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浙江省湖州市2016-2017学年高一(下)期末数学试卷(解析版)

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               2016-2017  学年浙江省湖州市高一(下)期末数学试卷
  

 一、选择题(共       10 小题,每小题      4 分,满分    40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)

 1.直线   y=x+1 的倾斜角是(  )
 A.30°  B.45°  C.60°  D.90°
 2.已知向量      =(1,1),     (2,x),若      + 与  垂直,则实数       x 的值是(  )

 A.﹣4   B.﹣2   C.4    D.2

 3.若等差数列{an}满足        a1+a3=﹣2,a2+a4=10,则 a5+a7 的值是(  )

 A.﹣22  B.22   C.﹣46  D.46

 4.对于任意实数       a,b,若    a>b,则下列不等式一定成立的是(  )

 A.  <     B.a2>b2    C.a3>b3   D.   >


 5.若变量    x,y 满足约束条件                ,则  z=3x+2y 的最小值为(  )

 A.4    B.     C.6    D.

 6.若关于    x 的不等式    ax2+bx+2<0 的解集为(﹣∞,﹣       )∪(     ,+∞),则     a﹣b 的值是(  )

 A.﹣14  B.﹣12  C.12   D.14

 7.在△ABC   中,内角     A,B,C   的对边分别为      a,b,c,若    2sinA=3sinB=4sinC,则△ABC   的形状是(  
 )

 A.锐角三角形       B.直角三角形       C.钝角三角形       D.不能确定

 8.用数学归纳法证明            +    +…+   >   时,由    k 到 k+1,不等式左边的变化是(  )

 A.增加         项

 B.增加       和      两项

 C.增加       和      两项同时减少         项
 D.以上结论都不对
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               *                   2             2
9.对任意的     n∈N ,数列{an}满足|an﹣cos    n|≤   且|an+sin n|≤  ,则   an 等于(  )

A.  ﹣sin2n B.sin2n﹣  C.  ﹣cos2n D.cos2n+

10.已知    ,  ,  是同一平面内的三个向量,且|              |=1,   ⊥  ,   • =2,    • =1,当|   ﹣ |取得最小
值时,    与  夹角的正切值等于(  )

A.     B.     C.1    D.
 

二、填空题(共       7 小题,多空题      6 分,单空题     4 分,满分    36 分)

11.已知直线     l1:mx+2y+3=0 与  l2:x+(m+1)y﹣1=0.当    m=       时,l1∥l2,当     m=        时,

l1⊥l2.

12.△ABC  的内角    A,B,C   所对的边分别为       a,b,c.已知      a=3,b=5,c=7,则角     C=           ,

△ABC 的面积    S=      .

                                         n
13.已知等比数列{an}的前         n 项和为   Sn,若  Sn=3 +t,则 a2=      ,t=        .

14.已知函数     f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|(a>0)的最小值是        2,则   a 的值是         ,不等式      f(x)≥4   的

解集是         .


15.若直线    y=k(x+1)经过可行域                              ,则实数    k 的取值范围是            .


                                                   *
16.数列{an}是等差数列,数列{bn}满足            bn=anan+1an+2(n∈N ),设   Sn 为{bn}的前  n 项和.若    a12=

 a5>0,则当    Sn 取得最大值时      n 的值等于         .

17.若正实数     x,y 满足   2x+y=2,则          +         的最小值是           .
 

三、解答题(共       5 小题,满分     74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.已知直线     l1:x﹣2y+2=0 与 l2:2x﹣y+4=0 交于点  A.

(1)求过点     A 且与  l1 垂直的直线    l3 的方程;

(2)求点    P(2,2)道直线       l3 的距离.
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19.已知平面向量         ,   满足|     |=1,|3   ﹣2  |=       ,且    ,    的夹角为    60°.

(1)求|     |的值;

(2)求   2  ﹣  和    ﹣2  夹角的余弦值.

20.正项数列{an}中,a1=1,奇数项          a1,a3,a5,…,a2k﹣1,…构成公差为         d 的等差数列,偶数项         a2,

a4,a6,…,a2k,…构成公比       q=2 的等比数列,且       a1,a2,a3  成等比数列,a4,a5,a7       成等差数列.

