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湖南省益阳市2018届高考4月调研考试数学(文)试题含答案

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高中数学审核员

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                          益阳市   2018 届高三   4 月调研考试

                                    文科数学

                               第Ⅰ卷(共      60 分)

一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题      5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1. 已知全集U      R ,集合   A  x x 1, B  x 2  x  0,则 A ðU B  (    )

A.1,         B.2,       C.1,2       D.1,2
                                             4  5i
2.设 i 是虚数单位,     z 表示复数    z 的共轭复数.若      z      ,则  3 iz  (    )
                                               i
A.1117i           B.1117i         C. 1117i        D. 1117i

3.已知命题     p :“ a  0 , a4 +a2  0”,则命题   p 为(    )

A. a   0, a4 +a2  0                 B. a   0, a4 +a2  0

            4  2                                   4  2
C. a0  0, a0 +a0  0                 D. a0  0, a0 +a0  0  
                                       
4.已知向量    a  4,1, b  2,m,且  a / / a  b,则 m  (    )
    1              1
A.            B.           C. 2          D. 2
    2              2
5.如图所示的程序框图,若输出的              y  6 ,则输入的    x 值为(    )


     9             1          3              9    1
A.             B.          C.           D.   或
     2             2          2               2   2
6.现有  6 张牌面分别是      2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 的扑克牌,从中取出1张,记下牌面上的数字

后放回,再取一张记下牌面上的数字,则两次所记数字之和能整除18                            的概率是(    )
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    1            1          2             1
A.            B.          C.           D.
    3            2          3             4
7.已知一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为(    )


       4 7                8  2             16  2
A.8                B.8              C. 8               D.8  8 2
        3                   3                 3

8.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网,如图,它是由无数个正方形环绕而成,且每一

个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上,设外围第一个正方

形的边长是     m ,有人说,如此下去,蜘蛛网的长度也是无限的增大,那么,试问,侏罗纪蜘


蛛网的长度真的是无限长的吗?设侏罗纪蜘蛛网的长度为                        Sn ,则(    )


A.    无限大                              B.                        
    Sn                                    Sn  33  5m

C.                                     D.    可以取
   Sn  33 5m                          Sn       100m

                                              
9.将函数    f x cos2x      的图象向右平移         个单位后得到函数        g x的图象,
                               2               3
                         
若  g x的图象关于直线      x    对称,则      (    )
                         4
                                            
A.             B.          C.            D. 
    6            12            6              12

10.在△ABC    中,角    A , B , C 所对的边分别为       a , b , c ,若 b  5 , C  60 ,且

△ABC   的面积为     5 3 ,则△ABC     的周长为(    )

A.8    21          B. 9  21        C.10  21          D.14
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              x2   y2
11.设双曲线     :      1a   0,b  0的左焦点   F c,0,直线   3x  y  3c  0 与双曲
              a2   b2

线   在第二象限交于点       A ,若   OA  OF  (  O 为坐标原点),则双曲线           的渐近线方程为

(    )

          10                     2                  6                     5
A.  y      x          B. y     x        C. y    x          D. y     x
          2                     2                   2                     2

                          x
                  a 1e  x, x  0,
12.已知函数     f x                    其中   e 为自然对数的底数.若函数          f x  有三个不
                   2                                             
                  2x  4x  a, x  0,
同的零点,则实数        a 的取值范围是(    )

        1                                    1 
A.  1,1    2,0                   B. 1,1    
       e                                    e 

        1 
C.  2,1                            D. 2,1
         e 

                               第Ⅱ卷(共      90 分)

二、填空题(每题        5 分,满分    20 分,将答案填在答题纸上)

                     2x                        1 
13.已知函数                          的图象关于点           对称,则                  .
            f x       x a  R           0,         a 
                  1 a 2                      2 

                         x  y  4  0,
                         
14.已知  x , y 满足约束条件      x  2  0,  则 z  x  3y 的最小值为          .
                         
