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【试卷】2016年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)

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         2016  年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)

一、选择题:本大题共           12 小题,每小题      5 分,在每小题给出四个选项,只有一个选项
符合题目要求.
1.(5   分)已知集合      A={1,2,3},B={x|x2<9},则       A∩B=(  )

A.{﹣2,﹣1,0,1,2,3}             B.{﹣2,﹣1,0,1,2}

C.{1,2,3}                        D.{1,2}

2.(5   分)设复数     z 满足  z+i=3﹣i,则  =(  )

A.﹣1+2i           B.1﹣2i       C.3+2i          D.3﹣2i

3.(5   分)函数    y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(  )

A.y=2sin(2x﹣    )B.y=2sin(2x﹣    )

C.y=2sin(x+    )     D.y=2sin(x+    )

4.(5   分)体积为     8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球
面的表面积为(  )

A.12π      B.    π       C.8π          D.4π

5.(5   分)设   F 为抛物线    C:y2=4x 的焦点,曲线       y= (k>

0)与   C 交于点   P,PF⊥x  轴,则    k=(  )

A.           B.1          C.           D.2

6.(5   分)圆   x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心到直线    ax+y﹣1=0 的距离为   1,则   a=(  )

A.﹣       B.﹣           C.             D.2

7.(5   分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
( )

A.20π  B.24π  C.28π  D.32π
8.(5   分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替
出现,红灯持续时间为           40 秒.若一名行人来到该路口遇
到红灯,则至少需要等待            15 秒才出现绿灯的概率为(  
)
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A.          B.           C.            D.

9.(5   分)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框
图.执行该程序框图,若输入的               x=2,n=2,依次输入的       a 为 2,2,5,则输出的        s=(  
)

A.7         B.12         C.17          D.34
10.(5   分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数                    y=10lgx 的定义域和值域相同的
是(  )

A.y=x     B.y=lgx     C.y=2x         D.y=

11.(5   分)函数    f(x)=cos2x+6cos(     ﹣x)的最大值为()

A.4       B.5        C.6        D.7

12.(5   分)已知函数      f(x)(x∈R)满足       f(x)=f(2﹣x),若函

       2
数  y=|x ﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),


…,(xm,ym),则         xi=(  )

A.0         B.M          C.2m          D.4m
二、填空题:本题共          4 小题,每小题      5 分.

13.(5   分)已知向量       =(m,4),      =(3,﹣2),且      ∥  ,则  m=  .

14.(5   分)若   x,y  满足约束条件               ,则   z=x﹣2y 的最小值为  .

15.(5   分)△ABC    的内角   A,B,C   的对边分别为      a,b,c,若     cosA= ,cosC=    ,

a=1,则   b=  .
16.(5   分)有三张卡片,分别写有            1 和 2,1  和 3,2  和 3.甲,乙,丙三人各取走一
张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是                             2”,乙看了丙的卡片
后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是                  1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是                5”,
则甲的卡片上的数字是  .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(12   分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.

(Ⅰ)求{an}的通项公式;
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(Ⅱ)设     bn=[an],求数列{bn}的前     10 项和,其中[x]表示不超过          x 的最大整数,如

[0.9]=0,[2.6]=2.


18.(12   分)某险种的基本保费为           a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续
保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次
                  0        1        2        3         4       ≥5
     数

    保费          0.85a      a      1.25a     1.5a     1.75a     2a
随机调查了该险种的          200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
 出险次数
               0        1         2         3         4       ≥5

   频数         60        50        30       30        20        10
(I)记   A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求                       P(A)的估计值;
(Ⅱ)记     B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
160%”.求   P(B)的估计值;
(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值.

19.(12   分)如图,菱形       ABCD 的对角线     AC 与 BD 交于点   O,点   E、F  分别在   AD,
CD 上,AE=CF,EF    交 BD 于点  H,将△DEF    沿  EF 折到△D′EF  的位置.
(Ⅰ)证明:AC⊥HD′;

(Ⅱ)若     AB=5,AC=6,AE=    ,OD′=2    ,求五棱锥     D′﹣ABCFE 体积.
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20.(12   分)已知函数      f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).

(I)当   a=4 时,求曲线     y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(II)若当    x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求           a 的取值范围.

21.(12   分)已知    A 是椭圆    E:   +   =1 的左顶

点,斜率为      k(k>0)的直线交       E 与 A,M  两点,
点  N 在 E 上,MA⊥NA.
(I)当|AM|=|AN|时,求△AMN          的面积
(II)  当  2|AM|=|AN|时,证明:         <k<2.
 


