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福建省南安市2016_2017学年高二数学下学期第一次阶段考试3月试题理

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福建省南安市           2016-2017   学年高二数学下学期第一次阶段考试(3                            月)试

                                      题 理
                             第Ⅰ卷(选择题  共        60 分)
一.选择题:本大题共          12 小题,每小题     5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.6 名同学安排到      3 个社区   A, B,C 参加志愿者服务,每个社区安排两名同学,其中甲同学必须到

A 社区,乙和丙同学均不能到           C 社区,则不同的安排方法种数为(     )
   A.5        B.6              C. 9                        D.12

      10    8     n
2.若  Cn  Cn ,则  C20  (    )

   A.380           B.190         C. 18          D.9

3.某班某学习小组共         7 名同学站在一排照相,要求同学甲和乙必须相邻,同学丙和丁不能相邻,

则不同的站法共有(    )种.

       5  2             2  4 2             2  5 2              2 4 2
   A. A5 A6          B. A2 A4 A4          C. A2 A5 A6          D. A2 A4 A5

4.已知   X 的分布列如右,设Y          6X 1,则Y   的数学期        X    -1     0     1   望
E(Y ) 的值是(     )                                          1     1
                            1           29          P                a
   A.0      B.1       C.           D.                    2     6
                            6           36
5.甲、乙两人进行乒乓球比赛,甲              与乙实力之比为       3∶2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在
5 局 3 胜制中,甲打完      4 局才胜的概率为(     )
          2    1             3    2             3    2               3   2
   A. C3 ( )3 ( )     B. C3 ( )3 ( )     C. C 2 ( )2 ( )    D. C 2 ( )3 ( )
       4  3    3          4  5    5          3  5    5            3  5   5

                  5
6.在  2  x1 2x 的展开式中,     x2 项的系数为(     )

   A. 150           B. 90            C. 70               D. 30

          5             2    3     4    5
7.若  (x  2)  a0  a1x  a2 x  a3 x  a4 x  a5 x ,则 a1  a2  a3  a4  a5  (     )
   A. 1            B. 31          C.  33               D. 31
                                                         S
8.在面积为     S 的 ABC  的内部任取一点       P ,则  PBC  的面积小于       的概率为(     )
                                                         2
      3                1                 2                  1
   A.               B.                C.                 D.
      4                4                 3                  2
9.将  4 本不同的书全部分给        3 个学生,每个学生至少一本,则不同的分法种数(     )种

   A.12          B.36               C.72              D.108
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                                           1   1
10.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为                      和   ,甲、乙两人各射击一次,有下列说法:
                                           2   3


                            1   1                                  1  1
① 目标恰好被命中一次的概率为                  ;  ② 目标恰好被命中两次的概率为                   ; 
                            2   3                                  2  3

                     1  2   1  1                               1  2
③ 目标被命中的概率为                  ;    ④ 目标被命中的概率为 1                .
                     2  3   2  3                               2  3

以上说法正确的序号依次是(       )

   A.②③            B.①②③             C.①③              D.②④

11.将三颗骰子各掷一次,设事件             A  “三个点数都不相同”,          B  “至少出现一个       6 点”,则概

率 P(A | B)  (     )
      1               5                 60                91
   A.              B.                C.               D.
      2               18                91               216
12.设集合    I  {1,2,3,4,5} ,选择 I 的两个非空子集      A 和 B ,要使   B 中最小的数大于       A 中最大的

数,则不同的选择方法共有(     )

   A.47 种         B.48  种           C.49  种           D.50  种 


                            第Ⅱ卷(非选择题   共         90 分)
二.填空题:本大题共          4 小题,每小题     5 分.
13.乒乓球队的      8 名队员中有    3 名主力队员,要派        5 名队员参加团体比赛,其中的            3 名主力队员安
排在第一、第三、第五位置,其余              5 名队员选    2 名安排在第二、第四位置,那么不同的出场安排共
有           种.(用数字作答)

14.已知随机变量       服从正态分布      N(2, 2 ) , P(  3)  0.74 ,则 P( 1)                .

