网校教育资源平台

吉林省通化市梅河口五中2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)

评价文档:
文档评论: 0

相关文档推荐

重庆市巴蜀中学2018_2019学年高二数学上学期期中复习试题2018110602193
免费
重庆市綦江中学2018_2019学年高二数学上学期半期考试试题文无答案2018111201143
免费
重庆市綦江中学2018_2019学年高二数学上学期半期考试试题理PDF无答案20181112012
免费
【全国百强校】重庆市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考数学(理)试题
免费
【全国百强校】重庆市巴蜀中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题(图片版)
免费
【全国百强校word】重庆市巴蜀中学2017-2018学年高二上学期期末考试文数试题
免费
【全国百强校】重庆市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考数学(文)试题
免费
【全国百强校】2017-2018学年重庆市第一中学高二上学期期中考试文数(详细答案版)
免费
【全国百强校】重庆市巴蜀中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(图片版)
免费
【全国百强校word】重庆市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试理数试题
免费
【全国百强校word】重庆市巴蜀中学2017-2018学年高二上学期期末考试理数试题
免费
【全国百强校】重庆市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(图片版)
免费
【全国百强校word】重庆市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试文数试题
免费
河北省承德市联校2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题
免费
河北省承德市联校2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
免费
重庆市第十八中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题(pdf版)
免费
重庆市大学城第一中学校2017-2018学年高二上学期半期考试数学(理)试题
免费
重庆市第十八中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题(pdf版)
免费
重庆市铜梁县第一中学2017-2018学年高二上学期数学期末复习知识点
免费
重庆市第四十二中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题
免费

高中数学审核员

中国现代教育网
分享到:
0积分 下载
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 2016-2017  学年吉林省通化市梅河口五中高二(下)期中数学试
                             卷(理科)

  

 一、选择题(共       12 道小题,每小题       5 分,共   60 分)

 1.若复数    z 满足  z(1+i)=4﹣2i(i 为虚数单位),则|z|=(  )

 A.     B.     C.     D.
 2.下列值等于      1 的积分是(  )

 A.     xdx B.   (x+1)dx     C.     1dx D.      dx

           7  7  8
 3.已知   Cn+1 ﹣Cn =Cn ,那么 n 的值是(  )

 A.12   B.13   C.14   D.15
 4.某人射击一次击中的概率为             0.6,经过   3 次射击,此人至少有两次击中目标
的概率为(  )

 A.     B.     C.     D.
 5.一组数据的平均数是          2.8,方差是    3.6,若将这组数据中的每一个数据都乘以
2 后再加上     60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是(  
)

 A.62.8,3.6    B.62.8,14.4   C.65.6,3.6    D.65.6,14.4
 6.已知   f(x)是定义在      R 上偶函数且连续,当         x>0 时,f′(x)<0,若
 f(lg(x))>f(1),则        x 的取值范围是(  )

 A.(    ,1)    B.(0,     )∪(1,+∞)          C.(    ,10)   D.(0,1)
 ∪(10,+∞)

 7.设随机变量      ξ~B(2,p),η~B(4,p),若                      ,则  P(η≥2)
的值为(  )

 A.     B.     C.     D.
 8.过曲线    y=x3+bx+c 上一点  A(1,2)的切线方程为          y=x+1,则  bc 的值为(  
 )
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 A.﹣6   B.6    C.﹣4   D.4

 9.两封信随机投入        A,B,C   三个空邮箱,则       A 邮箱的信件数      ξ 的数学期望
 Eξ=(  )

 A.     B.     C.     D.

 10.已知函数     f(x)=x•sinx,x∈R,则                 及       的大小关系是(  
 )

 A.                      B.                       C.

                      D.
 11.定义在    R 上的函数    f(x)满足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式
exf(x)>ex+3(其中      e 为自然对数的底数)的解集为(  )

 A.(0,+∞)      B.(﹣∞,0)∪(3,+∞)             C.(﹣∞,0)∪(0,+∞)

    D.(3,+∞)

 12.已知   f(x)=   x3﹣x2+ax+m,其中  a>0,如果存在实数         t,使  f′(t)<0,则

 f′(t+2)•f′(     )的值(  )
 A.必为正数        B.必为负数        C.必为非负        D.必为非正
  

 二、填空题(共       4 道小题,每小题       5 分,共   20 分)

 13.(   +x)(1﹣    )6 的展开式中     x 的系数是          .

