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2019版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课时训练

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                      第一章 集合与常用逻辑用语
                               第 1 课时 集合的概念
    一、 填空题
    1. 以下对象的全体能够构成集合的是________.(填序号)
    ①  中国古代四大发明;          ②  地球上的小河流;         ③  方程  x2-1=0  的实数解;      ④  周
长为   10 cm 的三角形.
    答案:①③④
    解析:根据集合中元素的特征,可知①③④符合.
    2. 下面有四个命题:
    ① 集合   N 中最小的数是      1;
    ② 若-a   不属于    N,则  a 属于  N;
    ③ 若  a∈N,b∈N,则     a+b  的最小值为     2;
    ④ x2+1=2x   的解集可表示为{1,1}.
    其中正确命题的个数为________ .
    答案:0
    解析:① 最小的数应该是           0;② 反例:-0.5∉N,但        0.5∉N;③ 反例:当      a=0,b=
1 时,a+b=1;④ 不满足元素的互异性.
    3. 下列集合中表示同一集合的是________.(填序号)
    ① M={(3,2)},N={(2,3)};
    ② M={2,3},N={3,2};
    ③ M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1};
    ④ M={2,3},N={(2,3)}.
    答案:②
    解析:①中的集合        M 表示由点(3,2)所组成的单点集,集合              N 表示由点(2,3)所组成
的单点集,故集合        M 与 N 不是同一个集合;③中的集合            M 表示由直线     x+y=1  上的所有点
组成的集合,集合        N 表示由直线     x+y=1  上的所有点的纵坐标组成的集合,即                N={y|x+
y=1}=R,故集合      M 与 N 不是同一个集合;④中的集合            M 有两个元素,而集合         N 只含有一
个元素,故集合       M 与 N 不是同一个集合;对于②,由集合元素的无序性,可知                       M,N 表示同
一个集合.
              x+y=1,
    4. 方程组{x2-y2=9)的解集是____________.
    答案:{(5,-4)}
             x+y=1,      x=5,
    解析:由{x2-y2=9)得{y=-4,)该方程组的解集为{(5,-4)}.
    5. 设集合   A={3,m},B={3m,3},且       A=B,则实数     m 的值是____________.
    答案:0
    解析:由{3,m}={3m,3},得         m=3m,m=0.
    6.   设非空数集     M⊆{1,2,3},且     M 中至少含有一个奇数元素,则这样的集合                 M 共有
________个.
    答案:6
    解析:集合{1,2,3}的所有子集共有              23=8(个),不含奇数元素的集合有{2},∅,共
2 个,故满足要求的集合          M 共有 8-2=6(个).
    7. 已知  A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},则            B⊆A 时,a=________.
    答案:1   或  2
    解析:验证     a=1  时 B=∅满足条件;验证        a=2  时 B={1}也满足条件.验证         a=3 时
    3+  5 3-  5
         ,
B={   2     2  },不满足条件.
    8. 已知集合    A={a},B={x|x2-5x+4<0 ,x∈Z},若        A⊆B,则   a 等于________.
    答案:2   或  3
    解析:由题意可得        B={x|10}.若        A⊆B,则实数     c 的取
值范围是________.
     答案:[1,+∞)


