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2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业:选修4-4 坐标系与参数方程 59 Word版含答案

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课时作业     59 坐标系

             x2
    1.求椭圆    4 +y2=1,经过伸缩变换Error!后的曲线方程.
    解析:由Error!得到Error!①
            x2         4x′2
    将①代入    4 +y2=1,得   4 +y′2=1,即    x′2+y′2=1.
            x2
    因此椭圆    4 +y2=1 经伸缩变换后得到的曲线方程是              x2+y2=1.
    2.(2018·邯郸调研)在极坐标系中,已知直线              l 过点  A(1,0),且
                                         π
其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3,求:
    (1)直线的极坐标方程;
    (2)极点到该直线的距离.


    解析:(1)如图,由正弦定理得
     ρ     1
      2π   π
    sin  sin -θ
      3 = (3  ).
          π      2π   3
           -θ
    即 ρsin(3 )=sin 3 = 2 ,
                               π     3
                                -θ
    ∴所求直线的极坐标方程为            ρsin(3 )= 2 .
    (2)作 OH⊥l,垂足为     H,
                               π          π
    在△OHA   中,OA=1,∠OHA=3,∠OAH=3,
                π  3
    则 OH=OAsin3=   2 ,
                            3
    即极点到该直线的距离等于            2 .
    3.(2018·沈阳市教学质量检测(一))在直角坐标系               xOy 中,直线
l:y=x,圆    C:Error!(φ 为参数),以坐标原点为极点,x          轴的正半轴
为极轴建立极坐标系.
    (1)求直线  l 与圆  C 的极坐标方程;
    (2)设直线  l 与圆  C 的交点为    M,N,求△CMN      的面积.
    解析:(1)将   C 的参数方程化为普通方程,得(x+1)2+(y+2)2=
1,
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                                                π
    ∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴直线      l 的极坐标方程为      θ=4(ρ∈R),
    圆 C 的极坐标方程为       ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0.
           π
    (2)将 θ=4代入   ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0,得    ρ2+3 2ρ+4=0,
            2       2                2
解得  ρ1=-2   ,ρ2=-    ,|MN|=|ρ1-ρ2|=   ,
                                      1          π 1
    ∵圆  C 的半径为    1,∴△CMN     的面积为2×     2×1×sin4=2.
    4.(2018·成都模拟)在直角坐标系          xOy 中,半圆   C 的直角坐标
方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).以       O 为极点,x    轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系.
    (1)求 C 的极坐标方程;
    (2)直线  l 的极坐标方程是      ρ(sinθ+ 3cosθ)=5 3,射线  OM:θ=
π
3与半圆   C 的交点为    O,P,与直线      l 的交点为   Q,求线段     PQ 的
长.
    解析:(1)由   x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以半圆       C 的极坐标方程是
              π
             0,
ρ=2cosθ,θ∈[   2].

    (2)设(ρ1,θ1)为点  P 的极坐标,则有Error!解得Error!设(ρ2,θ2)为
点 Q 的极坐标,
    则有Error!
    解得Error!

    由于  θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4,所以线段        PQ  的长为   4.
                                                     π
                                                  2,-
    5.(2018·广州五校联考)在极坐标系中,圆             C 是以点   C(   6)为
圆心,2   为半径的圆.
    (1)求圆  C 的极坐标方程;
                          5π
    (2)求圆  C 被直线   l:θ=-12(ρ∈R)所截得的弦长.


    解析:法一:(1)设所求圆上任意一点              M(ρ,θ),如图,
                           π
    在 Rt△OAM   中,∠OMA=2,
                   π
    ∠AOM=2π-θ-6,|OA|=4.
                   |OM|
    因为  cos∠AOM=|OA|,
    所以|OM|=|OA|·cos∠AOM,
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                  π        π
             2π-θ-       θ+
    即 ρ=4cos(     6)=4cos( 6),
                           π
                        4,-
    验证可知,极点       O 与 A(   6)的极坐标也满足方程,
               π
             θ+
    故 ρ=4cos(  6)为所求.
                5π
    (2)设 l:θ=-12(ρ∈R)交圆    C 于点  P,
                          π
    在 Rt△OAP  中,∠OPA=2,
               π
    易得∠AOP=4,
    所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2    2.
                                                    π
    法二:(1)圆   C 是将圆    ρ=4cosθ 绕极点按顺时针方向旋转6而得
到的圆,
                                   π
                                 θ+
    所以圆   C 的极坐标方程是       ρ=4cos(  6).
             5π                             π
                                          θ+
    (2)将 θ=-12代入圆    C 的极坐标方程      ρ=4cos(  6),
    得 ρ=2  2,
                          5π
    所以圆   C 被直线   l:θ=-12(ρ∈R)所截得的弦长为          2 2.
                          [能力挑战]
    6.(2018·成都市第二次诊断性检测)在直角坐标系                xOy 中,曲线
C 的参数方程为Error!(α    为参数),直线     l 的参数方程为Error!(t   为参数)
.在以坐标原点       O 为极点,x    轴的正半轴为极轴的极坐标系中,过
极点  O 的射线与曲线      C 相交于不同于极点的点          A,且点    A 的极坐标
                  π
                   ,π
为(2 3,θ),其中    θ∈(2  ).
    (1)求 θ 的值;
    (2)若射线  OA  与直线   l 相交于点   B,求|AB|的值.
    解析:(1)由题意知,曲线         C 的普通方程为      x2+(y-2)2=4,
    ∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线      C 的极坐标方程为(ρcosθ)2+
(ρsinθ-2)2=4,即  ρ=4sinθ.
                      3
    由 ρ=2  3,得  sinθ= 2 ,
         π         2π
          ,π
    ∵θ∈(2   ),∴θ=  3 .
    (2)由题,易知直线      l 的普通方程为     x+3  y-4 3=0,∴直线     l 的
极坐标方程为      ρcosθ+ 3ρsinθ-4 3=0.
                              2π
    又射线   OA 的极坐标方程为       θ=  3 (ρ≥0),
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联立,得Error!,解得     ρ=4  3.
                     2π
∴点  B 的极坐标为(4     3, 3 ),
                 3   3   3
∴|AB|=|ρB-ρA|=4  -2   =2  .
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