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2019版高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时训练

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                          第九章 平面解析几何
                           第 1 课时 直线的倾斜角与斜率
    一、 填空题
    1. 已知过点    P(-2,m)和   Q(m,4)的直线的斜率不存在,则            m 的值为________.
    答案:-2
    解析:由题意可知,点          P 和 Q 的横坐标相同,即       m=-2.
    2. 若直线过(-2      3,9),(6  3,-15)两点,则直线的倾斜角为__________.
    答案:120°
                                          -15-9
    解析:设直线的倾斜角为           α,则   tan  α=6   3+2  3=-  3,
    ∵ 0°≤α<180°,∴ α=120°.

    3.  如果图中的三条直线         l1,l2,l3 的斜率分别为      k1,k2,k3,则   k1,k2,k3 从小到大
的排列顺序为__________.


    答案:k30,k3<0.另外,tan             α1=k1<0,α1∈     2  ,tan     α3=
           π                         π
          ( ,π)                      ( ,π)
k3<0,α3∈   2   ,而  α3<α1,正切函数在       2   上单调递增,所以 k30.
    (1) 求证:这三条直线共有三个不同的交点;
    (2) 求这三条直线围成的三角形的面积的最大值.

    假设直线    l1 与 l2 交于点  A,直线   l1 与 l3 交于点  B,直线   l2 与 l3 交于点  C.
                           ax-y+a=0,
    (1) 证明:(证法     1)由{x+ay-a(a+1)=0,)
                a
           x=      ,
              a2+1
            a(a2+a+1)
         y=          ,
        {       +     )
    解得        a2  1
                              a   a(a2+a+1)
                                 ,
                            ( +       +     )
    所以直线    l1 与 l2 相交于点   A a2 1    a2 1   .
           ax-y+a=0,           x=-1,
    由{(a+1)x-y+a+1=0,)解得{       y=0,  )
    所以直线    l1 与 l3 相交于点   B(-1,0).
        x+ay-a(a+1)=0,          x=0,
    由{(a+1)x-y+a+1=0,)解得{y=a+1,)
    所以直线    l2 与 l3 相交于点   C(0,a+1).
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                    a            a
    因为  a>0,所以a2+1≠-1,且a2+1≠0,
    所以  A,B,C   三点不同,即这三条直线共有三个不同的交点.

    (证法  2)① 设三条直线      l1,l2,l3  的斜率分别为      k1,k2,k3,
                  1

    则 k1=a,k2=-a,k3=a+1.
    由 k1·k2=-1   得 l1⊥l2,所以直线      l1 与直线  l2 相交.
    由 k1≠k3,得直线     l1 与直线  l3 相交.
                     1    3
                  (a+ )
    由 a(a+1)+1=      2 2+4>0 知  k2≠k3,所以直线     l2 与直线  l3 相交.
    所以直线    l1,l2,l3 任何两条均不平行.
              ax-y+a=0,         x=-1,
    ② 由{(a+1)x-y+a+1=0,)得{       y=0,  )
    所以直线    l1 与 l3 相交于点   B(-1,0).
                         1   3
                      a+
    又-1-a(a+1)=-(        2)2-4≠0,
    所以直线    l2 不过点(-1,0),
    所以直线    l1,l2,l3 不可能交于同一点.
    综上,这三条直线共有三个不同的交点.
                                  1
                                (- )
    (2) 解:(解法    1)由  k1·k2=a·    a =-1  得 l1⊥l2,所以∠BAC=90°.
                                 a2+a+1         1
    由两点间距离公式及(1),得           AB=   1+a2 ,AC=   1+a2,
                                      1
               1       a2+a+1    1      1  1    1     3
                                   2 a+
                        (  +  )     (    )    2 × 2 1
    所以  S△ABC=2AB·AC=2   a2  1 =2+      a ≤2+       =4,
    当且仅当    a=1  时取等号.
                                             3
    所以这三条直线围成的三角形的面积的最大值为4.
                          1
                        (- )
    (解法  2)由  k1·k2=a·    a =-1  得  l1⊥l2,所以∠BAC=90°.
                          1+a(a+1)                           1
                              +                              +
    点 B 到直线   l2 的距离   d1=   1  a2 ,点   C 到直线  l1 的距离   d2= 1  a2,
               1     a2+a+1