请考生在第      22~24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修                          4-
1:几何证明选讲]
22.(10   分)如图,在正方形         ABCD 中,E,G    分别在边     DA,DC  上(不与端点重合),
且  DE=DG,过   D 点作  DF⊥CE,垂足为      F.
(Ⅰ)证明:B,C,G,F          四点共圆;
(Ⅱ)若     AB=1,E  为 DA 的中点,求四边形        BCGF 的面积.


 
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[选项   4-4:坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系        xOy 中,圆   C 的方程为(x+6)2+y2=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x             轴正半轴为极轴建立极坐标系,求               C 的极坐标方程;

(Ⅱ)直线      l 的参数方程是              (t 为参数),l     与  C 交与  A,B  两点,

|AB|=    ,求   l 的斜率.

 


[选修   4-5:不等式选讲]

24.已知函数      f(x)=|x﹣  |+|x+  |,M  为不等式    f(x)<2   的解集.

(Ⅰ)求     M;
(Ⅱ)证明:当        a,b∈M  时,|a+b|<|1+ab|.
 
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     2016   年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)

                              参考答案与试题解析
 

一、选择题:本大题共           12 小题,每小题      5 分,在每小题给出四个选项,只有一个选项
符合题目要求.
1.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)已知集合            A={1,2,3},B={x|x2<9},则       A∩B=(  
)

A.{﹣2,﹣1,0,1,2,3}        B.{﹣2,﹣1,0,1,2}

C.{1,2,3}     D.{1,2}

【解答】解:∵集合          A={1,2,3},B={x|x2<9}={x|﹣3<x<3},

∴A∩B={1,2}.

故选:D.
 

2.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)设复数           z 满足  z+i=3﹣i,则  =(  )

A.﹣1+2i    B.1﹣2i C.3+2i D.3﹣2i

【解答】解:∵复数          z 满足  z+i=3﹣i,

∴z=3﹣2i,

∴   =3+2i,

故选:C
 

3.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)函数          y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(  
)
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A.y=2sin(2x﹣    )B.y=2sin(2x﹣    ) C.y=2sin(x+    )  D.y=2sin(x+    )

【解答】解:由图可得:函数的最大值为                   2,最小值为﹣2,故       A=2,

  =      ,故   T=π,ω=2,

故  y=2sin(2x+φ),

将(     ,2)代入可得:2sin(           +φ)=2,

则  φ=﹣  满足要求,

故  y=2sin(2x﹣  ),

故选:A.
 

4.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)体积为           8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的
表面积为(  )

A.12π  B.    πC.8π   D.4π

【解答】解:正方体体积为             8,可知其边长为       2,
正方体的体对角线为                =2  ,
即为球的直径,所以半径为               ,

所以球的表面积为                  =12π.

故选:A.
 

5.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)设         F 为抛物线    C:y2=4x 的焦点,曲线       y= (k>0)与

C 交于点   P,PF⊥x   轴,则   k=(  )

A.     B.1    C.     D.2
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【解答】解:抛物线          C:y2=4x 的焦点   F 为(1,0),

曲线   y= (k>0)与     C 交于点   P 在第一象限,

由  PF⊥x 轴得:P    点横坐标为     1,
代入   C 得:P  点纵坐标为     2,
故  k=2,
故选:D
 

6.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)圆         x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心到直线    ax+y﹣1=0 的距离为

1,则   a=(  )

A.﹣    B.﹣    C.     D.2

【解答】解:圆        x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心坐标为:(1,4),

故圆心到直线       ax+y﹣1=0 的距离  d=        =1,

解得:a=      ,

故选:A.
 

7.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该
几何体的表面积为(  )


A.20π  B.24π  C.28π  D.32π
【解答】解:由三视图知,空间几何体是一个组合体,

上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是                 4,圆锥的高是      2   ,
∴在轴截面中圆锥的母线长是                   =4,
∴圆锥的侧面积是         π×2×4=8π,
                   中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是                 4,圆柱的高是      4,
∴圆柱表现出来的表面积是             π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是            28π,
故选:C.
 

8.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯
持续时间为      40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待                        15 秒才出现绿
灯的概率为(  )

A.     B.     C.     D.

【解答】解:∵红灯持续时间为               40 秒,至少需要等待        15 秒才出现绿灯,
∴一名行人前       25 秒来到该路口遇到红灯,

∴至少需要等待        15 秒才出现绿灯的概率为            =  .

故选:B.
 