15.某同学动手做实验:《用随机模拟的方法估计圆周率的值》,在左下图的

正方形中随机撒豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,若他随机

地撒  500 粒统计得到落在圆内的豆子数为             390 粒,则由此估计出的圆周率            的

值为            .(精确到      0.01 )

                   1
16.把二项式     ( x      )8 的展开式中所有的项重新排成一列,则其中有理项都互不相邻的概率为               
                 2 4 x

.
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三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
                                1
17.(本小题满分       10 分)已知   (2x2   )n 的展开式二项式系数和比它的各项系数和大                 31.
                                x
(Ⅰ)求展开式中含有          x 4 的项;

(Ⅱ)求展开式中二项式系数最大的项.


18.(本小题满分       12 分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出

现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得                              10 分,出现两次音乐获

得 20 分,出现三次音乐获得         100 分,没有出现音乐则扣除           200 分(即获得-200     分).设每次击
                  1
鼓出现音乐的概率为          ,且各次击鼓是否出现音乐相互独立.
                  2
(Ⅰ)设每盘游戏获得的分数为             X ,求   X 的分布列和数学期望         E(X ) ;

(Ⅱ)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?


19.(本小题满分       12 分)用数字    0,1,2,3,4,5     组成没有重复数字的四位数.

(Ⅰ)可以组成多少个不同的四位数?

(Ⅱ)若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则这样的四位数有多少个?

(Ⅲ)将(Ⅰ)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列,问第                           85 项是什么?


20.(本小题满分       12 分)一个口袋中装有大小形状完全相同的                n  3 个乒乓球,其中有       1 个乒乓球

上标有数字     0,有  2 个乒乓球上标有数字         2,其余   n 个乒乓球上均标有数字         3 (n N * ) ,若从这个
                                                             8
口袋中随机地摸出        2 个乒乓球,恰有一个乒乓球上标有数字                2 的概率是      .
                                                            15
(Ⅰ)求    n 的值;

(Ⅱ)从口袋中随机地摸出           2 个乒乓球,设      表示所摸到的       2 个乒乓球上所标数字之和,求            的分

布列和数学期望       E .
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21.(本小题满分       12 分)某公司在新年晚会上举行抽奖活动,有甲,乙两个抽奖方案供员工选

择.
                                                   4
方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为                          ,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结
                                                   5
束,若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖,规定:若抛出硬币,

反面朝上,员工则获得          500 元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,

且在第二次抽奖中,若中奖,则获得               1000 元;若未中奖,则不能获得奖金.
                                       2
方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为                     ,每次中奖均可获得奖金           400 元.
                                       5
(Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金                   X (元)的分布列;

(Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算?

(Ⅲ)已知公司共有         100 人在活动中选择了方案甲,试估计这些员工活动结束后没有获奖的人数.


22.(本小题满分       12 分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每
                                                                  1
局比赛结束时,负的一         方在下一局当裁判,假设每局比赛中,甲胜乙的概率为                         ,甲胜丙、乙胜
                                                                   2
            2
丙的  概率都为      ,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.
            3
(Ⅰ)求第三局甲当裁判的概率;

(Ⅱ)记前     4 局中乙当裁判的次数为         X ,求   X 的概率分布与数学期望;

(Ⅲ)已知第三局甲当裁判,求前              4 局中乙当裁判的次数恰好为            1 次的概率.
            2016 ~2017 学年度下学期第一次阶段考高二数学理科试卷   参考答案

一.选择题:本大题共          12 小题,每小    题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的.
1~6  CBDADC      7~12  DABDCC


7.解析:令     x  0  a0  32 ,令 x 1 a0  a1  a2  a3  a4  a5  1


   a1  a2  a3  a4  a5  1 a0  31 ,故选 D.
                                                                     S
8.解析:EF    为△ABC  的中位线.当点       P 位于四边形     BEFC 内时,S△PBC  的面积小于       ,
                                                                     2
                                                         3
                                                          S
          1          3                     S             4     3
又∵S△AEF=    S,SBEFC=   S.∴△PBC   的面积小于       的概率为    P=     =   .故选    A
          4          4                     2             S     4

                                                 2
9.第一步从     4 本书中选出    2 本组成一个复合元素,共有           C4  6 种,第二步把      3 个元素(包含一个

                       3
复合元素)分给三个学生           A3  6 ,根据分步计数原理不同的分法种数有              66  36 种,故选    B 

                                                     1   1
10.解析:因为甲.乙两人练习射击,               命中目标的概率分别为            和   , 甲.乙两人各射击一次,有
                                                     2   3

