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2018年秋高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课件新人教A版选修1_1

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   第一章   常用逻辑用语

     1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
                   学习目标:1.了解四种命题的概念,能写出某命题的逆命题、否命题和
逆否命题.(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联
系.(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题.(难点) 
                           1.四种命题的概念及表示形式 
名称                                                                                                                                                                                                                      定义                                                                                                                                                                                                                                                                       表示形式 
                                                          对于两个命题,如果一个命题的条件和结论

互逆                                                        分别是另一个命题的_____和_____,那么这                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   原命题为“若                                                                                                               p,则                                      q”;
命题                                                        样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        逆命题为“________” 
                                                          叫做原命题,另一个叫做原命题的
                                                                                                                                                                                                      自                              主                             预                             习                               探_______新                                                   知                         . 
                                                                                                                                                                                              [                                                                                                                          ·                                                                                           ] 

          

       结论    条件
                                若q,则p

                逆命题
                                                                  对于两个命题,其中一个命题的条件和结论

                                                                  恰                      好                      是                      另                      一                      个                      命                      题                      的                      ______________                                                                                                                                 和                           原命题为“若                                                                                                                       p,则                                          q”;
       互否 
                                                                  _______________,这样的两个命题叫做互                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                否命题为 
       命题 
                                                                  否命题.如果把其中的一个命题叫做原命                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        “_________________” 


                 条件的否定
结论的否定                                                             题,那么另一个叫做原命题的_______ 


                                    若      p,则          q 
                      否命题
          
                                                                    对于两个命题,其中一个命题的条件和结论

        互为                                                          恰                      好                      是                      另                      一                      个                       命                      题                      的                      ______________                                                                                                                                 和                            原命题为“若                                                                                                                    p,则                                         q”;
        逆否                                                          _____________,这样的两个命题叫做互为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   逆否命题为 
        命题                                                          逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         “______________” 


                 结论的否定
条件的否定                                                               题,那么另一个叫做原命题的___________ 


                                   若      q,则           p 
                       逆否命题
          
2.四种命题间的相互关系 
(1)四种命题之间的关系 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
             (2)四种命题间的真假关系 
                  原命题                                                                                                                                                           逆命题                                                                                                                                                            否命题                                                                                                                                                                  逆否命题 
                                      真                                                                                                                                                             真                                                                                                                                                              真                                                                                                                                                                             真 
                                      真                                                                                                                                                             假                                                                                                                                                              假                                                                                                                                                                             真 
                                      假                                                                                                                                                             真                                                                                                                                                              真                                                                                                                                                                             假 
                                      假                                                                                                                                                             假                                                                                                                                                              假                                                                                                                                                                             假 
             由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系: 
             ①两个命题互为逆否命题,它们有______的真假性; 
             ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性_____关系. 
相同
            没有
                             思考:(1)“a=b=c=0”的否定是什么? 
                             (2)在原命题,逆命题、否命题和逆否命题四个命题中.真命题的个数
会是奇数吗? 


                             [提示]                                                  (1)“a=b=c=0”的否定是“a,b,c至少有一个不等于0”. 
                             (2)真命题的个数只能是0,2,4,不会是奇数. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               [基础自测] 
                                                               1.思考辨析 
                                                               (1)命题“若                                                                                                                                                                                    p,则q”的否命题为“若                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     p,则                                                                                                    q”.                                                                                                                                                                                                                                  (  ) 
                                                               (2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             (  ) 
                                                               (3)命题“若A∩B=A,则A∪B=B”的逆否命题是“若A∪B≠B,则
A∩B≠A”.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                (  ) 


                                                               [答案]                                                                                                               (1)×                                                                                                (2)√                                                                                                (3)√ 
2.命题“若一个数是负数,则它的相反数是正数”的逆命题是(  ) 
A.“若一个数是负数,则它的相反数不是正数” 
B.“若一个数的相反数是正数,则它是负数” 
C.“若一个数不是负数,则它的相反数不是正数” 
D.“若一个数的相反数不是正数,则它不是负数” 


 B                                                   [根据逆命题的定义知,选B.] 
                             3.命题“若m=10,则m2=100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四
个命题中,真命题是(  )                                                                                                                                                                       
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  【导学号:97792008】 
                             A.原命题、否命题                                                                                                                                                                                                 B.原命题、逆命题 
                             C.原命题、逆否命题                                                                                                                                                                                                D.逆命题、否命题 


