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2.3.1直线与平面垂直的判定

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高中数学审核员

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    请同学们观察图片,说出旗杆与地面、
大桥桥柱与水面是什么位置关系?你能举
出一些类似的例子吗? 


    旗杆与地面、大桥桥柱与水面以直线和
平面垂直的形象.那么直线和平面垂直的定
义究竟是什么?怎么样判断它们垂直?
2.3.1 直线与平面垂直的判定
     直线与平面垂直的定义:   

       如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直,我
们就说直线l 与平面α互相垂直,记作:l ⊥α。
                                l
         直线 l 叫做平面α的
垂线, 平面α叫做直线 l 
的垂面, 直线 l 与平面α
                       α         P
的交点P叫做垂足。
  直线和平面垂直的画法

                 l

          α       P


    注:画直线与水平平面垂直时,要把直
线画成和表示平面的平行四边形横边垂直。
    在长方体ABCD- A‘B’C‘D’中,AA‘⊥面ABCD,
AA’⊥面A‘B’C‘D’,AB⊥面ADD‘A’,AB⊥面
BCC‘B’,AD⊥面AA‘B’B,AD⊥面CDD‘C’。
          思考

  (1)如果一条直线垂直于平面内的一条直线,
能否判断这条直线和这个平面垂直?

                 a


                   b
           α
              不能判定
  (2)如果一条直线垂直于平面内的两条垂直,
能否判断这条直线和这个平面垂直?

       a                  a

                                   c
         b                  b
 α                  α

如果两条直线平行            如果两条直线相交
    不能判定                能够判定
  (3)如果一条直线垂直于平面内的无数条
直线,能否判断这条直线和这个平面垂直?

               a


                 b
         α
            不能判定
直线和平面垂直的判定定理:

             一条直线与一个平面内的两条相交直
 线都垂直,则该直线与此平面垂直。

符号表示:
                   线不在多,重在相交

简述为:线线垂直,则线面垂直
  例一

如图,已知               ,求证:   。

                  证明:在平面 α内作
              两条相交直线m,n。
              因为直线a⊥α,
              根据直线与平面垂直的定义知
              a⊥m,a⊥n。
              又因为b//a,
              所以b⊥m,b⊥n。
又                      是两条相交直线,
所以b⊥α。
       例二

     如图,在正方体AC1中,求证:(1)AC⊥平
面D1DB ;(2)D1B⊥平面ACB1。
  D
   1          C
               1    证明:(1)
A
 1                  ∵DD1⊥面AC
           B1
                    ∴DD1⊥AC
    D               又∵AC⊥BD,
              C
                    ∴AC⊥平面D1DB 。
 A         B      (2)的证明大家自己完成。
     直线和平面所成的角:
    如图所示,一条直线PA和平面α相交,但不垂直
,这条直线叫这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫
做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO 
,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上
的射影。
 斜线和射影所成的锐角叫做        这条直线和平面所成的角。
                               P

                          A     O
     若直线垂直于平面,规定它们所成的角是
 90°的角,为直角;若直线与平面平行或在直线
 内,规定它们所成的角为0°的角。
故直线与平面所称的角的范围是:(0,)

          P              注意:p点为斜线
                     上任意一点,p点的不
    A      O         同不会影响直线与平
                     面所称的角。
           在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线
   B1D与平面ABCD所成的角是多少?找出这
   个角,并计算其度数。
   D
    1          C
                1   ∠B1DB即为所求角,
A1                  它的正弦为        。
            B1                       
     D
               C

  A         B
              课堂小结
 证明直线与平面垂直的方法:
(1)利用定义:       直线与平面内每条直线都垂直
(2)利用判定定理:       线线垂直           线面垂直

  关键:线不在多,相交则行。
       斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和
平面所成的角。范围是:(0,)。

                P

         A        O
               随堂练习
1. 判断题:
                                  (  T  )
                                  (   F    )
                                  (  T  )
        2.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,
  AB=BC,求证VB⊥AC。
分析:
   (1)要证线线垂直,首先证                 V
线面垂直即证明其中一条直线垂
直于经过另一条直线的的平面。
                                         C
   (2)AC⊥VB所在的面,应
                         A       D
该是哪一个面?给出VA=VC,
AB=BC可以知道△VAC与
△BAC都是等腰三角形。                        B
    4.有一根旗杆PO高4m,它的顶端P挂有一条
长5m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面
上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)A、B,如
果这两点和旗杆脚O的距离都是3m,那么旗杆就
和地面垂直,为什么?

                  P


      α   A     O
                     B
 解:如图,旗杆PO=8m,两绳长PA=
 PB=10m,OA=OB=6m。
 因为A,O,B三点不共线,
所以  A,O,B三点确定平面α。
又因为
所以
 又因为
 所以
因此,旗杆OP与地面垂直。
            5.如图,点P是平行四边形ABCD所在平
     面外一点,O是对角线AC与BD的交点,且
     PA=PC,PB=PD。
     求证:PO⊥平面ABCD。
          P
                      分析:
                      ∵ AO=CO,PA=PC
                      ,∴ PO⊥AC。
                      同理PO⊥BD,
     D              C 又∵AC∩BD=O,
                      ∴ PO⊥平面ABCD。
          O
A              B
        6.在空间四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,
求证:对角线AC ⊥ BD。
           A      分析:


          D
    E
B

              C
           习题答案

1.    略。

2.(1)AB边的中点;
  (2)点o是三角形ABC的外心;
  (3)点o是三角形ABC的重心。

3.    不一定平行。
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