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2018届宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷(理)含答案

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高中数学审核员

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         2018  届宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷
                            理      科     数     学
    本试卷分第     I 卷和第   II 卷两部分.第     I 卷 1 至 2 页,第  II 卷 3 至 5 页,满分   150 分.
考生注意:
    1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡
上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
    2.第  I 卷每小题选出答案后,用          2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第                     II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡
上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.
    3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并交回                     .

                                    第  I 卷

一、选择题:本大题共          12 小题,每小题      5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
    合题目要求的.
            i
1.复数   z     的共轭复数     z 在复平面内对应的点位于   
          1 i
    A.第一象限           B.第二象限           345C.第三象限          D.第四象限
2.已知集合     A  x x  1,

             x
         1     
 B  y y    , x  A , 
           2
                                         2
    则  A I B 
                                                   x      x          2x
    A.x  1  x  2    B.x x  2                侧 侧 侧           侧 侧 侧

    C.x  0  x  2     D. 

3.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积 
    为  2,则图中    x 的值为
                                                  侧 侧 侧
                            2
    A.1                B.                  
                           2
         3                  6
    C.                  D.
         3                  6

                     1  x  2y  3,
                     
                      2  x  4,
4.设   x, y 满足约束条件               则目标函数     z  2x  y 的最大值为
        7             9              13             15
    A.  2          B. 2          C.  2           D.  2
               1                                   1
5.将函数     y  sin( x  ) 图象上各点的横坐标缩小为原来的             (纵坐标不变),得到函数
                2   4                               2
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                               
     y  f (x) 的图象,则函数    y  f (  x) 的一个单调递增区间是   
                                4
                                      
    A.  (  ,0)                 B.  (0, )         
          2                            2
                                    3
    C.  ( ,)                     D. ( ,2)
         2                            2
                                                            y
6.在如图所示的正方形中随机投掷               10000 个点,则落入由曲线        C

    (曲线  C 为正态分布     N(2,1) 的密度曲线)与直线      x  0, x 1

    及  y  0 围成的封闭区域内点的个数的估计值为                             O           1 x

    (附:若  X : N(, 2 ) ,则 P(   X     )  0.6826 ,

     P(  2  X    2 )  0.9544 , P(  3  X    3 )  0.9974 )
    A.2718          B.1359         C.430           D.215

7.        已知  F 是抛物线    C : y2  2 px( p  0) 的焦点, P 是 C 上的一点, Q 是 C 的准线上一

    点.若   ΔPQF  是边长为    2 的等边三角形,则该抛物线的方程为

    A.  y2  8x        B. y2  6x       C. y2  4x        D. y2  2x

                                            1
8.已知锐角,       满足  sin 2  cos , cos(   )  ,则 cos  的值为
                                            7
        13             11            5  3             3
    A.             B.             C.             D.
        14             14             14             14
                                         x2  y2
9.已知   O 是坐标原点,      F , F 分别是双曲线     C :     1 ( a  0 , b  0 )的左、右焦点,过
                      1  2              a2  b2
                   1
   左焦点   F 作斜率为      的直线,与其中一条渐近线相交于点               A .若|  OA || OF | ,则双曲线
          1        2                                              2
   C 的离心率    e 等于
        5              5
    A.              B.             C.   3          D. 2  
        4              3
10.世界著名的百鸡问题是由南北朝时期数学家张丘建撰写
                                                            开始
    的《张丘建算经》中的一个问题:鸡翁一,值钱五,鸡
                                                             t 1
    母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁

    母雏各几何?张丘建是数学史上解决不定方程解的第一                                 ①
                                                                    否
    人.用现代方程思想,可设            x, y, z 分别为鸡翁、鸡母、鸡                 是
                                                             x  4t   结束
                                  z
                          5x  3y  100,
    雏的数量,则不定方程为                   3     如图是体现               ②
                          x  y  z 100.
    张丘建求解该问题思想的框图,则方框中①,②应填入                             z 100  x  y

                                                           输出x, y, z

                                                            t  t 1
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    的是

    A.  t  3? , y  25  7t        B. t  3? , y  25  7t  

    C.  t  5? , y  25  5t        D. t  5? , y  25  5t   

11.底面边长为      6 的正三棱锥的内切球半径为            1,则其外接球
    的表面积为
    A.                       B.       
    C.                       D.

           f (x)  ln(x  k) g(x)  ex 1 f (x )  g(x ) x  x
12.设函数                 ,            .若     1     2 ,且   1   2 有极小值   1,则实数

    k 的值是
    A.  1                     B. 2
    C.  0                      D. 2  


         2018  届宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷
                            理      科     数     学

                                   第   II 卷  

  注意事项:

      用  0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.               在试题卷上作答,答案无效.

