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2019高考数学二轮复习小题专项练习四三角恒等变换与正余弦定理文

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           小题专项练习(四) 三角恒等变换与正余弦定理
    一、选择题:本大题共          12 小题,每小题      5 分,共  60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
                                                   1         α  π
                                                              +
    1.[2018·云南省昆明第一中学第八次月考]若                sinα=3,则     cos2(2 4)=(  )
      2    1
    A.3  B.2
      1
    C.3  D.0
                                                 π          17           π
                                               0,                     α-
    2.[2018·辽宁省重点高中第三次模拟]已知               α∈(    2),sinα=   17 ,则  tan(  4)=
(  )
      3       3
    A.5  B.-5
      7       7
    C.3  D.-3
                                              π
    3.[2018·广西钦州高三检测]在△ABC            中,∠C=4,AB=2,AC=        6,则  cosB 的值为
(  )
      1              3
    A.2        B.-  2
      1     3    1   1
    C.2或-  2   D.2或-2
                                         π   3      π 5π
                                      α-             ,
    4.[2018·江西师大附中三模]已知            sin(  4)=5,α∈(2     4 ),则 sinα=(  )
      7 2          2
    A. 10     B.-10
          2        2  7 2
    C.±10  D.-10或     10
                                         π
                                          ,π
    5.[2018·成都第三次诊断性检测]当             α∈(2   )时,若   sin(π-α)-cos(π+α)=
 2
 3 ,则 sinα-cosα    的值为(  )
       2        2
    A. 3   B.- 3
      4        4
    C.3   D.-3
    6.[2018·合肥第三次教学质量检测]若△ABC              的三个内角      A,B,C  所对的边分别是
                      1
a,b,c,若    sin(C-A)=2sinB,且    b=4,则   c2-a2=(  )
    A.10  B.8
    C.7  D.4
                                2cos2θ
                                 π
                              cos +θ
    7.[2018·舒城仿真试题三]若            (4  )=  3sin2θ,则   sin2θ=(  )
         1       2
    A.-3  B.-3
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      1       2
    C.3     D.3
    8.[2018·安徽马鞍山高三第三次模拟]已知               sinα-   2cosα=   3,则  tanα=(  )
          2
    A.±  2    B.±   2
                   2
    C.-   2  D.-  2
    9.[2018·山东烟台适应性练习]在△ABC             中,内角    A,B,C  所对的边分别为       a,b,
                                   c
c,若   bsin2A+ 3asinB=0,b=    3c,则a的值为(  )
             3
    A.1  B. 3
       5     7
    C. 5   D. 7
                                                         π     π      1
                                                                -A
    10.已知△ABC    的内角   A,B,C   所对的边分别为       a,b,c,B=4,tan(4       )=2,且
△ABC  的面积为    25,则  a+b 的值为(  )
    A.5+5   5  B.5
    C.10  5    D.5+10   5

    11.[2018·衡水联考]△ABC       的内角   A,B,C  所对的边分别为        a,b,c,已知
absinC=20sinB,a2+c2=41,且     8cosB=1,则   b=(  )
    A.6     B.4   2
    C.3  5  D.7
    12.如图,在海岸线上相距           2 6千米的   A,C 两地分别测得小岛         B 在 A 的北偏西   α  方
                π                    6
向,在   C 的北偏西2-α      方向,且    cosα=   3 ,则 BC 之间的距离是(  )