                       1   1                        1  2
标恰好被命中两次的概率为               和目标被命中的概率为 1               ,故选   D
                       2   3                        2  3

                  60   60              53   91                              60
11.解析:    P(AB)          , P(B) 1         ,∴  P(A | B)  P(AB)  P(B) 
                  63   216             63  216                              91

12.解析:集合      A.B 中没有相同的元素,且都不是空集,

                             2
从 5 个元素中    选出  2 个元素,有    C5 =10 种选法,小的给       A 集合,大的给     B 集合;

                             3
从 5 个元素中选出      3 个元素,有    C5 =10 种选法,再分成      1.2  两组,较小元素的一组给           A 集合,较

大元素的一组的给        B 集合,共有    2×10 = 20  种方法;

                             4
从 5 个元素中选出      4 个元素,有    C5 =5 种选法,再分成      1.3;2.2;3.1     两组,较小元素的一组

给 A 集合,较大元素的一组的给           B 集合,共有     3×5 = 15 种方法;

                             5
从 5 个元素中选出      5 个元素,有    C5 =1 种选法,再分成      1.4;2.3;3.2;4.1       两组,较小元素

的一组给    A 集合,较大元素的一组的给           B 集合,共有     4×1= 4 种方法;

总计为   10+20+15+4 = 49 种方法.
二.填空题:本大题共          4 小题,每小题     5 分.
                                                   5
13 .120        14.0.26         15.3.12        16.
                                                   12

                                                     3
13.解析: 3     名主力队员安排在第一、第三、第五位置,有                   A3 种排法,其余      5 名队员选   2 名安排

                     2                           3 2
在第二、第四位置,有          A5 种排法.那么不同的排法共有            A3 A5 =120 种.
14.解析: ξ~N(2,σ2),所以           P(2≤ξ≤3)=P(1≤ξ≤2),P(ξ>2)=P(ξ<2),
    故 P(ξ≤1)=P(ξ>3)=1-P(ξ≤3)=1-0.74=0.26.

                                                     390    a2        4390
15.解析:设正方形边长为          2a ,则内切圆的半径为         a ,由题意            ,∴           3.12
                                                     500   4a2          500

                   1                                        1      1      163r
16.由二项式     ( x      )8 展开式的通项公式得:T            C r ( x)8r ( )r  ( )r C r x 4  
                 2 4 x                      r1   8       2 4 x    2    8

                                                                      9
  可知当   r  0,4,8 时为有理项,其余      6 项为无理项。  展开式的         9 项全排列共有      A9 种,

                                                                         6  3
  有理项互不相邻可把         6 个无理项全排列,把        3 个有理项在形成的       7 个空中插孔,有       A6 A7 种。

                               A6 A3   5
  故有理项都互不相邻的概率为                 6  7     .
                           P     9 
                                A9    12
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

                                     n               0    1         n    n
17.解析:令     x 1得展开式各项系数和为1           ,二项式系数为       Cn  Cn … …  Cn  2 ,

   由题意得:     2n 1n  31,解得  n  5 .         3 分
                      1
(1)T     C r (2x2 )5r ( )r  (1)r 25r C r x103r 当10  3r  4  r  2 ,  
      r1  5          x              5    , 
                   1
   ∴T   C 2 (2x2 )3 ( )2  80x4  为所求.      6 分
      3   5         x
(2)∵    n  5 ,∴展开式共     6 项,二项式系数最大项为第三、四项,      8               分
                  1                           1
  ∴T   C 2 (2x2 )3 ( )2  80x4 , T  C3 (2x2 )2 ( )3  40x  为所求.           10 分
     3   5         x            4    5        x
18.解析:(Ⅰ)       X 可能的取值为      10,20,100,-200.       1     分

                              1        2                            2         1
                           1      1    3                      1     1    3
依题意,有              =   1 ×     ×        =   ,             =  2 ×     ×         =   ,
          P(X 10)   C3        1           P(X  20)   C3        1  
                           2      2    8                      2     2    8

                     3         0                                   0         3
                  1      1    1                             1      1    1
           =  3 ×     ×         =   ,                   =   0 ×     ×         =   .     
P(X  100)   C3       1                P(X   200)   C3       1   
                  2      2    8                             2      2    8

5 分

所以  X 的分布列为:  

