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2019版高考数学一轮复习第八章立体几何初步课时训练

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                          第八章 立体几何初步
                    第  1 课时 空间点、直线、平面之间的位置关系
    一、 填空题
    1.  线段  AB 在平面   α  内,则直线     AB 与平面   α 的位置关系是____________.(用符号
表示)
    答案:AB⊂α
    解析:由公理      1 可知  AB⊂α.
    2. 已知   α∩β=l,m⊂      α,n⊂   β,m∩n=P,则点       P 与直线   l 的位置关系用相应的
符号表示为________.
    答案:P∈l
    解析:因为     α∩β=l,m⊂         α,n⊂       β,m∩n=P,所以       P∈m,P∈n,P∈α,
P∈β,所以     P∈l.
    3. 设 a,b,c   是空间中的三条直线,下面给出四个命题:
    ① 若  a∥b,b∥c,则     a∥c;
    ② 若  a⊥b,b⊥c,则     a∥c;
    ③ 若  a 与 b 相交,b   与 c 相交,则    a 与 c 相交;
    ④ 若  a∥b,b⊥c,则     a⊥c.
    上述命题中正确的是________.(填序号)
    答案:①④
    解析:由公理      4 知①正确;当      a⊥b,b⊥c   时,a  与  c 可以相交、平行或异面,故②错
误;当   a 与 b 相交,b   与  c 相交时,a   与  c 可以相交、平行或异面,故③错误;根据异面直
线所成角的定义知④正确.

    4. 若直线   l1 和 l2 是异面直线,l1    在平面    α 内,l2  在平面   β  内,l  是平面   α  与平面
β  的交线,则下列命题正确的是________.(填序号)

    ①  l 与 l1,l2 都不相交;②       l 与 l1,l2 都相交;③     l 至多与   l1,l2 中的一条相交;
④ l  至少与   l1,l2 中的一条相交.
    答案:④

    解析:若    l 与 l1,l2 都不相交,则      l∥l1,l∥l2,所以     l1∥l2,这与    l1 和 l2 是异面直
线相矛盾,所以       l 至少与   l1,l2 中的一条相交.故④正确.
    5. 如图,在长方体       ABCDA1B1C1D1 中,点 E,F  分别为   B1O 和 C1O 的中点,长方体的各棱
中,与   EF 平行的有__________条.


    答案:4

    解析:∵     EF 是△OB1C1 的中位线,∴       EF∥B1C1.∵   B1C1∥BC∥AD∥A1D1,∴    与  EF 平
行的棱共有     4 条.
    6.  如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段                      AB,CD,EF,GH   在原正方体
中互为异面的有________对.


    答案:3
    解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则                         AB,CD,EF  和  GH 在原正
方体中,显然      AB 与 CD,EF 与  GH,AB 与  GH 都是异面直线,而       AB 与 EF 相交,CD   与 GH 相
交,CD  与  EF 平行.故互为异面的直线有且只有              3 对.
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    7. 已知  ABCDA1B1C1D1 是正方体,点    O 是 B1D1 的中点,直线     A1C 交平面  AB1D1 于点 M,则
下列结论中错误的是________.(填序号)

    ① A,M,C1   三点共线;
    ② M,O,A1,A    四点共面;
    ③ A,O,C,M    四点共面;

    ④ B,B1,O,M    四点共面.
    答案:①④
    解析:作出图形,可知②③正确.

    8. 如图,在正三棱柱        ABCA1B1C1 中,点  D 是 AC 的中点,AA1∶AB=     2∶1,则异面直线
AB1 与 BD 所成的角为________.


    答案:60°

    解析:如图,取       A1C1 的中点  E,连结   B1E,ED,AE,在    Rt△AB1E 中,∠AB1E   即为所求,
                                  3

设  AB=1,则   AA1= 2,AB1=   3,B1E=  2 ,故∠AB1E=60°.


    9.    如图,点    G,N,M,H   分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线                      GH,
MN 是异面直线的图形有________.(填序号)


    答案:②④
    解析:图①中,直线         GH∥MN;图②中,G,H,N        三点共面,但      M∉平面   GHN,因此直线
GH 与 MN 异面;图③中,连结        MG,GM∥HN,因此     GH 与 MN 共面;图④中,G,M,N         共面,
但  H∉平面  GMN,因此   GH 与 MN 异面.所以图②④中         GH 与 MN 异面.
    10. 如图,在正方体       ABCD  A1B1C1D1 中,点 M, N 分别是   BC1,CD1 的中点,则下列判断
正确的是________.(填序号) 

    ① MN 与  CC1 垂直;② MN   与 AC 垂直;
    ③ MN 与  BD 平行;④ MN   与  A1B1 平行.


    答案:①②③

    解析:连结     B1C,B1D1,则  MN 是△B1CD1 的中位线,
    ∴   MN∥B1D1.∵   CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,∴     MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD,故
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①②③正确.

    ∵ A1B1 与 B1D1 相交,
    ∴ MN 与  A1B1 不平行,因此④错误.
    二、 解答题

    11. 如图,在正方体       ABCDA1B1C1D1 中,点 E,F  分别为   D1C1,B1C1 的中点,AC∩BD=P,
A1C1∩EF=Q.
    (1) 求证:D,B,E,F      四点共面;

    (2) 作出直线    A1C 与平面   BDEF 的交点  R 的位置.


    (1)     证明:由于      CC1 和 BF 在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为                   O,则
OC1=C1C.同理直线     DE 与 CC1 也相交,设交点为      O′,则    O′C1=C1C,故   O′与  O 重合.由
此可证得    DE∩BF=O,故     D,B,F,E   四点共面(设为      α).


    (2)   解:由于    AA1∥CC1,所以   A1,A,C,C1   四点共面(设为      β).P∈BD,而     BD⊂α,
故  P∈α.
    又 P∈AC,而    AC⊂β,所以    P∈β,
    所以  P∈α∩β,同理可证得          Q∈α∩β,所以有        α∩β=PQ.

    因为  A1C⊂β,
    所以  A1C 与平面   α 的交点就是     A1C 与 PQ 的交点,连结      A1C,则  A1C 与 PQ 的交点  R 就
是所求的交点.

    12. 如图,在正方体       ABCD   A1B1C1D1 中,点 E,F 分别为    A1A ,C1C 的中点,求证:四
边形   EBFD1 是菱形.


    证明:如图,取       B1B 的中点   G,连结   GC1,EG,
    ∵ GB∥C1F,且    GB=C1F,
    ∴ 四边形    C1FBG 是平行四边形,


    ∴ FB∥C1G,且    FB=C1G.
    ∵ D1C1∥EG,且   D1C1=EG,
    ∴ 四边形    D1C1GE 为平行四边形,
    ∴ GC1∥D1E,且   GC1=D1E,
    ∴ FB∥D1E,且    FB=D1E,
    ∴ 四边形    EBFD1 为平行四边形.
    ∵ FB=FD1,∴ 四边形       EBFD1 是菱形.
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    13.  已知空间四面体       ABCD,点  E,F  分别是   AB,AD 的中点,G,H      分别是   BC,CD 上的
          1        1
点,且   CG=3BC,CH=3DC.求证:
    (1) E,F,G,H   四点共面;
    (2) 三条直线    FH,EG,AC  共点.


    证明:(1) 如图,连结        EF,GH.
    ∵ 点  E,F  分别是   AB,AD 的中点,
    ∴ EF∥BD.
           1        1
    ∵ CG=3BC,CH=3DC,
    ∴ GH∥BD,∴ EF∥GH,
    ∴ E,F,G,H    四点共面.