 14.把一枚硬币任意抛掷三次,事件               A=“至少一次出现反面”,事件           B=“恰有一
次出现正面”,求        P(B|A)=        .

 15.若函数    f(x)=lnx+x+  ﹣a 有零点,则     a 的取值范围是           .

 16.由正整数组成的一组数据            x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是             2,且标
 准差等于    1,则这组数据为             .(从小到大排列)
  
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 三、解答题(共计        70 分,要求书写解答过程)

               n                     2           n           *
 17.已知(x+1)     =a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)  +…+an(x﹣1)  ,(其中     n∈N ).

 (1)求   a0 及 sn=a1+a2+…+an;

                        n   2
 (2)试比较     sn 与(n﹣2)•2  +2n 的大小,并用数学归纳法给出证明过程.

 18.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业
 能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已

 知参加过财会培训的有          60%,参加过计算机培训的有            75%,假设每个人对培训
 项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.

 (1)任选    1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率;
 (2)任选    3 名下岗人员,记       X 为 3 人中参加过培训的人数,求            X 的概率分布和
 期望.

 19.已知函数     f(x)=ax+lnx,x∈[1,e]
 (Ⅰ)若    a=1,求  f(x)的最大值;
 (Ⅱ)若    f(x)≤0   恒成立,求     a 的取值范围.
 20.某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加                      A、B、C、D、E     五项考试,
如果前四项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;
考生未被淘汰时,一定继续参加后面的考试.已知每一项测试都是相互独立的,

该生参加     A、B、C、D    四项考试不合格的概率均为              ,参加第五项不合格的概率

 为  ,
 (1)求该生被录取的概率;
 (2)记该生参加考试的项数为             X,求   X 的分布列和期望.

 21.已知函数     f(x)=           (x>0).
 (Ⅰ)试判断函数        f(x)在(0,+∞)上单调性并证明你的结论;

 (Ⅱ)若    f(x)>      对于∀x∈(0,+∞)恒成立,求正整数               k 的最大值;

 (Ⅲ)求证:(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)…[1+n(n+1)]>e2n﹣3.

  

 请考生在第     22、23、24   三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 分.作答时请写清题号.[选修             4-1:几何证明选讲]
 22.如图,已知      PE 切圆  O 于点  E,割线    PBA 交圆  O 于 A,B  两点,∠APE     的平
 分线和   AE、BE  分别交于点     C,D
 (Ⅰ)求证:CE=DE;

 (Ⅱ)求证:         =  .


  

 [选修  4-4:极坐标系与参数方程]


 23.在直角坐标系       xoy 中,曲线    C1 的参数方程为                ,(α   为参数),

以原点    O 为极点,x    轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线                  C2 的极坐标方程为

                  .

 (1)求曲线     C1 的普通方程与曲线        C2 的直角坐标方程;

 (2)设   P 为曲线   C1 上的动点,求点       P 到 C2 上点的距离的最小值.
  

 [选修  4-5:不等式选讲]

 24.已知函数     f(x)=|2x﹣a|+a.

 (1)若不等式      f(x)≤6   的解集为{x|﹣2≤x≤3},求实数          a 的值;

 (2)在(1)的条件下,若存在实数               n 使 f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,求实数          m 的
 取值范围.
  
               中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 2016-2017    学年吉林省通化市梅河口五中高二(下)期
                     中数学试卷(理科)

                            参考答案与试题解析

 

一、选择题(共       12 道小题,每小题       5 分,共   60 分)

1.若复数    z 满足  z(1+i)=4﹣2i(i 为虚数单位),则|z|=(  )

A.     B.     C.     D.
【考点】A8:复数求模.
【分析】把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复
数模的公式计算.

【解答】解:由       z(1+i)=4﹣2i,得

                              ,

∴                    .

故选:D.
 

2.下列值等于      1 的积分是(  )

A.     xdx B.   (x+1)dx     C.     1dx D.      dx
【考点】69:定积分的简单应用.
【分析】分别求出被积函数的原函数,然后根据定积分的定义分别计算看其值

是否为   1 即可.