                         x  y  2  0,

15.已知斜率为1,且在         y 轴上的截距    b 为正的直线     l 与圆 C : x2  y2  4 交于 A , B 两点,

 O 为坐标原点,若△AOB         的面积为      3 ,则  b            .

16.分别在曲线     y  ln x 与直线  y  2x  6 上各取一点   M 与  N ,则   MN  的最小值为          

.

三、解答题 (本大题共          6 小题,共    70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 

                                         2
17. 已知等差数列an的公差为          d ,且方程    a1x  dx  3  0 的两个根分别为    1,  3 .


(1)求数列an的通项公式;


             an
(2)若   bn  2  2an ,求数列bn的前      n 项和 Sn .
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                                                              1
18. 在三棱锥    P  ABE 中,   PA  底面  ABE  , AB  AE  , AB  AP    AE  2 , D 是
                                                              2

 AE 的中点,    C 是线段   BE 上的一点,且      AC    5 ,连接   PC ,  PD , CD  .


(1)求证:     CD  / / 平面 PAB ;

(2)求点    E 到平面   PCD  的距离.

19. 某校高一年级共有1000         名学生,其中男生       400 名,女生    600 名,该校组织了一次口语

模拟考试(满分为100         分).为研究这次口语考试成绩为高分是否与性别有关,现按性别采用

分层抽样抽取100       名学生的成绩,按从低到高分成30,40,40,50,50,60,60,70,

70,80,80,90,90,100七组,并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知40,50的

频率等于80,90的频率,80,90的频率与90,100的频率之比为                  3: 2 ,成绩高于80     分的

为“高分”.


(1)估计该校高一年级学生在口语考试中,成绩为“高分”的人数;

(2)请你根据已知条件将下列             2 2 列联表补充完整,并判断是否有             99.9% 的把握认为“该

校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格(                   60 分以上(含     60 分)为及格)与性别有关”

?
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           口语成绩及格              口语成绩不及格             合计

 男生            a 18                 b 

 女生             c                   d 

 合计                                               n 100

附临界值表:

      2
 PK    k0    0.100     0.050    0.025     0.010     0.001


     k0         2.706     3.841    5.024     6.635    10.828

             nad  bc2
 K 2                          .
      a  bc  d a  cb  d 

                          2
20. 已知抛物线     C1 的方程为    x  2 py p  0,过点  M a,2 p( a 为常数)作抛物线


 C1 的两条切线,切点分别为          A , B .


(1)过焦点且在       x 轴上截距为     2 的直线  l 与抛物线   C1 交于  Q , N 两点,   Q ,  N 两点在   x 轴

                '    '     '  '
上的射影分别为       Q  , N ,且   Q N   2 5 ,求抛物线     C1 的方程;


(2)设直线     AM  ,  BM  的斜率分别为      k1 , k2 .求证: k1 k2 为定值.
                               3a
21. 已知函数     f x 2e 1ln x  x 1( a  R , e 为自然对数的底数).
                                2
(1)讨论函数       f x的单调区间;
           2
(2)当   a    时,  xex  m  f x恒成立,求实数      m 的最小值.
           3
请考生在     22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修   4-4:坐标系与参数方程

                                         x  2  4t,
在平面直角坐标系        xOy 中,直线    l 的参数方程是               ( t 为参数).以原点      O 为极点,
                                         y 1 t

                                                        
 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆               C 以极坐标系中的点         2,  为圆心,   3 为半径.
                                                        3 

(1)求圆    C 的极坐标方程;

(2)判断直线      l 与圆 C 之间的位置关系.
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23.选修   4-5:不等式选讲

已知函数     f x x  a  x  2 .

(1)当   a  0 时,解不等式      f x 3 ;

(2)若关于     x 的不等式    f x x  3 在 R 上恒成立,求实数       a 的取值范围.
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                                    试卷答案

一、选择题

1-5:CCDBD       6-10:DBBAB      11、12:CB

二、填空题

                                                       7  ln 2 5
13.1          14. 2            15. 6 或  2            16.
                                                            5

三、解答题

                     d
                        1 3,
                    a1
17.解:(1)由题知,        
                       3
                        13,
                    
                      a1

    d  2,
解得  
    a1 1.