    解析:A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),
    B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c),
    因为  A⊆B,画出数轴,如图所示,得             c≥1.
    二、 解答题
                       1-x
    11.  已知集合     A={x|x-7>0},B={x|x2-2x-a2-2a<0}.若         A⊆B,求实数     a 的取
值范围.
     解:B={x|(x+a)(x-a-2)<0},
    ① 当  a=-1   时,B=∅,∴ A⊆B     不成立;
    ② 当  a+2>-a,即     a>-1 时,B=(-a,a+2).
                 -a ≤ 1,
    ∵ A⊆B,∴ {a+2    ≥ 7,)解得  a≥5;
    ③ 当  a+2<-a,即     a<-1 时,B=(a+2,-a).
                a+2 ≤ 1,
    ∵ A⊆B,∴ {    -a ≥ 7, )解得 a≤-7.
    综上,实数     a 的取值范围是(-∞,-7]∪[5,+∞).
                                                          1
    12. 设集合   A 的元素为实数,且满足① 1∉A,② 若              a∈A,则1-a∈A.
    (1) 若 2∈A,试求集合      A;
    (2) 若 a∈A,试求集合      A;
    (3) 集合  A 能否为单元素集合?若能,求出该集合;若不能,请说明理由.
                      1              1     1
     解:(1) 由题意知1-2=-1∈A,1-(-1)=2∈A,
       1
         1               1
      1-             -1,  ,2
    而    2=2,∴ A={       2  }.
                           1
                 1          1    a-1
                        1-
    (2) 由题意知1-a∈A,         1-a=   a ∈A,
         1
         a-1              1   a-1
      1-               a,    ,
    而     a =a.∴ A={     1-a   a }.
                                   1      a-1
    (3) 假设  A 为单元素集合,则必有1-a=a=             a ,
    ∴ a 为  a2-a+1=0   的根.
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    ∵ a2-a+1=0    无实根,
    ∴ 这样的    a 不存在,即     A 不可能是单元素集合.
    13.    (2018·溧阳中学周练)已知集合           A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,
n∈Z},C={x|x=6n+3,n∈Z}.
    (1) 若 c∈C,问是否存在       a∈A,b∈B,使      c=a+b.
    (2) 对于任意的     a∈A,b∈B,是否一定有         a+b∈C?并证明你的结论.
    解:(1) 令   c=6m+3(m∈Z),则     c=3m+1+3m+2.再令      a=3m+1,b=3m+2,则       c=
a+b.故若   c∈C,存在     a∈A,b∈B,使     c=a+b  成立.
      (2) 不一定有    a+b∈C.证明如下:设        a=3m+1,b=3n+2(m,n∈Z),则         a+b=
3(m+n)+3.因为    m,n∈Z,所以     m+n∈Z.若    m+n 为偶数,令     m+n=2k(k∈Z),则     3(m+n)+
 3=6k+3,此时     a+b∈C.若   m+n  为奇数,令     m+n=2k+1(k∈Z),则      3(m+n)+3=6k+
6=6(k+1),此时     a+b∉C.综上可知,对于任意的           a∈A,b∈B,不一定有        a+b∈C.第    2 课
                              时 集合的基本运算
    一、 填空题
    1.    已知集合    A={x|x>0},函数    f(x)=  (2-x)(x-3)的定义域为集合        B,则  A∩B=
________.
    答案:[2,3]
    解析:B={x|2≤x≤3}⇒A∩B=(0,+∞)∩[2,3]=[2,3].
    2.       已知集合     A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,
y∈Z},则   A∩B=________.
    答案:{(0,1),(-1,2)}
    解析:A,B    都表示点集,A∩B       即是由    A 中在直线   x+y-1=0    上的所有点组成的集合,
代入验证即可.
                                          x2
                                         x| +y2=1
    3.  (2018·河北衡水中学期初)设集合           A={   2       },B={y|y=x2-1},则    A∩B=
________.
    答案:[-1,      2]
            x2
    解析:由    2 +y2=1  得-   2≤x≤  2,即   A=[-   2, 2],由   B={y|y=x2-1},得    B=
[-1,+∞),则      A∩B=[-1,     2].
    4.      设全集   U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0},B⊆∁RA,则实数           a 的取值范围为
____________.
    答案:[-1,+∞)
    解析:∵ A={x|x>1},∴ ∁RA={x|x≤1}.如图所示.

    ∵ B={x|x<-a},要使      B⊆∁RA,则-a≤1,即      a≥-1.
                                π
    5.     (原创)集合    A={x|kπ+4≤x≤kπ+π,k∈Z},B={x|-2≤x≤2},则集合
A∩B=________.
                    π
                     ,2
    答案:[-2,0]∪[4       ]
                                  π             π            π
    解析:由已知集合        A=…∪[-π+4,-π+π]∪[4,π]∪[π+4,π+π]∪…,
                                                  π
B={x|-2≤x≤2},利用数轴表示易得             A∩B=[-2,0]∪[4,2].
    6.  某班有   36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小
组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为                     26,15,13,同时参加数学和物理小组
的有   6 人,同时参加物理和化学小组的有              4 人,则同时参加数学和化学小组的有
________人.
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    答案:8
    解析:由题意知,同时参加三个小组的人数为                   0,令同时参加数学、化学小组的人数
为  x,则有   20-x+6+5+4+9-x+x=36,故          x=8.