    (2) 易知  FH 与直线   AC 不平行,但共面,
    ∴ 设  FH∩AC=M,
    ∴ M∈平面    EFHG,M∈平面    ABC.
    ∵ 平面   EFHG∩平面    ABC=EG,
        ∴ M∈EG,∴ 直线      FH,EG,AC  共点.第    2 课时 直线与平面的位置关系(1)
    一、 填空题
    1. 直线   a,b 为异面直线,关于过直线           a 且与直线    b 平行的平面的情况,下列说法正
确的是________.(填序号)
    ① 有且只有一个;② 有无数多个;③ 至多一个;④ 不存在.
    答案:①
    解析:在直线      a 上任选一点     A,过点   A 作 b′∥b,则    b′是唯一的,又       a∩b′=A,所
以  a 与 b′确定一平面并且只有一个平面,故①正确.
    2. 对于不同直线      m,n 和不同平面      α,β,给出下列命题:
    ① Error!⇒m∥n;② Error!⇒n∥β;
    ③ Error!⇒m,n  不共面;④ Error!⇒m∥n.
    其中假命题的个数是__________.
    答案:4
    解析:①中     m 与 n 可能平行,也可能异面;②中可能              n⊂β;③中可能       m∥n 或  m 与
n 相交;④中不知道        α 与  β 的位置,无法判断        m 与 n 的位置关系.故四个命题都不正
确.
    3. 若直线   l 与平面   α 不平行,则下列结论正确的是________.(填序号)
    ①  α  内的所有直线都与直线          l 异面;②    α 内不存在与      l 平行的直线;③       α 内的直
线与   l 都相交;④ 直线      l 与平面   α 有公共点.
    答案:④
    解析:直线     l 与平面   α 不平行,则直线        l 与平面  α  有如下关系:l⊂α       或  l∩α=
A,故①②③均不正确,④正确.
    4. 下列命题正确的是________.(填序号)
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    ① 若  a,b  是两条直线,且       a∥b,那么    a 平行于经过     b 的任何平面;
    ② 若直线    a 和平面   α 满足   a∥α,那么     a 与 α 内的任何直线平行;
    ③ 若直线    a,b  和平面   α 满足   a∥α,b∥α,那么        a∥b;
    ④ 若直线    a,b  和平面   α 满足   a∥b,a∥α,b⊄α,则        b∥α.
    答案:④
    解析:根据线面平行的判定与性质定理知,④正确.
    5. 已知三条直线      a,b,c  和平面    β,则下列推论正确的是________.(填序号)
    ① 若  a∥b,b⊂β,则      a∥β;
    ② 若  a∥β,b∥β,则       a∥b;
    ③ 若  a⊂β,b∥β,a,b       共面,则    a∥b;
    ④ 若  a⊥c,b⊥c,则     a∥b.
    答案:③
    解析:对于①,可能有          a⊂β,故①错;对于②,a          与  b 可能平行、相交或异面,故
②错;对于④,a       与  b 可能平行、相交或异面,故④错;根据线面平行的性质定理知,
③正确.


    6.    如图,在正方体       ABCDA1B1C1D1 中,AB=2,点   E 为 AD 的中点,点    F 在 CD 上.若
EF∥平面   AB1C,则线段    EF 的长度为________.
    答案:    2

    解析:因为     EF∥平面    AB1C,EF⊂平面   ABCD,平面   AB1C∩平面   ABCD=AC,所以 EF∥AC.又
                                             1
点  E 是 AD 的中点,所以点      F 是 DC 的中点.所以     EF=2AC=   2.
    7.  过三棱柱    ABCA1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面                ABB1A1 平行的直线共
有________条.
    答案:6

    解析:    四条棱    AC,BC,A1C1,B1C1 的中点中任意两点连线均与平面              ABB1A1 平行,所以
共有   6 条直线符合题意.
    8. 如图,在下列四个正方体中,A,B              为正方体的两个顶点,M,N,Q           为所在棱的中点,
则在这四个正方体中,直线            AB 与平面   MNQ 平行的是________.(填序号)


    答案:②③④
    解析:因为点      M,N,Q  分别为对应棱的中点,所以在①中               AB 与平面   MNQ 相交,在
②③中均有     AB∥MQ,在④中,有       AB∥NQ,所以在②③④中均有           AB 与平面   MNQ 平行.

    9. 如图,正四棱柱        ABCD A1B1C1D1 中,点 E,F,G,H   分别是棱    C1C,C1D1,D1D,DC  的
中点,点    N 是 BC 的中点,点     M 在四边形    EFGH 及其内部运动,则点        M 只需满足条件

________________时,就有    MN∥平面   B1BDD1.(填上正确的一个条件即可,不必考虑全部的
可能情况)
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    答案:点    M 与点  H 重合(或点    M 在线段   FH 上)

    解析:当点     M 在线段   FH 上时,MN∥平面      B1BDD1.
    二、 解答题
    10.    如图,在四棱锥        PABCD 中,底面   ABCD 是平行四边形,点        E,F 分别是棱    PC 和
PD 的中点.求证:EF∥平面         PAB.


    证明:因为点      E,F  分别是棱    PC 和 PD 的中点,
    所以  EF∥CD.
    又在平行四边形       ABCD 中,AB∥CD,所以      EF∥AB,
    又 AB⊂平面   PAB,EF⊄平面    PAB,所以   EF∥平面   PAB.
    11.  如图,在三棱柱       ABCA1B1C1 中,点  E,F 分别为   BB1,AC 的中点.求证:BF∥平面

A1EC.


    证明:如图,连结        AC1 交 A1C 于点 O,连结   OE,OF.
    在三棱柱    ABCA1B1C1 中,四边形    ACC1A1 为平行四边形,所以       OA=OC1.


                                          1

    因为点   F 为 AC 的中点,所以      OF∥CC1 且 OF=2CC1.
                                          1

    因为点   E 为 BB1 的中点,所以     BE∥CC1 且  BE=2CC1.
    所以  BE∥OF  且 BE=OF,
    所以四边形     BEOF 是平行四边形,
    所以  BF∥OE.

    又 BF⊄平面   A1EC,OE⊂平面    A1EC,
    所以  BF∥平面    A1EC.
    12.  如图,已知     A,B,C,D   四点不共面,且       AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=
F,BD∩α=H,BC∩α=G.求证:四边形              EFHG 是平行四边形.
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    证明:∵ AB∥α,平面         ABC∩α=EG,∴ EG∥AB.
    同理  FH∥AB,∴ EG∥FH.
    又 CD∥α,平面      BCD∩α=GH.
    ∴ GH∥CD.
    同理  EF∥CD,
    ∴ GH∥EF.
    ∴ 四边形    EFHG 是平行四边形.

    13. 如图,在斜三棱柱        ABCA1B1C1 中,点 D,D1 分别为    AC,A1C1 上的中点.求证:
    (1) AD1∥平面   BDC1;
    (2) BD∥平面   AB1D1.