9.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该
算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的                     x=2,n=2,依次输入的       a 为 2,2,5,
则输出的     s=(  )


A.7    B.12   C.17   D.34
【解答】解:∵输入的           x=2,n=2,
                   中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
当输入的     a 为 2 时,S=2,k=1,不满足退出循环的条件;
当再次输入的       a 为 2 时,S=6,k=2,不满足退出循环的条件;
当输入的     a 为 5 时,S=17,k=3,满足退出循环的条件;
故输出的     S 值为  17,
故选:C
 

10.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数                          y=10lgx 的定
义域和值域相同的是(  )

A.y=x  B.y=lgx    C.y=2x D.y=

【解答】解:函数         y=10lgx 的定义域和值域均为(0,+∞),
函数   y=x 的定义域和值域均为         R,不满足要求;
函数   y=lgx 的定义域为(0,+∞),值域为            R,不满足要求;
函数   y=2x 的定义域为    R,值域为     R(0,+∞),不满足要求;

函数   y=   的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求;

故选:D
 

11.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)函数          f(x)=cos2x+6cos(     ﹣x)的最大值为(  )

A.4    B.5    C.6    D.7

【解答】解:函数         f(x)=cos2x+6cos(    ﹣x)

=1﹣2sin2x+6sinx,

令  t=sinx(﹣1≤t≤1),

可得函数     y=﹣2t2+6t+1

=﹣2(t﹣ )2+    ,

由   ∉[﹣1,1],可得函数在[﹣1,1]递增,

即有   t=1 即 x=2kπ+  ,k∈Z  时,函数取得最大值         5.

故选:B.
 
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12.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)已知函数            f(x)(x∈R)满足       f(x)=f(2﹣x),若函

       2
数  y=|x ﹣2x﹣3|与 y=f(x)  图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则


   xi=(  )

A.0    B.m    C.2m   D.4m

【解答】解:∵函数          f(x)(x∈R)满足      f(x)=f(2﹣x),

故函数    f(x)的图象关于直线         x=1 对称,

函数   y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线      x=1 对称,

故函数    y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点也关于直线           x=1 对称,


故    xi= ×2=m,

故选:B
 

二、填空题:本题共          4 小题,每小题      5 分.

13.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)已知向量             =(m,4),      =(3,﹣2),且      ∥  ,则

m= ﹣6 .

【解答】解:向量          =(m,4),     =(3,﹣2),且      ∥  ,

可得   12=﹣2m,解得   m=﹣6.

故答案为:﹣6.
 

14.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)若         x,y  满足约束条件               ,则   z=x﹣2y 的最小值

为 ﹣5 .

【解答】解:由约束条件                     作出可行域如图,

联立           ,解得   B(3,4).
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化目标函数      z=x﹣2y 为 y= x﹣ z,

由图可知,当直线         y= x﹣ z 过 B(3,4)时,直线在         y 轴上的截距最大,z       有最小值为:

3﹣2×4=﹣5.

故答案为:﹣5.


 

15.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)△ABC          的内角   A,B,C   的对边分别为       a,b,c,若

cosA=  ,cosC=   ,a=1,则    b=     .

【解答】解:由        cosA= ,cosC=    ,可得

sinA=         =      =  ,

sinC=         =       =   ,

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= ×    + ×    =   ,

由正弦定理可得        b=


=       =  .

故答案为:        .

 

16.(5   分)(2016•新课标Ⅱ)有三张卡片,分别写有                  1 和 2,1  和 3,2  和 3.甲,
乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是
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2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是                         1”,丙说:“我的卡片上
的数字之和不是        5”,则甲的卡片上的数字是 1            和  3 .
【解答】解:根据丙的说法知,丙的卡片上写着                      1 和 2,或  1 和 3;
(1)若丙的卡片上写着           1 和 2,根据乙的说法知,乙的卡片上写着                2 和 3;
∴根据甲的说法知,甲的卡片上写着                 1 和 3;
(2)若丙的卡片上写着           1 和 3,根据乙的说法知,乙的卡片上写着                2 和 3;
又甲说,“我与乙的卡片上相同的数字不是                   2”;
∴甲的卡片上写的数字不是             1 和 2,这与已知矛盾;
∴甲的卡片上的数字是           1 和 3.
故答案为:1      和 3.
 

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(12   分)(2016•新课标Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)设     bn=[an],求数列{bn}的前     10 项和,其中[x]表示不超过          x 的最大整数,如

[0.9]=0,[2.6]=2.

【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为                  d,

∵a3+a4=4,a5+a7=6.

∴            ,


解得:         ,


∴an=      ;

(Ⅱ)∵bn=[an],

∴b1=b2=b3=1,

b4=b5=2,

b6=b7=b8=3,

b9=b10=4.