【解答】解:选项        A,     xdx= x2  =  ,不满足题意;

选项  B,    (x+1)dx=(     x2+x)   = +1=  ,不满足题意;

选项  C,     1dx=x  =1﹣0=1,满足题意;

选项  D,       dx= x  =  ﹣0= ,不满足题意;
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 故选  C.
  

           7  7  8
 3.已知   Cn+1 ﹣Cn =Cn ,那么 n 的值是(  )

 A.12   B.13   C.14   D.15
 【考点】D5:组合及组合数公式.

                                         8  7    8       7    8
 【分析】根据题意,由组合数的性质,可得                   Cn +Cn =Cn+1 ,即 Cn+1 =Cn+1 ,再结
 合组合数的性质,分析可得答案.
 【解答】解:根据题意,

    7 7   8               7  8   7
 Cn+1 ﹣Cn =Cn ,变形可得,Cn+1  =Cn +Cn ,

                       8  7    8
 由组合数的性质,可得          Cn +Cn =Cn+1 ,

      7    8
 即 Cn+1 =Cn+1 ,
 进而可得    8+7=n+1,
 解可得   n=14,
 故选  C.
  

 4.某人射击一次击中的概率为             0.6,经过   3 次射击,此人至少有两次击中目标
的概率为(  )

 A.     B.     C.     D.
 【考点】CA:n     次独立重复试验中恰好发生             k 次的概率.
 【分析】本题是一个         n 次独立重复试验恰好发生           k 次的概率,至少有两次击中
 目标包括两次击中目标或三次击中目标,这两种情况是互斥的,根据独立重复
 试验概率公式和互斥事件的概率公式得到结果.

 【解答】解:由题意知,本题是一个                n 次独立重复试验恰好发生           k 次的概率,
 射击一次击中的概率为          0.6,经过   3 次射击,
 ∴至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标,这两种情况是互斥
 的,

                               2  2       3  3
 ∴至少有两次击中目标的概率为              C3 0.6 ×0.4+C3 0.6 =   =
 故选  A.
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

  

 5.一组数据的平均数是          2.8,方差是    3.6,若将这组数据中的每一个数据都乘以
2 后再加上     60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是(  
)

 A.62.8,3.6    B.62.8,14.4   C.65.6,3.6    D.65.6,14.4
 【考点】BB:众数、中位数、平均数;BC:极差、方差与标准差.
 【分析】首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式,把数据都乘以

 2 后再加上    60,再表示出新数据的平均数和方差的表示式,两部分进行比较,
得到结果.


 【解答】解:设这组数据分别为              x1,x2,xn,则    = (x1+x2+…+xn),


        2             2           2
 方差为   s =  [(x1﹣2.8) +…+(xn﹣2.8)  ]=3.6,

 每一组数据都乘以        2 后再加上    60,


  ′= (2x1+2x2+…+2xn+60n)=2  +60=2.8×2+60=65.6,


      2                        2                2
 方差  s′ ═       [(2x1+60﹣65.6) +…+(2xn+60﹣65.6)  ]=4[       [(x1﹣2.8)

 2           2     2
 +…+(xn﹣2.8)  ]]=4s =4×3.6=14.4.

 故选  D
  

 6.已知   f(x)是定义在      R 上偶函数且连续,当         x>0 时,f′(x)<0,若
 f(lg(x))>f(1),则        x 的取值范围是(  )

 A.(    ,1)    B.(0,     )∪(1,+∞)          C.(    ,10)   D.(0,1)
 ∪(10,+∞)
 【考点】3N:奇偶性与单调性的综合;4O:对数函数的单调性与特殊点.
 【分析】由已知中函数          f(x)是定义在      R 上偶函数且连续,当         x>0 时,f′(x)
 <0,结合函数单调性与导数的关系及偶函数在对称区间上单调性相反,我们可
 以判断出函数的单调性,进而将不等式                 f(lg(x))>f(1),转化为一个对数
 不等式,再根据常用对数的单调性,即可得到答案.
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 【解答】解:∵f(x)是定义在            R 上偶函数
 当 x>0 时,f′(x)<0,此时函数为减函数
 则 x<0 时,函数为增函数
 若 f(lg(x))>f(1),

 则﹣1<lg(x)<1

 则   <x<10
 故选  C.
  