    所以  S△ABC=2d1d2=2(a2+1),
                        以下同解法     1.第  4 课时 圆 的 方 程
    一、 填空题
    1. 若直线   3x+y+a=0   过圆   x2+y2+2x-4y=0   的圆心,则实数       a 的值为________.
    答案:1
    解析:因为圆      x2+y2+2x-4y=0    的圆心为(-1,2),所以        3×(-1)+2+a=0,解得
a=1.
    2.  圆心在直线     2x-y-7=0   上的圆    C 与 y 轴交于两点    A(0,-4),B(0,-2),则圆
C 的方程为________________.
    答案:(x-2)2+(y+3)2=5
    解析:由题意知圆心纵坐标            y=-3,代入直线       2x-y-7=0   得圆心   C(2,-3),r2=
22+12=5,所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.
    3.   若圆  C 的半径为    1,其圆心与点(1,0)关于直线          y=x  对称,则圆     C 的标准方程为
____________.
    答案:x2+(y-1)2=1
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    解析:由圆     C 的圆心与点(1,0)关于直线          y=x 对称,得圆     C 的圆心为(0,1).因为圆
C 的半径为    1,所以圆    C 的标准方程为      x2+(y-1)2=1.
    4. 若点(1,-1)在圆      x2+y2-x+y+m=0    外,则    m 的取值范围是____________.
             1
           0,
    答案:(     2)
                      (-1)2+12-4m>0,                 1
    解析:由题意可知{1+(-1)2-1-1+m>0,)解得               0<m<2.
    5.        若圆的方程为       x2+y2+kx-4y+k2=0,则当圆的面积最大时,圆心坐标为
__________.
    答案:(0,2)
                                                         k               3k2
                                                      x+
    解析:将圆的方程        x2+y2+kx-4y+k2=0    化为标准方程为(         2)2+(y-2)2=4-    4 .
          3k2
∵ r2=4-   4 ≤4,∴ k=0    时,r   最大,此时圆心坐标为(0,2).
    6. 已知实数    x,y  满足(x-2)2+(y+1)2=1,则       2x-y 的最大值为________.
    答案:5+     5
    解析:令    b=2x-y,则    b 为直线   2x-y=b   在 y 轴上的截距的相反数,当直线            2x-y=
                          |2 × 2+1-b|
b 与圆相切时,b      取得最值.由           5    =1,解得    b=5±   5,所以   2x-y 的最大值为
5+  5.
                         x ≥ 0,
                         y ≥ 0,
    7.   已知平面区域{x+2y-4       ≤ 0,)恰好被面积最小的圆        C:(x-a)2+(y-b)2=r2    及其
内部所覆盖,则圆        C 的方程为____________.
    答案:(x-2)2+(y-1)2=5
    解析:由题意知,此平面区域表示的是以                  O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角
形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.因为△OPQ                          为直角三角形,所以圆
                                PQ
心为斜边    PQ 的中点(2,1),半径       r= 2 =  5,因此圆    C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
    8.   在圆  x2+y2-2x-6y=0   内,过点     E(0,1)的最长弦和最短弦分别为           AC 和 BD,则
四边形   ABCD 的面积为________.
    答案:10    2
    解析:由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是                     10,且点   E(0,1)位于该圆内,
故过点   E(0,1)的最短弦长      BD=2  10-(12+22)=2   5(注:过圆内一定点的最短弦是以该
点为中点的弦),过点         E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即               AC=2  10,且  AC⊥BD,因
                     1       1
此四边形    ABCD 的面积为2AC×BD=2×2       10×2  5=10  2.
    9.  在平面直角坐标系        xOy 中,点   A(-1,0),B(1,0).若动点        C 满足 AC=  2BC,则
△ABC  的面积的最大值是________.
    答案:2    2
    解析:设满足条件        AC=  2BC 的 C 点坐标为(x,y),则(x+1)2+y2=2(x-1)2+2y2,
                                     1
化简得(x-3)2+y2=8.其中       y≠0,从而     S=2×2×|y|≤2    2,所以△ABC    的面积的最大值
是  2 2.
    10.  已知圆   C:(x-3)2+(y-4)2=1     和两点   A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆       C 上存
在点   P,使得∠APB=90°,则       m 的最大值为________.
    答案:6
    解析:根据题意,画出示意图,如图,则圆心                   C 的坐标为(3,4),半径        r=1,且   AB=
                                     1
2m,因为∠APB=90°,连结         OP,易知   OP=2AB=m.要求    m 的最大值,即求圆        C 上的点   P 到
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                             +
原点   O 的最大距离.因为       OC=  32  42=5,所以    OPmax=OC+r=6,即    m 的最大值为    6.