    证明:(1) 因为点      D1,D 分别为   A1C1 与 AC 的中点,四边形      ACC1A1 为平行四边形,所以
C1D1∥DA,C1D1=DA,
    所以四边形     ADC1D1 为平行四边形,
    所以  AD1∥C1D.
    又 AD1⊄平面   BDC1,C1D⊂平面   BDC1,
    所以  AD1∥平面   BDC1.
    (2) 如图,连结     D1D,


    因为  BB1∥平面   ACC1A1,BB1⊂平面   BB1D1D,平面  ACC1A1∩平面   BB1D1D=D1D,
    所以  BB1∥D1D.
    又 D1,D  分别为   A1C1 与 AC 的中点,
    所以  BB1=DD1,
    故四边形    BDD1B1 为平行四边形,
    所以  BD∥B1D1.
    又 BD⊄平面   AB1D1,B1D1⊂平面  AB1D1,
    所以  BD∥平面    AB1D1.

                         第 3 课时 直线与平面的位置关系(2)
    一、 填空题
    1. 设  l,m,n  均为直线,其中       m,n 在平面    α 内,则“l⊥α”是“l⊥m          且 l⊥n”的
________条件.
    答案:充分不必要
    解析:l⊥α⇒l⊥m,l⊥n.反之,因为                m,n 不一定相交,故       l⊥m 且  l⊥n 不一定推
出  l⊥α.
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    2. 下列条件中,能判定直线           l⊥平面   α  的是________.(填序号)
    ① l 与平面    α 内的两条直线垂直;
    ② l 与平面    α 内的无数条直线垂直;
    ③ l 与平面    α 内的某一条直线垂直;
    ④ l 与平面    α 内的任意一条直线垂直.
    答案:④
    解析:由线面垂直的定义及判定定理可知④正确.
    3. 下列说法正确的是________.(填序号)
    ① 若平面外一条直线上有两点到平面的距离相等,则这条直线平行于这个平面;
    ② 若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线;
    ③ 若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面.
    答案:②
    解析:当这两点在平面两侧时,直线与平面相交,①错误;②正确;③中垂直于这条
直线的另一条直线可能平行于这个平面或相交但不垂直于这个平面,③错误.
    4.  已知平面     α,β   和直线   m,给出条件:①         m∥α;②       m⊥α;③      m⊂α;④ 
α∥β.当满足条件________时,有           m⊥β.(填序号)
    答案:②④
    解析:若    m⊥α,α∥β,则        m⊥β.故填②④.
    5. 已知  m,n  是两条不同的直线,α          是一个平面,有下列四个命题:
    ① 若  m∥α,n∥α,则       m∥n;
    ② 若  m⊥α,n⊥α,则       m∥n;
    ③ 若  m∥α,n⊥α,则       m⊥n;
    ④ 若  m⊥α,m⊥n,则      n∥α.
    其中真命题是____________.(填序号)
    答案:②③

    6.  如图,在直三棱柱        ABCA1B1C1 中,侧棱长为     2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点        D 是
A1B1 的中点,F   是 BB1 上的动点,AB1,DF     交于点   E.要使   AB1⊥平面   C1DF,则线段   B1F=
________.


          1
    答案:2
    解析:设    B1F=x,因为    AB1⊥平面   C1DF,DF⊂平面   C1DF,所以   AB1⊥DF.
                                                          1

    由已知,得     A1B1= 2.设  Rt△AA1B1 斜边  AB1 上的高为   h,则  DE=2h.
                                 2 3       3
    又 2×  2=h  22+(  2)2,所以   h=  3 ,DE=  3 .
                          2     3     6
                            2-    2
                         ( 2 ) ( 3 )
    在 Rt△DB1E 中,B1E=               = 6 .
                   6        2    2          1                 1
                       x2+   2
                          ( 2 )
    由面积相等,得       6 ×         =  2 x,解得   x=2.即线段    B1F 的长为2.
    7. 如图,PA⊥平面      ABC,在△ABC   中  BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
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    答案:4
    解析:Error!⇒Error!⇒BC⊥平面      PAC⇒BC⊥PC,∴         直角三角形有△PAB,△PAC,
△ABC,△PBC.

    8. 在正方体    ABCDA1B1C1D1 中,A1C1 与平面  ABC1D1 所成角的正弦值为________.
          1
    答案:2
    解析:如图,在平面         ADD1A1 中作 A1E⊥AD1 于点  E,连结   C1E,因为正方体
ABCDA1B1C1D1 中,AB⊥平面   ADD1A1,所以   A1E⊥AB.因为  AD1       ∩AB=A,AD1,AB⊂平面
ABC1D1,则  A1E⊥平面   ABC1D1,所以∠A1C1E  就是   A1C1 与平面  ABC1D1 所成的角,在
                                                           1     1

Rt△AA1D1 中,AA1=A1D1,A1E⊥AD1,所以点       E 为 AD1 的中点,且    A1E=2AD1=2A1C1,所以
            A1E   1

sin∠A1C1E=A1C1=2.


    9.     设  α,β   是空间中两个不同的平面,m,n             是平面   α  及 β  外的两条不同的直
线.从“①      m⊥n;②    α⊥β;③      n⊥β;④     m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作
为结论,写出你认为正确的一个命题:________.(填序号)
    答案:①③④⇒②或②③④⇒①
    解析:因为当      n⊥β,m⊥α     时,平面     α 及 β  所成的二面角与直线         m,n 所成的角相
等或互补,所以若        m⊥n,则   α⊥β,从而由①③④⇒②正确;同理②③④⇒①也正确.
    10.  如图,在直三棱柱        ABC    A1B1C1 中,底面是以∠ABC     为直角的等腰直角三角形,
AC=2a,BB1=3a,D    是 A1C1 的中点,点    F 在线段   AA1 上,当  AF=________时,CF⊥平面

B1DF.


    答案:a   或  2a

    解析:由题意可得        B1D⊥平面   A1ACC1,∴ CF⊥B1D,∴ 为了使       CF⊥平面   B1DF,只要使
                                2    2   2       2        2
CF⊥DF(或  CF⊥B1F).设   AF=x,则   CD =DF  +FC ,∴    x -3ax+2a  =0,∴    x=a  或 x=
2a.
    二、 解答题
    11.  如图,在四棱锥       PABCD 中,   底面  ABCD 为菱形,且     PA⊥底面   ABCD,PA=AC,点
E 是 PA 的中点,点     F 是 PC 的中点,求证:
    (1) PC∥平面   BDE;
    (2) AF⊥平面   BDE.
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    证明:(1) 连结     OE,
    因为点   O 为菱形   ABCD 对角线的交点,所以点         O 为 AC 的中点.
    因为点   E 为 PA 的中点,所以      OE∥PC.
    因为  OE⊂平面   BDE,PC⊄平面    BDE,
    所以  PC∥平面    BDE.
    (2) 因为  PA=AC,△PAC   是等腰三角形,
    又点  F 是 PC 的中点,所以      AF⊥PC.
    又 OE∥PC,所以     AF⊥OE.
    因为  PA⊥底面    ABCD,BD ⊂平面   ABCD,
    所以  PA ⊥BD.
    因为  AC,BD  是菱形   ABCD 的对角线,
    所以  AC⊥BD.
    又 PA∩AC=A,AC⊂平面      PAC,PA⊂平面    PAC,
    所以  BD⊥平面    PAC.
    又 AF⊂平面   PAC,
    所以  AF⊥BD .
    又 OE∩BD=O,OE⊂平面      BDE,BD⊂平面    BDE,
    所以  AF⊥平面    BDE.

    12. 如图,在正三棱柱        ABCA1B1C1 中,点 D 在边  BC 上,AD⊥C1D.
    (1) 求证: AD⊥平面      BCC1B1;
    (2) 如果点   E 是 B1C1 的中点,求证:A1E∥平面        ADC1.