(1)求   a2 和 d;

(2)求数列{an}的前       2n 项和  S2n.

21.在△ABC   中,内角     A,B,C   的对边分别为      a,b,c,已知      c=2,cosB=   .
(1)若   b=2     ,求  sinA 的值;

(2)若点    D 在边  AC 上,且       =        ,|     |=         ,求  a 的值.

22.已知数列{an}的前       n 项和  Sn 满足 an+1=2Sn+6,且 a1=6.

(1)求数列{an}的通项公式;


(2)设数列{          }的前  n 项和为   Tn,证明:                     +            +            +…+

            <3.
 
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           2016-2017    学年浙江省湖州市高一(下)期末数学试卷

                                      参考答案与试题解析

  

 一、选择题(共       10 小题,每小题      4 分,满分    40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)

 1.直线   y=x+1 的倾斜角是(  )
 A.30°  B.45°  C.60°  D.90°
 【考点】I2:直线的倾斜角.
 【分析】求出直线的斜率,然后求出直线的倾斜角.

 【解答】解:∵直线         y=x+1 的斜率是    1,

 ∴tanα=1,

 ∵α∈[0°,180°),

 ∴它的倾斜角为       45°.
 故选  B.
  

 2.已知向量       =(1,1),      (2,x),若        +  与    垂直,则实数      x 的值是(  )

 A.﹣4   B.﹣2   C.4    D.2

 【考点】9J:平面向量的坐标运算.
 【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出                          ,再由     +   与   垂直,能求出实数         x 的值.
 【解答】解:∵向量           =(1,1),      (2,x),

        =(3,1+x),

 ∴   +  与    垂直,

 ∴(         )•   =3×1+(1+x)×1=0,

 解得  x=﹣4.

 ∴实数   x 的值为﹣4.

 故选:A.
  
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3.若等差数列{an}满足        a1+a3=﹣2,a2+a4=10,则 a5+a7 的值是(  )

A.﹣22  B.22   C.﹣46  D.46

【考点】84:等差数列的通项公式.
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,先求出首项和公差,由此能求出结果.

【解答】解:∵等差数列{an}满足             a1+a3=﹣2,a2+a4=10,

∴                               ,

解得  a1=﹣7,d=6,

∴a5+a7=a1+4d+a1+6d=﹣7+24﹣7+36=46.

故选:D.
 

4.对于任意实数       a,b,若    a>b,则下列不等式一定成立的是(  )

A.    <       B.a2>b2   C.a3>b3    D.    >
【考点】R3:不等式的基本性质.
【分析】根据题意,由不等式的性质依次分析选项,综合即可得答案.
【解答】解:根据题意,依次分析选项:

对于  A、当   a=2,b=﹣2 时,     >    ,故  A 错误;

对于  B、当   a=1,b=﹣2 时,a2<b2,故    B 错误;

对于  C、由不等式的性质可得           C 正确;

对于  D、当   a=1,b=﹣1 时,      =  ,故   D 错误;

故选:C.
 


5.若变量    x,y 满足约束条件                         ,则   z=3x+2y 的最小值为(  )

A.4    B.        C.6    D.
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【考点】7C:简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据                    z 的几何意义,利用数形结合即可得到最小值.


【解答】解:不等式组                            对应的平面区域如图:

由 z=3x+2y 得 y=﹣  x+   ,平移直线      y=﹣  x+   ,

则由图象可知当直线         y=﹣  x+    ,经过点    A 时直线   y=﹣   x+   的截距最小,

此时  z 最小,


由                 ,解得              ,即  A(1,     ),

此时  z=3×1+2×     =     ,
故选:B.