    二、 解答题
    11.  已知以点    P 为圆心的圆经过点       A(-1,0)和   B(3,4),线段     AB 的垂直平分线交圆
P 于点  C 和 D,且  CD=4  10.
    (1) 求直线   CD 的方程;
    (2) 求圆  P 的方程.
    解:(1) 直线    AB 的斜率   k=1,AB  的中点坐标为(1,2).
    则直线   CD 的方程为    y-2=-(x-1),即      x+y-3=0.
    (2) 设圆心   P(a,b),则由    P 在 CD 上得  a+b-3=0 ①.
    ∵ 直径   CD=4  10,∴ PA=2    10,
    ∴ (a+1)2+b2=40 ②.
               a=-3,     a=5,
    由①②解得{      b=6  )或{b=-2.)
    ∴ 圆心   P(-3,6)或    P(5,-2).
    ∴ 圆  P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40       或(x-5)2+(y+2)2=40.
    12.  如图,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道
总宽度   AD 为 6 3m,行车道总宽度       BC 为 2 11 m,侧墙   EA,FD  高为  2 m,弧顶高    MN 为 5 m.
    (1) 建立直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程;
    (2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至
少要有   0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.


    解:(1)    (解法  1)以 EF 所在直线为     x 轴,以   MN 所在直线为    y 轴,以   1  m 为单位长度
建立直角坐标系.
    则有  E(-3  3,0),F(3   3,0),M(0,3).
    由于所求圆的圆心在         y 轴上,所以设圆的方程为(x-0)2+(y-b)2=r2.
    ∵ F(3  3,0),M(0,3)都在圆上,
        (3 3)2+b2=r2,
    ∴ {02+(3-b)2=r2,)
    解得  b=-3,r2=36.
    ∴圆的方程是      x2+(y+3)2=36.
    (解法  2)以  EF 所在直线为    x 轴,以   MN 所在直线为     y 轴,以   1  m 为单位长度建立直角
坐标系.设所求圆的圆心为            G,半径为    r,则点    G 在 y 轴上,在   Rt△GOE 中,OE=3    3,
GE=r,OG=r-3.
    由勾股定理,得       r2=(3  3)2+(r-3)2,解得    r=6,
    则圆心   G 的坐标为(0,-3),
    故圆的方程是      x2+(y+3)2=36.
    (2) 设限高为    h,作   CP⊥AD,交圆弧于点       P,则  CP=h+0.5.
    将点  P 的横坐标    x=  11代入圆的方程,得(        11)2+(y+3)2=36,得     y=2 或 y=-
8(舍).
    所以  h=CP-0.5=(y+DF)-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m).
    答:车辆的限制高度为          3.5 m.
    13. 已知  M 为圆  C:x2+y2-4x-14y+45=0     上任意一点,且点        Q(-2,3).
    (1) 求 MQ 的最大值和最小值;
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                     n-3
    (2) 若 M(m,n),求m+2的最大值和最小值.
    解:(1) 由圆    C:x2+y2-4x-14y+45=0,
    化为标准方程得(x-2)2+(y-7)2=8,
    所以圆心    C 的坐标为(2,7),半径        r=2  2.
    又 QC=  (2+2)2+(7-3)2=4    2,