    本卷包括必考题和选考题两部分.第                13~21 题为必考题,每个试题考生都必须做

答.第    22、23 题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共          4 小题,每小题      5 分.
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                               1     
13.边长为     的正三角形     ABC 中,  AD    DC ,则  BD  AC  ___________.
                                   2

              2
14. x2  4x  4 (x3 1) 的展开式中, x3 的系数是___________.(用数字填写答案)

15.B  村庄在    A 村庄正西    10km,C   村庄在    B 村庄正北     3km.现在要修一条从          A 村庄到

    C 村庄的公路,沿从         A 村庄到    B 村庄的方向线路报价是           800 万元/km,沿其他线路

    报价是    1000 万元/km,那么修建公路最省的费用是___________万元.
                                                           1           1
16.在  ABC  中,  D 为边  BC 上的点,且满足       DAC    ,  sin BAD  .若  S      S   ,
                                               2            3      ABD 3  ADC

    则 C  的余弦值为___________.

三、解答题:本大题共          6 小题,满分     70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.(12   分)


    已知数列{an}    的前  n 项和为   Sn , a1  2 , 3Sn  an1  2 .


    (1)求数列{an}     的通项公式; 
                               4
    (2)设   bn  log2 an ,若 cn      ,求证:    c1  c2   cn  3 .
                            bn (bn 1)


18.(12   分)
    为响应绿色出行,某市在推出“共享单车”后,又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款
    新能源分时租赁汽车,每次租车收费的标准由两部分组成:①根据行驶里程数按

    1 元/公里计费;②行驶时间不超过             40 分时,按   0.12 元/分计费;超过     40 分时,超出部分
    按 0.20 元/分计费.已知张先生家离上班地点              15 公里,每天租用该款汽车上、下班各一
    次.由于堵车、红绿灯等因素,每次路上开车花费的时间                        t (分)是一个随机变量.现统计
    了  50 次路上开车花费时间,在各时间段内的频数分布情况如下表所示:

      时间  t (分)      20,30     30,40       40,50       50,60

          频数           2           18            20            10
    将各时间段发生的频率视为概率,每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为

     20,60
         分.

      (1)写出张先生一次租车费用            y (元)与用车时间       t (分)的函数关系式;
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      (2)若张先生一次开车时间不超过               40 分为“路段畅通”,设        表示  3 次租用新能源分

          时租赁汽车中“路段畅通”的次数,求               的分布列和期望;

      (3)若公司每月给        1000 元的车补,请估计张先生每月(按              22 天计算)的车补是否足
          够上、下班租用新能源分时租赁汽车?并说明理由.(同一时段,用该区间的中
          点值作代表)


19.(12   分)
                                                                    1
    如图,四棱锥       P  ABCD 中,底面    ABCD  为梯形,    AB // DC , BC  DC  AB 1.
                                                                    2
    O 是  AB 的中点,    PO  底面  ABCD .  O 在平面                    P
     PAD 上的正投影为点       H ,延长   PH 交  AD 于点  E .
    (1)求证:    E 为 AD 中点;

    (2)若   ABC   90 , PA  2 ,在棱  BC 上确定一            H
                                                                O
                                                   A                      B
          点 G ,使得   HG  //平面 PAB ,并求出    OG 与
                                                      E
          面 PCD  所成角的正弦值.                                 D           C


20.(12   分)
                x2  y2
    已知椭圆    M :      1(a  b  0) 的左、右顶点分别为      A, B ,上、下顶点分别为       C, D .
               a2   b2
                                                4
    若四边形    ADBC  的面积为    4 ,且恰与圆    O : x2  y2  相切.
                                                5
    (1)求椭圆     M 的方程;

    (2)        已知直线    l 与圆 O 相切,交椭圆      M 于点   P,Q ,且点   A, B 在直线 l 的两侧.设


          APQ  的面积为    S1 , BPQ 的面积为   S2 ,求  S1  S2 的取值范围.