    A.30  3千米  B.30   千米
    C.12  3千米  D.12   千米
    二、填空题:本大题共          4 小题,每小题      5 分,共  20 分,把答案填在题中的横线上.
    13.[2018·河南洛阳第三次统考]已知角              α 的始边与    x 轴的非负半轴重合,顶点与坐
                              sinα+2cosα
标原点重合,终边过点          P(3,4),则  sinα-cosα =________.
                                          π
    14.[2018·江苏南师附中四校联考]已知              tan4+θ=3,则     sinθcosθ-3cos2θ   的
值为________.
    15.[2018·广西钦州第三次质量检测]△ABC             的三内角     A,B,C  的对边边长分别为        a,
            5
b,c,若   a=  2 b,A=2B,则   cosB=________.
    16.[2018·高考押题预测卷]如图,在△DEF             中,M   在线段   DF 上,EM=DE=3,DM=
           3
2,cos∠F=5,则△MEF      的面积为________.
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    小题专项练习(四) 三角恒等变换
                                        π
                                1+cos α+
                         α  π        (  2)  1-sinα  1
                          +
    与正余弦定理      1.C cos2(2  4)=     2     =   2   =3,故选    C.
                    17        π
                            0,
    2.B ∵sinα=     17 ,α∈(    2),
                       4 17
    ∴cosα=    1-sin2α=  17 ,
             1
    ∴tanα=4,
                        π
                 tanα-tan
                        4
            π            π    3
          α-    1+tanα·tan
    ∴tan(   4)=          4=-5,故选     B.
                            2
                       6     π
                           sin
    3.D 由正弦定理得sinB=          4,
             3
    ∴sinB=  2 ,
                            π      2π
    又  6>2,B∈(0,π),∴B=3或        B= 3 ,
            1          1
    ∴cosB=2或   cosB=-2,故选     D.
                π  5π
                 ,
    4.B ∵α∈(2      4 ),
          π  π
              ,π
    ∴α-4∈(4     ),
            π   3  2
          α-
    ∴sin(   4)=5< 2 ,
          π  π
              ,π
    ∴α-4∈(2     ),
            π     4
          α-
    ∴cos(   4)=-5,
                   π  π         π   π         π   π  3   2    4    2    2
                α-  +        α-            α-               -
    ∴sinα=sin(     4  4)=sin(   4)cos4+cos(   4)cos4=5× 2 +(  5)× 2 =-10,
故选   B.
                                      2
    5.C ∵sin(π-α)-cos(π+α)=           3 ,
                     2
    ∴sinα+cosα=     3 ,
                      2
    ∴1+2sinαcosα=9,
                     7
    ∴2sinαcosα=-9,
                                      16
    ∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=        9 ,
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           π
            ,π
    又 α∈(2    ),sinα-cosα>0,
                    4
    ∴sinα-cosα=3,故选        C.
                       1
    6.B 由   sin(C-A)=2sinB,
    得 2sin(C-A)=sin(C+A),
    ∴2sinCcosA-2cosCsinA=sinCcosA+cosCsinA,
    ∴sinCcosA=3cosCsinA,由正余弦定理,得
       b2+c2-a2       a2+b2-c2
    c·    2bc   =3a·     2ab   ,
    得 4c2-4a2=2b2=2×16=32,
    ∴c2-a2=8,故选     B.
             2cos2θ
               π
            cos +θ
    7.B 由     (4   )= 3sin2θ,
       2cos2θ-sin2θ
        2
         cosθ-sinθ
    得  2             =2  3sinθcosθ,
    即 2(cosθ+sinθ)=2     3sinθcosθ,
    ∴1+2sinθcosθ=3sin2θcos2θ,
                    1
    ∴sinθcosθ=-3,或       sinθcosθ=1(舍),
                2
    ∴sin2θ=-3,故选       B.
    8.D 由   sinα-   2cosα=   3,
    得 sin2α-2   2sinαcosα+2cos2α=3sin2α+3cos2α,
    ∴2sin2α+2   2sinαcosα+cos2α=0,
    ∴2tan2α+2   2tanα+1=0,
                                   2
    ∴(  2tanα+1)2=0,∴tanα=-       2 ,故选   D.
    9.D 由   bsin2A+  3asinB=0,
    得 2bsinAcosA+  3asinB=0,
    ∴2sinBsinAcosA+   3sinAsinB=0,
    ∴sinBsinA(2cosA+   3)=0,
    在△ABC  中,sinB≠0,sinA≠0,∴2cosA+         3=0,
               3
    ∴cosA=-   2 ,
    由余弦定理,得
                                       3
    a2=b2+c2-2bccosA=3c2+c2+2     3c2· 2 =7c2,
      c   7
    ∴a=  7 ,故选   D.
                π      1          1          10        3 10
                 -A
    10.A ∵tan(4     )=2,∴tanA=3,∴sinA=       10 ,cosA=  10 ,sinC=sin(A+
                       2 5
B)=sinAcosB+cosAsinB=   5 ,
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                    1        1  2 5

∵S△ABC=25,∴S△ABC=2absinC=2ab     5 =25,
∴ab=25   5,
            2
           2
  b  sinB  10
又a=sinA=   10 = 5,
∴a=5,b=5     5,
∴a+b=5+5     5,故选   A.
11.A ∵absinC=20sinB,
∴abc=20b,
即 ac=20,
                             1
∴b2=a2+c2-2accosB=41-40×8=36,
∴b=6,故选     A.
12.D 由题可知∵AC=2        6,
         π              6
          +α
sinA=sin(2   )=cosα=   3 ,
         π                          1
          -2α
sinB=sin(2    )=cos2α=2cos2α-1=3,
                    6
               2 6 ×
                    3
      AC·sinA    1
∴BC=    sinB =   3   =12,故选     D.
13.10
                        4    4            3     3
解析:由题可知       sinα=   32+42=5,cosα=     32+42=5,
             4  6
              +
             5  5
  sinα+2cosα 4  3
              -
∴ sinα-cosα =5  5=10.
14.-2
            π            1+tanθ
             +θ
解析:由    tan(4   )=3,可得1-tanθ=3,
         1
∴tanθ=2,
sinθcosθ-3cos2θ
=tanθcos2θ-3cos2θ
    5         5     1       5  4
=-2cos2θ=-2×1+tan2θ=-2×5=-2.
    5
15. 4
                 a    b
解析:由正弦定理sinA=sinB,得
 5
  b
 2     b
sinA=sinB,
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          5              5
∴sin2B=  2 sinB,∴cosB=   4 .
16.3-   2
解析:在△DEM     中,DE=EM=3,DM=2,
            DM2+EM2-DE2     22+32-32    1
∴cos∠EMD=      2DM·EM     =   2 × 3 × 2 =3,
              1             2 2
∴cos∠EMF=-3,∴sin∠EMF=        3 ,
                 3          4
在△EMF  中,cosF=5,∴sinF=5,
              EM     EF           5 2
由正弦定理得:sinF=sin∠EMF,得         EF=  2 ,
sin∠MEF=sin(∠EMF+F)
  2 2  3    1   4
          -
=  3 ×5+(   3)×5
  6 2-4
=   15  ,
        1

∴S△MEF=2EM·EFsin∠MEF
  1     5 2  6 2-4
=2×3×    2 ×  15
=3-   2.
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