    所以  MQmax=4 2+2  2=6  2,
    MQmin=4 2-2  2=2  2.
                  n-3
    (2) 由题意可知m+2表示直线          MQ 的斜率.
    设直线   MQ 的方程为    y-3=k(x+2),
                         n-3
    即 kx-y+2k+3=0,则m+2=k.
    由直线   MQ 与圆  C 有公共点,
        |2k-7+2k+3|
    所以      1+k2    ≤2  2,
    解得  2-  3≤k≤2+    3,
           n-3
       所以m+2的最大值为         2+  3,最小值为     2-  3.第 5 课时 直线与圆的位置关系
    一、 填空题
    1.         若点   P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点                  P 处的切线方程为
______________.
    答案:x+2y-5=0
    解析:由点     P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知,此圆的方程为                    x2+y2=5,所以该
圆在点   P 处的切线方程为       1×x+2×y=5,即      x+2y-5=0.
    2. 圆 x2+y2+x-2y-20=0     与圆  x2+y2=25  相交所得的公共弦长为 ________.
    答案:4    5
    解析:公共弦所在直线的方程为(x2+y2+x-2y-20)-(x2+y2-25)=0,即                     x-2y+
                                         |0-2 × 0+5|
5=0,圆   x2+y2=25  的圆心到公共弦的距离          d=      5    =  5,而半径为     5,故公共弦
长为   2 52-( 5)2=4  5.
    3.    (2017·泰州中学月考)直线         y=kx+3  与圆(x-2)2+(y-3)2=4     相交于    M,N 两
点.若   MN≥2  3,则   k 的取值范围是____________.
             3   3
           -  ,
    答案:[     3  3 ]
    解析:由圆的方程,得圆心(2,3),半径                r=2,
                                   |2k+3-3|
    ∵ 圆心到直线      y=kx+3  的距离    d=   k2+1  ,MN≥2   3,
                      4k2
                  4-
    ∴ 2  r2-d2=2     k2+1≥2  3,
              4k2
    变形得   4-k2+1≥3,即     4k2+4-4k2≥3k2+3,
           3      3
    解得-   3 ≤k≤  3 ,
                       3  3
                    -   ,
    则 k 的取值范围是[        3  3 ].
    4. 过点  P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1      的切线,则切线方程为______________.
    答案:x=2    或  4x-3y+4=0
    解析:当直线的斜率不存在时,直线方程为                  x=2,此时,圆心到直线的距离等于半径,
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直线与圆相切,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线方程为                           y-4=k(x-2),即     kx-
                                                                |k-1+4-2k|
y+4-2k=0,∵      直线与圆相切,∴          圆心到直线的距离等于半径,即             d=   k2+(-1)2 =
 |3-k|            4                  4            4
 k2+1=1,解得     k=3,∴ 所求切线方程为3x-y+4-2×3=0,即                4x-3y+4=0.
    综上,切线方程为        x=2 或  4x-3y+4=0.
    5.  (2017·扬州期中)已知圆        C:x2+y2-4x-2y-20=0,直线        l:4x-3y+15=0    与
圆  C 相交于  A,B  两点,D   为圆  C 上异于   A,B  两点的任一点,则△ABD        面积的最大值为
________.
    答案:27
    解析:因为圆      C:x2+y2-4x-2y-20=0,所以圆心          C(2,1),半径    r=5,所以圆心
                                 |4 × 2-3 × 1+15|
C 到直线   l:4x-3y+15=0    的距离   d=    42+(-3)2   =4,所以    AB=2  r2-d2=2×
 25-16=6.因为    D 为圆  C 上异于   A,B 两点的任一点,所以         D 到直线   AB 即直线   l:4x-
                                                         1
3y+15=0  的距离的最大值为        d+r=9,所以△ABD      面积的最大值为2×AB×9=27.
    6.    (2017·苏锡常镇二模)已知直线          l:mx+y-2m-1=0,圆       C:x2+y2-2x-4y=
0,当直线    l 被圆  C 所截得的弦长最短时,实数            m=________.
    答案:-1
    解析:由题意,得        C(1,2),直线    l:m(x-2)+y-1=0     恒过定点    A(2,1).当直线
l 被圆  C 所截得的弦长最短时,直线           l⊥CA.因为直线     l 的斜率为-m,直线        CA 的斜率为