故数列{bn}的前      10 项和  S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24.
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18.(12   分)(2016•新课标Ⅱ)某险种的基本保费为                 a(单位:元),继续购买该险
种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次
                  0        1        2        3         4       ≥5
     数

    保费          0.85a      a      1.25a     1.5a     1.75a     2a
随机调查了该险种的          200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
 出险次数
               0        1         2         3         4       ≥5

   频数         60        50        30       30        20        10
(I)记   A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求                       P(A)的估计值;
(Ⅱ)记     B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
160%”.求   P(B)的估计值;
(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值.

【解答】解:(I)记         A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.事件                        A 的
人数为:60+50=110,该险种的          200 名续保,

P(A)的估计值为:            =   ;

(Ⅱ)记     B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的

160%”.事件    B 的人数为:30+30=60,P(B)的估计值为:                  =  ;

(Ⅲ)续保人本年度的平均保费估计值为                    =.

                                                    =1.1925a.

 

19.(12   分)(2016•新课标Ⅱ)如图,菱形             ABCD 的对角线     AC 与 BD 交于点   O,点
E、F  分别在   AD,CD  上,AE=CF,EF    交 BD 于点   H,将△DEF    沿 EF 折到△D′EF   的位置.
(Ⅰ)证明:AC⊥HD′;

(Ⅱ)若     AB=5,AC=6,AE=    ,OD′=2    ,求五棱锥     D′﹣ABCFE 体积.
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【解答】(Ⅰ)证明:∵菱形              ABCD 的对角线    AC 与  BD 交于点   O,点   E、F 分别在
AD,CD  上,AE=CF,

∴EF∥AC,且     EF⊥BD

将△DEF   沿 EF 折到△D′EF   的位置,
则  D′H⊥EF,

∵EF∥AC,

∴AC⊥HD′;

(Ⅱ)若     AB=5,AC=6,则    AO=3,B0=OD=4,

∵AE=   ,AD=AB=5,

∴DE=5﹣   =  ,

∵EF∥AC,

∴    =   =  =   =  ,

∴EH=   ,EF=2EH=   ,DH=3,OH=4﹣3=1,

∵HD′=DH=3,OD′=2     ,

∴满足    HD′2=OD′2+OH2,
则△OHD′为直角三角形,且           OD′⊥OH,
又  OD′⊥AC,AC∩OH=O,
即  OD′⊥底面   ABCD,

即  OD′是五棱锥    D′﹣ABCFE 的高.

底面五边形的面积         S=         +          =        +          =12+  =   ,
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则五棱锥     D′﹣ABCFE 体积 V=  S•OD′= ×    ×2    =     .


 

20.(12   分)(2016•新课标Ⅱ)已知函数            f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).

(I)当   a=4 时,求曲线     y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(II)若当    x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求           a 的取值范围.

【解答】解:(I)当         a=4 时,f(x)=(x+1)lnx﹣4(x﹣1).

f(1)=0,即点为(1,0),

函数的导数      f′(x)=lnx+(x+1)•    ﹣4,

则  f′(1)=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2,

即函数的切线斜率         k=f′(1)=﹣2,

则曲线    y=f(x)在(1,0)处的切线方程为             y=﹣2(x﹣1)=﹣2x+2;

(II)∵f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1),

∴f′(x)=1+    +lnx﹣a,

∴f″(x)=      ,

∵x>1,∴f″(x)>0,

∴f′(x)在(1,+∞)上单调递增,

∴f′(x)>f′(1)=2﹣a.

①a≤2,f′(x)>f′(1)≥0,

∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,

∴f(x)>f(1)=0,满足题意;
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②a>2,存在      x0∈(1,+∞),f′(x0)=0,函数         f(x)在(1,x0)上单调递减,在

(x0,+∞)上单调递增,

由  f(1)=0,可得存在       x0∈(1,+∞),f(x0)<0,不合题意.
综上所述,a≤2.
 

21.(12   分)(2016•新课标Ⅱ)已知          A 是椭圆    E:   +   =1 的左顶点,斜率为

k(k>0)的直线交        E 与 A,M  两点,点    N 在  E 上,MA⊥NA.
(I)当|AM|=|AN|时,求△AMN          的面积
(II)  当  2|AM|=|AN|时,证明:         <k<2.