    证明:(1) 因为     ABCA1B1C1 是正三棱柱,所以      CC1⊥平面   ABC.
    又 AD⊂平面   ABC,所以   CC1⊥AD.
    又因为   AD⊥C1D,CC1,C1D⊂平面     BCC1B1,CC1∩C1D=C1,
    所以  AD⊥平面    BCC1B1.
    (2) 因为在正三棱柱       ABCA1B1C1 中,A1B1=A1C1,点  E 是 B1C1 的中点,
    所以  A1E⊥B1C1.
    因为  CC1⊥平面   A1B1C1,且  A1E⊂平面  A1B1C1,
    所以  CC1⊥A1E.
    又因为   B1C1,CC1⊂平面   BCC1B1,B1C1∩CC1=C1,
    所以  A1E⊥平面   BCC1B1.
    由(1)知  AD⊥平面    BCC1B1,所以  A1E∥AD.
    又 A1E⊄平面   ADC1,AD⊂平面   ADC1,
    所以  A1E∥平面   ADC1.
    13. 在直三棱柱     ABC   A1B1C1 中,CA=CB,AA1=   2AB,D 是  AB 的中点.若点     P 在线段
             1

BB1 上,且  BP=4BB1.求证:AP⊥平面       A1CD.
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    证明:∵ CA=CB,D      是 AB 的中点,∴ CD⊥AB.

    ∵      在直三棱柱     ABCA1B1C1 中,底面   ABC⊥侧面   A   A1B1B,交线为   AB,又  CD⊂平面
ABC,∴ CD⊥平面     AA1B1B.

    ∵ AP⊂平面    A1B1BA,∴ CD⊥AP.
                                1

    ∵  BB1=  2BA,BB1=AA1 ,BP=4BB1,
       BP    2  AD
    ∴ BA=   4 =AA1,
    ∴ Rt△ABP∽Rt△A1AD,∴ ∠AA1D=∠BAP,
    ∴ ∠AA1D+∠A1AP=∠BAP+∠A1AP=90°,

    ∴ AP⊥A1D.
    ∵ CD∩A1D=D,CD⊂平面      A1CD,A1D⊂平面   A1CD,
    ∴ AP⊥平面    A1CD.
                          第 4 课时 平面与平面的位置关系
    一、 填空题
    1. 设 α,β    为互不重合的平面,m,n          是互不重合的直线,给出下列四个命题:
    ① 若  m∥n,n⊂α,则      m∥α;
    ② 若  m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则            α∥β;
    ③ 若  α∥β,m⊂α,n⊂β,则          m∥n;
    ④ 若  α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则              n⊥β.
    其中正确的命题是____________.(填序号)
    答案:④
    解析:①中没有强调         m 在平面   α 外;②中没有强调        m,n  相交;③中     m 与 n 有可能异
面;④正确.

    2. 已知正方体     ABCD A1B1C1D1,下列结论中正确的是________.(填序号)
    ① AD1∥BC1;
    ② 平面   AB1D1∥平面   BDC1;
    ③ AD1∥DC1;
    ④ AD1∥平面    BDC1.
    答案:①②④

    解析:由四边形       ABC1D1 是平行四边形可知       AD1∥BC1,故①正确;根据线面平行与面面
平行的判定定理可知,②④正确;AD1              与  DC1 是异面直线,故③错误.
    3.  已知  α,β   是两个不同的平面,m,n          是两条不重合的直线,则下列说法中正确的
序号是________.
    ① 若  m∥α,α∩β=n,则         m∥n;
    ② 若  m⊥α,n⊥m,则      n∥α;
    ③ 若  m⊥α,n⊥β,α⊥β,则           m⊥n;
    ④ 若  α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则            m⊥β.
    答案:③
    解析:对于①,如图,m∥α,α∩β=n,此时                   m,n  异面,故①错误;
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台


    对于②,若     m⊥α,m⊥n,则      n∥α   或 n⊂α,故②错误;
    对于③,若     n⊥β,α⊥β,则        n∥α   或 n⊂α,又    m⊥α,∴ m⊥n,故③正确;
    对于④,若     α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则            m 也可能与    β 相交、平行或在       β  内,故
④错误.
    4.          已知  α  和 β 是两个不重合的平面.在下列条件中,可判定                    α∥β   的是
________.(填序号)
    ① α  内有无数条直线平行于          β;
    ② α  内不共线的三点到        β  的距离相等;
    ③ l,m  是平面    α 内的直线,且      l∥β,m∥β;
    ④ l,m  是异面直线且      l∥α,m∥α,l∥β,m∥β.
    答案:④
    解析:由面面平行的判定定理可以推出.
    5.     设  m,n 是两条不同的直线,α,β            是两个不同的平面,下列命题中正确的是
________.(填序号)
    ① 若  m∥α,n⊥β,m⊥n,则         α⊥β;
    ② 若  m∥α,n⊥β,m∥n,则         α⊥β;
    ③ 若  m∥α,n⊥β,m⊥n,则         α∥β;
    ④ 若  m∥α,n⊥β,m∥n,则         α∥β.
    答案:②
    解析:②选项,由条件          n⊥β,m∥n    推出   m⊥β,又    m∥α,易知     α⊥β.
    6.       设  α,β   是两个不同的平面,a,b          是两条不同的直线,给出四个论断:① 
α∩β=b;② a⊂β;③ a∥b;④ a∥α.以其中三个论断为条件,余下一个论断为结论,
写出你认为正确的命题:__.
    答案:①②③⇒④或①②④⇒③
    解析:若    α∩β=b,a⊂β,a∥b,则           a∥α,即①②③⇒④;若          α∩β=b,
a⊂β,a∥α,则       a∥b,即①②④⇒③.
    7.    α,β   为两个不同的平面,m,n          为两条不同的直线,下列命题中正确的序号是
________.
    ① 若  α∥β,m⊂α,则        m∥β;
    ② 若  m∥α,n⊂α,则       m∥n;
    ③ 若  α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则            m⊥β;
    ④ 若  n⊥α,n⊥β,m⊥α,则          m⊥β.
    答案:①④
    解析:由    α,β    为两个不同的平面,m,n          为两条不同的直线,知:
    在①中,若     α∥β,m⊂α,则由面面平行的性质定理得                  m∥β,故①正确;
    在②中,若     m∥α,n⊂α,则       m∥n 或  m 与 n 异面,故②错误;
    在③中,若     α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则            m 与 β 相交、平行或      m⊂β,故③错误;
    在④中,若     n⊥α,m⊥α,则       m∥n,又由     n⊥β  得 m⊥β,故④正确.
    8. 如图,已知     PA⊥矩形   ABCD 所在的平面,图中互相垂直的平面有________对.


    答案:5
    解析:由    PA⊥平面    ABCD 知,平面   PAD⊥平面   ABCD,平面    PAB⊥平面   ABCD.又 AD⊥PA,
且  AD⊥AB,PA∩AB=A,∴DA⊥平面        PAB,∴    平面  DPA⊥平面   PAB.又  BC∥  AD,∴BC⊥平
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面  PAB,∴ 平面    PBC⊥平面   PAB,同理   DC⊥平面   PDA,∴ 平面     PDC⊥平面   PDA.
    9.  已知  α,β    是两个不同的平面,l,m          是两条不同的直线,l⊥α,m⊂β,给出下
列命题:
    ① α∥β⇒l⊥m;② α⊥β⇒l∥m;
    ③ m∥α⇒l⊥β;④  l⊥β⇒m∥α.
    其中正确的命题是________.(填序号)
    答案:①④
    解析:①是面面平行的性质的应用,正确;②α⊥β,l⊥α,l,m                           可平行,可相交,
可异面,命题错误;③m∥α,l⊥α⇒ l⊥m⇒ l                 与  β 可平行,l    可在   β 内,l  可与   β 相
交,命题错误;④l⊥β,l⊥α⇒β∥α⇒m∥α,命题正确.
    10.   在棱长均相等的正四棱锥           PABCD 中,O  为底面正方形的中心,M,N           分别为侧棱
PA,PB 的中点,有下列结论:①            PC∥平面   OMN;②    平面  OMN⊥平面   PAB;③   OM⊥PA;④ 
平面   PCD∥平面   OMN.
    其中正确结论的序号是________.


