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3.1.2二分法求方程的近似解

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高中数学审核员

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利用二分法求方程的近似解
复习旧知
  零点概念:对于函数y=f(x),我们把使
 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

方程    有实数根      函数      的图象与
   f(x)           y=f(x)
x轴有交点      函数y=f(x)有零点
        

如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连
续不断一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0(即f(a)
与f(b)<异号),那么,函数y=f(x)在开区间
(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b),使得f(c )=0,
这个c也就是方程f(x)=0的根.
提出问题

 一元二次方程可以用公式求根,但是如何求
 方程lnx+2x-6=0的根呢,能否利用函数的
 有关知识来求它的根?
问题1   在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房
 到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一
 条10km长的线路,如何迅速查出故障所在?

二分法:每次取中点,将区间一分为二,再经比
较,按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法,
也叫对分法。常用于:查找线路电线、水管、气
管等管道线路故障、实验设计、资料查询;是方
程求根的常用方法!


                                  7次
                                                                              2                                                                                 2.5                                                                                      3                                                                                  3.5                                                                                     4


找函数f(x)=lnx+2x-6的零点近似值(精确度为0.1)

      区间[a,b]

     a         b      区间中点c         f(c)

  2.00000   3.00000    2.50000    -0.0831
                       2.75000             0.51160
  2.50000      3.00000
  2.50000   2.75000    2.62500     0.21508 

  2.50000   2.62500    2.56250     0.06598                       2.75
  2.50000   2.56250    2.53125     -0.00879 
  2.53125   2.56250    2.54688     0.02862 
  2.53125   2.54688    2.53907     0.00993 
 因为︱2.5-2.5625︱=0.0625 <0.1时,2.5(或2.5625)就是方程
 lnx+2x-6=0的近似解                      2.5      根    2.5625
    定义:    对于在区间[a,b]上连续不断、且
 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断把函数f(x)的零
 点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼
 近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法。
用二分法求函数零点近似值的步骤
1、确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε

2、求区间(a,b)的中点x1
3、计算f(x1);
(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点
(2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1)) 
(3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))
4、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|< ε,则得到零点
的近似值a(或b);否则得重复2~4
                                                                                                                                                         3


                                                                                                                                                         2


                                                                                                                                                         1


                                                                                                                                                                                                                                                                                    2                                                                                                                   4                                                                                                                    6


                                                                                                                                                       -1
应用:利用计算器求方程2 x+3x=7的近似解(精确度0.1)。
    解:原方程即为2 x+3x-7=0,令f(x)= 2 x+3x-7。作出函数的对应值表与图象
         x        0   1   2    3    4    5    6     7   8
                                                               ↑y  y
   f(x)=2x+3x-7  -6  -2   3   10   21   40    75   142 273        f(x)= 2 x+3x-7
 可知f(1)·f(2)<0,说明在区间(1,2)内有零点。通过计算得下表

        区间[a,b]
       a       b      中点c          f(c)
       1       2       1.5       0.328427125


       1      1.5      1.25      -0.87158577
                                                                                    ↑
      1.25    1.5     1.375     -0.281320891                                                                                                           -2
                                                       -1           0              1            2 x
     1.375    1.5     1.4375     0.021011094
     1.375   1.4375  1.40625      -0.13078

    因为︱1.375-1.4375 ︱        =0.0625<0.1
    所以原方程的近似解可取1.4375
练习:1.下列函数图象均与x轴有交点其中不能用二分法求图中
          函数零点的图号是(        )


    2.方                          程                            3                                                                           在             区              间                                           内              有              实             根              ,              取              中             点                                                                那              么              下              一             个
                                                       x2                               x                  5                   0                                                       2,           3                                                                                                                               x0                        2.5,
       有                          根              区              间             是                         .

3.某方程有一无理根在                            区间D=(0,3)内,若用二分
法求此根的近似值,将区间D至少等分                                                  ___ 次后,
所得近似值可精确到0.1。
                                                        AC         5
在八个大小形状完全一样的银元中有一个是假银元,
已知假银元比真银元稍轻点儿。现在只有一个天平,
如何找出假银元?
游戏规则:
 给出一件商品,请你猜出它的准
确价格,我们给的提示只有“高
了”和“低了”。给出的商品价
格在100 ~ 200之间的整数,如果
你能在规定的次数之内猜中价格,
这件商品就是你的了。
 小结:

 1.二分法的原理

2.二分法的应用:求方程近似解的过程


  作业:聚焦
动手实践

探求2x-x2=0的近似解
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