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2017_2018学年高中数学课时跟踪检测十九幂函数新人教A版必修1

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                        课时跟踪检测(十九) 幂函数

                               层级一 学业水平达标
                  1
                                                             1
                                                             -
    1.在函数①y=x,②y=x2,③y=2x,④y=1,⑤y=2x2,⑥y=x                   2 中,是幂函数的
是(  )
    A.①②④⑤                             B.③④⑥
    C.①②⑥                              D.①②④⑤⑥
    解析:选    C 幂函数是形如       y=xα(α∈R,α      为常数)的函数,①是         α=-1   的情形,
                            1
②是   α=2  的情形,⑥是      α=-2的情形,所以①②⑥都是幂函数;③是指数函数,不是
幂函数;⑤中      x2 的系数是    2,所以不是幂函数;④是常数函数,不是幂函数.所以只有
①②⑥是幂函数.
                                                 1
                                                  , 2
    2.已知幂函数      f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象过点(2            ),则  k+α=(  )
      1                                        3
    A.2               B.1            C.2                          D..2
                                                        1                 1
                                                        ,  2
    解析:选    A ∵幂函数     f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象过点(2             ),∴k=1,f     (2)=
 1                1          1
(2)α=  2,即  α=-2,∴k+α=2.
    3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是(  )
    A.y=x-2                            B.y=x-1

                                             1
    C.y=x2                             D.y=x 3
    解析:选    A 所给选项都是幂函数,其中             y=x-2 和  y=x2 是偶函数,y=x-1     和  y=

  1
x 3 不是偶函数,故排除选项          B、D,又   y=x2 在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意,y=
x-2 在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意,故选                  A.

                1
    4.函数   y=x  2 -1 的图象关于     x 轴对称的图象大致是(  )


                    1
    解析:选    B y=x   2 的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数

    1                       1
y=x  2 -1 的图象可看作由      y=x  2 的图象向下平移一个单位得到的(如选项               A 中的图所示)

         1
,将   y=x 2 -1 的图象关于     x 轴对称后即为选项         B.
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                                         m      n
    5.如图所示,曲线       C1 与 C2 分别是函数    y=x 和  y=x  在第一象限内的
图象,则下列结论正确的是(  )
    A.nm>0                            D.m>n>0
    解析:选    A 由图象可知,两函数在第一象限内递减,故                    m<0,n<0.当  x=2 时,2m>
2n,所以   n<m<0.

                 1
               a2 -
    6.若  y=ax    2 是幂函数,则该函数的值域是________.

                       1                           1
                     a2 -
    解析:由已知      y=ax   2 是幂函数,得      a=1,所以    y=x 2 ,所以   y≥0,故该函数的值
域为[0,+∞).
    答案:[0,+∞)
    7.已知幂函数      f(x)=xα  的部分对应值如表:
                                             1
                                x      1
                                             2
                                             2
                               f(x)    1
                                             2
    则 f(x)的单调递增区间是________.

             1    2      1     2        1             1
解析:因为     f (2)= 2 ,所以(2)α=   2 ,即  α=2,所以     f(x)=x 2 的单调递增区间是[0,+
∞).
    答案:[0,+∞)
                  1
              -1,  ,1,3
    8.设  α∈{      2    },则使    f(x)=xα 为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的               α 的
值是________.
    解析:因为     f(x)=xα  为奇函数,所以       α=-1,1,3.又因为      f(x)在(0,+∞)上为减
函数,所以     α=-1.
    答案:-1

                                 2
    9.已知函数     f(x)=(m2+2m)·x   m +m- 1 ,m 为何值时,函数     f(x)是:(1)正比例函数;
(2)反比例函数;(3)幂函数.
    解:(1)若函数     f(x)为正比例函数,则

    Error!∴m=1.
    (2)若函数   f(x)为反比例函数,则

    Error!∴m=-1.
    (3)若函数   f(x)为幂函数,则      m2+2m=1,
    ∴m=-1±     2.
    10.比较下列各组数的大小.
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         7      7
        -       -
    (1)3 2 和 3.2 2 ;
         2 2     π 2
        -  3   -   3
    (2)( 3)  和(  6) ;
          2
                  4
          5      -
    (3)4.1  和 3.8 3 .

                    7                                       7      7
                   -                                       -      -
    解:(1)函数    y=x  2 在(0,+∞)上为减函数,又          3<3.2,所以    3 2 >3.2 2 .
           2
         2     2 2     π 2   π 2           2                        2  π
        -  3         -
    (2)( 3)  =(3) 3 ,( 6) 3 =(6) 3 ,函数 y=x 3 在(0,+∞)上为增函数,而3>6,所
       2
     2      π 2
   -   3  -
以(   3) >(  6) 3 .

