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2016年高考数学理真题分类汇编:立体几何 Word版含解析

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                  2016   年高考数学理试题分类汇编
                                  立体几何
一、选择题
1、(2016   年北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(                             )


  1               1            1
A.              B.           C.                D.1
  6               3            2
【答案】A

2、(2016   年山东高考)有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三

  视图如右图所示,则该几何体的体积为


       1   2             1    2             1    2                  2
  (A)    +   π      (B)    +    π      (C)    +    π       (D)1+      π
        3  3             3   3              3    6                  6

【答案】C
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3、(2016   年全国   I 高考)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互

    相垂直的半径.若该几何体的体积是Error!,则它的表面积是


        (A)17π            (B)18π            (C)20π         (D)28π  

    【答案】A

4、(2016   年全国   I 高考)平面    α 过正方体    ABCD- A1B1C1D1 的顶点  A, α //平面 CB1D1,

 α I 平面 ABCD=m,   α I 平面 ABB1 A1=n,则  m,n  所成角的正弦值为

            3                   2                 3                1
      (A)                (B)                (C)               (D)
            2                  2                  3                3

【答案】A

5、(2016   年全国   II 高考)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的

表面积为


(A)20π    (B)24π    (C)28π    (D)32π

【答案】C
6、(2016   年全国   III 高考)如图,网格纸上小正方形的边长为               1,粗实现画出的是某多面体
    的三视图,则该多面体的表面积为
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    (A)18    36 5      (B) 54 18  5        (C)90       (D)81
【答案】B

7、(2016   年全国   III 高考)在封闭的直三棱柱         ABC  A1B1C1 内有一个体积为      V 的球,若

     AB  BC ,  AB  6 , BC  8, AA1  3 ,则 V 的最大值是
                            9                                            32
    (A)4π           (B)                        (C)6π              (D)          
                             2                                             3
【答案】B

二、填空题

1、(2016   年上海高考)如图,在正四棱柱             ABCD    A1B1C1D1 中,底面   ABCD  的边长为    3,
                              2
 BD 与底面所成角的大小为          arctan  ,则该正四棱柱的高等于____________
   1                          3


【答案】    2  2

2、(2016年四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图
如图所示,则该三棱锥的体积是__________.
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          3
【答案】     3
3、(2016   年天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示
(单位:m),则该四棱锥的体积为_______m3.


【答案】2

4、(2016   年全国   II 高考)  ,  是两个平面,      m,n 是两条直线,有下列四个命题:


(1)如果    m  n,m   ,n / / ,那么    .[

(2)如果    m  ,n / / ,那么  m  n .

(3)如果     / /,m   ,那么   m / / .

(4)如果    m / /n, / / ,那么 m 与  所成的角和     n 与  所成的角相等.

其中正确的命题有                ..(填写所有正确命题的编号)

【答案】②③④

5、(2016   年浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是     
cm2,体积是    cm3.
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【答案】    72    32
6、(2016   年浙江高考)如图,在△ABC           中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面       ABC 外的点   P 和
线段   AC 上的点   D,满足   PD=DA,PB=BA,则四面体       PBCD 的体积的最大值是            .


         1
【答案】
         2

三、解答题

1、(2016   年北京高考)            如图,在四棱锥       P  ABCD  中,平面    PAD   平面  ABCD  ,
 PA  PD ,  PA  PD , AB   AD ,

 AB 1,  AD   2 , AC  CD   5 .


(1)求证:     PD   平面  PAB ; 

(2)求直线     PB 与平面    PCD 所成角的正弦值;
                                                             AM
(3)在棱    PA 上是否存在点       M ,使得   BM  / / 平面 PCD ?若存在,求           的值;若不存在,
                                                             AP
说明理由.

