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2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件:1.1 归纳与类比1.1.1

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第一章       推理与证明


                               -1-
§1 归纳与类比


                            -2-
 1.1 归纳推理


                            -3-
                        目标导航     知识梳理    典例透析    随堂演练
                       MUBIAODAOHANG ZHISHI SHULI DIANLI TOUXI SUITANGYANLIAN


1.通过具体实例理解归纳推理的含义.
2.能利用归纳推理进行简单的推理.
3.体会归纳推理在数学发现中的作用.
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  1.推理
  推理一般包括合情推理和演绎推理.
  2.归纳推理
  (1)根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一
个事物都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.
  (2)归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.
  (3)利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.
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 题型一   题型二  题型三


  (1)求a2,a3,a4;

  (2)猜测a5及数列{an}的通项公式.

  分析:先通过题目给出的递推关系式,求出a2,a3,a4并猜想a5,发现
它们之间的共同性质,再猜测出一个明确的通项公式.
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 题型一   题型二  题型三


  反思一般来说,归纳推理的发现过程以观察和实验作为基础,操作
步骤为:具体问题→实验、观察→经验归纳→形成结论猜想.
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题型一   题型二  题型三


 【变式训练1】 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n=1,2,3,…).

 (1)求a2,a3,a4,a5;

 (2)归纳猜想数列{an}的通项公式.

 解:(1)∵a1=1,an+1=2an+1,

 ∴a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31.
                                  n
 (2)由(1)可猜想数列{an}的通项公式为an=2        -1.
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 题型一   题型二  题型三

  【例2】 (1)有两种花色的正六边形地面砖,按下面的规律拼成若
干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形地面砖的块数是(
  )


  A.26 B.31  C.32 D.36
  (2)把3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,这是因为个数等于这
些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图),则第七个三角形
数是   . 
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 题型一   题型二  题型三

  解析:(1)(方法一)有菱形纹的正六边形地面砖的块数如下表:
  由表可以看出有菱形纹的正六边形地面砖的块数依次组成一个
以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的
正六边形地面砖的块数是6+5×(6-1)=31.


  (方法二)由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形地面砖
需6块菱形纹正六边形地面砖围绕外,每增加一块无纹正六边形地
面砖,需增加5块菱形纹正六边形地面砖(每两块相邻的无纹正六边
形地面砖之间有一块“公共”的菱形纹正六边形地面砖),故第六个
图案中有菱形纹的正六边形地面砖的块数为6+5×(6-1)=31.故选B.
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 题型一   题型二  题型三

  (2)由题意知第一个三角形数为3=1+2,第二个三角形数为
6=1+2+3,第三个三角形数为10=1+2+3+4,所以第六个三角形数为
1+2+3+4+5+6+7=28.
  答案:(1)B (2)28
  反思解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手:
  (1)从图形中体现的某个数量规律入手,找到图形变化与该数量的
关系.
  (2)从图形的结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化
后,与上一次比较,数值发生了怎样的变化.
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 题型一   题型二  题型三

  【变式训练2】 将自然数0,1,2,…按照如下形式进行摆放:


  根据以上规律判定,从2 017到2 019的箭头方向是 (  )


  解析:本题中的数及箭头方向都有一定的规律.箭头每经过四个
数就要重复出现,即以4为周期变化.2 016恰好是4的倍数,2 017应该
与1的起始位置相同.
  答案:B
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题型一       题型二       题型三
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题型一   题型二  题型三

 【变式训练3】 对于任意正整数n,猜想n2与2n的大小.
 解:当n=1时,有12<21;
 当n=2时,有22=22;
 当n=3时,有32>23;
 当n=4时,有42=24;
 当n=5时,有52<25;
 当n=6时,有62<26;
 猜想,当n≥5时,有n2<2n恒成立.
 故当n=2或4时,n2=2n;
 当n=3时,n2>2n;
 当n为其他正整数时,n2<2n.
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1.数列1,5,10,16,23,31,x,50,…中的x等于(  )
A.38   B.39
C.40   D.41
解析:前6项从第2项起每一项与前一项的差分别为4,5,6,7,8,由此可
得x=31+9=40.
答案:C
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2.按照图①~图③的规律,第10个图中的圆点数为(  )
A.40   B.36  C.44 D.52


解析:图①中的圆点数为4=1×4,
  图②中的圆点数为8=2×4,
  图③中的圆点数为12=3×4,
  ……
  所以第10个图中的圆点数为10×4=40.
  故选A.
答案:A
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3.已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,……以此类推,第5
个等式为(  )
A.24×1×3×5×7=5×6×7×8
B.25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9
C.24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10
D.25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10
解析:∵21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,∴第4个等式为
24×1×3×5×7=5×6×7×8,第5个等式为
25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10.故选D.
答案:D
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4.观察下列等式
:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,……
根据上述规律,第四个等式为 . 
解析:观察前三个等式发现等式的左边分别是从1开始的连续的两
个整数、三个整数、四个整数的立方和,等式的右边分别是这几个
数的和的平方,因此可得第四个等式是
13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2.
答案:13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2
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