 

6.若关于    x 的不等式    ax2+bx+2<0 的解集为(﹣∞,﹣         )∪(      ,+∞),则     a﹣b 的值是(  )

A.﹣14  B.﹣12  C.12   D.14

【考点】74:一元二次不等式的解法.
【分析】根据不等式与对应的方程之间的关系,结合根与系数的关系,求出                                 a、b  的值,问题得以解
决.
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【解答】解:∵关于         x 的不等式    ax2+bx+2<0 的解集为(﹣∞,﹣         )∪(      ,+∞),

∴关于   x 的方程   ax2+bx+2=0 的两个实数根为﹣        和     ,且  a<0,


由根与系数的关系,得                               ;

解得  a=﹣12,b=2,

∴a﹣b=﹣12﹣2=﹣14

故选:A
 

7.在△ABC   中,内角     A,B,C   的对边分别为      a,b,c,若    2sinA=3sinB=4sinC,则△ABC   的形状是(  
)

A.锐角三角形       B.直角三角形       C.钝角三角形       D.不能确定
【考点】HP:正弦定理.
【分析】已知等式利用正弦定理化简,得到三边之比,利用余弦定理表示出                                 cosA,将三边长代入求
出 cosA 的值得解    A 为钝角,从而得解.
【解答】解:∵△ABC        中,2sinA=3sinB=4sinC,
∴由正弦定理化简得:2a=3b=4c,

即 b=   a,c=    a,


则 cosA=                   =                        =﹣     <0,

∴A 为钝角,△ABC      的形状是钝角三角形.

故选:C.
 

8.用数学归纳法证明                +       +…+     >       时,由   k 到 k+1,不等式左边的变化是(  
)
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A.增加                项

B.增加            和          两项

C.增加            和          两项同时减少             项
D.以上结论都不对
【考点】RG:数学归纳法.

【分析】观察不等式                +       +…+     >       左边的各项,他们都是以                  开始,以

     项结束,共     n 项,当由    n=k 到 n=k+1 时,项数也由      k 变到  k+1 时,但前边少了一项,后面多了
两项,分析四个答案,即可求出结论.

【解答】解:n=k      时,左边=           +       +…+

n=k+1 时,左边=                  +               +…+

由“n=k”变成“n=k+1”时,              +         ﹣

故选:C.
 


               *                   2               2
9.对任意的     n∈N ,数列{an}满足|an﹣cos    n|≤     且|an+sin n|≤   ,则   an 等于(  )

A.    ﹣sin2n  B.sin2n﹣      C.    ﹣cos2n D.cos2n+

【考点】8H:数列递推式.


             2               2                2             2
【分析】|an﹣cos   n|≤    且|an+sin n|≤    ,可得   cos n﹣  ≤an≤cos  n+    ,


  2             2            2             2
﹣sin n﹣ ≤an≤﹣sin n+   ,即  cos n﹣  ≤an≤cos  n﹣   ,即可得出.


                   2               2
【解答】解:∵|an﹣cos      n|≤    且|an+sin n|≤    ,


    2             2         2             2            2             2
∴cos n﹣  ≤an≤cos  n+    ,﹣sin n﹣  ≤an≤﹣sin n+   ,即  cos n﹣  ≤an≤cos  n﹣   ,
                        中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台


       2           2
∴an=cos n﹣  =   ﹣sin n.

故选:A.
 

10.已知     ,   ,    是同一平面内的三个向量,且|               |=1,    ⊥   ,    •   =2,    •   =1,当|

  ﹣  |取得最小值时,         与    夹角的正切值等于(  )

A.        B.     C.1    D.
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】根据题意,分别以              ,   为  x、y 轴建立平面直角坐标系,设               与   的夹角为    θ,则     与

  的夹角为         ﹣θ,θ 为锐角;用数量积求出|             |、|   |的值,计算|       ﹣  |取得最小值时         与

 夹角的正切值即可.

【解答】解:根据题意,分别以                ,   为  x、y 轴建立平面直角坐标系,

设   与   的夹角为     θ,则    与    的夹角为         ﹣θ,θ 为锐角;

∵|   |=1,    •  =2,     •  =1,

∴|   |•cosθ=2,|   |•cos(      ﹣θ)=|   |•sinθ=1,

∴|   |=           ,|   |=            ;

∴               =          ﹣2  •  +

=             +

=(              +              )(sin2θ+cos2θ)


=5+               +              ≥5+2                                    =9,

当且仅当    2sin2θ=cos2θ,即 tanθ=     时“=”成立;
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此时|    ﹣  |取得最小值     3,且     与   夹角的正切值为             .