21.(12   分)
                  1
    已知函数     f (x) ( x2  x)ln x  ax2 (a  R) ,曲线 y  f (x) 在 x 1处的切线与直线
                  2
     x  2y 1  0 垂直.

    (1)求   a 的值,并求     f (x) 的单调区间;

                                                   1       1
    (2)若    是整数,当    x  0 时,总有   f (x)  (3  )x    x2 ln x  x2 ,求  的最大值.
                                                   2       4
请考生在第     22、23  题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清

题号.
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22.[选修   4―4:坐标系与参数方程](10           分)

    在直角坐标系      xOy 中,以坐标原点       O 为极点,    x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

                      (   4cos ) r2  4
    C1 的极坐标方程为                  ,曲线   C2 的参数方程为

    x  4  3r cos,
    
    y  3r sin  (  为参数).

               C                     C
    (1)求曲线      1 的直角坐标方程和曲线          2 的极坐标方程;
                                                                    
                       C , C                C
    (2)当   r 变化时,设      1  2 的交点  M 的轨迹为      3 .若过原点   O ,倾斜角为     3 的直线   l  
                                OA   OB
         与曲线    C3 交于点  A, B ,求          的值.
23.[选修   4—5:不等式选讲](10        分)

    已知实数    x, y 满足 x  y 1.

                         x  2  2x  y  5
    (1)解关于     x 的不等式                   ;

                           1   1   
                            1   1  9
                           x2    y2  
    (2)若   x, y  0 ,证明:           

              2018   年宁德市普通高中毕业班质量检查
              数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:
    一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如
    果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分
    细则.
    二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程
    度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的
    解答有较严重的错误,就不再给分.
    三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
    四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题                      5 分,满分    60 分.
 1.D      2.C      3.A     4.D     5.C     6.B
 7.D      8.C      9.B     10.B    11.A    12.D
二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题                      5 分,满分    20 分.
        2                              6
 13.       14. 8     15. 9800    16.      
        3                             3
三、解答题:本大题共          6 小题,满分     70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.本小题主要考查数列及数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、
化归与转化思想等,满分           12 分.


解:(1)由题设      3Sn  an1  2 ,
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当  n  2 时, 3Sn1  an  2 ,两式相减得


    3an  an1  an ,即 an1  4an  . …………………2  分


    又 a1 =2, 3a1  a2  2 ,可得 a2  8 ,      


    ∴ a2  4a1 . ………………………………3         分


    ∴数列{an}   构成首项为     2,公比为    4 的等比数列, 

               n1  2n1
    ∴ an  2 4   2   .                   ………………………………5           分


    (没有验证     a2  4a1 扣一分)

                2n1
(2)∵   bn  log2 2  2n 1,………………………………6            分

           4         4          2           *
    cn                            ( n  N ),    ………………7      分
        bn (bn 1) (2n 1)  2n (2n 1)  n
                       2           2          1       1    1
    ∴ n  2 时, c                                         , ………9    分
                n   (2n 1)n  (2n  2)n  (n 1)n  n 1  n
                             1  1    1   1         1   1
    ∴ c  c  c   c   2  (  )  (  )  (       )  …………10   分
       1   2   3      n      1  2    2   3       n 1  n
                             1
                         3               ………………………………11            分
                             n
                         3 .                 ………………………………12          分
解法二:(1)同解法一;

                2n1
(2)∵   bn  log2 2  2n 1,………………………………6            分

           4         4          2           *
    cn                            ( n  N ),    ………………7      分
        bn (bn 1) (2n 1)  2n (2n 1)  n
    ∵ n  2 时, 2n 1  n 1,
              2        2       1   1
    ∴ c                    2(     )  , ………9   分
       n  (2n 1)  n (n 1)  n n n 1

                               1  1        1   1   
    ∴ c1  c2  c3  cn  2  2 (  )  (     )  …………10   分
                               2 3        n  n+1  

                               1   1  
                         2  2                    
                               2  n 1

………………………………11            分
                         3 .                 ………………………………12          分
解法三:(1)同解法一;

                2n1
(2)∵   bn  log2 2  2n 1,………………………………6            分
                   中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台