    7.  已知集合    A={x|1≤x<5},C={x|-a0,b≠1}.若集合
A∩B  只有一个真子集,则实数          a 的取值范围是________.
    答案:(1,+∞)
    解析:由于集合       B 中的元素是指数函数         y=bx 的图象向上平移一个单位长度后得到的
函数图象上的所有点,要使集合              A∩B 只有一个真子集,那么          y=bx+1(b>0,b≠1)与     y=
a 的图象只能有一个交点,所以实数              a 的取值范围是(1,+∞). 
    9. 给定集合    A,若对于任意      a,b∈A,有     a+b∈A,且    a-b∈A,则称集合       A 为闭集合,
给出如下三个结论:
    ① 集合   A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;
    ② 集合   A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;

    ③ 若集合    A1,A2 为闭集合,则      A1∪A2 为闭集合.
    其中正确的结论是________.(填序号)
    答案:②

    解析:-4+(-2)=-6∉A,所以①不正确;设                 n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,
k2∈Z,则   n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确;令           A1={x|x=2k,k∈Z},A2={x|x=3k,
k∈Z},则   A1,A2 为闭集合,但      A1∪A2 不是闭集合,所以③不正确.
    10.  设集合   A={x|x2+2x-3>0},集合      B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若      A∩B 中恰含
有一个整数,则实数         a 的取值范围是________.
           3 4
           ,
    答案:[4    3)
    解析:A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1      或  x<-3},因为函数      y=f(x)=x2-2ax-1   的对
称轴为   x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使              A∩B 中恰含有一个整数,则这个整数
                                                    3
                                                 a ≥ ,
                                                    4
                                4-4a-1  ≤ 0,        4   3    4
                                                 a < ,
                                 -   -    ,     {     )
为  2,所以有    f(2)≤0 且  f(3)>0,即{9   6a  1 > 0 )所以    3  即4≤a<3.
    二、 解答题
    11.  已知集合    A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,a2+1}.若             A∩B={-3},求
A∪B.
    解:由   A∩B={-3}知:-3∈B,又         a2+1≥1,故①       当  a-3=-3   时,a=0,此时
A={0,1,-3},B={-3,-2,1},由于             A∩B≠{-3},故     a=0 舍去;②      当 a-2=-
3 时,a=-1,此时       A={0,1,-3},B={-3,-4,2},满足            A∩B={-3},从而
A∪B={-4,-3,0,1,2}.
    说明:由-3∈B      对  B 的元素进行讨论,注意对          a 的值进行验证,防止增解.
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                 2x-1                               π π
                x|     ≥ 1                        -  ,
    12. 已知  A={   x+3    },B={y|y=asin θ,θ∈[        6 2],a∈R}.
    (1) 求 A;
    (2) 若 A∩B=∅,求     a 的取值范围.
              2x-1        2x-1-(x+3)
    解:(1)   由  x+3 ≥1,得       x+3     ≥0,解得    x<-3 或  x≥4,∴     A=(-∞,-
3)∪[4,+∞).
                  π  π    1                                            π  π
                 - ,                                                  - ,
    (2)   由 θ∈[   6  2]得-2≤sin     θ≤1,所以     B={y|y=asin    θ,θ∈[     6  2],
          a
        -  ,a ,a > 0,
        [ 2  ]
          {0},a=0,
             a
       { a,-  ,a < 0. )
a∈R}=   [    2]
                                     1
                              -3  ≤ - a,
                                     2
    ∵ A∩B=∅,∴当      a>0 时,有{     a < 4  )⇒00},B={x|x2-4x+a=0,a∈R}.
    (1) 存在  x∈B,使得     A∩B≠∅,求    a 的取值范围;
    (2) 若 A∩B=B,求     a 的取值范围.
    解:(1) 由题意得      B≠∅,故    Δ=16-4a≥0,解得       a≤4 ①.
    令 f(x)=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,其对称轴为直线              x=2.
    ∵ A∩B≠∅,又     A=(-∞,-1)∪(3,+∞),∴ f(3)<0,解得              a<3 ②.
    由①②得    a 的取值范围是(-∞,3).
    (2) ∵ A∩B=B,∴ B⊆A.
    当 Δ=16-4a<0,即      a>4 时,B 是空集,这时满足        A∩B=B;
    当 Δ=16-4a≥0     时,a≤4 ③.
    令 f(x)=x2-4x+a,其对称轴为直线           x=2.
    ∵ A=(-∞,-1)∪(3,+∞)≠∅,
    ∴ f(-1)<0,解得     a<-5 ④.
    由③④得    a<-5.
     综上,a   的取值范围是(-∞,-5)∪(4,+∞).第                3 课时 简单的逻辑联结词、量
                                      词
    一、 填空题
    1. 给出下列命题:
    ① 原命题为真,它的否命题为假;
    ② 原命题为真,它的逆命题不一定为真;
    ③ 一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;
    ④ 一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真.
    其中真命题是________.(填序号)
    答案:②③
    解析:原命题为真,它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故
①④错误,②③正确.
                                                                          1 1
    2. 已知命题    p:若实数    x,y  满足  x2+y2=0,则    x,y 全为  0;命题    q:若  a>b,则a0 且 x2>0”是“x1+x2>0   且  x1x2>0”的________条件.
    答案:充要