    答案:①③④
    解析:如图所示,其中          E,F 分别为    AD,BC 的中点,连结      OE,OF,G  为  OE 的中点,连
结  EM,MG,AC,BD,平面      OMN 即平面  MNOE.
    因为  M 为 PA 的中点,O    为 AC 的中点,所以      PC∥OM,所以    PC∥平面   OMN,同理    PD∥平
面  OMN,所以平面     PCD∥平面   OMN,故①④正确.由于四棱锥的棱长均相等,所以                    PA2+
                                                                      1
PC2=AB2+BC2=AC2,所以     PC⊥PA.又  PC∥OM,所以    OM⊥PA,故③正确.因为         OM=2PC=
1
2PD=ME,所以    MG⊥OE.又  MN∥OE,所以     GM⊥MN.假设平面     OMN⊥平面   PAB,则  GM⊥平面
PAB,则  MG⊥PA,设四棱锥的棱长为          4,则   MA=2,AG=   5,MG=   3,三边长度不满足勾股
定理,所以     MG 不垂直   PA,与假设矛盾,故②不正确.


    二、 解答题

    11. 如图,在直三棱柱        ABCA1B1C1 中,BC⊥AC,D,E   分别是   AB,AC  的中点.求证:
    (1) B1C1∥平面   A1DE;
    (2) 平面  A1DE⊥平面   ACC1A1.


    证明:(1) 因为     D,E  分别是   AB,AC 的中点,所以      DE∥BC.

    又因为在三棱柱       ABCA1B1C1 中,B1C1∥BC,所以    B1C1∥DE.
    又 B1C1⊄平面   A1DE,DE⊂平面   A1DE,所以   B1C1∥平面  A1DE.
    (2) 在直三棱柱     ABCA1B1C1 中,CC1⊥底面   ABC,
    又 DE⊂底面   ABC,所以   CC1⊥DE.
    又 BC⊥AC,DE∥BC,所以      DE⊥AC.

    又 CC1,AC⊂平面    ACC1A1,且 CC1∩AC=C,所以     DE⊥平面   ACC1A1.
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    又 DE⊂平面   A1DE,所以平面     A1DE⊥平面   ACC1A1.


    12. 如图,在三棱锥       ABCD 中,AB⊥AD,    BC⊥BD,  平面  ABD⊥平面    BCD, 点 E,F(E  与
A,D  不重合)分别在棱       AD,BD 上,且   EF⊥AD.
    求证:
    (1) EF∥平面   ABC;
    (2) AD⊥AC.
    证明:(1) 在平面      ABD 内,因为    AB⊥AD,EF⊥AD,所以      EF∥AB.
    又因为   EF⊄平面   ABC,AB⊂平面    ABC,
    所以  EF∥平面    ABC.
    (2) 因为平面    ABD⊥平面   BCD,平面    ABD∩平面   BCD=BD,
    BC⊂平面   BCD,BC⊥BD,
    所以  BC⊥平面    ABD.
    因为  AD⊂平面   ABD,
    所以  BC⊥AD.
    又 AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面        ABC,BC⊂平面   ABC,
    所以  AD⊥平面    ABC.
    又因为   AC⊂平面   ABC,
    所以  AD⊥AC.
    13.  如图,在四面体       ABCD 中,平面   ABC⊥平面    ACD,E,F,G   分别为   AB,AD,AC  的中
点,AC=BC,∠ACD=90°.
    (1) 求证:AB⊥平面      EDC;
    (2) 若 P 为 FG 上任一点,求证:EP∥平面           BCD.


    证明:(1) 因为平面       ABC⊥平面   ACD,∠ACD=90°,即      CD⊥AC,
    平面  ABC ∩平面    ACD=AC,CD⊂平面    ACD,
    所以  CD⊥平面    ABC.
    又 AB⊂平面   ABC,
    所以  CD⊥AB.
    因为  AC=BC,E   为 AB 的中点,
    所以  CE⊥AB.
    又 CE∩CD=C,CD⊂平面      EDC,CE⊂平面    EDC,
    所以  AB⊥平面    EDC.
    (2) 连结  EF,EG,因为    E,F  分别为   AB,AD 的中点,
    所以  EF∥BD.
    又 BD⊂平面   BCD,EF⊄平面    BCD,
    所以  EF∥平面    BCD.
    同理可证    EG∥平面    BCD,且  EF∩EG=E,EF⊄平面     BCD,EG⊄平面    BCD,
    所以平面    EFG∥平面    BCD.
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    又 P 为 FG 上任一点,
    所以  EP⊂平面   EFG,
                所以  EP∥平面   BCD.第  5 课时 空间几何体的表面积和体积
    一、 填空题
    1.  已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为                120°,且面积为      3π  的扇形,则该圆锥的
体积为________.
          2 2π
    答案:    3
                                                 1
    解析:设圆锥的母线为          l,底面半径为      r,因为   3π=3πl2,所以      l=3,由   2πr=
120° × π × l                                          1              2 2π
   180°  ,得  r=1,所以圆锥的高是         2 2,所以圆锥的体积是3×π×12×2             2=  3  .
    2. 如图,在正四棱柱         ABCDA1B1C1D1 中,AB=3 cm,AA1=1   cm,则三棱锥      D1A1BD 的体
积为________cm3.


          3
    答案:2
    解析:三棱锥      D1A1BD 的体积等于三棱锥       BA1D1D 的体积,因为三棱锥        BA1D1D 的高等于
                                    1

AB,△A1D1D  的面积为矩形      AA1D1D 的面积的2,所以三棱锥        BA1D1D 的体积是正四棱柱
                   1                         1         3
                                                 2
ABCDA1B1C1D1 的体积的6,所以三棱锥        D1A1BD 的体积为6×3    ×1=2.
    3. 若正四棱锥的底面边长为           2 cm,侧面积为     8 cm,则它的体积为________cm3.
          4 3
    答案:    3
                                                                  1
    解析:因为正四棱锥的底面边长为               2,侧面积为     8,所以底面周长       c=8,2ch′=8,
                                                          1          4 3
所以斜高    h′=2,所以正四棱锥的高           h=  3,所以正四棱锥的体积为3×22×             3=  3 .
    4. 底面边长为     2,侧棱长为      3的正四棱锥的体积为________.
          4
    答案:3
                                                                       4
    解析:底面边长为        2,侧棱长为      3的正四棱锥的高为        1,底面积为     4,则体积为3.
    5.  设 M,N 分别为三棱锥       P   ABC 的棱  AB,PC 的中点,三棱锥       P   ABC 的体积记为
                                V2

V1,三棱锥    P  AMN 的体积记为     V2,则V1=________.
          1
    答案:4
                                                           1