           4         4          2           *
    cn                            ( n  N ),    ………………7      分
        bn (bn 1) (2n 1)  2n (2n 1)  n
                       2        2        1    1
    ∴ n  2 时, c                    2(     )  , ………8   分
                n  (2n 1)  n (n 1)  n n 1 n

                                              1   1         1   1  
    ∴ c1  c2  c3  cn  c1  c2  c3  c4  c5  2 (  )  (  )  
                                              5  6       n 1  n  

…………10    分

                             1   2   1   2     1  1 
                         2             2                 
                             3  15  14   45    5  n 

…………………………11          分
                             619  2
                         2        3 .                 
                             630  n
………………………………12            分

18.本小题主要考查频率分布表、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识,考查
运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与
转化思想.满分       12 分.

解法一:(1)当       20  t  40 时, y  0.12t 15   ………………………………1       分

           当 40  t  60 时, y  0.12 40  0.20(t  40) 15  0.2t 11.8 . 

………………………………2            分

          0.12t 15, 20  t  40,
  得:   y                                      ………………………………3           分
          0.2t 11.8, 40  t  60

                                                              2 18   2
                                                          P        
(2)张先生租用一次新能源分时租赁汽车,为“路段畅通”的概率                                  50    5 ……4  分

   可取  0 ,1,  2 , 3.                            

                   0    3                            2
              0  2   3  27              1  2  3  54
   P(  0)  C3            P( 1)  C3     
                5   5  125 ,              5  5  125

                   2                            3    0
              2  2   3  36              3  2   3  8
   P(  2)  C3           P(  3)  C3     
                5   5  125 ,              5   5  125   

   的分布列为
                   0             1            2             3
                    27           54            36            8
        P
                   125           125          125           125
                                                        ……………7    分
                   中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

             27      54      36       8
     E  0     1     2      3    1.2
             125     125     125     125        ……………………………8           分

                    2            2
             : B(3,  )   E  3  1.2
    或依题意            5  ,         5               ……………………………8          分

(3)张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班,平均用车时间
           2      18      20     10
    t  25   35    45   55    42.6
           50     50      50     50      (分钟),……………10          分

    每次上下班租车的费用约为            0.2 42.6 11.8  20.32 (元). ……………11    分

    一个月上下班租车费用约为            20.32 22 2  894.08 1000 ,
    估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用.                           ………………12      分
解法二:(1)(2)同解法一;
(3)张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班,平均租车价格为
                   2               18                 20               10
    (15  0.12 25)   (15  0.12 35)   (11.8  0.2 45)   (11.8  0.2 55)   20.512
                  50               50                50                50
    (元)
                                                                 ……………10     分
    一个月上下班租车费用约为            20.512 22 2  902.528 1000 ……………11 分
    估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用.                           ………………12      分
19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础
 知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分
 12 分.

解法一:(1)连结        OE .                                                    P
     AB  2,O 是 AB 的中点,   CD   1,
    OB   CD ,
     AB //CD ,  四边形   BCDO  是平行四边形,
    OD   1.………………1     分                                          H
                                                                           O
    PO   平面  ABCD  , AD  平面  ABCD  ,                       A                       B

    PO   AD ,………………2       分                                    E
        在平面       的正投影为       ,
    O        PAD           H                                        D            C
    OH   平面   PAD ,
    OH   AD .………………3      分

    又OH    PO  O ,

     AD  平面  POE ,
     AD  OE ,………………4       分
    又  AO  OD  1 ,
    E  是 AD 的中点. ………………5        分                                       z
(2)ABC      90 ,OD // BC ,                                         P
    OD   AB ,
    OP   平面  ABCD  ,

                                                                  H
                                                                         O
                                                            A                       B
                                                                                      y
                                                               E
                                                                   D           C
                                                                x
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                    
    以  O 为原点,OD,OB,OP      分别为   x, y, z 轴的正方向建立空间直角坐标系O            xyz ,

………………6      分
    O(0,0,0) , P(0,0,1) , C(1,1,0) , D(1,0,0) ,

    PA    2 ,OP  AB ,   PO    PA2  AO2  1

    OA   OD  OP ,
    ∴H   是 ADP  的的外心,

     AD  PD  AP  2 ,

    H  是 ADP  的的重心,
          2  1 1 1
    OH   OP  PH  OP  PE   ( , , ) .………………8    分
                         3      3  3 3
                           1     4 1
    设 BG   BC ,OG   BC  OB  (,1,0) ,GH  OH  OG  (  , , ) ,
                                                           3     3 3
        