    X           10           20          100         -200
                 3           3            1           1
    P
                 8           8            8           8
                                                                         6 分

                 
                          3       3        1        1     5
  X 的数学期望为      E(X)=10×    +20×    +100×    -200×    =   .          8  分
                          8       8        8        8     4

(Ⅱ)设“第      i 盘游戏没有出现      音乐”为事件      Ai (i=1,2,3),

                                                              3
                                                           1       1    511
则“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为                                =1-       =1-      =     .
                                         1 P(A1 A2 A3 )    
                                                           8      512   512
                                         511
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是                        .             12 分
                                         512

                 1 3    6    3
19.解析:(Ⅰ)       A5 A5  A6  A5  300 .            4 分

       1  3 2
(Ⅱ)   A5C5 A2  100 .               8 分

                         3                                           2
(Ⅲ)千位是      1 的四位数有    A5 =60 个,千位是    2,百位是     0 或者  1 的四位数有    2 A4  24 个,则第

85 项是 2301.                      12 分

                     C1  C1   8
                       n1 2 
                        2              2
20.解析:(Ⅰ)由题设          Cn3    15 ,即  2n  5n  3  0 ,解得 n  3 .  5 分

(Ⅱ)   的可能取值为      2,3,4,5,6.            6     分

              1  1                    1 1                     2
             C1C2   2               C1C3   1                C2    1
   P(  2)   2          P(  3)   2         P(  4)   2 
              C6    15 ,             C6    5 ,              C6   15 ,

              1 1                     2
             C2C3   2                C3   1
   P(  5)   2          P(  6)  2 
              C6    5 ,              C6   5 .                         10 分
 的分布列为:

            2         3         4         5         6

             2         1         1         2        1
   P
            15         5        15         5        5

          11 分


          2     1     1     2     1  13
 E( )  2  3   4   5   6 
          15    5    15     5     5   3 .            12 分

21.解析:(Ⅰ)       X 可能的取值为      0,500,1000           1  分

           1  4 1  1   7                4  1   2                 4  1  4   8
P(X   0)              P(X  500)           P(X 1000)       
           5  5 2  5   25 ,             5  2   5  ,              5  2  5  25   4 分

所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金                 X (元)的分布列为

    X            0          500         1000

                 7           2            8
    P
                25           5           25
                                                                     5 分

               

                                                       2        8
                                           E(X  )  500 1000     520
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,方案甲抽奖所获奖金                 X 的均值               5        25      ,   6 分

                                   2              2   6
                            ~ B(3, )     E( )  3 
若选择方案乙进行抽奖中奖次数                     5 ,则           5   5  ,              8 分

              '          '
抽奖所获奖金      X 的均值   E(X  )  E(400 )  400E( )  480  ,故选择方案甲较划算.    10       分

                                        7                                 7
                                                                Y ~ B(100,  )
(Ⅲ)由(Ⅰ)知选择方案甲不获奖的概率                  为 25 ,这些员工不获奖的人数                     25 ,

             7
 E(Y ) 100     28
             25     ,故这些员工不获奖的人数约为              28 人。        12 分
                                               1                            2
22.解析:(Ⅰ)第        2 局中可能是乙当裁判,其概率为              ,也可能是丙当裁判,其概率为                ,
                                               3                            3
                       1  1  2 1  4
所以第   3 局甲当裁判的概率为               .             4 分
                       3  3  3 2  9
(Ⅱ)   X 可能的取值为     0,1,2 .                      5 分
          2 1  2  2               1  1 2  2  1  2  1  2 1 1  17
 P(X  0)      ;     P(X 1)  (      )           ;
          3 2  3  9               3  3 3  3  2  3  2  3 2 3   27
          1  2 1  1 1    4
 P(X  2)  (     )   .                    8 分
          3  3 2  3  3  27
                        2     17     4   25
所以  X 的数学期望    E(X )  0 1    2      .           9 分
                        9     27    27   27
(Ⅲ)记第三局甲当裁判的事件为            A,前  4 局中乙当裁判的次数恰好为         1 次的事件为   B,
                   4                1 1  2  2 1 1   5
  由(Ⅰ)知:     P(A)   ,     又 P(AB)             ,     11 分
                   9                3 3  3  3 2 3  27
                          5
                  P(AB)        5
  则所求为   P(B | A)       27    .        12 分
                   P(A)   4   12
                          9
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