【解答】解:(I)由椭圆           E 的方程:       +  =1 知,其左顶点      A(﹣2,0),

∵|AM|=|AN|,且     MA⊥NA,∴△AMN       为等腰直角三角形,


∴MN⊥x    轴,设   M 的纵坐标为      a,则  M(a﹣2,a),

∵点   M 在  E 上,∴3(a﹣2)2+4a2=12,整理得:7a2﹣12a=0,∴a=           或  a=0(舍),

                 2
∴S△AMN=   a×2a=a  =   ;

(II)设直线     lAM 的方程为:y=k(x+2),直线         lAN 的方程为:y=﹣    (x+2),由


                             2  2    2    2
             消去  y 得:(3+4k   )x  +16k x+16k ﹣12=0,∴xM﹣2=﹣     ,∴xM=2﹣

      =      ,
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∴|AM|=        |xM﹣(﹣2)|=       •            =

∵k>0,


∴|AN|=             =          ,


又∵2|AM|=|AN|,∴            =      ,

整理得:4k3﹣6k2+3k﹣8=0,

设  f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8,

则  f′(k)=12k2﹣12k+3=3(2k﹣1)2≥0,

∴f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8 为(0,+∞)的增函数,

又  f(   )=4×3    ﹣6×3+3   ﹣8=15  ﹣26=    ﹣    <0,f(2)

=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6>0,

∴    <k<2.

 

请考生在第      22~24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修                          4-
1:几何证明选讲]
22.(10   分)(2016•新课标Ⅱ)如图,在正方形               ABCD 中,E,G    分别在边     DA,DC  上
(不与端点重合),且           DE=DG,过   D 点作  DF⊥CE,垂足为      F.
(Ⅰ)证明:B,C,G,F          四点共圆;
(Ⅱ)若     AB=1,E  为 DA 的中点,求四边形        BCGF 的面积.


【解答】(Ⅰ)证明:∵DF⊥CE,

∴Rt△DFC∽Rt△EDC,
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∴    =   ,

∵DE=DG,CD=BC,

∴    =   ,

又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF,

∴△GDF∽△BCF,

∴∠CFB=∠DFG,

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°,

∴∠GFB+∠GCB=180°,

∴B,C,G,F     四点共圆.

(Ⅱ)∵E     为 AD 中点,AB=1,∴DG=CG=DE=        ,

∴在   Rt△DFC 中,GF=    CD=GC,连接    GB,Rt△BCG≌Rt△BFG,

∴S  四边形 BCGF=2S△BCG=2× ×1×    = .


 

[选项   4-4:坐标系与参数方程]
23.(2016•新课标Ⅱ)在直角坐标系              xOy 中,圆   C 的方程为(x+6)2+y2=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x             轴正半轴为极轴建立极坐标系,求               C 的极坐标方程;

(Ⅱ)直线      l 的参数方程是              (t 为参数),l     与  C 交与  A,B  两点,

|AB|=    ,求   l 的斜率.

【解答】解:(Ⅰ)∵圆            C 的方程为(x+6)2+y2=25,

∴x2+y2+12x+11=0,

∵ρ2=x2+y2,x=ρcosα,y=ρsinα,
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∴C  的极坐标方程为       ρ2+12ρcosα+11=0.

(Ⅱ)∵直线       l 的参数方程是              (t 为参数),

∴t=       ,代入   y=tsinα,得:直线     l 的一般方程    y=tanα•x,

∵l 与  C 交与  A,B  两点,|AB|=      ,圆   C 的圆心   C(﹣6,0),半径      r=5,

∴圆心    C(﹣6,0)到直线距离        d=          =       ,

解得   tan2α= ,∴tanα=±      =±    .

∴l 的斜率    k=±     .

 

[选修   4-5:不等式选讲]

24.(2016•新课标Ⅱ)已知函数            f(x)=|x﹣  |+|x+  |,M  为不等式    f(x)<2   的解

集.

(Ⅰ)求     M;
(Ⅱ)证明:当        a,b∈M  时,|a+b|<|1+ab|.

【解答】解:(I)当         x<    时,不等式      f(x)<2   可化为:     ﹣x﹣x﹣ <2,

解得:x>﹣1,

∴﹣1<x<     ,

当    ≤x≤    时,不等式     f(x)<2   可化为:      ﹣x+x+ =1<2,

此时不等式恒成立,

∴    ≤x≤    ,

当  x>  时,不等式      f(x)<2   可化为:﹣     +x+x+ <2,

解得:x<1,

∴   <x<1,

综上可得:M=(﹣1,1);

证明:(Ⅱ)当        a,b∈M  时,
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(a2﹣1)(b2﹣1)>0,

即  a2b2+1>a2+b2,
即  a2b2+1+2ab>a2+b2+2ab,
即(ab+1)2>(a+b)2,
即|a+b|<|1+ab|.
 
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参与本试卷答题和审题的老师有:zlzhan;豫汝王世崇;lcb001;双曲线;qiss;
wkl197822;maths;wfy814;ww     方(排名不分先后)
菁优网

2017 年 3 月 17 日
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