1-2
2-1=-1,所以-m×(-1)=-1,即             m=-1.
    7.  已知圆   O:x2+y2=1,直线     x-2y+5=0    上动点   P,过点   P 作圆  O 的一条切线,切
点为   A,则  PA 的最小值为____________.
    答案:2
    解析:过点     O 作 OP 垂直于直线     x-2y+5=0,过点      P 作圆  O 的切线  PA,连结    OA,易
                                              |1 × 0-2 × 0+5|
知此时   PA 的值最小.由点到直线的距离公式,得                OP=      1+22    =  5.又  OA=1,所
以  PA=  OP2-OA2=2.
    8. 在直角坐标系      xOy 中,已知    A(-1,0),B(0,1),则满足        PA2-PB2=4 且在圆    x2+
y2=4 上的点    P 的个数为________.
    答案:2
    解析:设    P(x,y),由   PA2-PB2=4  知[(x+1)2+y2]-[x2+(y-1)2]=4,整理得         x+
                                            2
y-2=0.又圆心(0,0)到直线         x+y-2=0   距离   d= 2=  2<2,因此直线与圆有两个交点,
故符合条件的点       P 有 2 个.
    9.  (2017·南通三模)在平面直角坐标系             xOy 中,已知点    A(0,-2),点    B(1,-1),
                          PB
P 为圆  x2+y2=2  上一动点,则PA的最大值是________.
    答案:2
    解析:(解法     1)设点   P(x,y),则   x2+y2=2,
        PB2  (x-1)2+(y+1)2    x2+y2-2x+2y+2
    所以PA2=     x2+(y+2)2    =   x2+y2+4y+4
      -2x+2y+4    -x+y+2
    =    4y+6   =   2y+3  .
          -x+y+2
    令 λ=    2y+3   ,所以   x+(2λ-1)y+3λ-2=0,
    由题意,直线      x+(2λ-1)y+3λ-2=0       与圆  x2+y2=2  有公共点,
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           |3λ-2|                          PB
    所以   1+(2λ-1)2≤   2,解得   0<λ≤4,所以PA的最大值为            2.
    (解法  2)当  AP 不与圆相切时,设       AP 与圆的另一个交点为         D,
    由条件   AB 与圆  C 相切,则∠ABP=∠ADB,
    所以△ABP∽△ADB,
        PB  BD   BD         PB
    所以PA=BA=      2 ≤2,所以PA的最大值为         2.
    10.    (2017·南京三模)在平面直角坐标系            xOy 中,圆   O:x2+y2=1,圆    M:(x+a+
3)2+(y-2a)2=1(a   为实数).若圆      O 与圆 M 上分别存在点      P,Q,使得∠OQP=300,则        a 的
取值范围是________.
            6
           - ,0
    答案:[    5  ]
    解析:过点     Q 作圆  O 的切线   QR,切点为    R,根据圆的切线性质,有∠OQR≥∠OQP=
30°;反过来,如果∠OQR≥30°,则存在圆                O 上的点  P,使得∠OQP=30°.
    若圆  O 上存在点    P,使得∠OQP=30°,则∠OQR≥30°.因为             OP=1,所以    OQ>2 时不
成立,所以     OQ≤2,即点     Q 在圆面  x2+y2≤4  上.因为点     Q 在圆  M 上,所以圆     M:(x+a+
3)2+(y-2a)2=1(a   为实数)与圆面      x2+y2≤4 有公共点,所以       OM≤3.因为    OM2=(0+a+
                                               6
3)2+(0-2a)2,所以(0+a+3)2+(0-2a)2≤9,解得-5≤a≤0.
    二、 解答题
    11. 已知圆   C:x2+y2-8y+12=0,直线       l:ax+y+2a=0.
    (1) 当 a 为何值时,直线       l 与圆  C 相切;
    (2) 当直线   l 与圆  C 相交于   A,B 两点,且     AB=2 2时,求直线      l 的方程.
    解:将圆    C 的方程   x2+y2-8y+12=0   化成标准方程为        x2+(y-4)2=4,则此圆的圆
心为(0,4),半径为       2.
                               |4+2a|              3
    (1) 若直线   l 与圆  C 相切,则有     a2+1=2,解得     a=-4.
    (2)                    过圆心   C 作 CD⊥AB,垂足为     D,则根据题意和圆的性质,得
          |4+2a|
     CD=       ,
           a2+1
 CD2+DA2=AC2=22,
         1
{   DA=   AB=  2,   )
         2
    解得  a=-7   或-1.
    故所求直线方程为        7x-y+14=0   或  x-y+2=0.
    12. (2017·苏北四市期中)如图,在平面直角坐标系                  xOy 中,已知圆    C:x2+y2-4x=
0 及点  A(-1,0),B(1,2).
    (1) 若直线   l 平行于   AB,与圆   C 相交于   M,N 两点,MN=AB,求直线        l 的方程;
    (2) 在圆  C 上是否存在点      P,使得   PA2+PB2=12?若存在,求点        P 的个数;若不存在,
说明理由.