    解析:设△AMN     的面积为    S,点   P 到平面   AMN 的距离为   h,则   V2=3Sh,而  V1=
   1           V2  1
2×3×2S×h,则V1=4. 
    6.    如图,在正三棱柱        ABCA1B1C1 中,已知  AB=AA1=3,点    P 在棱  CC1 上,则三棱锥
PABA1 的体积为________.
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          9 3
    答案:    4  
                             1       9                                      3

    解析:三棱锥的底        S△ABA1=2×3×3=2,点       P 到底面  ABA1 的距离为△ABC    的高:h=2 
                     1    9 3
 3,故三棱锥的体积        V=3Sh=   4  .
    7.  已知正方体     ABCD   A1B1C1D1 的棱长为  1,点  E 是棱  B1B 的中点,则三棱锥       B1ADE 的
体积为________.
          1
    答案:12
                                                1     1     1  1

    解析:三棱锥      B1ADE 的体积=三棱锥      DB1AE 的体积=3×1×2×1×2=12.
    8.   若一个正方体与底面边长为           2 3,侧棱长为      10的正四棱锥的体积相等,则该正方
体的棱长为________.
    答案:2
    解析:底面边长为        2 3,侧棱长为      10的正四棱锥的体积为         8,则该正方体的棱长为         2.
                                 3 2
    9.  已知正四棱锥      OABCD 的体积为    2 ,底面边长为      3,则以    O 为球心,OA   为半径的球
的表面积为________.
    答案:24π
                               1         3 2           3 2
    解析:设正四棱锥的高为           h,则3×(    3)2h= 2 ,解得高    h=  2 .则底面正方形的对角
                            3 2    6
                               2+    2
线长为    2×  3=  6,所以   OA=  ( 2 )  ( 2 ) = 6,所以球的表面积为        4π(  6)2=24π.
    10.  将矩形   ABCD 绕边  AB 旋转一周得到一个圆柱,AB=3,BC=2,圆柱上底面圆心为
O,△EFG  为下底面圆的一个内接直角三角形,则三棱锥                    OEFG 体积的最大值是________.
    答案:4
    解析:因为将矩形        ABCD 绕边  AB 旋转一周得到一个圆柱,AB=3,BC=2,圆柱上底面
圆心为   O,△EFG   为下底面圆的一个内接直角三角形,所以三棱锥                    OEFG 的高为圆柱的高,
即高为   AB,所以当三棱锥        OEFG 体积取最大值时,△EFG        的面积最大,
                                                       1

    当 EF 为直径,且点      G 在 EF 的垂直平分线上时,(S△EFG)max=2×4×2=4,
                                    1               1

    所以三棱锥     OEFG 体积的最大值      Vmax=3×(S△EFG)max×AB=3×4×3=4.
    二、 解答题
    11.   如图,在三棱锥       DABC 中,已知△BCD     是正三角形,AB⊥平面         BCD,AB=BC=a,
E 为 BC 的中点,F    在棱  AC 上,且   AF=3FC.
    (1) 求三棱锥    DABC 的体积;
                                         3
    (2) 若 M 为 DB 中点,N   在棱  AC 上,且   CN=8CA,求证:MN∥平面        DEF.
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                                                         3

                                                           2
    (1) 解:因为△BCD     是正三角形,且       AB=BC=a,所以     S△BCD= 4 a .
                                      1            1   3       3
                                                         2       3
    因为  AB⊥平面    BCD,所以   VDABC=VA  BCD=3×S△BCD×AB=3×  4 a ×a=12a .
    (2) 证明:连结     CM,设  CM∩DE=O,连结      OF.
                           2
    则 O 为△BCD  的重心,CO=3CM.
            3                     2
    因为  CN=8CA,AF=3FC,所以      CF=3CN,所以    MN∥OF.因为    OF⊂平面  DEF,MN⊄平面
DEF,所以   MN∥平面    DEF.
    12.  如图,在三棱锥       PABC 中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点            D 为线
段  AC 的中点,点    E 为线段   PC 上一点.
    (1) 求证:PA⊥BD;
    (2) 求证:平面     BDE⊥平面   PAC;
    (3) 当 PA∥平面    BDE 时,求三棱锥     EBCD 的体积.


    (1) 证明:因为     PA⊥AB,PA⊥BC,所以      PA⊥平面   ABC.
    因为  BD⊂平面   ABC,所以   PA⊥BD.
    (2) 证明:因为     AB=BC,点   D 为 AC 的中点,
    所以  BD⊥AC.
    由(1)知,PA⊥BD,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面           PAC,所以   BD⊥平面   PAC.又  BD⊂平面
BDE,
    所以平面    BDE⊥平面    PAC.
    (3) 解:因为    PA∥平面   BDE,平面    PAC∩平面   BDE=DE,
    所以  PA∥DE.
                                 1
    因为点   D 为 AC 的中点,所以      DE=2PA=1,BD=DC=     2.
    由(1)知,PA⊥平面      ABC,所以   DE⊥平面    ABC,
                             1           1
    所以三棱锥     E BCD 的体积   V=6BD·DC·DE=3.
    13.  如图,在菱形      ABCD 中,AB=2,∠ABC=60°,BD∩AC=O,现将其沿菱形对角线
BD 折起得到四面体       EBCD,使  EC=  2.
    (1) 求证:EO⊥CD.
    (2) 求点  O 到平面   EDC 的距离.
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    (1) 证明:∵ 四边形       ABCD 为菱形,∴ AC⊥BD.
    ∵ BD∩AC=O,∴ EO⊥BD.
    ∵ 在菱形    ABCD 中,AB=2,∠ABC=60°,∴ AD=CD=BC=2,AO=OC=1.
    ∵ EC=   2,CO=EO=1,
    ∴ EO2+OC2=EC2,
    ∴ EO⊥OC.又   BD∩OC=O,
    ∴ EO⊥平面    BCD,∴ EO⊥CD.
    (2) 解:设点    O 到平面   ECD 的距离为    h,由(1)知   EO⊥平面   OCD.
                          1          1

    V 三棱锥 OCDE=V 三棱锥 EOCD,即3S△OCD·EO=3S△ECD·h.
                                                      1           3