    又OD    (1,0,0) 是平面 PAB 的一个法向量,且        HG // 平面 PAB ,
      
   GH  OD  0 ,
     1                1      1
         0 ,解得   ,OG    ( ,1,0) ,………………9     分
     3                3          3
      
   设 n  (x, y, z) 是平面 PCD 的法向量,

               
   PD   (1,0,1) , CD  (0,1,0) ,

       
     n  PD  0, x  z  0,
         即 
     n CD  0,  y  0,

                         
   取  x  1, 则 z  1, y  0 ,n  (1,0,1) .………………11 分

                               1
                    
              n  PG      3      5
    cos  n, PG               , 
                  | n | | PG |  10  10
                             2 
                                 9
                                         5
    直线OG    与平面    PCD 所成角的正弦值为           .………………12     分
                                        10
    解法二:(1)同解法一;
    (2)过   H 作  HM  EO ,交   EO 于点  M ,

    过点  M  作 GM  // AB ,分别交OD,   BC 于Q,G  ,则  HG  // 平面 PAB ,………………6      分

    证明如下:
    MG  // AB, AB  平面 PAB, MG  平面  PAB ,
                                                                     P
    MG  // 平面 PAB
      PO  平面  ABCD ,  EO  平面  ABCD ,PO    EO ,
    ∴在平面    POD  中,  PO // MH ,

                                                               H
                                                                       O
                                                         A                         B
                                                                M                 G
                                                                     Q
                                                             E    T 
                                                                   N
                                                               D              C
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    PO   平面  PAB, HM   平面  PAB ,

    MH   // 平面 PAB
    MG    MH  M ,平面    MHG  // 平面 PAB
    GH   平面   MHG  ,HG   // 平面 PAB .………………7     分
      OM    PH          2
             , OM     ,
      ME    HE          3
                 2      1
    BG   OQ    MO    , ………………8     分
                2       3
                             2
    在OD   上取一点    N ,使ON     ,
                             3
                 10
    CN   OG     ,………………9       分
                 3
    作  NT  PD 于 T ,连结   CT .

   ∵ CD   OD, CD  OP,OD  OP  O ,

   CD   平面  POD  ,
   NT   CD ,
   PD   CD  D ,  NT  平面  PCD ,
   NCT   就是OG   与平面   PCD  所成的角. ………………10        分
     DN    DP            1
            ,   NT      ,………………11       分
     NT    PO           3 2
                      1
                NT          5                                                5
    sin OTN      3 2     ,         即直线OG    与平面   PCD  所成角的正弦值为           .
                CN    10   10                                               10
                      3
………………12      分
    解法三:(1)同解法一.

    (2)过   E 作 EQ // AB ,交 BC 于点  Q ,

       连结  PQ ,过   H 作 HM  // EQ 交 PQ 于点 M ,

     过点  M  作 GM  // PB ,交 BC 于 G ,连结   HG ,
     则 HG  // 平面 PAB ,………………6      分
     证明如下:
     MG  // PB, PB  平面 PAB, MG  平面 PAB ,
     MG  // 平面 PAB
     同理:  MH  // 平面 PAB
    MG    MH  M ,平面    MHG  // 平面 PAB .
    GH   平面   MHG  ,HG   // 平面 PAB ,………………7       分
      BG   PM    PH
                  2 ,
      GQ   MQ    HE

     E 是 AD 的中点,     Q 是 BC 的中点,
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           1     1
    BG    BC   ,………………8       分
           3     3
    取 PD  的中点   N ,连结ON    ,再连结OG     并延长交    DC  的延长线于点     T ,连结    NT ,
    OP   OD , N 是 PD 中点,
    ON   PD ,
                                                      P
     OB  OD ,OB   OP,OD  OP  D ,

    OB   平面  POD
    OB   ON ,
                                                    N          M
    OB  //CD ,ON    CD ,                      H
    PD   CD  D ,  ON   平面  PCD  ,    A                           B
                                                        O           G
    OTN   就是OG   与平面    PCD 所成的角.
                                              E                  Q
      BG   OB
            ,    CT   2 ,                   D               C
      GC   CT                                                                          T

    OT    OD2  DT 2  10 .

