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安徽省淮北市2018届高考第二次模拟考试数学试题(理)含答案

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                         淮北市   2018 届高三第二次模拟考试

                                数学理科  试题卷

                               第Ⅰ卷(共      60 分)

一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题       5 分,共  60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

1.设集合     A  x y  6  2x,集合   B  x y  lg8  x,则 AI B  (    )

A.x  x  2         B.x  x  2       C.x x  3       D.x  x  3
        2  3i
2.复数         的共轭复数是      a  bia,b R, i 是虚数单位,则      ab 的值是(    )
          i
A.6         B.5       C.-1       D.-6
                 r  r        r  r
3.命题    p :若向量   a b  0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角;命题        q :若 cos cos  1,则

 sin     0 .下列命题为真命题的是(    )

A.  p          B. q        C. p  q         D. p  q

                                           a2018  a2016
4.已知等比数列an中,          a5  2 , a6a8  8 ,则           (    )
                                           a2014  a2012

A.2         B.4       C.6         D.8

5.如图所示的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法,若输入                              m  91, n  56 ,
则输出   m 的值为(    )


A.0         B.3       C.7         D.14

             x  y  2 2
             
                                                           2
6.设不等式组      x  y  2 2 所表示的区域为      M  ,函数    y   4  x 的图象与    x 轴所围成
             y  0
             

的区域为    N  ,向  M  内随机投一个点,则该点落在            N  内的概率为(    )
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                                          2
A.             B.          C.            D.
    4             8           16            
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(    )


A.11         B.9       C.7         D.5

                     
8.把函数     y  sin  4x   的图象上所有点的横坐标伸长到原来的              2 倍(纵坐标不变)得到
                    6 

                                        11
                                  f x,     x  a
                                        12
函数   f x的图象,已知函数        g x                      ,则当函数     g x有  4 个零
                                                   13
                                3x2  2x 1,a  x 
                                                  12

点时  a 的取值集合为(    )

     5    1         7 13              5    1        7  13 
A.     ,   U   ,1 U   ,              B.    ,   U    ,1 U    ,    
     12    3  12      12 12               12   3  12     12 12 

     5    1  7  13                        5   1      
C.      ,   U    ,                       D.     ,   U   ,1
     12   3   12 12                       12   3   12 

                                      2x 11 2sin2 x
9.若直线    x  ky  0k  0与函数  f x                   图象交于不同的两点         A, B ,
                                             2x 1
                             uuur uuur  uuur
且点  C 9,3,若点   Dm,n满足    DA   DB  CD ,则  m  n  (    )

A. k          B.2       C.4         D.6

10.在平面四边形       ABCD  中,   AD  AB   2 , CD  CB   6 ,且  AD   AB ,现将

 ABD  沿着对角线     BD 翻折成   ABD  ,则在   ABD  折起至转到平面       BCD  内的过程中,直

线  AC 与平面   BCD  所成角最大时的正弦值为(    )

     5               3           1              2
A.              B.           C.            D.
    5               3            2             2
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11.过抛物线     y2  4x 的焦点   F 的直线交抛物线于        A, B 两点,分别过     A, B 作准线的垂线,


垂足分别为     A1, B1 两点,以   A1B1 为直径的圆    C 过点  M 2,3,则圆    C 的方程为(    )

A. x 12  y  22  2          B. x 12  y 12 17

C. x 12  y 12  5          D. x 12  y  22  26

12.已知函数      f x 3sin x  4cos x 1,实常数  p,q,r 使得  pf x qf x  r 2018 对

任意的实数     x  R 恒成立,则     p cos r  q 的值为(    )

A.-1009         B.0       C.1009         D.2018

                               第Ⅱ卷(共      90 分)

二、填空题(每题        5 分,满分    20 分,将答案填在答题纸上)

13.在  ABC  中,三顶点的坐标分别为           A3,t,  Bt,1, C 3,1,  ABC  为以  B 为

直角顶点的直角三角形,则            t            .

14.已知随机变量       X 的分布列如下表,又随机变量Y               2X  3 ,则Y  的均值是          

.


                                        6
                                   a 
15.已知   a   2 cos xdx ,则二项式    x       展开式中的常数项是          .
                                    