 7.设随机变量      ξ~B(2,p),η~B(4,p),若                      ,则  P(η≥2)
的值为(  )

 A.     B.     C.     D.
 【考点】CN:二项分布与          n 次独立重复试验的模型.

 【分析】根据随机变量          ξ~B(2,p),                ,写出概率的表示式,求
 出其中   P 的值,把求得的       P 的值代入    η~B(4,p),求出概率.

 【解答】解:∵随机变量           ξ~B(2,p),                ,

 ∴1﹣  p0•(1﹣p)2=   ,

 ∴P=  ,

 ∴η~B(4,     ),

 ∴P(η≥2)=                             +          =  ,

 故选  B.
  

 8.过曲线    y=x3+bx+c 上一点  A(1,2)的切线方程为          y=x+1,则  bc 的值为(  
 )

 A.﹣6   B.6    C.﹣4   D.4
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
 【分析】由点      A(1,2)在曲线上,和点           A 处的导数值为      1 可建立关于     b、c 的
方程组,解之代入可得答案.

 【解答】解:求导可得          y′=3x2+b,

 由题意可得             ,

 解得       ,

 则 bc=﹣6.

 故选  A.
  

 9.两封信随机投入        A,B,C   三个空邮箱,则       A 邮箱的信件数      ξ 的数学期望
 Eξ=(  )

 A.     B.     C.     D.
 【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差.
 【分析】先求出两封信随机投入              A,B,C   三个空邮箱的所有情况,再求出投入
A 邮箱的信件数分别是          0,1,2  的情况及其概率,进而即可得出数学期望.
 【解答】解:两封信随机投入             A,B,C   三个空邮箱,共有        32=9 种情况.

 则投入   A 邮箱的信件数      ξ 的概率   P(ξ=2)=    =  ,P(ξ=1)=          =  ,

 ∴P(ξ=0)=1﹣P(ξ=2)﹣P(ξ=1)=      .

 ∴其分布列为:

 ∴Eξ=0+1×   +     = .
 故选  B.


  
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台


 10.已知函数     f(x)=x•sinx,x∈R,则                 及       的大小关系是(  
 )

 A.                      B.                       C.

                      D.
 【考点】H5:正弦函数的单调性.

 【分析】判断函数        f(x)=xsinx 是偶函数,推出       f(     )=f(    ),利用导数

 说明函数在[0,        ]时,得    y′>0,函数是增函数,从而判断三者的大小.

 【解答】解:因为        y=xsinx,是偶函数,所以       f(     )=f(    ),

 又 x∈[0,    ]时,得   y′=sinx+xcosx>0,所以此时函数是增函数,

 所以         <f(1)<
 故选  C.
  

 11.定义在    R 上的函数    f(x)满足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式
exf(x)>ex+3(其中      e 为自然对数的底数)的解集为(  )

 A.(0,+∞)      B.(﹣∞,0)∪(3,+∞)             C.(﹣∞,0)∪(0,+∞)

    D.(3,+∞)
 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;63:导数的运算.

 【分析】构造函数        g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),研究         g(x)的单调性,结合
 原函数的性质和函数值,即可求解

 【解答】解:设       g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),

 则 g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex[f(x)+f′(x)﹣1],

 ∵f(x)+f′(x)>1,

 ∴f(x)+f′(x)﹣1>0,

 ∴g′(x)>0,
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 ∴y=g(x)在定义域上单调递增,

 ∵exf(x)>ex+3,

 ∴g(x)>3,

 又∵g(0)═e0f(0)﹣e0=4﹣1=3,

 ∴g(x)>g(0),

 ∴x>0

 故选:A.
  

 12.已知   f(x)=   x3﹣x2+ax+m,其中  a>0,如果存在实数         t,使  f′(t)<0,则

 f′(t+2)•f′(     )的值(  )
 A.必为正数        B.必为负数        C.必为非负        D.必为非正
 【考点】63:导数的运算.
 【分析】先对      f(x)求导,由已知条件          a>0,如果存在实数        t,使   f'(t)<0,

 求出  t 与 a 的取值范围,进而比较出                    、f′(t+2)与    0 的关系,从而
得出答案.

 【解答】解:∵                        ,∴f′(x)=x2﹣2x+a.

 ∵存在实数     t,使  f'(t)<0,a>0,∴t2﹣2t+a<0      的解集不是空集,

 ∴△=4﹣4a>0,解得     a<1,因此     0<a<1.