故数列an的通项公式为          an  a1  n 1d 1 n 1 2  2n 1.

                                               4n
(2)由(1)知,       b  2an  2a  22n1  22n 1  4n  2 ,
                 n         n                   2
       1
则              2   3       n
   Sn   4  4  4   4  2  6 10  4n  2
       2

            n
  1   41 4   n2  4n  2
            
  2    1 4          2

   4n1      2
      2n2   .
    6        3
                1
18.解:(1)因为        AE  2 ,所以   AE  4 .
                2
又  AB  2 , AB  AE ,

所以在   Rt△ABE   中,由勾股定理,

得  BE   AB2  AE 2   22  42  2 5 .
               1
因为   AC   5    BE ,
               2
所以   AC 是 Rt△ABE   的斜边    BE 上的中线.
所以  C 是  BE 的中点.
又因为   D 是  AE 的中点,
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所以直线    CD  是 Rt△ABE   的中位线,
所以  CD  / / AB .

又因为   CD   平面  PAB  , AB  平面   PAB ,

所以  CD  / / 平面 PAB .
                      1
(2)由(1)得,       CD    AB  1.
                      2
            1
又因为   DE     AE  2 , DE  CD  .
            2
            1          1
所以   S       CD  DE   1 2 1.
      △CDE  2          2
又因为    AP  2 ,
                1            1        2
所以V              S     AP   1 2   .
      三棱锥PCDE  3  △CDE      3        3

易知   PD  2 2 ,且  PD   CD ,
            1          1
所以   S       CD  PD   1 2 2   2 .
      △CDP  2          2
设点   E 到平面   PCD 的距离为    d ,

则由                        ,
    V三棱锥P三棱CD锥E  V EPCD
   1          2
得   S     d   ,
   3 △CDP     3
   1          2
即     2  d   ,
   3          3

解得  d    2 .

即点   E 到平面   PCD 的距离为      2 .

19.解:(1)设80,90的频率为         3x ,

则40,50的频率为      3x ,90,100的频率为    2x .

则100.002   0.016  0.026  0.024 3x  3x  2x 1,

解得   x  0.04 .

故80,90的频率为      0.12 ,90,100的频率为    0.08 .

故估计该校高一年级学生在口语考试中,成绩为“高分”的频率为                            0.12  0.08  0.20 .

故估计该校高一年级学生在口语考试中,成绩为“高分”的人数为10000.20                              200 .

(2)根据已知条件得列联表如下:
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           口语成绩及格              口语成绩不及格             合计

 男生            a 18               b  22           40

 女生            c  52               d  8           60

 合计             70                   30           n 100

         100188   52 222
因为   K 2                     19.841 10.828 ,
             40607030

所以有   99.9% 的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格与性别有关”.

                                       p 
20.解:(1)因为抛物线           的焦点坐标是            ,
                      C1            0,  
                                       2 
                                       x   y          x  2y
所以过焦点且在       x 轴上截距为     2 的直线方程是          1 ,即         1.
                                       2   p          2   p
                                           2
    x2  2 py,
                                   p2
联立   x  2y     消去  y 并整理,得     x2    x  p2  0 ,
          1,                      2
    2    p

设点            ,           ,
    QxQ , yQ  N xN , yN 

             p2
则  x  x      , x x    p2 .
    Q   N     2    Q N

                             2
则    ' '
   Q N   xQ  xN   xQ  xN   4xQ xN

        2 2                4
      p           2     p      2
         4 p       4 p  2  5 ,
      2                 4

解得   p  2 .

                      2
所以抛物线     C1 的方程为    x  4y .


(2)设点     Ax1, y1 , Bx2 , y2  x1  0, x2  0.