                             C                         [原命题正确,则逆否命题正确,逆命题不正确,从而否命题不正
确.故选C.] 
                                                                                                                                       把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命
题、否命题和逆否命题. 
                                      (1)相似三角形对应的角相等; 
                                                                                                                                                                                                             [合 作 探 究·攻 重 难] 
     四种命题
                                      (2)当x>3时,x2-4x+3>0; 
                                      (3)正方形的对角线互相平分. 
[解]                                                                                                                                                                                                                                                                          (1)原命题:若两个三角形相似,则这两个三角形的三个角对应相等; 
                  逆命题:若两个三角形的三个角对应相等,则这两个三角形相似; 
                  否命题:若两个三角形不相似,则这两个三角形的三个角对应不相等; 
         逆否命题:若两个三角形的三个角对应不相等,则这两个三角形不相似. 
                  (2)原命题:若x>3,则x2-4x+3>0; 
                  逆命题:若x2-4x+3>0,则x>3; 
                  否命题:若x≤3,则x2-4x+3≤0; 
                  逆否命题:若x2-4x+3≤0,则x≤3. 
(3)原命题:若一个四边形是正方形,则它的对角线互相平分; 
逆命题:若一个四边形对角线互相平分,则它是正方形; 
否命题:若一个四边形不是正方形,则它的对角线不互相平分; 
逆否命题:若一个四边形对角线不互相平分,则它不是正方形. 
                                                                                                                                                                                                                            [规律方法]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          1.写出一个命题的逆命题,否命题,逆否命题的方法 
                                                                                                                                                                                                                            (1)写命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和结论,然后写出命
题的条件的否定和结论的否定,再根据四种命题的结构写出所求命题. 
                                                                                                                                                                                                                            (2)在写命题时,为了使句子更通顺,可以适当地添加一些词语,但不
能改变条件和结论. 
          2.写否命题时应注意一些否定词语,列表如下: 
原词语                                  等于(=)                                    大于(>)                                  小于(<)                                          是                           都是                       至多有一个 
    否定 
                                  不等于(≠)                                  不大于(≤)                                 不小于(≥)                                         不是                          不都是                          至少有两个 
    词语 
                                   至少有一                                      至多有n                                                                           任意两
原词语                                                                                                                   任意的                                                                   所有的                                          能 
                                               个                                       个                                                                            个 
    否定                                 一个也                                     至少有                                    某一个 
                                                                                                                                                            某两个                                 某些                                   不能 
    词语                                     没有                               (n+1)个                                  (确定的) 

     
[跟踪训练] 
1.(1)命题“若y=kx,则x与y成正比例关系”的否命题是(  )                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       【导学号:97792009】 
A.若y≠kx,则x与y成正比例关系 
B.若y≠kx,则x与y成反比例关系 
C.若x与y不成正比例关系,则y≠kx 
D.若y≠kx,则x与y不成正比例关系 


 D                                                     [条件的否定为y≠kx,结论的否定为x与y不成比例关系,故选D.] 
                   (2)命题“若ab≠0,则a,b都不为零”的逆否命题是________. 


                   若a,b至少有一个为零,则ab=0                                                                                                                                       [“ab≠0”的否定是“ab=0”,
“a,b都不为零”的否定是“a,b中至少有一个为零”,因此逆否命题为
“若a,b至少有一个为零,则ab=0”.] 
                                                                                                                         (1)对于原命题:“已知a、b、c∈R,若a>b,则ac2>bc2”,以
及它的逆命题、否命题、逆否命题,在这4个命题中,真命题的个数为(  ) 
                                        A.0个  B.1个   C.2个  D.4个 
      四种命题的关系及真假判断
                                        (2)判断命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假. 
[思路探究]                              (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可. 

(2)思路一                            写出原命题的逆否命题                                                       →      判断其真假                             

思路二                       原命题与逆否命题同                                                       真同假即等价关系                                                

