A , B 两
                                       t
                               y  2 
                                     2

点.

(1)求圆心的极坐标;

(2)直线    l 与 x 轴的交点为    P ,求   PA  PB .

23.选修   4-5:不等式选讲

设不等式    2  x 1  x  2  0 的解集为  M  , a,b M  .

            1    1    1
(1)证明:       a   b    ;
            3    6    4

(2)比较    1 4ab 与  2 a  b 的大小.
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                                    试卷答案

一、选择题

1-5:DCCAB       6-10:ACDCD      11、12:BA

二、填空题
                       3
13.  10           14.              15. 4            16.(1)(4)(5)
                       2
三、解答题

17.解答:(1)由题意知                     ,即                 ,①


当  n=1 时,由①式可得      S1=1;

又  n≥2 时,有   an=Sn﹣Sn﹣1,代入①式得

整理得                .

∴       是首项为    1,公差为    1 的等差数列.

(2) 由(Ⅰ)可得                     ,


∵{an}是各项都为正数,∴                ,

∴                            (n≥2),

又          ,∴                  .

(3)                                                      ,

当  n 为奇数时,


当  n 为偶数时,


∴{bn}的前   n 项 和                 .

18.解:(1)
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              积极型         懈怠型         总计

    男           14          6          20

    女           8           12         20

   总计           22          18         40

                       2
      401412   68   40
 K 2                        3.841,故没有    95%以上的把握认为二者有关;
        20 20 2218     11
                                                                         1
(2)由题知,小王的微信好友中任选一人,其每日走路步数不超过                            5000 步的概率为      ,超
                                                                         8
                  1
过10000  步的概率为       ,且当   X   Y  0 或 X  Y 1时,   0 ,
                  4
    5   5    1  1   29
 P      C1       ;当   X 1,Y    0 或 X  0 ,Y 1时,    1,
    8  8    2 8 4   64
       1 5     1  5  30
 P  C1    C1       ;当   X  2 ,Y  0 或 X  0 ,Y  2 时,    2 ,
      2 8 8   2 4 8  64

        2     2
     1    1   5
 P        
     4    8   64

即的分布列为:


      5
 E 
      8 .

19.【解析】【试题分析】(1)连结              AC 交  BD 于点  O ,连结   PO  .根据菱形有      BD  AC  ,

根据等腰三角形有        BD   PO ,所以以    BD   平面  PAC  ,  BD   PC .利用线面平行的性质

定理有   MN  / /BD ,故  BD / /MN ,所以   MN   PC  .(2)以   O 为坐标原点建立空间直角.
【试题解析】
(1)证明:连结       AC  交 BD  于点  O ,连结   PO .因为    ABCD  为菱形,所以      BD   AC ,且
 O 为 AC 、  BD 的中点,因为      PD   PB ,所以   PO  BD  ,
因为   AC  PO   O 且 AC、PO    平面   PAC ,所以    BD  平面  PAC  ,
因为   PC  平面  PAC  ,所以   BD   PC .
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因为  BD / / 平面 AMHN ,  BD  平面  PBD ,且平面   AMHN   平面  PBD   MN ,
所以  BD / /MN ,所以 MN   PC . 
(2)由(1)知    BD  AC 且  PO  BD ,因为  PA  PC ,且 O 为 AC 的中点,
所以  PO  AC ,所以  PO  平面  ABCD  ,所以  PA 与平面   ABCD 所成的角为    PAO  ,

              1          3                              3
所以,所以    AO   PA, PO    PA ,因为   PA  3AB ,所以   BO     PA .
              2         2                              6
         
分别以  OA ,  OB ,  OP 为 x, y, z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,设          PA  2 ,则

                     3                   3                1     3 
O0,0,0, A1,0,0, B0, ,0,C 1,0,0, D0, ,0, P0,0, 3, H   ,0, 
                     3                  3                  2   2 
,

      2 3      3    3      3    
所以                                                             .
    DB  0,   ,0, AH    ,0, , AB   1, ,0, AP  1,0, 3
           3           2    2          3   

                                          2 3
                                        n  DB    y  0
                                      1       3   1
记平面  AMHN   的法向量为    n1  x1, y1, z1 ,则{                  ,
                                        3     3
                                     n  AH   x    z  0
                                      1       2 1   2  1
                            
