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《抛物线及其标准方程》教学设计

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  2.4.1 抛物线及其标准方程
   三维目标: 
  1、  知识与技能
(1)掌握抛物线的定义及抛物线的四种标准方程和对应的图形;
(2)掌握抛物线的标准方程,会根据所给的条件确定抛物线的标准方程;
(3)理解抛物线标准方程的推导过程并了解求抛物线的动点的伴随点的轨迹方
      程的一般方法;;
(4)学会用待定系数法与定义法求抛物线的方程并要求学生进一步熟练掌握解
    析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等方面的能力.
  2、过程与方法
(1)通过构设情景领学生自主学习、合作探究出抛物线的图形和方程。在这一
    过程中,培养学生观察、实验、探究、交流等数学活动能力,同时培养学
    生实际动手能力,综合利用已有的知识能力;
(2)通过合作交流,不断体会归纳、概括思想方法的重要性和实用性。
(3)通过解决问题从本质上认识用待定系数法与定义法求抛物线的方程的思
想。
  3、情态与价值观
(1)通过学生的积极参与、学习抛物线和方程的知识,培养学生思维的科学
     性、严密性,不断认识数形结合和等价转化的数学思想; 
  (2) 通过对抛物线和方程知识的学习,不断培养自主学习、合作交流、善于反
     思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神,提高参与意识和合作
     精神;
(3)通过形象具体的轨迹问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真
      的勇气和自信心,激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创
      新精神,并对学生进行运动、变化、对立、统一以及理论来源于实践的
      辩证唯物主义思想教育,从而体会事物之间普遍联系的辩证思想,。体
      验在学习中获得成功的成就感,为远大的志向而不懈奋斗。
 教学重点:
    抛物线的定义和标准方程及用待定系数法求抛物线的标准方程。
教学难点:
    抛物线标准方程的推导过程。
教     具:多媒体、实物投影仪
教学方法:合作探究、分层推进教学法
教学过程:
    一、   创设情境      科学导入:
      在这里可用多媒体展示一下,使学生有一个直观的感性认识…… 
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      一个简单实验:把一根直尺固定在画图板内直线                     l 的位置上,一块三角
板的一条直角边紧靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角
边上的点     A,截取绳子的长等于         A 到直线   l 的距离  AC,并且把绳子另一端固
定在图板上的一点        F;用一支铅笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳
子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺左右滑动,这样铅笔就描出一条曲线,这条
曲线叫做抛物线.反复演示后,请同学们来归纳抛物线的定义,教师总结.
    【引领学生总结出抛物线的定义】
    平面内与一个定点        F 和一条定直线      l 的距离             的点的轨迹叫抛物
线。
    定点   F 叫做抛物线的         ,定直线         l 叫做抛物线的         。
    【引领学生推导抛物线的标准方程】
  有三种建系的思路,可分组分别探究,最后找出最佳方案:
        方案  1                方案  2                       方案  3

                                           
     


                              O 

                               F                    O 

                                               l 


               p         p
           (x  ) 2  y 2 | x  |  
               2         2
             y2=2px (p>0)
    得出的方程不仅具有较简的形式,而且方程中一次项的系数是焦点到准线
距离的    2 倍。

                     2

                                                    

                                                    新疆
                                                    王新敞
        这个方程方程      y  2 px p  0叫做抛物线的标准方程      奎屯

        它表示焦点在      x 轴的正半轴上,焦点坐标           F( p ,0),准线方程为
                                               2

     p
 x   。
     2
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     点评:抛物线方程中参数           p 的几何意义——焦点到准线的距离,永远大
           于零。由于抛物线的标准方程中只有一个参数                   p,所以只需一个条
           件,就可以求出抛物线的标准方程.
    【引领学生探究出抛物线的另外三种标准方程】
      在建立抛物线、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系,我们得到了
      不同的标准方程。
      那么,抛物线的标准方程有哪些不同的形式?
              y                y         y             y
                                                  l
                                                       O
                                                              x
                                                       F
    图形       O F    x        F O x       F
                                         O     x
                                    l
            l                   l

    标准                                             
    方程
    焦点                                             
    坐标
    准线                                             
    方程

