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2.2.1直线与平面平行的判定

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高中数学审核员

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    在直线与平面的关系中,平行时一种非
常重要的关系,它应用很多,而且是学习面
与面平行的基础。

     如何判定直线与平面平行呢?
           可以根据定义判定直线与平面是否平行,即
   判定直线与平面是否有公共点。
           但是,直线无限延长,平面无限延展,用定义
   判定直线与平面平行的可行性不大。
  实例观察:
问题1:把门打开,门上靠近把手的边
与门所在的墙面有何关系?
问题2:将课本的一边紧贴桌面,转动课
本,课本的上边缘与桌面的关系如何呢?
           探究


 平面α外有直线 a平行于平面α内的直线 l。
(1)这两条直线共面吗?               共面
(2)直线a 与平面α相交吗?            不可能相交
直线和平面平行的判定定理:             定理证明

        平面外一条直线与此平面内的一条直
 线平行,则该直线与此平面平行。

符号表示:


简述为:    线线平行,则线面平行
证明:
                          β   a
∵a//b,
∴经过a,b确定一个平面β
                               b    p
                          α
∴α,β是两个不同的平面


假设α与β有公共点P则                  ,点P是a与b
的公共点,这与a//b矛盾。
∴a//α
     注意:使用定理时,必须具备三个条件:
       (1)直线a在平面α外,(2)
       直线b在平面α内,(3)两条
       直线a、b平行。

            三个条件缺一不可,缺少其中任何一条,则结论
 就不一定成立了。
     思考

(1)若直线a不在平面α外,即a在平面α内a//α吗?
                     b
                     a
        缺少条件1,显然不成立。
(2)若直线b不在平面α内,a//   吗?
        a  b


   缺少条件2,定理也不成立。

(3)若直线a不平行于直线b,a//    吗?

       a       b


   缺少条件3,定理也不成立。
       例一
       求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行
   于经过另外两边所在的平面.
    已知:空间四边形ABCD中
,E,F分别AB,AD的中点。
   求证:EF//平面BCD。
   证明:连接BD。
    因为   AE=EB,AF=FD,
    所以   EF//BD(三角形中位线的性质)
    因为    
   由直线与平面平行的判断定理得:
   EF//平面BCD。
        例二     如图,四面体ABCD中,E,F,G,
        H分别是AB,BC,CD,AD的中点。
                                  A
(1)E、F、G、H四点是否共面?
                                H
(2)判断AC与平面EFGH的位置关系,E

并证明。                           D
                        B           G
                                F
                                        C
 解:(1)E、F、G、H四点共面。
 ∵在△ABD中,E、H分别是AB、
                               A
 AD的中点。
                             H
 ∴EH∥BD且                  E

 同理GF∥BD且                    D
                      B          G
 EH ∥GF且EH=GF                F
                                     C
∴E、F、G、H四点共面。
            总结

    数学思想方法:转化的思想

    空间问题           平面问题

应用判定定理判定线面平行的关键是找平行线。

   方法一:三角形的中位线定理。

   方法二:平行四边形的平行关系。
             课堂小结

 证明直线与平面平行的方法:

(1)利用定义:      直线与平面没有公共点

(2)利用判定定理:       线线平行          线面平行

应用判定定理判定线面平行时应注意六个字:
(1)面外(2)面内(3)平行
               高考链接

1(2009江苏)如图,在直三棱

柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是
A1B、A1C的中点,点D在B1C1
上,A1D⊥B1C。求证:
(1)EF∥平面ABC;

(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C
【解析】:

因为E,F分别是A1B,A1C的中点,所以EF∥BC,又
EF   面ABC,BC   面ABC,所以EF∥平面ABC;

因为直三棱柱ABC- A1B1C1,所以BB1⊥A1D,又
A1D⊥B1C,所以A1D⊥面BB1C1C,又A1D    面A1FD,
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C。
             随堂练习

    1.直线 a∥平面α,平面α内有 n 条互相平
行的直线,那么这 n 条直线和直线a(  C  )
 A. 全平行              B. 全异面
 C. 全平行或全异面      D. 不全平行也不全异面

           2.直线a∥平面α,平面α内有无数条直线交于一
点,那么这无数条直线中与直线a平行的(    )B
A. 至少有一条            B. 至多有一条
C.有且只有一条          D.不可能有
  3.下列命题是否正确,并说明理由
(1)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行
  (     )
(2)过直线外一点可以作无数个平面与已知直线
  平行(     )
4.如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,D是AC的中
点.求证:AB1//平面DBC1


                      P
    5.如图,正方体                中,P 是棱

A1B1的中点,过点 P 画一条直线使之与截面

A1BCD1平行。

             D1
                          C1
                P
         A1
                   B1

             D            C

         A            B
    6.如图,在正方体ABCD——A1B1C1D1
中,E、F分别是棱BC与C1D1的中点。

求证:EF//平面BDD1B1

                         M


  N
      M
  方法一                 方法二
          习题答案

1.(1)平面A'B'C'D'平面CC'D'D
   (2)平面B'BCC'平面CC'D'D
   (3)平面A'B'C'D'平面B'BCC'
 2.   平行于平面AEC。
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