    解:(1)        圆 C 的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以圆心             C(2,0),半径为     2.因为
                                              2-0
l∥AB,A(-1,0),B(1,2),所以直线           l 的斜率为1-(-1)=1.设直线         l 的方程为   x-
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                                  |2-0+m|  |2+m|
y+m=0,则圆心      C 到直线   l 的距离   d=     2  =    2 .因为   MN=AB=  22+22=2   2,
           MN            (2+m)2
而  CM2=d2+( 2 )2,所以   4=    2   +2,解得    m=0  或 m=-4,故直线      l 的方程为    x-
y=0  或 x-y-4=0.
    (2) 假设圆   C 上存在点    P,设  P(x,y),则(x-2)2+y2=4,
    PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,
    即 x2+y2-2y-3=0,即      x2+(y-1)2=4.
    因为  2-2<   (2-0)2+(0-1)2<2+2,
    所以圆(x-2)2+y2=4     与圆   x2+(y-1)2=4  相交,
    所以点   P 的个数为    2.
                                                 2   2                 2
    13.     平面直角坐标系       xOy 中,已知圆     C1:(x+3)  +y =4  和圆  C2:(x-4)  +(y-
4)2=4.

    (1) 若直线   l 过点  A(4,-1),且被圆      C1 截得的弦长为     2 3,求直线    l 的方程;
    (2)  是否存在一个定点        P,使过   P 点有无数条直线      l 与圆  C1 和圆  C2 都相交,且    l 被两
圆截得的弦长相等?若存在,求点               P 的坐标;若不存在,请说明理由.