           1      2
    ON    DP     ,    ………………11     分
           2      2
                       2
                ON          5                                                5
    sin OTN       2     ,          即直线OG    与平面   PCD  所成角的正弦值为           .
                OT    10   10                                               10
………………12      分
20.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推
    理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的
    能力,满分     12 分.
解法一:(1)根据题意,可得:
 1
    2a  2b  4,
 2                      ab  2,
                     即              ………………………………………………………
  1    1           2        2   2
  ab    a2  b2  ,    a  b  5,
 2   2            5
2 分

    a  2,
解得       ………………………………………………………4                     分
    b 1.

                x2
∴椭圆   M 的方程为        y2 1.………………………………………………………5                    分
                 4

(2)设   l : x  my  n , n(2,2) ,直线 l 与圆 O 相切,得

   n      2         4(m2 1)
           ,即  n2         ,………………………………6            分
  m2 1   5            5

从而  m2 0,4.

      1                   1
又  S   (n  2) y  y , S  (2  n) y  y ,
   1  2       1   2    2  2       1  2
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          1
∴ S  S    (2  n)  (n  2)  y  y  n  y  y .………………………………7    分
   1   2  2                 1  2      1   2
将直线   l 的方程与椭圆方程联立得

 (4  m2 )y2  2mny  n2  4  0 ,                                       y

显然    0 .                                                            P   C
                                 2mn          n2  4
设  P(x , y ) , Q(x , y ) ,得 y  y   , y y       .…………8      分
     1  1      2 2      1   2   4  m2   1 2  4  m2
                                                                A        O          B  x
                                     4  m2  4  n2
∴ y  y   (y  y )2  (y  y )2  4y y =        .
   1   2     1  2       1  2     1 2    m2  4                      Q    D

                                     m2  16
                                   4    
             4 m2  4  n2 2 m2 1            8 m2 1  m2 16
∴ S  S  n                        5   5 
   1   2        m2  4        5      m2  4       5(m2  4)

  8 m4 17m2 +16 8        9m2
                                  ,
 =              =   1+  4    2
   5 m4  8m2 +16 5    m   8m +16

                    8
当  m2  0 时, S  S   ;………………………………10             分
              1  2  5

                       8        9      8         9
当  m2 (0,4) 时, S  S    1+             1+             2 ,
                1   2              16
                       5     2         5        2 16
                            m   8+ 2       2 m      8
                                  m               m2

………………………………11            分
           8
且  S  S   .
    1  2   5
              8  
综上,                .………………………………12             分
       S1  S2   ,2
              5  
解法二:(1)同解法一;
                                                 2
(2)当直线     l 的斜率不存在时,由对称性,不妨设               l : x  ,
                                                  5
                         2    2
此时直线    l 与椭圆的交点为      (   ,  ) ,
                         5    5

         1  2          2    4   8
 S1  S2  (   2)  (2  )    .
         2  5          5    5   5

直线  l 的斜率存在时,设       l : y  kx  b ,由直线 l 与圆 O 相切,得

   b      2         4(k 2 1)
           ,即  b2        .
  k 2 1  5            5

又点   A, B 在直线 l 的两侧,
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∴ (2k  b)(2k  b)  0 , b2  4k 2  0 ,

  4(k 2 1)               1       1
∴         4k 2  0 ,解得 k  或 k   .
     5                    2       2

点  A, B 分别到直线   l 的距离为

     2k  b      2k  b
 d1       ,  d2       .
      1 k 2       1 k 2

将直线   l 的方程与椭圆方程联立得

 (1 4k 2 )x2  8kbx  4b2  4  0 ,

显然    0 .
                                 8kb
设  P(x , y ) , Q(x , y ) ,得 x  x   ,
     1  1      2 2      1   2   1 4k 2
       4b2  4
 x  x      .…………………………………7              分
 1  2  1 4k 2

                                                 4  4k 2 1 b2
∴ PQ   1 k 2 x  x  1 k 2 (x  x )2  4x x = 1 k 2     .……………………
              1   2          1   2     1 2          1 4k 2