    在 Rt△OCD  中,OC=1,OD=     3,∠DOC=90°,∴ S△OCD=2·OC·OD=         2 .在△CDE  中,
                            1            2    7         S △ OCD·EO   21
                                   22-    2
                                       ( 2 )
ED=DC=2,EC=     2,∴ S△CDE=2×    2×         =  2 ,∴  h=    S △ ECD =  7 ,即点
                              21
          O 到平面  EDC 的距离为     7 .第 6 课时 空间向量在立体几何中的应用
    一、 填空题
    1.  已知空间四边形        OABC,点  M,N 分别为    OA,BC 的中点,且     → =a,  →  =b,  → =
                                                          OA     OB      OC
c,用   a,b,c  表示  →  ,则  →  =________.
                 MN     MN
          1
    答案:2(b+c-a)
                        1        1   1
    解析:   →  = → -  → =2(b+c)-2a=2(b+c-a).
          MN   ON  OM
                                                                   1
                                                                    ,1,2
    2.    若直线    l⊥α,且    l 的方向向量为(m,2,4),平面          α  的法向量为(2        ),则
m 为________.
    答案:1
                                         1
                                      m=  λ,
                                         2
                          1           2=λ,
                           ,1,2
                                     { =   , )
    解析:∵ (m,2,4)=λ(2           ),∴    4  2λ  ∴ m=1.
                                                                    8
    3.  若向量   a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且           a 与 b 的夹角的余弦值为9,则         λ=
________.
                2
    答案:-2    或55
                         a·b    6-λ    8                2
    解析:由    cos〈a,b〉=|a||b|=3   λ2+5=9,解得     λ=-2   或55.
    4.  已知点   P 是平行四边形      ABCD 所在平面外一点.若        → =(2,-1,-4),      → =(4,
                                                 AB                  AD
2,0),  → =(-1,2,-1),则给出下列结论:①                AP⊥AB;②     AP⊥AD;③     → 是平面
       AP                                                           AP
ABCD 的一个法向量;④        → ∥  → .其中正确的是________.(填序号)
                     AP  BD
    答案:①②③
    解析:   → ·  → =2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=-2-2+4=0,则                → ⊥ → ,
          AB  AP                                                   AB   AP
即  AP⊥AB;
    → ·  → =(-1)×4+2×2+0=0,则         → ⊥ → ,即   AP⊥AD.又  AB∩AD=A,∴     AP⊥平
    AP  AD                          AP   AD
面  ABCD,故  → 是平面   ABCD 的一个法向量.由于        →  = → - →  =(2,3,4),    → =(-1,
          AP                             BD  AD   AB             AP
             2   3  4
2,-1),∴ -1≠2≠-1,∴          → 与  → 不平行.
                           AP  BD
    5. 已知正四棱柱      ABCD ­ A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则   CD 与平面   BDC1 所成角的正弦值为
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

________.


          2
    答案:3
    解析:以    D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设                   AA1=2AB=2,则    D(0,0,0),
C(0,1,0),B(1,1,0),C      (0,1,2),则    → =(0,1,0),    →  =(1,1,0),    →  =
                        1             DC             DB             DC1
(0,1,2).
                                                               x+y=0,
    设平面   BDC 的法向量为     n=(x,y,z),则      n⊥ → ,n⊥   → ,所以有{y+2z=0.)令      y=
             1                             DB      DC1
-2,得平面     BDC1 的一个法向量为      n=(2,-2,1).设      CD 与平面   BDC1 所成的角为    θ,则
                           →
                          n·DC   2
sin θ=|cos〈n,    → 〉|=||n|| → ||=3.
                 DC        DC


    6.     如图,在平行六面体         ABCDA1B1C1D1 中,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90°,
∠BAA1=∠DAA1=60°,则对角线         AC1 的长度等于________.


    答案:    85
    解析:    → 2=( →  + → +  →  )2= → 2+ → 2+  → 2+2 → ·  → +2 →  · →  +2 →  ·
          AC1    AB  AD   AA1    AB   AD    AA1    AB  AD    AB  AA1    AD
 →  =16+9+25+2×4×3×cos       90°+2×4×5×cos      60°+2×3×5×cos      60°=50+
AA1
20+15=85,即 |     → |=  85.
                AC1
    7.  如图,在直三棱柱        A1B1C1­ ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点        D 是 BC 的中
点,则异面直线       A1B 与 C1D 所成角的余弦值为________.


          3 10
    答案:    10
    解析:以    A 为坐标原点,以       AB,AC,AA1  所在直线为     x 轴、y  轴、z  轴,建立空间直角
坐标系   A­xyz,则   A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4)              ,
C1(0,2,4),所以     →  =(2,0,-4),     →  =(1,-1,-4).
                A1B        →   →  C1D
                           A1B·C1D     18     3 10
    因为  cos〈  →  ,  → 〉=|  →  || → |= 20 × 18= 10 ,所以异面直线       A B 与 C D 所成
             A1B   C1D    A1B  C1D                               1     1
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            3 10
角的余弦值为       10 .
     8.     已知  O 点为空间直角坐标系的原点,向量              → =(1,2,3),    → =(2,1,2),
                                               OA             OB
→  =(1,1,2),且点      Q 在直线  OP 上运动.当     → · →  取得最小值时,       →       的坐标是
OP                                     QA   QB              OQ
________.
           4 4 8
           ,  ,
    答案:(3    3 3)
    解析:∵     点  Q 在直线  OP 上,∴    设点  Q(λ,λ,2λ),则       →  =(1-λ,2-λ,3-
                                                       QA
2λ),  →  =(2-λ,1-λ,2-2λ),         →  · → =(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+
      QB                          QA  QB
                                     4    2       4                       2
                                  λ-
(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(           3)2-3.当  λ=3时,    → ·  → 取得最小值-3,
                                                       QA  QB
         4 4  8
          , ,
此时  →  =(3 3  3).
    OQ
    9.  在正方体     ABCDA1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面      A1ED 与平面  ABCD 所成的锐
二面角的余弦值为________.
          2
    答案:3
    解析:如图,以       A 点为坐标原点,AB,AD,AA1        所在直线分别为       x,y,z  轴建立空间直
角坐标系,设棱长为         1,
                         1
                    (1,0, )
    则 A1(0,0,1),E        2 ,D(0,1,0),
                                      1
                                1,0,-
    所以   →  =(0,1,-1),     →  =(      2).
        A1D               A1E
                                              y-z=0,
                                                1           y=2,
                                              1- z=0,
                                             {        )      =
    设平面   A1ED 的一个法向量为       n1=(1,y,z),则       2      所以{  z  2. )所以 n1=(1,
2,2).
                                                                  2   2

    因为平面    ABCD 的一个法向量为       n2=(0,0,1),所以     cos 〈n1,n2〉=3    × 1=3,
                                                2

    即平面   A1ED 与平面   ABCD 所成的锐二面角的余弦值为3.


    二、 解答题

    10. 如图,在棱长为       2 的正方体    ABCDA1B1C1D1 中,点 P 为棱  C1D1 的中点,Q   为棱  BB1 上
的点,且    BQ=λBB1(λ≠0).
              1
    (1) 若 λ=2,求     AP 与 AQ 所成角的余弦值;
    (2) 若直线   AA1 与平面  APQ 所成的角为     45°,求实数     λ  的值.
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    解:以   A 点为坐标原点,{       → , →  , →  }为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标
                          AB   AD   AA1
系  Axyz.


    (1)  因为  → =(1,2,2),    → =(2,0,1),
             AP             AQ
                         →  →       +     +
                         AP·AQ   1 × 2 2 × 0 2 × 1 4 5
    所以  cos〈  → , → 〉=|  → || → |=    9 × 5     = 15 .所以  AP 与 AQ 所成角的余弦
             AP   AQ     AP AQ
    4 5
值为   15 .
    (2) 由题意可知,      →  =(0,0,2),    →  =(2,0,2λ).
                    AA1             AQ
    设平面   APQ 的一个法向量为       n=(x,y,z),
         →
       n·AP=0,     x+2y+2z=0,
         →
    则{n·AQ=0,)即{    2x+2λz=0.  )
    令 z=-2,则     x=2λ,y=2-λ.
    所以  n=(2λ,2-λ,-2).

    因为直线    AA1 与平面   APQ 所成角为   45°,
                            →
                          n·AA1
    所以|cos〈n,     → 〉|=||n|| → 1||=
                 AA1        AA
               4             2
    2 (2λ)2+(2-λ)2+(-2)2=    2 ,
                                        4
    化简得   5λ2-4λ=0.又     λ≠0,所以     λ=5.
    11. 如图,在平行六面体         ABCDA1B1C1D1 中,AA1⊥平面   ABCD,且  AB=AD=2,AA1=    3,
∠BAD=120°.