 令 t2﹣2t+a=0,解得           ,

 ∴t2﹣2t+a<0 的解集是{x|0<                       <2}.

 ∵f′(t+2)=(t+2)2﹣2(t+2)+a=t(t+2)+a,∴f′(t+2)>0;

 ∵           =                   =           ,
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台


 ∵                  =                =        ≥0,

 ∴                      ,

 ∴                    <0,
 故选  B.
  

 二、填空题(共       4 道小题,每小题       5 分,共   20 分)

 13.(   +x)(1﹣    )6 的展开式中     x 的系数是 31 .

 【考点】DB:二项式系数的性质.

 【分析】求出(1﹣        )6    的展开式,可得(         +x)(1﹣    )6 的展开式中     x 的系

 数.

 【解答】解:∵(1﹣         )6 =   •       +  •       +…+   •       ,

 ∴(   +x)(1﹣    )6 的展开式中     x 的系数是    2×    +1=31,

 故答案为:31.
  

 14.把一枚硬币任意抛掷三次,事件               A=“至少一次出现反面”,事件           B=“恰有一

次出现正面”,求        P(B|A)=       .
 【考点】CM:条件概率与独立事件.
 【分析】由题意,先计算           P(AB),P(A),再利用条件概率公式,即可求得
 结论.

 【解答】解:由题意,P(AB)=              =  ,P(A)=1﹣     =


 ∴P(B|A)=        =  =
               中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

故答案为:
 

15.若函数    f(x)=lnx+x+  ﹣a 有零点,则     a 的取值范围是 [3,+∞) .

【考点】6D:利用导数研究函数的极值;51:函数的零点.

【分析】由     f(x)=0  得 a=lnx+x+ ,构造函数      g(x)=lnx+x+  ,利用导数,求
函数的极值即可得到结论.

【解答】解:f(x)=lnx+x+        ﹣a=0 得 a=lnx+x+ ,

设 g(x)=lnx+x+   ,则函数的定义域为(0,+∞),

则函数的导数      g′(x)=         ,

由 g′(x)=         =0,得     ﹣ ﹣1=0,

即(   ﹣1)(   +1)=0

∵x>0,∴     >0,

∴  ﹣1=0,即   =1,解得    x=1.

当 0<x<1  时,g′(x)<0,此时函数          g(x)递减,
当 x>1 时,g′(x)>0,此时函数          g(x)递增,
即当  x=1 时,函数    g(x)取得极小值,g(1)=ln1+1+2=3,
即 g(x)≥3,

若函数   f(x)=lnx+x+  ﹣a 有零点,即方程       g(x)=lnx+x+  =a 有解,

即 a≥3,
故 a 的取值范围是[3,+∞),
故答案为:[3,+∞)
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

  

 16.由正整数组成的一组数据            x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是             2,且标
 准差等于    1,则这组数据为 1,1,3,3 .(从小到大排列)
 【考点】BC:极差、方差与标准差;BB:众数、中位数、平均数.


 【分析】由题意,可设          x1≤x2≤x3≤x4,                       ,根据题设条件


 得出  x1+x2+x3+x4=8,                                            ,再结
 合中位数是     2,即可得出这组数据的值.


 【解答】解:不妨设         x1≤x2≤x3≤x4,                       ,

 依题意得    x1+x2+x3+x4=8,

                                              ,即

                                                   2
                                      ,所以(x4﹣2)     <4,则   x4<4,

 结合  x1+x2+x3+x4=8,及中位数是     2,只能   x1=x2=1,x3=x4=3,则这组数据为       1,
 1,3,3.
 故答案为:1,1,3,3.
  

 三、解答题(共计        70 分,要求书写解答过程)

               n                     2           n           *
 17.已知(x+1)     =a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)  +…+an(x﹣1)  ,(其中     n∈N ).

 (1)求   a0 及 sn=a1+a2+…+an;

                        n   2
 (2)试比较     sn 与(n﹣2)•2  +2n 的大小,并用数学归纳法给出证明过程.

 【考点】RG:数学归纳法;DC:二项式定理的应用.

                           n                            n
 【分析】(1)取       x=1,则  a0=2 ;取  x=2,则   a0+a1+a2+a3+…+an=3 ,即可求出

Sn;

                       n   2                  n         n   2
 (2)要比较     Sn 与(n﹣2)2  +2n 的大小,只要比较         3 与(n﹣1)2   +2n 的大小,

 通过比较    n=1,2,3,4,5     时,两个代数式的大小,猜想结论,利用数学归纳
 法证明即可.