故选:D.
 

二、填空题(共       7 小题,多空题      6 分,单空题     4 分,满分    36 分)


11.已知直线     l1:mx+2y+3=0 与  l2:x+(m+1)y﹣1=0.当    m= ﹣2  或 1 时,l1∥l2,当     m= ﹣     时,


l1⊥l2.

【考点】IJ:直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】当斜率不存在时,不符合题意;当斜率存在时根据斜率相等建立关系式,求出                                      m 的值;
由两条直线垂直的条件,建立关于               m 的方程,解之可得实数           m 的值.

【解答】解:(1)①当          m=﹣1 时,显然    l1 与 l2 不平行;


②当  m≠﹣1  时,若   l1∥l2,由﹣    =﹣      ,解得    m=﹣2 或 m=1,经验证都成立,因此,m             的值为

﹣2 或 1,

(2)①当    m=﹣1 时,显然    l1 与 l2 不垂直;


②当  m≠﹣1  时,若   l1⊥l2,则有﹣     •(﹣       )=﹣1,解得    m=﹣   ,

故答案为:﹣2    或  1,﹣

 

12.△ABC  的内角    A,B,C   所对的边分别为       a,b,c.已知      a=3,b=5,c=7,则角     C=          ,

△ABC 的面积    S=             .
【考点】HT:三角形中的几何计算.

【分析】由     a=3,b=5,c=7,利用余弦定理能求出角             C,由△ABC    的面积    S=

           能求出△ABC     的面积.
【解答】解:∵△ABC        的内角    A,B,C   所对的边分别为       a,b,c.
a=3,b=5,c=7,则
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∴cosC=               =﹣   ,

∵0<C<π,∴C=            ,

∴△ABC  的面积    S=                       =                                 =          .

故答案为:            ,           .
 

                                         n
13.已知等比数列{an}的前         n 项和为   Sn,若  Sn=3 +t,则 a2= 6 ,t= ﹣1 .

【考点】89:等比数列的前           n 项和.


【分析】利用                                          ,求出数列的前三项,再由             a1,a2,a3 成等
比数列,能求出       t 的值.

                                             n
【解答】解:∵等比数列{an}的前             n 项和为   Sn,Sn=3 +t,

∴a1=S1=3+t,

a2=S2﹣S1=(9+t)﹣(3+t)=6,

a3=S3﹣S2=(27+t)﹣(9+t)=18,

∵a1,a2,a3  成等比数列,

∴                   ,即  62=(3+t)×18,

解得  t=﹣1.

故答案为:6,﹣1.
 

14.已知函数     f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|(a>0)的最小值是        2,则   a 的值是 3 ,不等式         f(x)≥4   的解

集是 (﹣∞,0]∪[4,+∞) .

【考点】R4:绝对值三角不等式.
【分析】根据绝对值的性质求出              f(x)的最小值,得到关于           a 的方程,求出      a 的值,从而求出
f(x)的解析式,通过讨论          x 的范围,求出不等式的解集即可.

【解答】解:f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a﹣x+1|=|1﹣a|=2,
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故 1﹣a=2 或 1﹣a=﹣2,

解得:a=﹣1  或  a=3,

而 a>0,故   a=3,

故 f(x)=|x﹣3|+|x﹣1|,

由 f(x)≥4,即|x﹣3|+|x﹣1|≥4,

故                       或                        或                        ,

解得:x≥4    或 x≤0,

故不等式的解集是(﹣∞,0]∪[4,+∞),

故答案为:3,(﹣∞,0]∪[4,+∞).
 


15.若直线    y=k(x+1)经过可行域                              ,则实数    k 的取值范围是 [0,           ] 
.

【考点】7C:简单线性规划.