             2                      x 

                                                                    2
16.设数列an的各项均为正数,前             n 项和为   Sn ,对于任意的     n  N ,an , Sn ,an 成等差数列,

                                 ln xn
设数列       的前    项和为     ,且             ,若对任意的实数                (  是自然对数的
      bn     n      Tn    bn     2                  x 1,e  e
                                   an


底)和任意正整数        n ,总有Tn    r r  N .则 r 的最小值为          .

三、解答题 (本大题共          6 小题,共    70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 

17. 如图,在     ABC  中,   AB  2 , 3sin2 B  2cos B  2  0 ,且点 D 在线段 BC  上.
                 3
(Ⅰ)若    ADC       ,求  AD  长;
                  4
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                     sin BAD
(Ⅱ)若    BD   2DC ,             4 2 ,求  ABD  的面积.
                     sin CAD


18. 在多面体     ABCDEF    中,  AF   AD ,四边形    ABEF  为矩形,四边形        ABCD  为直角梯

形,  DAB    90 , AB∥CD    , AD   AF  CD  2 , AB  4 .

(Ⅰ)求证:平面        ACE   平面  BCE  ;

(Ⅱ)求二面角       C  AF  D 的余弦值.


19. 大豆,古称菽,原产中国,在中国已有五千年栽培历史。皖北多平原地带,黄河故道

土地肥沃,适宜种植大豆。2018            年春,为响应中国大豆参与世界贸易的竞争,某市农科院积

极研究,加大优良品种的培育工作。其中一项基础工作就是研究昼夜温差大小与大豆发芽率

之间的关系。为此科研人员分别记录了                 5 天中每天    100 粒大豆的发芽数,得如下数据表格:


科研人员确定研究方案是:从             5 组数据中选     3 组数据求线性回归方程,再用求得的回归方程

对剩下的     2 组数据进行检验。

(Ⅰ)求剩下的       2 组数据恰是不相邻的         2 天数据的概率;

(Ⅱ)若选取的是        4 月 5 日、6  日、7  日三天数据,据此求         y 关于  x 的线性同归方程

 yˆ  bxˆ  a ;

(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差绝对值均不超过                                1 粒,则认为得

到的线性回归方程是可靠的,请检验(Ⅱ)中同归方程是否可靠?
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         n                  n
        xi   xyi  y   xi yi  nx y
注:  bˆ  i1              i1         , aˆ  y  bˆ x .
            n       2       n
                                2    2
           xi   x        xi  nx
           i1              i1

                          x2   y2
20. 设  P,Q, R, S 是椭圆  M  :       1a  b  0的四个顶点,菱形       PQRS  的面积与其
                          a2   b2
                      36
内切圆面积分别为12          3,   .椭圆   M  的内接   ABC  的重心(三条中线的交点)为坐标原
                      7
点 O .
(Ⅰ)求椭圆      M  的方程;

(Ⅱ)   ABC  的面积是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
                      a
21. 已知函数      f x      ln x .
                    x 1
(Ⅰ)若函数       f x在 e,内有极值,求实数        a 的取值范围;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,对任意               t 1,, s 0,1,求证:
                    1
 f t f s e  2  .
                    e
请考生在     22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修    4-4:坐标系与参数方程

                     x 1 t cos
已知直线    l 的参数方程:                 (  t 为参数),曲线     C 的参数方程:
                     y  t sin

 x  3 cos
            (  为参数),且直线交曲线           C 于 A, B 两点.
 y  sin
                                             
(Ⅰ)将曲线      C 的参数方程化为普通方程,并求                 时,   AB  的长度;
                                              4
(Ⅱ)已知点      P1,0,求当直线倾斜角         变化时,    PA   PB 的范围.

23.选修    4-5:不等式选讲

已知函数     f x x  2  x 1

(Ⅰ)解不等式        f x x  0 .

(Ⅱ)若关于      x 的不等式    f x a2  2a 的解集为   R ,求实数    a 的取值范围.
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                         淮北市   2018 届高三第二次模拟考试

                              数学(理科)参考答案

一、选择题

1-5:CADAC       6-10:ADBCD      11、12:CB

二、填空题
                   7
13.3          14.               15.240           16.2
                   3
三、解答题