【解】⑴∵面      PAD   面 ABCD   AD

           面  PAD  面 ABCD
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   ∵  AB  AD , AB  面 ABCD
   ∴  AB  面 PAD

   ∵  PD  面 PAD

   ∴  AB  PD

   又  PD  PA
                                                          z
   ∴  PD    PAB
           面                                               P

  ⑵取  AD 中点为    O ,连结   CO , PO
                                                                  A
                                                 D
   ∵ CD   AC  5                                         O          y
                                                                 B
   ∴ CO   AD
                                                   C

   ∵  PA  PD                                     x

   ∴  PO  AD

   以 O 为原点,如图建系

   易知   P(0,0 1,) , B(1,1 0,) , D(0,,1 0) , C(2,0 ,0) ,
                                    
   则 PB  (1,1 ,1) , PD  (0,,1 1) , PC  (2,0 ,1) , CD  (2,,1 0)
                           
   设 n 为面  PDC 的法向量,令      n  (x0,y0 ,1)
      
   n  PD  0   1    
        n   ,1,1 ,则 PB 与面 PCD 夹角   有
   n  PC  0    2    
                                 1
                              11
                  n  PB                 3
   sin  cos  n, PB      2       
                       n PB     1            3
                                 11   3
                                4
⑶假设存在     M 点使得    BM∥面   PCD
      AM
   设       , M 0, y ', z '
      AP
                                                  
   由(2)知    A0,1,0 , P0,0,1, AP  0,1,1, B1,1,0, AM  0, y '1, z '
       
   有  AM   AP  M 0,1 ,
     
   ∴ BM   1,,
                   
   ∵ BM∥面    PCD , n 为  PCD 的法向量
      
   ∴ BM   n  0
       1
   即        0
       2
        1
   ∴ =
        4
                          AM   1
   ∴综上,存在      M 点,即当           时,  M 点即为所求.
                          AP   4
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2、(2016   年山东高考)在如图所示的圆台中,AC               是下底面圆     O 的直径,EF    是上底面圆

    O' 的直径,FB    是圆台的一条母线.

    (I)已知    G,H 分别为   EC,FB 的中点,求证:GH∥平面          ABC;
                    1
    (II)已知   EF=FB=  AC= 2 3 ,AB=BC.求二面角    F  BC  A 的余弦值.
                    2


【解】(Ⅰ)连结      FC ,取  FC 的中点    M ,连结   GM,  HM  , 

   因为  GM//EF  , EF 在上底面内,      GM  不在上底面内,

   所以  GM//  上底面,所以      GM// 平面  ABC  ; 
                                                E
   又因为   MH//BC   , BC  平面   ABC ,                            F
    MH   平面  ABC  ,                                G           H
                                                            C
   所以        平面       ;
       MH//      ABC                                              B
                                               A
   所以平面    GHM//  平面  ABC  ,

   由 GH   平面  GHM   ,所以   GH// 平面  ABC  .                z
(Ⅱ) 连结   OB  ,  AB   BCOA     OB
                                                 E       O      F
                                                         ,
以为  O 原点,分别以      OA,OB,OO   为 x,y,z 轴,
                                                             C
建立空间直角坐标系.
                                                         O         B
                                                                     y
             1                                  A
EF    FB    AC  2 3, AB  BC ,           x
             2

 OO   BF 2  (BO  FO)2  3 ,

于是有    A(2 3,0,0) , C(-2 3,0,0) , B(0,2 3,0) , F(0, 3,3) ,

可得平面    FBC  中的向量    BF   (0,- 3,3) , CB  (2 3,2 3,0) ,


于是得平面     FBC  的一个法向量为       n1  ( 3, 3,1) ,


又平面   ABC  的一个法向量为       n2  (0,0,1) ,
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设二面角    F - BC - A 为  ,
          n  n    1     7
则 cos    1  2          .
                   7    7
          n1  n2

                           7
二面角   F - BC - A 的余弦值为       .
                           7


3、(2016   年上海高考)将边长为         1 的正方形    AA1O1O (及其内部)绕的        OO1 旋转一周形成
                    2             
圆柱,如图,      AC  长为     , A B 长为    ,其中    B 与 C 在平面   AAO  O 的同侧。
                    3      1 1     3        1            1 1


                         A1


                  B1


                         A

     C


(1)求三棱锥      C  O1 A1B1 的体积;


(2)求异面直线       B1C 与 AA1 所成的角的大小。

【解析】

试题分析:(1)由题意可知,圆柱的高                 h 1,底面半径     r 1.
               