                               n
 【解答】解:(1)取         x=1,则  a0=2 ;…

                           n
 取 x=2,则  a0+a1+a2+a3+…+an=3 ,
               中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台


                  n n
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=3 ﹣2 ;…

                      n   2
(2)要比较     Sn 与(n﹣2)2  +2n 的大小,

即比较:3n    与(n﹣1)2n+2n2  的大小,

当 n=1 时,3n>(n﹣1)2n+2n2;

当 n=2,3  时,3n<(n﹣1)2n+2n2;

当 n=4,5  时,3n>(n﹣1)2n+2n2

猜想:当    n≥4  时,3n>(n﹣1)2n+2n2,…
下面用数学归纳法证明:

由上述过程可知,n=4        时结论成立,…

假设当   n=k,(k≥4)时结论成立,即           3k>(k﹣1)2k+2k2,

两边同乘以     3 得:3k+1>3[(k﹣1)2k+2k2]=k2k+1+2(k+1)2+[(k﹣3)2k+4k2﹣4k﹣2]

而(k﹣3)2k+4k2﹣4k﹣2=(k﹣3)2k+4(k2﹣k﹣2)+6=(k﹣3)2k+4(k﹣2)(k+1)+6>0

∴3k+1>((k+1)﹣1)2k+1+2(k+1)2

即 n=k+1 时结论也成立,…

∴当  n≥4  时,3n>(n﹣1)2n+2n2    成立.…
 

18.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业
能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已

知参加过财会培训的有          60%,参加过计算机培训的有            75%,假设每个人对培训
项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.

(1)任选    1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率;
(2)任选    3 名下岗人员,记       X 为 3 人中参加过培训的人数,求            X 的概率分布和
期望.

【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方
差.
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 【分析】任选      1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件                   A,“该人参加过
 计算机培训”为事件        B,由事件    A,B  相互独立,且       P(A)=0.6,P((B)
=0.75.

 (1)任选    1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是:P1=                          =
          .利用对立事件的概率计算公式即可该人参加过培训的概率是

 P2=1﹣P1.

 (2)因为每个人的选择是相互独立的,所以                   3 人中参加过培训的人数          X 服从二
 项分布   B(3,0.9).利用二项分布的概率计算公式即可得出.
 【解答】解:任选        1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件                   A,“该人参
 加过计算机培训”为事件          B,由题意知,事件        A,B  相互独立,且       P(A)=0.6,
P((B)=0.75.

 (1)任选    1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是:P1=                          =

          =0.4×0.25=0.1.所以该人参加过培训的概率是              P2=1﹣P1=1﹣0.1=0.9.

 (2)因为每个人的选择是相互独立的,所以                   3 人中参加过培训的人数          X 服从二

 项分布   B(3,0.9).P(X=k)=                       (k=0,1,2,3).
 即 X 的概率分布列如下表:

 ∴E(X)=3×0.9=2.7.


  

 19.已知函数     f(x)=ax+lnx,x∈[1,e]
 (Ⅰ)若    a=1,求  f(x)的最大值;
 (Ⅱ)若    f(x)≤0   恒成立,求     a 的取值范围.
 【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6K:导数在最大值、最小值问
 题中的应用.

 【分析】(Ⅰ)求导数          f′(x),易判断     x∈[1,e]时   f′(x)的符号,从而得到
 函数  f(x)的单调性,根据单调性即可求得函数的最大值;
               中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台


(Ⅱ)要使     x∈[1,e],f(x)≤0     恒成立,只需       x∈[1,e]时,f(x)max≤0,问
题转化为求函数的最大值,当             a≥0 时,由单调性易求最大值;当              a<0 时,利

用导数可求得极值点﹣         ,再按照极值点在区间[1,e]的左侧、内部、右侧三种

情况进行讨论,由单调性可求得最大值,令最大值小于等于                          0 可求得   a 的范围;


【解答】解:(Ⅰ)若          a=1,则  f(x)=x+lnx,              =   ,

∵x∈[1,e],∴f′(x)>0,∴f(x)在[1,e]上为增函数,

∴f(x)max=f(e)=e+1;