【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用直线                      y=k(x+1)过定点(﹣1,0),再利用            k 的几何意

义,只需求出直线        y=k(x+1)过可行域的最优解,即可求解               k 的范围.

【解答】解:直线        y=k(x+1)过定点(﹣1,0),


作                       可行域如图所示,

由                     ,

得 A(2,4).

当定点(﹣1,0)和      A 点连接时,

斜率最大,此时       k=       =   ,
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则 k 的最大值为:         .

则实数   k 的取值范围是:[0,           ]

故答案为:[0,         ].


 


                                                   *
16.数列{an}是等差数列,数列{bn}满足            bn=anan+1an+2(n∈N ),设   Sn 为{bn}的前  n 项和.若    a12=

 a5>0,则当    Sn 取得最大值时      n 的值等于 16 .
【考点】8E:数列的求和.
【分析】根据等差数列的通项公式,以及数列的递推关系,即可得到结论.


【解答】解:设{an}的公差为           d,由  a12=   a5>0 得  a1=﹣    d,a12<a5,

即 d<0,


所以  an=(n﹣     )d,
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从而可知    1≤n≤16   时,an>0,n≥17     时,an<0.

从而  b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,

故 S14>S13>…>S1,S14>S15,S15<S16.


因为  a15=﹣  d>0,a18=    d<0,


所以  a15+a18=﹣ d+   d=    d<0,

所以  b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,

所以  S16>S14,故  Sn 中 S16 最大.
故答案为:16
 

17.若正实数     x,y 满足   2x+y=2,则          +         的最小值是           .

【考点】7F:基本不等式.

【分析】根据题意,由分式的运算性质分析可得                            +          =       +             ﹣9,

又由  2x+y=2,则有   2(x+1)+(y+1)=5,进而分析可得                   +         =(        +

      )                          ﹣9=   (16+9+                +             )﹣9,由基本

不等式的性质计算可得答案.

【解答】解:根据题意,若            2x+y=2,

则        +          =              +               =                      +2

                     =(y+1)+          +2(x+1)

+             ﹣14=      +             ﹣9;

又由  2x+y=2,则有   2(x+1)+(y+1)=5,

则        +          =(        +             )                          ﹣9=   (16+9+
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                +             )﹣9≥    (25+2                                     )﹣9≥

  ;

 当且仅当    y+1=2(x+1)=     时,等号成立;

 即        +          的最小值是        ;

 故答案为:        .
  

 三、解答题(共       5 小题,满分     74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

 18.已知直线     l1:x﹣2y+2=0 与 l2:2x﹣y+4=0 交于点  A.

 (1)求过点     A 且与  l1 垂直的直线    l3 的方程;

 (2)求点    P(2,2)道直线       l3 的距离.
 【考点】IJ:直线的一般式方程与直线的垂直关系.

 【分析】(1)解方程组求出直线              l1 与 l2 的交点 A,再根据垂直关系求出直线             l3 的斜率,利用点斜式
写出直线方程,并化为一般式;

 (2)利用点到直线的距离公式计算即可.

 【解答】解:(1)直线          l1:x﹣2y+2=0 与 l2:2x﹣y+4=0 交于点  A,

                   ,

 解得            ;

 则过点   A(﹣2,0)且与     l1 垂直的直线    l3 的斜率为   k=﹣2,

 方程为   y﹣0=﹣2(x+2),即   2x+y+4=0;

 (2)点   P(2,2)直线      l3:2x+y+4=0 的距离为:

 d=                           =     =2     .
  

 19.已知平面向量         ,   满足|     |=1,|3   ﹣2  |=       ,且    ,    的夹角为    60°.

 (1)求|     |的值;
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(2)求   2  ﹣  和    ﹣2  夹角的余弦值.

【考点】9R:平面向量数量积的运算.

【分析】(1)利用模长平方与向量的平分相等,将已知|3                          ﹣2  |=       两边平方展开,得到关
于|   |的方程解之即可;

(2)分别求出      2  ﹣  和    ﹣2  模长以及数量积,利用数量积公式求夹角.