确定  A        .计算   S      后即得.
        1 1 1  3        1A11

(2)设过点     1 的母线与下底面交于点          ,根据   1 //AA1 ,知  C1  或其补角为直线
                                                          
  C 与 AA  所成的角.确定       C      , C 1.得出    C      .
  1       1                       3                    1   4
试题解析:(1)由题意可知,圆柱的高                 h 1,底面半径     r 1.
                               
由  AA  的长为    ,可知    A       .
    1 1       3          1 1 1  3
         1                           3
 S         A    sin A       ,
  1A11 2 1  1  1 1       1 1 1   4
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          1             3
 V         S     h     .
  C1A11 3 1A11   12


(2)设过点     1 的母线与下底面交于点          ,则  1 //AA1 ,


所以  C1   或其补角为直线      1C 与  AA1 所成的角.
          2                2
由  AA C 长为   ,可知   AC       ,
           3                 3
                                     
又 A    A        ,所以   C      ,
              1 1  1  3                3
从而  C   为等边三角形,得        C 1.


因为  1  平面   AC  ,所以   1  C .
                                                            
在  C  中,因为      C     , C 1,    1,所以    C      ,
       1            1      2             1               1   4
                                   
从而直线     C 与  AA  所成的角的大小为          .
          1       1                4


4、(2016年四川高考)如图,在四棱锥               P  ABCD 中,  AD / /BC , ADC  PAB  90 ,
              1
     BC  CD  AD
              2   ,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为                 90 .
    (I)在平面PAB内找一点M,使得直线              CM / / 平面PBE,
         并说明理由;
    (II)若二面角     P  CD  A 的大小为  45 ,求直线PA与
         平面PCE所成角的正弦值.


【解】(I)延长       AB ,交直线    CD 于点  M ,
            ∵ E 为 AD 中点,
                       1
              AE  ED=   AD
            ∴          2    ,
                       1
              BC  CD=   AD
            ∵          2    ,
            ∴ ED  BC ,
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            ∵ AD / /BC  即 ED  / /BC ,
            ∴四边形    BCDE  为平行四边形,       BE / /CD ,
            ∵ AB  CD  M ,
            ∴ M CD  ,
            ∴ CM  / /BE ,
            ∵ BE  面 PBE ,
            ∴ CM  / / 面 PBE ,
            ∵ M  AB , AB  面 PAB ,
            ∴ M 面  PAB   故在面   PAB  上可找到一点      M 使得  CM  / / 面 PBE .
        (II)过  A 作 AF  EC 交  EC 于点  F ,连结   PF ,过  A 作 AG  PF 交 PF 于点  G ,
                                            
            ∵∠PAB    90 , PA 与 CD 所成角为    90 ,
            ∴ PA  AB , PA  CD ,
            ∵ AB  CD=M  ,
            ∴ PA  ABCD ,
            ∵ EC  面 ABCD  ,
            ∴ PA  EC ,
            ∵ EC  AF 且  AF  AP  A ,
            ∴ CE  面 PAF ,
            ∵ AG  面  PAF ,
            ∴ AG  CE ,
            ∵ AG  PF 且  AG  AF  A ,
            ∴ AG  面 PFC  ,
            ∴∠APF   为所求   PA 与面  PCE 所成的角,
                                      
            ∵ PA  面 ABCD  ,∠ADC=90    即 AD  DC .
            ∴∠PDA   为二面角    P  CD  A 所成的平面角,
                                           
            由题意可得∠PDA=45        ,而∠PAD=90    ,
            ∴ PA  AD ,
                                                          
            ∵ BC  CD ,四边形   BCDE  是平行四边形,∠ADM         =90 ,
            ∴四边形    BCDE  是正方形,
                        
            ∴∠BEC    45 ,
                              
            ∴∠A∠EF=    BEC  45 ,
                       
            ∵∠AFE    90 ,
                    2
              AF=    AE
            ∴      2    ,
                              2
                                AD
                        AF            2
              tan∠APF=     = 4     
            ∴           AP    AP     4  ,
                        1
              sin∠APF=
            ∴           3 .