令      ,则             ,所以             ,
  x1  0   y1  0, z1  3  n1  1,0, 3

                                          3
                                 n  AB  x   y  0
记平面   PAB 的法向量为    n  x , y , z ,则{ 2     2   3  2    ,
                    2   2  2 2       
                                    n2  AP  x2  3z2  0

                      3             3 
令 x 1,则  y   3, z    ,所以  n   1, 3,    , 
   2       2      2           2          
                      3                3 
                                               
                                        
                                              n1 n2  39
记二面角   P  AM  N 的大小为   ,则  cos  cosn1,n2     .
                                             n1  n2  13

                             39
所以二面角    P  AM  N 的余弦值为       .
                             13


20.曲线方程联立求交点坐标,根据定积分求曲边形面积可得结果;(Ⅱ)设                        Ax1, y1 、

                                                            2
Bx2 , y2 , Px0 , y0 ,根据导数求切线斜率,设切线方程,由韦达定理           PQ  、


QA  QB 用 x0 ,表示可得    1.

试题解析:(Ⅰ) 设动圆圆心的坐标为             x, y,由题意可得,    y 2  22  x2  y  22 ,化
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                       2              x  1
     2               x  4y                  x  2
简得  x  4y ,联立方程组               ,解得      1 或     ,所以直线
                     x  4y  2  0   y      y 1
                                         4

                                 2
                                   1  1   1 2    9
x  4y  2  0 与曲线 C 围成的区域面积为      x    x  dx  ;
                                 1 4  2  4      8


                                                           x
(Ⅱ)设   Ax , y 、 Bx , y ,则由题意可得,切线     PA 的方程为   y  y  1 x  x ,切
          1  1      2 2                                 1  2     1
                                                          x
                                                   y  y  1 x  x 
                   x                                0  1   2  0  1
线 PB 的方程为   y  y  2 x  x ,再设点 Px , y ,从而有{                  ,
                2  2      2           0  0                x
                                                   y  y  2 x  x 
                                                    0  2   2  0   2
                             x                x     1     x    1
所以可得出直线     AB 的方程为   y  y  x  x y  y   x   x2   x   4y ,
                       0     2  0       0     2   0  2    2 0  2
     x
即 y  0 x  y .
     2     0

             x0
          y   x  y0    2
联立方程组{       2      ,得  x  2x0 x  4y0  0 ,又 y0  x0  2 ,所以有
            x2  4y

 2
x  2x0 x  4x0  2 0 ,

     x  x  2x
可得{  1   2    0 ,
    x1x2  4x0 8

    2   2        2   2       2     2
| PQ |  x0  y0 1  x0  x0  3  2x0  6x0  9 ,

                                      x 2 x 2 x 2  x 2
QA  QB  y 1y 1 y y  y  y 1  1  2  1  2 1 
           1     2      1 2  1   2     4   4   4   4

x x 2 x  x 2  2x x
  1 2   1   2     1 2 1
  16          4
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  4x 82  2x 2  24x 8
=    0        0       0   1  2x 2  6x  9 ,
     16            4             0     0

            | PQ |2
所以常数            =1.
           QA  QB
                1
21. 解: (I)当  a   , f (x)  (x2  bx 1)e x , f (x)  [x2  (b  2)x 1 b]e x
                2

令 f (x)  0 ,得 x1 1, x2 1 b .

当 b  0 时, f (x)  0 .

当 b  0 , 1 b  x 1时, f (x)  0 , x 1 b 或 x 1时, f (x)  0 .

当 b  0 ,1 x 1 b 时, f (x)  0 , x 1 b 或 x 1时, f (x)  0 .

 b  0 时, f (x) 的单调递减区间为    (,) ; b  0 时, f (x) 的单调递增区间为

(1 b,1) ,递减区间为  (,1 b) , (1,) ;

b  0 时, f (x) 的单调递增区间为   (1,1 b) ,递减 区间为  (,1) , (1 b,)

(II)由  f (1) 1得 2a  b 1  e , b  e 1 2a ,

由 f (x)  1得 ex  2ax2  bx 1,设 g(x)  ex  2ax2  bx 1,


则 g(x) 在 (0,1) 内有零点.设 x0 为 g(x) 在 (0,1) 内的一个零点,


则由  g(0)  0, g(1)  0 知 g(x) 在区间 (0, x0 ) 和 (x0 ,1) 上不可能单调.