(Ⅱ)要使     x∈[1,e],f(x)≤0     恒成立,只需       x∈[1,e]时,f(x)max≤0,
显然当   a≥0 时,f(x)=ax+lnx    在[1,e]上单增,

∴f(x)max=f(e)=ae+1>0,不合题意;

当 a<0 时,f′(x)=a+     =     ,令  f′(x)=0,       ,

当      时,f′(x)>0,当            时,f′(x)<0,

①当        时,即   a≤﹣1 时,f(x)在[1,e]上为减函数,

∴f(x)max=f(1)=a<0,∴a≤﹣1;

②当        时,即            时,f(x)在[1,e]上为增函数,

∴                             ,∴      ;

③当           时,即            时,f(x)在             上单增,f(x)在

        上单减,

∴                          ,

∵          ,∴               ,∴           成立;

由①②③可得           .
 
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 20.某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加                      A、B、C、D、E     五项考试,
如果前四项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;
考生未被淘汰时,一定继续参加后面的考试.已知每一项测试都是相互独立的,

该生参加     A、B、C、D    四项考试不合格的概率均为              ,参加第五项不合格的概率

 为  ,
 (1)求该生被录取的概率;
 (2)记该生参加考试的项数为             X,求   X 的分布列和期望.
 【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方
 差.

 【分析】(1)该生被录取,则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有
 的项.

 (2)分析此问题时要注意有顺序,所以                 X 的所有取值为:2,3,4,5.分别计
 算其概率得出分布列,以及它的期望值.

 【解答】解:(1)该生被录取,则               A、B、C、D    四项考试答对       3 道或  4 道,并
且答对第五项.

 所以该生被录取的概率为           P=   [(  )4+C   (   )3•  ]=   ,
 (2)该生参加考试的项数           X 的所有取值为:2,3,4,5.

 P(X=2)=   ×   = ;P(X=3)=C      • •  •  = ;P(X=4)=C      • •(   )

 2• =  ;

 P(X=5)=1﹣   ﹣ ﹣  =  .

 该生参加考试的项数         ξ 的分布列为:
  X            2             3             4             5
  P
                                                          

 EX=2×  +3×   +4×   +5×    =  .
  

 21.已知函数     f(x)=           (x>0).
               中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

(Ⅰ)试判断函数        f(x)在(0,+∞)上单调性并证明你的结论;

(Ⅱ)若    f(x)>      对于∀x∈(0,+∞)恒成立,求正整数               k 的最大值;

(Ⅲ)求证:(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)…[1+n(n+1)]>e2n﹣3.

【考点】R6:不等式的证明.
【分析】(Ⅰ)对函数          f(x)求导数,可判        f′(x)<0,进而可得单调性;

(Ⅱ)问题转化为        h(x)=                  >k  恒成立,通过构造函数可得

h(x)min∈(3,4),进而可得         k 值;

(Ⅲ)由(Ⅱ)知                 >     (x>0),可得      ln(x+1)>2﹣   ,令

x=n(n+1)(n∈N*),一系列式子相加,由裂项相消法可得                     ln(1+1×2)

+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]>2n﹣3,进而可得答案.

【解答】(Ⅰ)解:∵f(x)=                     (x>0),

∴f′(x)=﹣     [   +ln(x+1)]…

∵x>0,∴x2>0,         >0,ln(x+1)>0,∴f′(x)<0,
∴函数   f(x)在(0,+∞)上是减函数.…

(Ⅱ)解:f(x)>           恒成立,即     h(x)=                   >k 恒成立,
即 h(x)的最小值大于        k.…

而 h′(x)=             ,令  g(x)=x﹣1﹣ln(x+1)(x>0),

则 g′(x)=     >0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,

又 g(2)=1﹣ln3<0,g(3)=2﹣2ln2>0,

∴g(x)=0   存在唯一实根      a,且满足     a∈(2,3),a=1+ln(a+1)

当 x>a 时,g(x)>0,h′(x)>0,当           0<x<a  时,g(x)<0,h′(x)<0,

∴h(x)min=h(a)=a+1∈(3,4)

故正整数    k 的最大值是     3    …
               中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台


(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知                    >     (x>0)