    解析:由条件显然易得结论,由              x1x2>0 可得 x1,x2 同号,由    x1+x2>0 可得  x1,x2 同
正.
    5.  已知命题    p:点   P 在直线  y=2x-3   上;命题    q:点  P 在直线   y=-3x+2   上.则使
命题“p   且  q”为真命题的点       P 的坐标是______________.
    答案:(1,-1)
    解析:命题“p      且  q”为真命题的含义是这两个命题都是真命题,即点                     P 既在直线    y=
2x-3  上,又在直线      y=-3x+2   上,即点    P 是这两条直线的交点.
    6.      若命题“∃x∈R,使得        x2+(1-a)x+1<0”是真命题,则实数           a 的取值范围是
________.
    答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)
    解析:由题意可知,Δ=(1-a)2-4>0,解得               a<-1 或  a>3.
    7. 已知条件    p:|x+1|>2,条件     q:x>a,且綈     p 是綈 q 的充分不必要条件,则          a 的取
值范围是________.
    答案:[1,+∞)
    解析:綈    p 是綈  q 的充分不必要条件的等价命题为             q 是 p 的充分不必要条件,即
q⇒p,而   p⇒,/)q,条件    p 化简为   x>1 或 x<-3,所以当     a≥1 时,q⇒p.
    8. (2018·溧阳中学周测)下列说法中错误的是________.(填序号)

    ①      命题“∃x1,x2∈M,x1≠x2,有[f(x1)-f(x2)]·(x2-x1)>0”的否定是“∀x1,

x2∉M,x1≠x2,有[f(x1)-f(x2)](x2-x1)≤0”;
    ② 若一个命题的逆命题为真命题,则它的否命题也一定为真命题;
                               1
    ③ 已知   p:x2+2x-3>0,q:3-x>1,若(綈         q)∧p 为真命题,则实数        x 的取值范围是
(-∞,-3)∪(1,2)∪[3,+∞);
    ④  “x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件.
    答案:①③④

    解析:因为命题“∃x1,x2∈M,x1≠x2,有[f(x1)-f(x2)]·(x2-x1)>0”的否定是

“∀x1,x2∈M,x1≠x2,有[f(x1)-f(x2)](x2-x1)≤0”,所以命题①不正确;由于一个命
题的逆命题与否命题是等价命题,而且同真假,故命题②正确;由于不等式                                x2+2x-
                                1
3>0 的解集是    x>1 或 x<-3,不等式3-x>1     的解集是     2f(2x-1);命题    q:实数   x 满足不等式     x2-(m+1)x+m≤0.若綈      p 是綈  q 的充分不必要
条件,则实数      m 的取值范围是________.
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    答案:(0,2)
    解析:綈    p 是綈  q 的充分不必要条件,等价于           p 是 q 的必要不充分条件.由题意得
f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,由                          p:       f(x+
1)>f(2x-1)得  f(|x+1|)>     f(|2x-1|),即|x+1|>|2x-1|,解得        0 0,
                                2                                   2
    ⇔{    -m  < 0   )⇔m>2.q:4x  +4(m-2)x+1=0    无实根⇔Δ2=16(m-2)       -
16<0⇔1 2,
    ① 当  p 真且  q 假时,有{m    ≤ 1或m ≥ 3)⇒m≥3;
                          m ≤ 2,
    ② 当  p 假且  q 真时,有{1    < m < 3)⇒10},且          A∩B=∅.求实数
a 的取值范围,使命题         p,q 中有且只有一个为真命题.
                   (a-2)2(a+5)
    解:由   f(a)<0 得     a-7    <0,
    整理得   p:-5-4.
    由题意,若     p 真 q 假,则-5
	
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