5、(2016   年天津高考)如图,正方形           ABCD 的中心为     O,四边形    OBEF 为矩形,平面
OBEF⊥平面    ABCD,点   G 为 AB 的中点,AB=BE=2.
(I)求证:EG∥平面        ADF;
(II)求二面角     O-EF-C 的正弦值;
                                 2
(III)设  H 为线段   AF 上的点,且     AH=  HF,求直线     BH 和平面   CEF 所成角的正弦值.
                                 3
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【解析】(Ⅰ)证明:找到            AD 中点  I ,连结   FI ,
                            ∥
           ∵矩形   OBEF  ,∴ EF  OB
           ∵ G 、  I 是中点,∴    GI 是∥  ABD 的中位线
                           1
           ∴ GI∥ BD 且  GI  BD
                           2
           ∵ O 是正方形    ABCD  中心
                  1
           ∴ OB   BD
                  2
           ∴ EF ∥GI  且 EF =GI
           ∴四边形    EFIG 是平行四边形
           ∴ EG∥  FI
           ∵ FI  面 ADF
           ∴ EG∥  面 ADF
        (Ⅱ)   O  EF  C 正弦值
           解:如图所示建立空间直角坐标系               O  xyz

                                           z
                                     E
                                            F


                                                   H


                                                        A
                                     B        G
                                                     I
                                          O
                          x
                              C                  D   y

            B0,, 2  0, C  2 ,0, 0, E 0,, 2 2,  F 0,0, 2
                            
           设面  CEF 的法向量     n1  x,y, z
              
           n  EF  x,y,,z , 0 2  0   2y  0
            1                    
            
           n CF  x,y,,z ,  2  0 2   2x  2z  0
            1                     
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               x   2
               
           得:  y  0
               
               z 1
             
           ∴        ,,
             n1   2 0 1
           ∵ OC   面 OEF ,
                            
           ∴面  OEF  的法向量    n2  1,0, 0
                           
                    n1  n2  2    6
            cos  n ,n      
                 1   2                  3
                          n1 n2   3 1

                                2
                        6    3
           sin  n ,n  1      
                1   2         
                            3     3
                     2
        (Ⅲ)∵    AH    HF
                     3
              2  2           2 2     4 
           ∴                 ,,,,
              AH   AF    2  0  2      0   
                  5      5             5      5 
           设 H x,y,  z
                            2 2     4 
           ∴            ,,,,
              AH  x  2 y  z      0   
                                  5      5 
                  3  2
               x 
                     5
               
           得:  y  0
                  4
               z 
                 5
              3 2      4 
                      ,,
            BH        2    
                   5       5 
                                     6  4
                               
                    BH  n1   5  5    7
            cos  BH ,n2         
                           BH n       2 2   21
                               1    3 
                                       5

6、(2016   年全国   I 高考)如图,在以       A,B,C,D,E,F     为顶点的五面体中,面          ABEF 为正

      方形,AF=2FD,    AFD   90 ,且二面角    D- AF- E 与二面角    C- BE- F 都是 60 .


      (I)证明:平面      ABEF  平面  EFDC;

      (II)求二面角     E- BC- A 的余弦值.
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【解析】
⑴      ∵ ABEF  为正方形
       ∴ AF  EF
       ∵ AFD   90
       ∴ AF  DF

       ∵ DF  EF=F

       ∴ AF  面 EFDC    AF  面 ABEF
       ∴平面   ABEF  平面  EFDC


    ⑵  由⑴知   DFE   CEF  60
       ∵ AB∥  EF
       AB  平面  EFDC
       EF  平面  EFDC
       ∴ AB∥平面    ABCD
       AB  平面  ABCD
       ∵面  ABCD   面 EFDC  CD

       ∴ AB∥CD   ,∴ CD∥  EF
       ∴四边形    EFDC  为等腰梯形
       以 E 为原点,如图建立坐标系,设            FD  a

                                    a     3  
           ,,,,                      ,,,,
       E 0 0  0   B0  2a  0  C    0     a   A2a  2a  0
                                    2     2  

                     a        3    
              ,,     ,         ,,          ,          ,,
       EB  0 2a  0  BC      2a    a   AB  2a 0  0
                             2       2   
                       