17.解:(1)由      3sin2 B  2cos B  2  0 ,可得 3cos2 B  2cos B 1  0 ,
           1
所以  cos B   或 cos B  1(舍去)
            3
           2  2
所以  sin B 
             3
             3                
因为  ADC       ,所以   ADB   
              4                4
                    AB       AD              8
由正弦定理可得:                        ,所以   AD  
                sin ADB    sin B            3
                                    1
                                      AB  AD sin BAD
                      S
(2)由   BD   2DC ,得    BAD  2 ,所以   2                   2
                      S             1
                       CAD            AC  AD sin CAD
                                    2
     sin BAD
因为             4  2 , AB  2 ,所以   AC  4  2
     sin CAD

由余弦定理     AC  2  AB2  BC 2  2AB  BC cos B
                    14
可得   BC  6 或 BC     (舍去)
                     3
所以:   BD   4 ,

            1                1        2  2   8 2
所以   S       AB  BD sin B   2 4    
      ABD  2                2          3     3

                AF   AD
18.(Ⅰ)证明:                  AF   面 ABCD  ,故   AF   AC
                AF   AB 

又  BE ∥ AF  ,所以   BE   AC ①
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                                             
在直角梯形    ABCD 中,  AB  4 , AC  2 2 , BAC    ,
                                             4

可得  BC  2 2

由 BC 2  AC 2  AB2 知 AC  BC ②

由①②知:    AC  面 BCE ,进而面    ACE  面 BCE

(Ⅱ)设点    C 到面 ADE  的距离为   d ,点 C 到直线   AE 的距离为   h ,

记二面角   C  AE  D 平面角为

                  1 1         1 1               2
由V      V    ,即     222   22 5 d 得 d 
   E ADC C ADE  3 2         3 2                5

       2 6           d   1              30
易得 h      ,则  sin      ,进而   cos 
         5           h   6              6

                           30
即二面角   C  AE  D 的余弦值为
                           6

                                          4   3
19.解:(Ⅰ)恰好是不相邻的          2 天数据的概率是             .
                                      1  2 
                                         C5   5

             3
(Ⅱ)由数据得                                      ;
              xi yi 11 26 1332 12 26 1014
             i1
   1                    1
x  11131212  , y   26  32  26 28 , 3x  y  312 28 1008 ;
   3                    3

  n             3
∴                                        ,
   xi yi  nx  y   xi yi  3x  y 1014 1008  6
  i1           i1

 3
   2    2   2    2     ,   2      2     ;
 xi 11 13  12  434  3x  312  432
i1

  n           3
∴    2    2     2     2             ,
   xi  nx   xi  3 x  434  432  2
  i1        i1

      n              3
       x y  n x  y x y  3 x  y
       i i           i i        6
∴ ˆ  i1            i1                ;
  b   n             3             3
          2    2         2    2   2
        xi  n x     xi  3 x
      i1            i1

aˆ  y  bˆx  28  312  8 .
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故 y 关于 x 的线性回归方程为      yˆ  3x 8 .

(Ⅲ)当   x 10 时, yˆ  3x 8  310 8  22 , 22  23 1;

当 x  8 时, yˆ  3x 8  38 8 16 , 16 16 1,故得到的线性回归方程是可靠的.

                                                     36
20.解:(Ⅰ)∵菱形       PQRS 的面积与其内切圆面积分别为12           3 ,   
                                                     7
    ab      6
∴            ,
   a2  b2   7
   1
S    2a 2b 12 3 ,
   2

联立解得   a2 12 , b2  9 ,

                  x2  y2
故所求椭圆    C 的方程为         1;
          1       12   9


(Ⅱ)当直线     AB 斜率不存在时,
∵ O 为 ABC 的重心,∴    C 为椭圆的左、右顶点,不妨设          C 2 3,0,

则直线  AB 的方程为    x  3 ,可得  AB   3 3 , C 到直线 AB 的距离   d  3 3 ,
        1        27
∴ S      AB d    .
   ABC 2        2

当直线  AB 的斜率存在时,设直线        AB 方程为:    y  kx  m , Ax1, y1 , Bx2 , y2 .

   y  kx  m
                      2  2          2
联立  x2  y2   ,得  3 4k x  8kmx  4m  36  0 ,
         1
   12   9

则   64k 2m2  43 4k 2 4m2  36  4812k 2  9  m2  0 .