                                  x2
依题意,由     x2  2 py p  0,得 y     ,
                                 2 p

       x
则  y'   .
       p
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                            x
所以切线    MA  的方程是    y  y  1 x  x ,
                        1   p      1

      x     x2
即  y  1 x  1 .
       p    2 p

又点   M a,2 p在直线   MA  上,

             x      x2
于是有   2 p   1  a  1 ,
             p      2 p

    2          2
即  x1  2ax1  4 p  0 .

          2          2
同理,有    x2  2ax2  4 p  0 ,

                    2          2
因此,    x1 , x2 是方程 x  2ax  4 p  0 的两根,

                         2
则  x1  x2  2a , x1x2  4 p .

            x  x   x x   4 p2
所以  k k   1  2  1 2        4 ,
     1  2   p  p    p2     p2


故  k1 k2 为定值得证.
                                           3a
21.解:(1)由题知,函数          f x 2e 1ln x   x 1的定义域是     0,.
                                           2
        2e 1  3a
 f ' x        ,
          x     2
当  a  0 时, f ' x 0 对任意 x 0,恒成立,

所以函数     f x的单调递增区间是       0,,无单调递减区间;

                                 22e 1
当  a  0 时,令  f ' x 0 ,得 0  x        ;
                                    3a

                   22e 1
令  f ' x 0 ,得 x        ;
                      3a

                               22e 1
所以函数     f x的单调递增区间是       0,          ,
                                  3a    
               22e 1    
单调递减区间是                , .
                 3a        
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           2
(2)当   a    时,  xex  m  f x恒成立,
           3
即为   xex  m  2e 1ln x  x 1恒成立,

即为   xex  m  2e 1ln x  x 1 0 恒成立.

设  g x xex  m  2e 1ln x  x 1,
                   2e 1
则  g ' x ex  xex   1.
                     x
显然   g ' x在区间 0,上单调递增,且        g ' 1 0 ,

所以当    x 0,1时,  g ' x 0 ;当 x 1,时, g ' x 0 ;

所以函数    g x在区间   0,1上单调递减,在区间         1,上单调递增.

所以   g x     g 1  e  m  0 11 0 ,
       min    

解得  m   e .

即实数   m 的最小值是     e .

                 
22.解:(1)点      2,  化为直角坐标是      1, 3,
                 3 

                                                       2          2
故以点   1, 3为圆心,     3 为半径的圆    C 的直角坐标方程是        x 1  y  3  32 ,

将  x   cos , y   sin 代入上式,

可得圆   C 的极坐标方程是        2  2 cos  2 3 sin  5  0 .

       x  2  4t, x  2
(2)由             得      1  y ,得 x  4y  6  0 ,
       y 1  t      4

故直线   l 的直角坐标方程为       x  4y  6  0 .

因为圆心    C 1,3到直线     l : x  4y  6  0 的距离

    1 4  3  6  4  3  5
 d                      3  r ,
         17         17

所以直线    l 与圆 C 相交.

23.解:(1)当     a  0 时,  f x x  x  2 .
               中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                          1
当 x  0 时,由 x  2  x  3,得   x  0 ;
                          2
当 0  x  2 时,由 x  2  x  3,得 0  x  2 ;
                             5
当 x  2 时,由 x  x  2  3,得 2  x  .
                             2
                            1 5
综上所述,不等式      f x 3 的解集为  ,  .
                            2 2

(2)由   f x x  3 ,得 x  a  x  3  x  2 .

                   1, x  2,
                   
令 g x x  3  x  2  5  2x,2  x  3,
                   
                   1, x  3.

作出  g x的图象如图所示,


由题意知   g x的图象恒在函数    y  x  a 的图象的下方.

由图象可知,当     y  x  a 经过点 2,1时,解得 a  3或 a  1.

当 a  1时, y  x  a 的图象经过 1,0点,显然不成立;

当 a  3时, y  x  a 的图象经过 3,0点,成立,

所以  a  3 ,

即实数  a 的取值范围为   ,3. 
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