→      判断原命                            题的真假                       →      得到逆否命                                 题的真假                        
                   [解析]                                (1)当c=0时,ac2>bc2不成立,故原命题是假命题,从而其逆否
命题也是假命题;原命题的逆命题为“若ac2>bc2,则a>b”是真命题,从而
否命题也是真命题,故选C. 
                                                                                                                                                                                                                            [答案]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                C 
                                                                                                                                                                                                                            (2)法一:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     原命题的逆否命题:若x2+x-a=0无实根,则a<0. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    1
                                                                                                                                                                                                                            ∵                                                                                                                                                              2+                                                                                                                                                                                                 -                                                                                                                                                                    =                                                                                                                                                                    无实根,∴                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   =                                                                                                                                                                    +                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ,解得                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             -                                                                                                                                                                                                                                                                                          ,
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          x                                                                                                                                                                                                  x                                                                                                                                                               a                                                                                                                                                                   0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             Δ                                                                                                                                                                              1                                                                                                                                                                    4a<0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          a<                                                                                                                                                                                                                                 4<0                                                                                                                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                                                                            ∴原命题的逆否命题为真命题. 
                                                                                                                                                                                                                            法二:∵a≥0,∴4a≥0,∴对于方程x2+x-a=0,根的判别式Δ=1+
4a>0,∴方程x2+x-a=0有实根,故原命题为真命题. 
                                                                                                                                                                                                                            ∵原命题与其逆否命题等价,∴原命题的逆否命题为真命题. 
                                                                                                                                                                                                                                [规律方法]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   判断命题真假的方法 
                                                                                                                                                                                                                                1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念,正确地写出所涉及的命
题,判定为真的命题需要简单的证明,判定为假的命题要举出反例加以验证. 
                                                                                                                                                                                                                                2原命题与它的逆否命题同真同假,原命题的否命题与它的逆命题同真
同假,故二者只判断一个即可. 
[跟踪训练] 
2.判断下列四个命题的真假,并说明理由. 
(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题; 
(2)“若x>y,则x2>y2”的逆否命题; 
(3)“若x≤3,则x2-x-6>0”的否命题; 
(4)“对顶角相等”的逆命题. 
             [解]              (1)命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互
为相反数,则x+y=0”,则逆命题为真命题,因为原命题的逆命题和否命
题具有相同的真假性,所以“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是
真命题. 
             (2)令x=1,y=-2,满足x>y,但x2y,则x2>y2”是假
命题,因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性,所以“若x>y,则
x2>y2”的逆否命题也是假命题. 
               (3)该命题的否命题为“若x>3,则x2-x-6≤0”,令x=4,满足x>3,
但x2-x-6=6>0,不满足x2-x-6≤0,则该否命题是假命题. 
               (4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题,如等边三角形
的任意两个内角都相等,但它们不是对顶角. 
                             [探究问题] 
                             1.当一个命题的条件与结论以否定形式出现时,为了研究方便,我们
可以研究哪一个命题? 


                             提示:一个命题与其逆否命题等价,我们可研究其逆否命题. 


                                                                                                                                       2                          2
    等价命题的应用                  2.在证明“若m                                                                                                       +n                        =2,则m+n≤2”时,我们也可以证明哪个命题
成立. 


                             提示:根据一个命题与其逆否命题等价,我们也可以证明“若m+
n>2,则m2+n2≠2”成立. 
                                                (1)命题“对任意x∈R,ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则
实数a的取值范围是________. 
               (2)证明:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+
f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.                                                                                      
                                                                                                                                                                            【导学号:97792010】 
               [思路探究]                                    (1)根据其逆否命题求解.(2)证明其逆否命题成立. 
[解析]                                            (1)∵命题“对任意x∈R,ax2-2ax-3>0不成立” 
等价于“对任意x∈R,ax2-2ax-3≤0恒成立”, 
若a=0,则-3≤0恒成立,∴a=0符合题意. 

                                                                                                                                                                           2                                                                                     
                                                                                                                                                  =                             +                                ≤                  ,                                                                -                  ≤                   ≤                  ,
若a≠0,由题意知a                                                                                                                                Δ                   4a                            12a                              0                   即a                                                             3                  a                   0                    
∴-3≤a<0 
综上知,a的取值范围是-3≤a≤0. 
                                                                                                                                                                                                                            [答案]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                [-3,0] 
                                                                                                                                                                                                                            (2)证明                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函
数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题
中,真命题的个数为 (  ) 
                   A.1   B.2    C.3   D.4 


                   B                [原命题是真命题,从而其逆否命题是真命题,其逆命题是“若a>
-6,则a>-3”,是假命题,从而其否命题也是假命题,故真命题的个数
是2.] 
                             4.命题“若m>1,则mx2-2x+1=0无实根”的等价命题是________.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   【导学号:97792011】 


                             若mx2-2x+1=0有实根,则m≤1                                                                                                                                                                                                                   [原命题的等价命题是其逆否命题,
由定义可知其逆否命题为:“若mx2-2x+1=0有实根,则m≤1”.] 
             5.已知命题p:“若ac≥0,则二次不等式ax2+bx+c>0无解”. 
             (1)写出命题p的否命题; 
             (2)判断命题p的否命题的真假. 


            [解] (1)命题p的否命题为:“若ac<0,则二次不等式ax2+bx+c>0有解”. 
             (2)命题p的否命题是真命题. 
             判断如下: 
             因为ac<0, 
             所以-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根⇒ax2+bx
+c>0有解, 
所以该命题是真命题. 
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