∴ln(x+1)>      •x﹣1=2﹣   >2﹣    …

令 x=n(n+1)(n∈N*),则       ln[1+n(n+1)]>2﹣        ,

∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]

>(2﹣     )+(2﹣      )+…+[2﹣        ]

=2n﹣3[    +    +…+       ]

=2n﹣3(1﹣   )=2n﹣3+    >2n﹣3

∴(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n﹣3          …

 

请考生在第     22、23、24   三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计
分.作答时请写清题号.[选修             4-1:几何证明选讲]
22.如图,已知      PE 切圆  O 于点  E,割线    PBA 交圆  O 于 A,B  两点,∠APE     的平
分线和   AE、BE  分别交于点     C,D
(Ⅰ)求证:CE=DE;

(Ⅱ)求证:         =  .


【考点】NC:与圆有关的比例线段.
【分析】(Ⅰ)通过弦切角定理以及角的平分线,直接证明三角形是等腰三角

形,即可证明      CE=DE;
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台


 (Ⅱ)利用切割线定理以及角的平分线定理直接求证:                           =  即可.
 【解答】证明:(Ⅰ)∵PE           切圆   O 于 E,∴∠PEB=∠A,
 又∵PC  平分∠APE,∴∠CPE=∠CPA,

 ∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA,

 ∴∠CDE=∠DCE,即      CE=DE.

 (Ⅱ)因为     PC 平分∠APE∴          ,
 又 PE 切圆  O 于点  E,割线    PBA 交圆  O 于 A,B  两点,

 ∴PE2=PB•PA,

 即

 ∴   =


  

 [选修  4-4:极坐标系与参数方程]


 23.在直角坐标系       xoy 中,曲线    C1 的参数方程为                ,(α   为参数),

以原点    O 为极点,x    轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线                  C2 的极坐标方程为

                  .

 (1)求曲线     C1 的普通方程与曲线        C2 的直角坐标方程;

 (2)设   P 为曲线   C1 上的动点,求点       P 到 C2 上点的距离的最小值.
 【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.


 【分析】(1)由曲线         C1:            ,得            ,利用

   2    2
 cos α+sin α=1 即可得出曲线    C1 的普通方程,由曲线         C2:                  ,
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台


 利用和差公式展开再利用                     即可得出直角坐标方程.
 (2)设椭圆上的点                         ,利用点到直线的距离公式及其三角函
 数的单调性即可得出.


 【解答】解:(1)由曲线           C1:            ,得            ,


 ∴曲线   C1 的普通方程为:               ,


 由曲线   C2:                  ,展开可得:                             ,

 即曲线   C2 的直角坐标方程为:x﹣y+4=0.

 (2)由(1)知椭圆        C1 与直线   C2 无公共点,

 椭圆上的点                      到直线    x﹣y﹣4=0 的距离为


                                        ,

 ∴当                 时,d  的最小值为        .
  

 [选修  4-5:不等式选讲]

 24.已知函数     f(x)=|2x﹣a|+a.

 (1)若不等式      f(x)≤6   的解集为{x|﹣2≤x≤3},求实数          a 的值;

 (2)在(1)的条件下,若存在实数               n 使 f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,求实数          m 的
 取值范围.

 【考点】R5:绝对值不等式的解法.

 【分析】(1)通过讨论          x 的范围,求得      a﹣3≤x≤3.再根据不等式的解集为

 {x|﹣2≤x≤3},可得    a﹣3=﹣2,从而求得实数      a 的值.

 (2)在(1)的条件下,f(n)=|2n﹣1|+1,即             f(n)+f(﹣n)≤m,即

|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m.求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为          2,可得   m 的范围.
               中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

【解答】解:(1)∵函数           f(x)=|2x﹣a|+a,

故不等式    f(x)≤6,

即                ,

求得   a﹣3≤x≤3.

再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3},

可得  a﹣3=﹣2,

∴实数   a=1.

(2)在(1)的条件下,f(x)=|2x﹣1|+1,

∴f(n)=|2n﹣1|+1,存在实数       n 使 f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,

即 f(n)+f(﹣n)≤m,即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m.

由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|(2n﹣1)﹣(2n+1)|=2,

∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为      2,

∴m≥4,

故实数   m 的取值范围是[4,+∞).
 
                      中国现代教育网         www.30edu.com    全国最大教师交流平台


2017  年   6 月   13 日
0积分下载