设 h(x)  g(x) ,则 h(x) 在区间 (0, x0 ) 和 (x0 ,1) 上均存在零点,即 h(x) 在 (0,1) 上至少有两

个零点

g(x)  ex  4ax  b , h(x)  ex  4a .
     1
当 a  时,  h(x)  0 , h(x) 在区间 (0,1) 上递增, h(x) 不可能有两个及以上零点;
     4
     e
当 a  时,  h(x)  0 , h(x) 在区间 (0,1) 上递减, h(x) 不可能有两个及以上零点;
     4
  1     e
当   a   时,令  h(x)  0 得 x  ln(4a)(0,1) ,所以 h(x) 在区间 (0,ln(4a)) 上递减,在
  4     4
(ln(4a),1) 上递增, h(x) 在区间 (0,1) 上存在最小值  h(ln(4a)) .
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若 h(x) 有两个零点,则有:      h(ln(4a))  0 , h(0)  0 , h(1)  0 .
                                          1      e
h(ln(4a))  4a  4a ln(4a)  b  6a  4a ln(4a) 1 e(  a  )
                                          4      4
        3                               1
设(x)   x  x ln x 1 e,(1 x  e) ,则(x)   ln x ,令(x)  0 ,得 x  e .
        2                               2
当1 x   e 时,(x)  0 ,(x) 递增,

当  e  x  e 时,(x)  0 ,(x) 递减,


(x)max  ( e)  e 1 e  0 ,所以 h(ln(4a))  0 恒成立.
                                             e  2    1
由 h(0) 1 b  2a  e  2  0 , h(1)  e  4a  b  0 ,得  a  .
                                              2       2
  e  2    1
当      a  时,设   h(x) 的两个零点为    x , x ,则 g(x) 在 (0, x ) 递增,在 (x , x )  递减,
   2       2                     1  2             1          1 2

在 (x2 ,1) 递增,所以 g(x1)  g(0)  0 , g(x2 )  g(1)  0 ,则 g(x) 在 (x1, x2 ) 内有零点.  
                      e  2 1
综上,实数    a 的取值范围是    (    , ) .
                       2   2
22. 解:(1)由     4sin ,得  2  4 sin ,得 x2  y2  4y ,故圆C 的普通方程为


 2   2                                        
x  y  4y  0 ,所以圆心坐标为   0,2,圆心的极坐标为      2,  .
                                              2 

            3
      x     t
           2       2   2          2
(2)把           代入 x  y  4y  0 得 t  4 ,
             t
      y  2 
           2

所以点  A、B 对应的参数分别为       t1  2,t2  2   
     t
令 2   0 得点 P 对应的参数为    t  4
     2                    0

所以  PA  PB  t1  t0  t2  t0  2  4  2  4  6  2  8.

             3
       x    t
            2                     3
法二:把           化为普通方程得      y    x  2 ,
              t                   3
       y  2 
            2

令 y  0得点P坐标为    P(2 3,0) ,又因为直线    l 恰好经过圆   C 的圆心,
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故  PA  PB  2 PC  2 (2 3  0)2  (0  2)2  8 .

23. 解:当  x  2 时,原不等式可化为   2  3  0 ,显然不成立;
                                        1    1
当 2  x 1时,原不等式可化为    1 2x 1,解得    x  ;
                                        2    2
当 x 1时,原不等式可化为      2  3  0 显然不成立。
                             1     1
综上所述,原不等式的解集为        M   {x |   x  }.
                             2     2
                           1 1
(Ⅰ)证明:a,b     M , a,b( , ) ,
                           2 2
     1  1   1    1  1   1
所以     a  ,     b   ,
     6  3   6   12  6   12
          1  1   1   1    1   1    1
两式相加得       a  b  ,即|   a  b | .
          4  3   6   4    3   6    4
(Ⅱ)(1   4ab)2  4(a  b)2 18ab 16a2b2  4a2  8ab  4b2

  (1 4a2 )(1 4b2 ) ,
        1  1          1        1
a,b(   , ) ,0  a2  , 0  b2  ,
        2  2          4        4
∴1 4a2  0, 1 4b2  0 ,∴ (1 4a2)(1 4b)2  0 ,

∴|1 4ab | 2 | a  b | . 
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