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选修2-3 1.2.1排列(2018)

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          导入新课

先看下面的问题

                     由数字1,2,
    你能用树形         3,4可以组成多
 图列出所有结果          少个没有重复数
 吗?
                  字的三位数?
                1 2 3                  2 1 3
        1 2                    2 1
                1 2 4                  2 1 4
                1 3 2                  2 3 1
        1 3            2       2 3
1               1 3 4                  2 3 4
                1 4 2                  2 4 1
        1 4                    2 4
                1 4 3                  2 4 3
               3 1 2                   4 1 2
        3 1                    4 1
               3 1 4                   4 1 3
               3 2 1                   4 2 1
3       3 2                    4 2
               3 2 4   4               4 2 3
               3 4 1                   4 3 1
        3 4                    4 3
               3 4 2                   4 3 2
1.2.1排列
    某学校计划在元旦安排一场师生联欢会,需
要从甲、乙、丙三名候选人选2名作主持人,其中
1名作正式主持人,一名作候补主持人,有多少种
不同的方法?
 解答
    可以应用分步计数原理进行,可分两步:第1
 步,确定正式主持人;第2步,确定候补主持人.
    根据分步计数原理,不同顺序排列方法有
 3×2=6种.
   我们把上面问题中被取的对象叫做元素.

于是,所提出问题就是从3个不同的元素甲、乙、
丙中任取2个,然后按一定的顺序排成一列,求一
共有多少种不同的排列方法.所有不同排列为甲
乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙,所有排列
的种数为3×2=6.

   如果我们把上述问题再推广到更为一
 般的情形,就得到排列及排列数的概念.
               知识要
                 点
1 排列
    一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个
元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不
同元素取出m个元素的一个排列.
2 排列数
   从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所
有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m
个元素的排列数,用符号              表示.
                     m
                    An
     上面的问题,是求从3个不同元素中取出
   个元素的排列数,记为           ,已经算得
  2                   2
                     A3


             2
            A3  3 2  6


从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个排成一个三位数,
共可得到多少个不同的三位数?


      3    432    24
      A4 
                                                  知识要
                                                          点

    3 排列数公式


                           m
                 An                                 n(n                      1)(n                                             2)(n                                                      m              1)

  这里,n,m∈N*,并且m≤n .

例如:


                           2                                                                                                   3
                 A5                             54                                         20;                    A8                             876                                                           336
                         0!=1
4 全排列
   n个不同元素全部取出的一个排列,叫做
n个不同元素的一个全排列.这是公式中m=n,
即有


      n
  An        n(n         1)(n               2)321
   也就是说,n个元素全部取出的排列数,
等于1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.


       An  n!       m     n!
       n            A  
                     n   (n  m)!
         8
           例题1
     A12
(1)7       ;
     A12
                      12           11           10            9        8         7        6         5
                                                                                                                  =5
          6                12           11           10            9        8         7         6
(2)A        ;
          6           6!=6×5×4×3×2×1=720
           3
(3) A         .
           16         16        15         14     =     3360
     例题2

    (1) 从5本不同的书中选3本送给3名同学,
 每人各1本,共有多少种不同的送法?
    (2)从5种不同的书中买3本送给3名同学,每
 人各1本,共有多少种不同的送法?
解:

          3
     (1)A5   5 43    60


     (2)555  125
            课堂小结

1. 知识要求:

 (1)要求大家在理解排列的意义的基础上,
掌握排列数的运算;

 (2)了解科学计算器的阶乘运算功能,为
进一步学习排列的应用打好基础.
2.重点掌握排列的两个公式:


              m
   An                                 n(n                       1)(n                                             2)(n                                                      m              1)


                n
   An                                      n!                            n(n                                         1)(n                                                                      2)321
            课堂练习

1.填空
(1)  5人成一排,要求甲、已相邻,有_____48        种
排法.(捆绑法)
    2.选择
    (1)将5列车停在5条不同的轨道上,其中a
列车不停在第一轨道上,b列车不停在第二轨道
上,那么不同的停放方法有(             ).
   A 120种  B  96种  C  78√种 D  72种
   (2)七人排成一排,甲、乙两人必须相邻,
且甲、乙都不与丙相邻,则不同的排法(                 )
种.
   A 960√ 种 B 840种 C 720种 D 600种
   3.解答题
 (1)计划展出不同的画10幅,其中一幅水彩画、
4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品
种的画必须连在一起,并且水彩画不能放在两端,
那么不同的陈列方式有多少种?

 解:依题意,不同的陈列方式有
                           245
                          A245 A A
 种.
          习题解答

  1.
    (1)ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,
cd,da,db,dc
    (2)ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,
ca,cb,cd,ce,da,db,dc,de,ea,
eb,ec,ed
2.


                                       4
   (1) A15                                            =           15*14*13*12                                                                                              =            32760;


                           7
  (2) A7                          =        7!         =        5040;


                                           42
    (3) A88                                         -         2A                                =              8*7*6*5-                                                                                2*8*7                                                     =             1568;


                 A87                         5A
  (4)12                             =                      12         =       5.
                         77
                 AA12                                   12
3.

 N   2    3    4    5    6     7    8

 N!  2    6    24  120   720 5040  40320
       .
 4.
 (1)证明:左=n•(n-1)•(n-2)•…•(n-m+1)
                         右=n•(n-1)(n-2)•…•[(n-1)-(m-1)+1]
                             =n•(n-1)(n-2)•…•(n-m+1)=左
                         ∴
                                         m                      m-1
                                   An           =     nA        n-1      .

(2)证明:


                            8                                       7                                             6                                              7                                       7                                    7                                      7
           A8                         -8A                           7         +7A                                 6         =             8A                     7        -8A                            7         +            A             7          =             A             7      .
                      3
5.  A5                       =        60(种                     ).


                    3
6. A4                      =        24(种                       ).
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