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中国现代教育网 www.30edu.com 全国最大教师交流平台 课时作业 2 命题及其关系、充分条件与必要条件 一、选择题 1.(2018·广东肇庆一模,5)原命题:设 a、b、c∈R,若 “a>b”,则“ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中, 真命题共有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 解析:原命题:若 c=0,则不成立,由等价命题同真同假知其 逆否命题也为假;逆命题为设 a,b,c∈R,若“ac2>bc2”,则 “a>b”.由 ac2>bc2 知 c2>0,∴由不等式的基本性质得 a>b,∴逆 命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,∴真命题共有 2 个.故选 C. 答案:C 2.(2018·青岛检测)已知 λ∈R,向量 a=(3,λ),b=(λ-1,2), 则“λ=3”是“a∥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:本题考查平面向量平行的条件、充分与必要条件的判 定.由题意得 a∥b⇔3×2-λ(λ-1)=0,解得 λ=-2 或 λ=3,所以 “λ=3”是“a∥b”的充分不必要条件,故选 A. 答案:A 3.有下列命题: ①“若 x+y>0,则 x>0 且 y>0”的否命题; ②“矩形的对角线相等”的否命题; ③“若 m>1,则 mx2-2(m+1)x+m+3>0 的解集是 R”的逆命 题; ④“若 a+7 是无理数,则 a 是无理数”的逆否命题. 其中正确的是( ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④ 解析:①的逆命题为“若 x>0 且 y>0,则 x+y>0”为真,故否 命题为真; ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题; ③的逆命题为,若 mx2-2(m+1)x+m+3>0 的解集为 R,则 中国现代教育网 www.30edu.com 全国最大教师交流平台 m>1. ∵当 m=0 时,解集不是 R, ∴应有Error!即 m>1.∴③是真命题; ④原命题为真,逆否命题也为真. 答案:C 4.(2018·长沙模拟)“a<-1”是“直线 ax+y-3=0 的倾斜角 π 大于4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:本题考查直线的方程、充分条件与必要条件.直线 ax+ π y-3=0 的倾斜角大于4⇔-a>1 或-a<0,即 a<-1 或 a>0,所以 π “a<-1”是“直线 ax+y-3=0 的倾斜角大于4”的充分不必要条 件,故选 A. 答案:A 5.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题 B.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 π D.命题“若 tanx= 3,则 x=3”的逆否命题 解析:对于选项 A,命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题为“若 x≤1,则 x2≤1”,易知当 x=-2 时,x2=4>1,故选项 A 为假命题; 对于选项 B,命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题为“若 x>|y|,则 x>y”,分析可知选项 B 为真命题;对于选项 C,命题“若 x=1, 则 x2+x-2=0”的否命题为“若 x≠1,则 x2+x-2≠0”,易知当 x=-2 时,x2+x-2=0,故选项 C 为假命题;对于选项 D,命题 π π “若 tanx= 3,则 x=3”的逆否命题为“若 x≠3,则 tanx≠ 3”,易 4π 知当 x= 3 时,tanx= 3,故选项 D 为假命题.综上可知,选 B. 答案:B 6.(2018·兰州模拟)已知向量 a=(sinα,cosα),b=(cosβ, π sinβ),且 a 与 b 的夹角为 θ,则“|a-b|=1”是“θ=3”的( ) A.充分不必要条件 中国现代教育网 www.30edu.com 全国最大教师交流平台 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:∵a=(sinα,cosα),b=(cosβ,sinβ),∴|a|=1,|b|=1.若 |a-b|=1,|a-b|= a-b2= a2+b2-2a·b=1⇔a2+b2-2a·b= 1 π π 1⇔|a|2+|b|2-2|a||b|cosθ=1⇔cosθ=2⇔θ=3;若 θ=3,则|a-b|= π π a2+b2-2|a||b|cos a-b2= a2+b2-2a·b= 3=1.∴“|a-b|=1”是“θ=3” 的充要条件.选 C. 答案:C 7.下列说法正确的是( ) A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题是“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=-1”是“x2-x-2=0”的必要不充分条件 C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题是真命题 π D.“tanx=1”是“x=4”的充分不必要条件 解析:由原命题与否命题的关系知,原命题的否命题是“若 x2≠1,则 x≠1”,即 A 不正确;因为 x2-x-2=0⇔x=-1 或 x= 2,所以由“x=-1”能推出“x2-x-2=0”,反之,由“x2-x- 2=0”推不出“x=-1”,所以“x=-1”是“x2-x-2=0”的充 分不必要条件,即 B 不正确;因为由 x=y 能推得 sinx=siny,即原 π 命题是真命题,所以它的逆否命题是真命题,故 C 正确;由 x=4能 π π 推得 tanx=1,但由 tanx=1 推不出 x=4,所以“x=4”是“tanx= 1”的充分不必要条件,即 D 不正确. 答案:C 8.使 a>0,b>0 成立的一个必要不充分条件是( ) A.a+b>0 B.a-b>0 a C.ab>1 D.b>1 解析:因为 a>0,b>0⇒a+b>0,反之不成立,而由 a>0, a b>0 不能推出 a-b>0,ab>1,b>1. 答案:A 9.(2018·安徽江淮十校第一次联考,2)已知 a>0,b>0,且 a≠1,则“logab>0”是“(a-1)(b-1)>0”的( ) A.充分不必要条件 中国现代教育网 www.30edu.com 全国最大教师交流平台 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:a>0,b>0 且 a≠1,若 logab>0,则 a>1,b>1 或 00;若(a-1)(b-1)>0,则Error!或 Error!则 a>1,b>1 或 00,∴“logab>0”是 “(a-1)(b-1)>0”的充分必要条件. 答案:C 1 10.(2018·四川南山模拟)已知条件 p:4<2x<16,条件 q:(x+ 2)(x+a)<0,若 p 是 q 的充分而不必要条件,则 a 的取值范围为( ) A.[-4,+∞) B.(-∞,-4) C.(-∞,-4] D.(4,+∞) 1 解析:由4<2x<16,得-2-2,即 a<2,则条件 q:(x+2)(x+a)<0 等价于- 2 4,则 a<-4; ②若-a=-2,即 a=2,则(x+2)(x+a)<0 无解,不符合题意; ③若-a<-2,即 a>2,则 q:(x+2)(x+a)<0 等价于-a -n,则 m2>n2”的逆命题、否命题、逆否 命题中,假命题的个数是________. 解析:原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假 命题,否命题也是假命题.故假命题个数为 3. 答案:3 12.(2018·山东临沂模拟,11)有下列几个命题: ①“若 a>b,则 a2>b2”的否命题; ②“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ③“若 x2<4,则-2 b”是“a2>b2”的必要条件;②“|a|>|b|”是“a2>b2”的 充要条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件. 其中是真命题的是________. 解析:①a>b a2>b2,且 a2>b2 a>b,故①不正确; ②a2>b2⇔|a|>|b|,故②正确; ③“a>b”⇒a+c>b+c,且 a+c>b+c⇒a>b,故③正确. 答案:②③ 14.(2018·山西五校联考,13)已知 p:(x-m)2>3(x-m)是 q: x2+3x-4<0 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围为 ________. 解析:p 对应的集合 A={x|x m+3},q 对应的集合 B= {x|-4