…8  分

                                                      2      2         2     2
          1              1 2k  b  2k  b      2 4 4k  1 b      4 4k 1 b
∴ S1  S2  d1  d2  AB                 1 k         2    b        2
          2              2   1 k 2  1 k 2          1 4k           1 4k

                                              4(k 2 1)
                                    4  4k 2 1
             4 4k 2 1 b2  4(k 2 1)                  8  (1 k 2 )(116k 2 )
         b                                   5    
                1 4k 2        5          1 4k 2      5     (1 4k 2 )2

          8  117k 2 16k 4 8       9k 2     8         9
                           1                1             2 ,
                  2    4             2    4        1
          5  1 8k 16k    5    1 8k 16k   5        8 16k 2
                                                   k 2
           8
且  S  S   .
    1  2   5
综上,
        8   
              .…………………………………………………………………………12                           分
 S1  S2   ,2
        5   
21.本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能
力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、
数形结合思想等.满分          12 分.

解法一:    (1)函数    f (x) 的定义域是   (0,) ,
                       1
   f (x)  (x 1)ln x  (2a  )x 1
                       2     ,……………………………………………………………1                       分
                 
  依题意可得,        f (1) 1,
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       1             1
 2a    1  2 a 
       2      ,      4   .……………………………………………………………………2                        分
    
  f (x)  (x 1)ln x  (x 1) = (x 1)(ln x 1)
                                            1
                                  x  0, x 
      
  令  f (x)  0 ,即 (x 1)(ln x 1)  0 ,     e ,……………………………………3              分
                1          1        1
   x         (0, )                 ( ,)
                e          e        e
  f (x)       -           0          +
  f (x)        ↘        极大值           ↗
                         1                       1
                        ( ,)                (0, )
   f (x) 的单调递增区间是       e    ,单调递减区间为           e .………………………………5           分
                         1           1
                   f (x) ( x2  x)ln x  x2
(2)由(Ⅰ)可知,               2           4   ,
                      1       1      xln x  3x
    f (x)  (3  )x    x2 ln x  x2     
                      2       4        x 1     ,………………………………6             分
           xln x  3x
     h(x) 
                            h(x)   
   设         x 1  ,  只要       min  ,……………………………………………7                  分
         (1 ln x  3)(x 1)  (xln x  3x)
    h(x) 
                   (x 1)2

          x  2  ln x
               2
           (x 1)  ,…………………………………………………………………8                         分
                                   1
                        u(x) 1   0
   令 u(x)  x  2  ln x ,         x
   u(x) 在 (0,) 上为单调递增函数, 
    u(1)  1  0 , u(2)  ln 2  0
         x (1,2)    u(x )  0
   存在    0      ,使     0   ,……………………………………………………9                     分

      x (x ,)   u(x)  0   h(x)  0   x (0, x )   u(x)  0   h(x)  0
   当      0    时,         ,即         ,  当       0 时,         ,即          ,

                                  x ln x  3x
                           h(x)   0   0   0
h(x)   x  x                 min    x 1
      在     0 时取最小值,且                 0      ,………………………………10             分

      u(x )  0   ln x  2  x
    又      0   ,        0     0 ,

          x (2  x )  3x
h(x)     0    0    0  x
      min     x 1        0
               0           ,……………………………………………………11                    分


    x0 (1,2), x0 (2,1)

        h(x)
   又          min , 

     Z  max  2 . …………………………………………………………………12                     分
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解法二:(1)同解法一.
                          1          1
(2)由(1)可知,         f (x)  ( x2  x)ln x  x2
                          2          4
                  1       1
 f (x)  (3  )    x2 ln x  x2  x ln x  x  3x    0 .…………………………6 分
                  2       4

                         
设  g(x)  x ln x  x  3x   , 只要 g(x)min  0 ,………………………………………7        分

则  g(x)  1 ln x    3  ln x    2

令  g(x)  0 ,则 ln x    2 ,x  e 2 .…………………………………………………8          分

当  x (0,e 2 ) 时, g(x)  0 , g(x) 单调递减;当 x (e 2 ,) 时, g(x)  0 , g(x) 单调递增,


             2    2        2   2      2
g(x)min  g(e )  e (  2)  e  3e    e   .…………………………9        分

设  h()  e 2   ,则 h() 在 R 上单调递减,………………………………………10               分

h(1)  e 1 0, h(2)  1 2  0 ,………………………………………………11             分

0 (2,1) ,使 h(0 )  0 , 

   Z max  2  . …………………………………………………………………12                     分
22.选修    4  4 ;坐标系与参数方程
    本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数
形结合思想、化归与转化思想等.               满分   10 分.

