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3.4《基本不等式》(1)(新人教A版必修5)

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高中数学审核员

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                                                 a  b
                         §3.4 基本不等式         ab       (1)
                                                  2
                                   班级       姓名       学号         
        学习目标 
    学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等
号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;
        学习过程 
一、课前准备
看书本   97、98  页填空
复习   1:重要不等式:对于任意实数            a,b ,有 a2  b2 ____ 2ab ,当且仅当________时,等号
成立. 

                                    a  b
复习   2:基本不等式:设       a,b(0,) ,则      _____  ab ,当且仅当____时,不等式取等
                                      2
号. 

二、新课导学
※  学习探究
                       a  b
探究   1:基本不等式       ab     的几何背景:
                        2
    如图是在北京召开的第          24 界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽
的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客.                                 你能在这个
图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

    将图中的“风车”抽象成如图,


结论:一般的,如果         a,b R ,我们有   a2  b2  2ab -当且仅当 a  b 时,等号成立.
探究   2:你能给出它的证明吗?
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探究:课本第      98 页的“探究”
    在右图中,AB      是圆的直径,点       C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b.          过点  C 作垂直于
                                                             a  b
AB 的弦   DE,连接    AD、BD.   你能利用这个图形得出基本不等式               ab      的几何解释吗?
                                                              2


                         a  b
    结论:基本不等式         ab      几何意义是“半径不小于半弦”
                           2

※  典型例题 
例  1 (1)用篱笆围成一个面积为           100m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,
所用篱笆最短.      最短的篱笆是多少?
(2)段长为     36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,
菜园的面积最大,最大面积是多少?


.
 


※  动手试试
                                1
练  1. x  0 时,当 x 取什么值时,     x  的值最小?最小值是多少?
                                x
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练  2.  已知直角三角形的面积等于           50,两条直角边各为多少时,两条直角边的各最小,最
小值是多少? 


三、总结提升
※  学习小结
    在利用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等号.
两个正数    x, y
                                                  1
1.如果和    x  y 为定值  S 时,则当   x  y 时,积  xy 有最大值     S 2 .
                                                   4
2. 如果积   xy 为定值  P 时,则当    x  y 时,和  x  y 有最小值  2  P .
        学习评价 
                  81
1. 已知  x  0,若 x+    的值最小,则      x 为(     ).
                   x
  A.  81    B.  9    C.   3    D.16 
2.      若 0  a 1 , 0  b 1且 a  b ,则 a  b 、 2 ab 、 2ab 、 a2  b2 中最大的一个是(    
).
  A.  a  b    B. 2 ab    C. 2ab    D. a2  b2
3. 若实数   a,b,满足    a  b  2 ,则 3a  3b 的最小值是(     ).
  A.18     B.6       C.  2 3      D. 3 2
                              81
4. 已知  x≠0,当   x=_____时,x2+     的值最小,最小值是________.
                              x2
5. 做一个体积为      32 m3 ,高为  2 m 的长方体纸盒,底面的长为_______,宽为________时,
用纸最少.

        课后作业 
1. (1)把   36 写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小?
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(2)把   18 写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?


2.  一段长为    30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长                 18 m ,问这个矩形的长、宽
各为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少? 


 
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