          2    2            4     4
    (3)4.1 5 >1 5 =1,0<3.8-3<1-3=1,

            2       4
    所以  4.1 5 >3.8-3.
                               层级二 应试能力达标
                                1
    1.已知函数     f(x)=(a2-a-1)x   a-2 为幂函数,则实数      a 的值为(  )
    A.-1  或  2                             B.-2  或  1
    C.-1                                   D.1
                                     1
                                    a-2
    解析:选    C 因为    f(x)=(a2-a-1)x     为幂函数,所以       a2-a-1=1,即    a=2  或-1.又
a-2≠0,所以     a=-1.
    2.下列结论中,正确的是(  )
    A.幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)
    B.幂函数的图象可以出现在第四象限
                         1
    C.当幂指数     α  取 1,3,2时,幂函数      y=xα  是增函数
    D..当  α=-1    时,幂函数     y=xα 在其整个定义域上是减函数
    解析:选    C 当幂指数     α=-1    时,幂函数     y=x-1 的图象不经过原点,故          A 错误;因
为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且                   y=xα(α∈R)>0,所以幂函数的图象不
可能出现在第四象限,故           B 错误;当    α>0  时,y=xα    是增函数,故      C 正确;当   α=-
1 时,y=x-1   在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,但在整个定义域上不是减函数,
故  D 错误.故选    C.

             1        1       1
               3        3       1
    3.设  a=(2) 4 ,b=(5) 4 ,c=(2) 2 ,则(  )
    A.ab;构造指数函数       y=(2)x,由该函数在定义域内单调递减,所以                aa>  B.
                                                                     1
    4.如下图所示曲线是幂函数            y=xα 在第一象限内的图象,已知            α  取±2,±2四个值,

则对应于曲线      C1,C2,C3,C4  的指数   α  依次为(  )

              1  1
    A.-2,-2,2,2
          1    1
    B.2,2,-2,-2
         1         1
    C.-2,-2,2,2
           1         1
    D..2,2,-2,-2
    解析:选    B 要确定一个幂函数         y=xα  在坐标系内的分布特征,就要弄清幂函数                 y=
xα 随着  α  值的改变图象的变化规律.随着             α  的变大,幂函数       y=xα 的图象在直线      x=

1 的右侧由低向高分布.从图中可以看出,直线                   x=1 右侧的图象,由高向低依次为             C1,
                                              1    1

C2,C3,C4,所以    C1,C2,C3,C4  的指数   α  依次为   2,2,-2,-2.
                1           1
    5.若(a+1)    2 <(3-2a)   2 ,则 a 的取值范围是________.

                   1
    解析:函数     y=x  2 在[0,+∞)上是增函数,
                         2
    所以Error!解得-1<a<3.
               2
           -1,
    答案:(       3)
                      1-a
    6.已知函数     f(x)=x  3 在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,那么最
小的正整数     α=________.

                                                         1
                                                         -
    解析:取值验证.α=1          时,y=x0,不满足;α=2         时,y=x    3 ,在(0,+∞)上是减

                                                                    2
                                                                   -
函数.∵它为奇函数,则在(-∞,0)上也是减函数,不满足;α=3                           时,y=x    3 满足题
意.
    答案:3
    7.已知幂函数      f(x)=(m-1)2xm2-4m+2   在(0,+∞)上单调递增,函数            g(x)=2x-k.
    (1)求 m 的值;
    (2)当 x∈[1,2]时,记    f(x),g(x)的值域分别为集合         A,B,若    A∪B=A,求实数      k 的
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

取值范围.
    解:(1)依题意,得(m-1)2=1,解得           m=0  或 m=2.
    当 m=2  时,f(x)=x-2   在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去,∴m=0.
    (2)由(1)可知   f(x)=x2.
    当 x∈[1,2]时,f(x),g(x)单调递增,
    ∴A=[1,4],B=[2-k,4-k].

    ∵A∪B=A,∴B⊆A,

    ∴Error!⇒0≤k≤1.
    ∴实数   k 的取值范围是[0,1].


                          2  -1
    8.已知幂函数      f(x)=x (m +m)  (m∈N*)
    (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
    (2)若该函数还经过点(2,         2),试确定     m 的值,并求满足条件        f(2-a)>f(a-1)的实
数  a 的取值范围.
    解:(1)m2+m=m(m+1),m∈N*,而        m 与 m+1 中必有一个为偶数,
    ∴m(m+1)为偶数.
    ∴函数   f(x)=x(m2+m)-1(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.
    (2)∵函数   f(x)经过点(2,     2),

                       1
             2  -1           2   -1
    ∴  2=2 (m +m) ,即  2 2 =2 (m +m) .
    ∴m2+m=2.解得     m=1 或  m=-2.
    又∵m∈N*,∴m=1.
                                       3
    由 f(2-a)>f(a-1)得Error!解得      1≤a<2.
                          3
                        1,
    ∴实数   a 的取值范围为[       2).
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