                                  2
解法一:(1)由       C1  : (  4cos )  r  4 ,

得   2  4 cos  4  r2 ,

即  x2  y2  4x  4  r 2  0 ,   ………………………………………………………2             分


                            2   2   2     2   2           2
曲线  C2 化为一般方程为:        (x  4)  y  3r ,即 x  y  8x 16  3r ,………4 分

化为极坐标方程为:          2  8 cos 16  3r2  0 .………………………………5       分

         2              2   2                2          2
(2)由      4 cos  4  r 及   8 cos 16  3r  0 ,消去 r ,得曲线 C3 的极坐标方
   程为

  2  2 cos  2  0(  R) . …………………………………………………7            分

      
将    代入曲线    C  的极坐标方程,可得          2    2  0 ,…………………8   分
                3


故  1  2 1, 12  2  0 ,…………………………………………………9               分


故  OA  OB   1  2 1.…………………………………………………10                  分
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        2
(或由        2  0 得 (  2)( 1)  0 得 1  2, 2  1,…………………9 分

故  OA  OB   2 1 1 …………………………………………………10                分)

解法二:(1)同解法一;

        2   2         2    2   2          2       2
(2)由   x   y  4x  4  r 及 x  y  8x 16  3r ,消去 r ,得曲线 C3 的直角坐标方程为

 x2  y2  2x  2 . ………………………………………………………………7                   分

                       1
                     x  t,
                       2
设直线   l 的参数方程为            (  t 为参数),………………………………8               分
                         3
                   y    t
                      2
                      1   3
与  x2  y2  2x  2 联立得 t 2  t 2  t  2 ,
                      4   4
即 t 2  t  2  0 ,………………………………………………………………9                   分


故 t1  t2 1, t1t2  2  0 ,


∴ OA   OB  t1  t2 1.……………………………………………………10                  分

       2
(或由   t  t  2  0 得, (t  2)(t 1)  0, 得 t1  2,t2  1 ,

∴ OA   OB  2 1 1 .……………………………………………………10                  分)

23.选修   4  5 :不等式选讲
本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识,考查运算求解能力、推理
论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等.                        满分  10 分.

解法一:(1)       x  y  1,

           | x  2 |  | x 1| 5 ,………………………………………1        分
           当 x  2 时,原不等式化为      2x 1  5 ,解得 x  3 ,
           ∴ 2  x  3 ;………………………………………………2                分
           当 1  x  2 时,原不等式化为     2  x  x 1  5 ,
           ∴ 1  x  2 ;………………………………………………3                分
           当 x  1 时,原不等式化为      2x 1  5 ,解得 x  2 ,
           ∴ 2  x  1;………………………………………………4                 分
           综上,不等式的解集为x          2  x 3..……………………5       分

       (2)   x  y  1, 且 x  0, y  0 ,

                1     1     (x  y)2  x2 (x  y)2  y2
             (   1)(  1)                     ……………7     分
               x2    y2          x2         y2
                2xy  y2 2xy  x2
                      
                  x2      y2
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                 2y  y2 2x   x2
               (     )(     )
                 x   x2  y   y2
                2x  2y
                      5 ………………………………8          分
                 y   x

                  2x  2y
               2       5  9 . 
                   y  x

                        1
          当且仅当    x  y  时,取“=”. ………………………………10             分
                        2
解法二:(1)同解法一;

       (2)   x  y  1, 且 x  0, y  0 ,

              1     1      1 x2 1 y2
           (   1)(  1)           ………………………………6           分
              x2    y2      x2    y2
             (1 x)(1 x) (1 y)(1 y)
                      
                 x2         y2
             (1 x) y (1 y)x
                         ………………………………7            分
               x2      y2
             1 x  y  xy
                       ………………………………8            分
                 xy
             2        2
              1         1  9  
                     x  y
             xy     (    )2
                      2
                     1
       当且仅当    x  y  时,取“=”. ………………………………10             分
                     2
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