    点评:根据这个表,渗透“数形结合”的思想,让学生把握抛物线四类标
准方程的图形、焦点和准线的位置,识别它们之间的差异,反复体会“依形判
数”和“就数论形”的思想方法。达到熟练运用标准方程的技能技巧.
    小结:
   (1)四种形式的相同点 :
      ①   顶点为原点;② 对称轴为坐标轴;③顶点到焦点的距离等于顶点到
准线的距离,其值为         p(p>0) 。 
      ④焦点坐标中横(纵)坐标的值是一次项系数的                           倍,准线方程中
的数值是一次项系数的                倍。
     (2)四种形式的不相同点 :
      ①一次项变量为       x(或   y),则焦点在      x(或  y)轴;若系数为正,则焦
点在正半轴上,系数为负,则焦点在负半轴上;
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      ② 焦点在    x(或  y)轴的正半轴上,开口向右(向上),焦点在                    x(或
y)轴的负半轴上,开口向左(向下)。

     练习
  1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
                                                         1
  (1)y2=8x        (2)x2=4y   (3)2 y2+3x=0       (4)  y   x 2
                                                         6

  2.根据下列条件写出抛物线的标准方程
  (1)焦点是      F(3,0)
                     1
  (2)准线方程是       x  
                     4
  (3)焦点到准线的距离是           2 
  (4)经过点     A(6,-2)
                                                    p
  3.(1).抛物线      y2  2 px( p  0) 上一点 M 到焦点距离是 a(a  ) ,则点 M  到准
                                                    2
      线的距离是              ,点   M 的横坐标是                       。
    (2)抛物线     y2 12x 上与焦点的距离等于       9 的点的坐标是                    
。
            2
                                                     

                                                    新疆
                                                    王新敞
  4.抛物线    x =4y 上的点   P 到焦点的距离是      10,求   P 点坐标  奎屯  
  三、互动达标        巩固所学:
     关于抛物线的基本问题

问题.1(1)已知抛物线的标准方程是              y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程.
     (2)已知抛物线的标准方程是             y=-6x2,求它的焦点坐标和准线方程.
     (3)已知抛物线的焦点坐标是             F(0,-2),求它的标准方程。
【分析】已知抛物线的标准方程,求抛物线的焦点与准线方程,关键要确定轴
        向。已知焦点或准线方程求抛物线标准方程的基本方法:关键是:定
        轴向——求     p 值——写方程;
                                    3                  3
【解析】(1)因为        p  3 ,所以焦点坐标     ( ,0) ,准线方程是    x  
                                    2                  2
                       1                   1                1
          (2)因为     p   ,所以焦点坐标       (0, ) ,准线方程是     y 
                       6                  12                12
                                      p
         (3)因为焦点在       y 轴的负半轴,        2 ,所以抛物线方程是        x2=-8y.
                                      2
【点评】这是关于抛物线标准方程的基本例题,关键是(1)根据题意确定属于

        哪类标准形式,(2)求出参数             p 的值.同时,在例题的基础上设置
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        一些“变式练习题”进行深化。如:(1)的变式:抛物线的方程

        y2=-6x(y=6x2    等)(2)的变式:写出抛物线的标准方程:(1)焦

        点是  F(3,0);                   (3)焦点到准线的距离是        2。让学生

        在熟悉知识的同时,进一步领悟“数形结合”的思想。

  问题.2  求经过点    A(2,-3)的抛物线的标准方程

【分析】抛物线的标准方程中只有一个参数                  p,因此,只要确定了抛物线属于

        哪类标准形式,再求出          p 值就可以写出其方程,但要注意两解的情

        况.

【解析】设焦点在        x 轴正半轴的抛物线方程为           y 2  2 px ,代入 A 点坐标得,
    9                     9
 p  ,所以抛物线方程为         y 2  x 。
    4                     2
                                                                2
    设焦点在     y 轴负半轴的抛物线方程为          x 2  2 py ,代入 A 点坐标得,  p  ,
                                                                3
                     4
所以抛物线方程为        x 2   y 。
                     3
【点评】解决此种问题,首先要根据题意确定抛物线的类型,合理设出标准方
程,有时可有多种情形。
  四、思悟小结:
  知识线:
(1)抛物线的定义及相关(如:焦点、准线)的概念;
(2)抛物线的标准方程。
  思想方法线:
(1)待定系数法;
(2)代入法;
(3)公式法;
(4)数形结合思想与等价转化思想;
  题目线:
(1)关于抛物线概念的基本问题;
                              中国现代教育网         www.30edu.com    全国最大教师交流平台

(2)求抛物线的标准方程;
(3)关于抛物线的实际问题。
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