    (1)  求异面直线     A1B 与 AC1 所成角的余弦值;
    (2) 求二面角    BA1DA 的正弦值.
    解:在平面     ABCD 内,过点    A 作 AE⊥AD,交   BC 于点  E.

    因为  AA1⊥平面   ABCD,所以    AA1⊥AE,AA1⊥AD.
    如图,以    A 点为原点,{     → , →  , →  }为正交基底,建立空间直角坐标系               Axyz.
                        AE   AD   AA1


    因为  AB=AD=2,AA1=     3,∠BAD=120°,
    所以  A(0,0,0),B(    3,-1,0),D(0,2,0),E(       3,0,0),A1(0,0,     3),

C1( 3,1,   3).
    (1)  → =(  3,-1,-     3),  → =(  3,1,   3),
        A1B              →    →AC1
                         A1B·AC1
    则 cos〈  →  ,  → 〉=|  →  || → |
           A1B   AC1     A1B AC1
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               3 × 3+(-1)  × 1- 3 × 3            1
    =  ( 3)2+(-1)2+(-    3)2 × ( 3)2+12+(  3)2=-7,
                                        1

    因此异面直线      A1B 与 AC1 所成角的余弦值为7.
    (2) 平面  A DA 的一个法向量为      → =(  3,0,0).
             1                AE
    设 m=(x,y,z)为平面      BA1D 的法向量,
    又  → =(  3,-1,-     3), →  =(-  3,3,0),
      A1B                   BD
          →          3x-y-  3z=0,
       m·A1B=0,
          →
    则{ m·BD=0,  )即{  -  3x+3y=0.  )
    不妨取   x=3,则    y=  3,z=2,

    所以  m=(3,   3,2)为平面    BA1D 的一个法向量,
                       →       3 × 3-0 × 3+0 × 2
                       AE·m                      3
    所以  cos〈  → ,m〉=|  → ||m|= 3 × 32+(  3)2+22=4.
             AE        AE
                                         3

    设二面角    BA1DA 的大小为    θ,则|cos θ|=4.
                                             7
    因为  θ∈[0,π],所以       sin θ=   1-cos 2θ= 4 .
                              7

    所以二面角     BA1DA 的正弦值为     4 .
    12.   如图,在四棱锥       PABCD 中,PA⊥平面    ABCD,四边形    ABCD 为直角梯形,AD∥BC,
∠BAD=∠CBA=90°,PA=AB=BC=1,AD=2,点            E,F,G   分别为   BC,PD,PC  的中点.以
A 点为坐标原点,AB,AD,AP        所在直线分别为        x 轴、y 轴、z   轴,建立空间直角坐标系.
    (1) 求异面直线     EF 与 DG 所成角的余弦值.
    (2) 若 M 为 EF 上一点,N    为 DG 上一点,是否存在        MN,使得   MN⊥平面   PBC ?若存在,
求出点   M,N  的坐标;若不存在,请说明理由.


    解:(1)     由题意得     A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,
1).
    ∵ 点  E,F,G   分别为   BC,PD,PC  的中点,
           1          1    1 1  1
         1, ,0    0,1,      , ,
    ∴ E(   2  ),F(    2),G(2 2  2),
                1 1        1   3 1
            -1,  ,          ,-  ,
    ∴ →=(       2 2), → =(2    2 2).
       EF            DG              →  →
                                    |EF·DG| 2 66
                                     →  →
    设 EF 与 DG 所成角为    θ,则   cos θ=|EF||DG|=  33 .
                              2 66
    ∴ EF 与  DG 所成角的余弦值为        33 .
    (2) 存在.设平面      PBC 的一个法向量为       n=(x,y,z).
                                              →
                                            n·BC=y=0,
    ∵  → =(0,1,0),→=(1,0,-1),∴ {n·→=x-z=0,)
       BC             PB                    PB
    取 x=1,得    n=(1,0,1).
    M 为 EF 上一点,N    为 DG 上一点,
    若存在   MN,使得    MN⊥平面   PBC,则  →  ∥n.
                                  MN
                                     x2-x1=z2-z1,

    设 M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2),则{       y2-y1=0     ) ①,
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    ∵ 点  M,N  分别是线段     EF 与 DG 上的点,
    ∴  →  =λ→,    → =t  → .
       EM     EF  DN   DG
                      1
            x1-1,y1-   ,z1
    ∵  →  =(          2   ), → =(x  ,y -2,z   ),
       EM                   DN     2  2      2
                            1
                        x2=  t,
        x1-1=-λ,            2
            1  1              3
        y1-  =  λ,    y2-2=-   t,
            2  2              2
             1              1
       {  z1= λ,  )  {   z2= t   )
    ∴        2     且        2     ②,
                     3  1   3             2
                   -  t- λ+  =0,       λ=  ,
                     2  2   2             3
                   1       1   1          7
                  { t+λ-1=  t-  λ,)   {t=  ,)
    把②代入①,得        2       2   2  解得      9
         1 5 1    7  5  7
         ,  ,       , ,
    ∴ M(3  6 3),N(18 6 18).
    13. 如图,在三棱锥       PABC 中,PA⊥底面     ABC,∠BAC=90°.点     D,E,N  分别为棱    PA,
PC,BC 的中点,点      M 是线段  AD 的中点,PA=AC=4,AB=2.
    (1) 求证:MN∥平面      BDE;
    (2) 求二面角    CEM N 的正弦值;
                                                                7
    (3)    已知点   H 在棱  PA 上,且直线     NH 与直线   BE 所成角的余弦值为21,求线段           AH 的
长.


    (1) 证明:如图,以       A 点为坐标原点,分别以          → , → ,  → 方向为   x 轴、y  轴、z  轴正
                                           AB   AC  AP
方向建立空间直角坐标系.依题意可得                 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,
4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).


    →  =(0,2,0),    → =(2,0,-2).
    DE             DB
    设 n=(x,y,z)为平面      BDE 的一个法向量,
         →
       n·DE=0,      2y=0,
         →
    则{n·DB=0,)即{2x-2z=0.)
    不妨取   z=1,可得     n=(1,0,1).
    又  → =(1,2,-1),可得       → ·n=0.
      MN                   MN
    因为  MN⊄平面   BDE,所以   MN∥平面    BDE.
    (2) 解:由题可知      n1=(1,0,0)为平面      CEM 的一个法向量.
    设 n2=(x2,y2,z2)为平面     EMN 的一个法向量,
          →
       n2·EM=0,
          →
    则{ n2·MN=0. )
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因为  →  =(0,-2,-1),      → =(1,2,-1),
    EM                 MN
     -2y2-z2=0,
所以{x2+2y2-z2=0.)
取 y2=1,可得    n2=(-4,1,-2).
                   n1·n2   4 21

因此  cos〈n1,n2〉=|n1||n2|=-   21 ,
                   105

所以  sin〈n1,n2〉=    21 ,
                         105
所以二面角     CEMN 的正弦值为     21 .
(3) 解:依题意,设       AH=h(0≤h≤4),
则 H(0,0,h),    → =(-1,-2,h),      → =(-2,2,2).
              NH                 BE
由已知,
                     →   →
                     NH·BE
得|cos〈  →  , → 〉|=|| →  || → ||
        NH  BE       NH BE
     |2h-2|
=  h2+5 × 2 3
   7
=21,
                              8     1
整理得   10h2-21h+8=0,解得      h=5或  h=2,
                 8 1
所以线段    AH 的长为5或2.
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