【解答】解:(1)由已知|3             ﹣2  |2=13,展开得到     9                                  ,所

以 4|  |2﹣6|  |﹣4=0,解得|     |=2;

(2)由已知得到              =1,所以(2      ﹣  )2=4                         =4,(    ﹣2  )=

                         =13,

所以|2    ﹣  |=2,|   ﹣2  |=       ,且(2     ﹣  )(     ﹣2 )

=2    +2     ﹣5       =2+8﹣5=5;

所以  2  ﹣  和    ﹣2 夹角的余弦值为:                                              =

             .
 


20.正项数列{an}中,a1=1,奇数项          a1,a3,a5,…,a2k﹣1,…构成公差为         d 的等差数列,偶数项         a2,

a4,a6,…,a2k,…构成公比       q=2 的等比数列,且       a1,a2,a3  成等比数列,a4,a5,a7       成等差数列.

(1)求   a2 和 d;

(2)求数列{an}的前       2n 项和  S2n.
【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.

【分析】(1)根据        a3=a4 和等差数列、等比数列的性质计算;
(2)分别对等差数列和等比数列求和即可.

【解答】解:(1)∵a3,a5,a7          成等差数列,a4,a5,a7       成等差数列,

∴a3=a4,

∴a1,a2,a4  成等比数列,∴a2=a1q=2,

∴a3=a4=4,
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∴d=a3﹣a1=3.


                                                                         n     n+1
(2)S2n=na1+                    +                   =n+        ﹣     +2(2 ﹣1)=2   +

   ﹣   ﹣2.

 

21.在△ABC   中,内角     A,B,C   的对边分别为      a,b,c,已知      c=2,cosB=   .
(1)若   b=2     ,求  sinA 的值;

(2)若点    D 在边  AC 上,且       =        ,|     |=         ,求  a 的值.
【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;HT:三角形中的几何计算.

【分析】(1)由       cosB=   ,b=2      ,得  sinB=        ,由正弦定理得       sinC=   ,从而   cosC=

  ,由此能求出       sinA.

(2)求出                         =                           =                  ,由此能
求出  a 的值.
【解答】解:(1)∵在△ABC           中,内角     A,B,C   的对边分别为      a,b,c,

c=2,cosB=   ,b=2      ,

∴sinB=        ,

正弦定理得                                     =         =3,∴sinC=     ,

∵c<b,∴C    为锐角,∴cosC=          ,

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

=                           =               .

(2)∵点    D 在边  AC 上,且       =        ,|     |=         ,

∴                      =                           =                  ,

∴|     |2=
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 =

 =                       ,
 解得  a=3.
  

 22.已知数列{an}的前       n 项和  Sn 满足 an+1=2Sn+6,且 a1=6.

 (1)求数列{an}的通项公式;


 (2)设数列{          }的前  n 项和为   Tn,证明:                     +            +            +…+

             <3.
 【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.

 【分析】(1)根据        an=Sn﹣Sn﹣1 得出{an}是等比数列,从而可得{an}的通项;


 (2)求出    Tn,利用裂项法计算                  +            +            +…+             得出结
论.

 【解答】解:(1)∵数列{an}的前             n 项和  Sn 满足 an+1=2Sn+6,且 a1=6.

 ∴当  n=1 时,a2=2S1+6=2a1+6=18,∴a2=18,

 由 an+1=2Sn+6 得 an=2Sn﹣1+6(n≥2),

 ∴an+1﹣an=2Sn﹣2Sn﹣1=2an,

 ∴an+1=3an(n≥2),

 又 a1=6,

 ∴数列{an}是以     6 为首项,公比为       3 的等比数列,

 ∴                   =2•3n.

 证明:(2)          =           ,


 ∴Tn=   (                                  )
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=                          =   (1﹣      ),


∴             =          =                              =


               <                               =6(           ﹣             ),


∴          +             +            +…+             <6(         ﹣          +

    ﹣          +…+          ﹣             )

=6(    ﹣            )=3﹣              <3.

∴          +             +            +…+             <3.
 
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2017   年  8 月   7 日
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