       设面  BEC 法向量为    m  x ,y, z.
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               2a  y  0
       m  EB  0      1
          ,即  a           3
       m  BC  0     x1  2ay1  a  z1  0
                     2           2


       x1  3 ,y,1  0 z1  1
       
       m   3 ,0, 1
                       
       设面  ABC 法向量为    n  x2 ,y,2 z2 

              a           3
       n  BC=0    x  2ay   az  0
          .即 2 2     2  2   2
       n  AB  0 
                   2ax2  0


       x2  0,y,2  3 z2  4
       
       n  0,,3  4

       设二面角    E  BC  A 的大小为   .
               
              m  n      4         2 19
       cos                  
             m   n  3 1  3 16    19

                                    2 19
       ∴二面角    E  BC  A 的余弦值为   
                                     19


7、(2016   年全国   II 高考)如图,菱形      ABCD   的对角线    AC 与  BD 交于点   O ,
                                                   5
 AB  5, AC  6 ,点 E, F 分别在  AD,CD  上,   AE  CF    , EF  交 BD 于点   H .将
                                                   4

 DEF  沿 EF  折到  D'EF  位置,   OD   10 .

    (Ⅰ)证明:      DH   平面  ABCD  ;
    (Ⅱ)求二面角       B  DA  C 的正弦值.


                           5     AE   CF
【解析】⑴证明:∵         AE  CF   ,∴          ,
                           4     AD   CD
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    ∴ EF ∥ AC .

    ∵四边形    ABCD  为菱形,∴     AC  BD ,

    ∴ EF  BD ,∴   EF  DH ,∴  EF  DH .

    ∵  AC  6 ,∴ AO  3 ;

    又  AB  5 , AO  OB ,∴ OB  4 ,
            AE
    ∴ OH      OD 1,
            AO
    ∴ DH   DH  3 ,

    ∴  OD 2  OH 2  D'H 2 ,

    ∴ D'H   OH .

    又∵  OH  I EF  H ,

    ∴ D'H   面 ABCD .

    ⑵建立如图坐标系        H  xyz .


B5∥∥ 0 0, C 1∥∥ 3 0, D'0∥∥ 0 3, A1∥∥  3 0,

uuur            uuur            uuur
 AB  4∥∥ 3 0, AD'  1∥∥ 3 3, AC  0∥∥ 6 0,
               ur
设面  ABD' 法向量   n1  x ,y, z,

                           x  3
                                
  n1  AB  0 4x  3y  0      
由   得             ,取   y  4 ,
                x  3y  3z  0
  n1  AD  0                
                                 z  5
  ur
∴ n1  3∥∥  4 5.
                       uur
同理可得面     AD'C 的法向量    n2  3∥∥ 0 1,
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             ur uur
             n1  n2  9  5  7  5
    ∴  cos  ur uur           ,
                    5 2  10  25
             n1 n2

            2 95
    ∴ sin      .
             25

8、(2016   年全国   III 高考)如图,四棱锥       P  ABC 中,  PA   地面  ABCD  , AD  A BC ,
     AB  AD  AC   3, PA  BC   4 , M 为线段   AD 上一点,     AM   2MD ,  N 为
     PC 的中点.


    (I)证明    MN  A 平面  PAB  ;

    (II)求直线     AN  与平面   PMN  所成角的正弦值.


                                                   2x  4z  0
                                    n  PM  0   
设  n  (x, y, z) 为平面 PMN 的法向量,则               ,即    5             ,可取
                                    n  PN  0        x  y  2z  0
                                                   2

 n  (0,2,1) ,
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                    | n  AN | 8 5
于是|  cos  n, AN |             .
                   | n || AN | 25


9、(2016   年浙江高考)如图,在三棱台           ABC  DEF  中,平面   BCFE   平面

 ABC , ACB=90  ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(I)求证:EF⊥平面     ACFD;
(II)求二面角   B-AD-F 的平面角的余弦值.


(II)方法一:
过点  F 作 FQ   A ,连结   Q  .

因为  F   平面  AC  ,所以   F  A  ,则  A   平面  QF  ,所以   Q   A .
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所以,  QF  是二面角     AD  F 的平面角.

                                    3 13
在 RtAC  中, AC   3 , C  2 ,得 FQ     .
                                     13

                 3  13                         3
在 RtQF 中,  FQ      , F   3 ,得 cosQF      .
                   13                         4

                                     3
所以,二面角      AD  F 的平面角的余弦值为         .
                                     4


                                                                       
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