即12k 2  9  m2 ,
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        8km         4m2  36
x  x       ,  x x        ,
 1  2  3 4k 2  1 2   3 4k 2
                         6m
∴ y  y  k x  x  2m     .
   1  2     1   2       3 4k 2
                    uuur   uur uuur   8km    6m  
∵  为       的重心,∴                                    ,
  O  ABC           OC   OA  OB       2 ,    2 
                                    3 4k 3 4k 

                            2          2
                     8km      6m  
                         2        2 
                     3 4k      3 4k
∵ C 点在椭圆   C 上,故有                   1 ,
            1           12         9

化简得  4m2 12k 2  9 .

                      2
                8km      4m2  36  4 3  1 k 2
∴           2                                        2      2 .
  AB   1 k       2   4     2         2    12k  9  m
               3 4k     3 4k      3 4k

                        3m
又点 C 到直线   AB 的距离  d        ( d 是原点到   AB 距离的   3 倍得到).
                        1 k 2

        1        6  3 m               6 3  3m2   27
∴ S      AB d         12k 2  9  m2           .
   ABC               2                  4
        2        3 4k                    m2      2
                                         3
                         27
综上可得,    ABC 的面积为定值        .
                          2
21.解:(Ⅰ)由定义域为        0,1U1,

       1    a     x2  a  2x 1
f x        
       x  x 12    xx 12

设 hx x2  a  2x 1,要使 y  f x在 e,上有极值,

         2
则 hx x  a  2x 1有两个不同的实根    x1, x2 ,

∴   a  22  4  0 ∴ a  0 或 a  4 ①


而且一根在区间     e,上,不妨设    x2  e ,
                       1
又因为  x  x 1,∴ 0  x   e  x ,
      1  2          1  e      2
又 h01,
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        1       1        1                1
∴.只需          ,即                  ,∴            ②
      h    0    2  a  2 1 0  a  e   2
        e       e        e                e
                  1
联立①②可得:     a  e   2
                  e

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当          x 1, x2 , f x 0 ,∴ f x单调递减,


x x2 ,时, f x 0 , f x单调递增


∴ f x在 1,上有最小值   f x2 


即 t 1,,都有  f t f x2 


又当  x 0, x1 , f x 0 ∴ f x单调递增,当 x x1,1, f x 0 ,

∴ f x单调递减,


∴ f x在 0,1上有最大值   f x1 即对 s 0,1,都有 f s f x1 

                              1 
又∵             ,       ,          ,           ,
    x1  x2  2  a x1x2 1 x1 0,  x2 e,
                              e 


                                  a           a      x2   a     a
∴ f t f s f x2  f x1  ln x2   ln x1   ln    
                                 x2 1      x1 1    x1 x2 1  x1 1


    2      1
 ln x2  x2  x2  e
           x2
                1           1
设 k x ln x2  x   2ln x  x  x  0,
                x           x
        2     1
∴ kx  1    0 ,
        x     x2
                                            1
∴ k x在 e,上单调递增,∴     k x k e 2  e 
                                            e
                   1
∴ f t f s e  2 
                   e
                            x  3 cos
22.解:(Ⅰ)曲线      C 的参数方程:               ( 为参数),
                            y  sin

                x2
曲线 C 的普通方程为         y2 1.
                 3
     
当    时,直线   AB 的方程为    y  x 1,
     4
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    x2                                3
代入     y2 1,可得 2x2  3x  0 ,∴ x  0, x  .
    3                         1    2  2

             3    3
∴  AB  11   0   2 ;
             2    2

                  x2
(Ⅱ)直线参数方程代入          y2 1,
                   3

得 cos2   3sin2  t 2  2cos t  2  0 .


设 A, B 对应的参数为  t1,t2 ,

                      2           2     2  
∴  PA  PB  t1 t2                   ,2 .
                 cos2   3sin2  1 2sin2  3 

23.解:(Ⅰ)不等式      f x x  0 可化为 x  2  x  x 1 ,

当 x  1时, x  2 x  x 1解得 x  3 即 3  x 1;

当 1 x  2 时, x  2 x  x 1解得 x 1即 1 x 1;

当 x  2 时, x  2  x  x 1解得 x  3 即 x  3 ;
综上所述:不等式      f x x  0 的解集为x  3  x 1或 x  3

(Ⅱ)由不等式     f x a2  2a 可得

 x  2  x 1  a2  2a ,

∵  x  2  x 1  x  2  x 1  3

∴ a2  2a  3,即 a2  2a  3  0

解得  a  3 或 a  1

故实数  a 的取值范围是   a  3 或 a  1

 
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