    解:(1) 由于直线      x=4 与圆   C1 不相交,所以直线       l 的斜率存在.
    设直线   l 的方程为    y=k(x-4)-1,
    即 kx-y-4k-1=0,
                                              2 3
                                          22-     2
                                              ( 2 )
    由垂径定理,得圆心         C1 到直线  l 的距离   d=           =1,
                           |-3k-1-4k|
    结合点到直线距离公式,得               k2+1   =1, 
                                       7
    化简得   24k2+7k=0,所以     k=0 或  k=-24.
                                   7
    故直线   l 的方程为 y=-1      或 y=-24(x-4)-1,即      y=-1  或  7x+24y-4=0.
    (2) 假设存在,设点       P(a,b),l  的方程为     y-b=k(x-a),即     kx-y+b-ak=0.

    因为圆   C1 和圆  C2 的半径相等,被      l 截得的弦长也相等,所以圆           C1 和圆 C2 的圆心到直
线  l 的距离也相等,
      |-3k+b-ak|   |4k-4+b-ak|
    即     1+k2   =     1+k2    ,
    整理得(14a-7)k2-(8a+14b-32)k+8b-16=0.
    因为  k 的个数有无数多个,
           14a-7=0,            1
                            a=  ,
         8a+14b-32=0,          2
    所以{    8b-16=0,    )解得{  b=2. )
                                                 1
                                                  ,2
    综上所述,存在满足条件的定点              P,且点   P 的坐标为(2     ).
                               第 6 课时 椭  圆(1)
    一、 填空题
    1. 经过点(0,4)且焦距为        10 的椭圆的标准方程为____________________.
          x2  y2
    答案:41+16=1
    解析:因为焦距为        10,所以   2c=10,c=5.因为     4<5,所以     b=4,且焦点在      x 轴上,
                                        x2  y2
a2=b2+c2=16+25=41,故椭圆的标准方程为41+16=1.
                      x2   y2
    2. 已知椭圆方程为k-3+5-k=1,则            k 的取值范围是______________.
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    答案:(3,4)∪(4,5)
                     k-3 > 0,
                     5-k>0,
    解析:由题意得 {k-3        ≠ 5-k,)∴ k∈(3,4)∪(4,5).
                          x2  y2

    3.    已知  F1,F2 是椭圆16+    9 =1 的两焦点,过点       F2 的直线交椭圆于      A,B 两点.在
△AF1B 中,若有两边之和是         10,则第三边的长度为________.
    答案:6

    解析:根据椭圆定义,知△AF1B           的周长为     4a=16,故所求的第三边的长度为            16-
10=6.

    4.    已知   F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆      C 的两个焦点,过      F2 且垂直于   x 轴的直线交
C 于 A,B 两点,且     AB=3,则椭圆     C 的方程为________________.
          x2  y2
    答案:   4 + 3 =1
                                                             x2   y2
    解析:由题意知椭圆焦点在            x 轴上,且    c=1,可设椭圆      C 的方程为a2+a2-1=1(a>1),
                                                        3
                                                     (1, )
由过   F2 且垂直于   x 轴的直线被椭圆      C 截得的弦长     AB=3 知,点      2 必在椭圆上,代入椭圆
                                          1                       x2  y2
方程化简得     4a4-17a2+4=0,所以      a2=4 或 a2=4(舍去),故椭圆       C 的方程为   4 + 3 =1.
                 x2  y2

    5.  若椭圆   C:  9 + 2 =1 的焦点为   F1,F2,点   P 在椭圆   C 上,且   PF1=4,则∠F1PF2=
________.
          2π
    答案:   3
    解析:由题意得       a=3,c=    7,则  PF2=2.
                                         42+22-(2   7)2   1

    在△F2PF1 中,由余弦定理可得         cos∠F2PF1=     2 × 4 × 2 =-2.
                                   2π

    ∵ ∠F2PF1∈(0,π),∴ ∠F1PF2=       3 .
                                         x2  y2
    6.  (2017·淮阴高级中学模考)已知过椭圆25+16=1               的中心任作一直线交椭圆于            P,
Q 两点,F   是椭圆的一个焦点,则△PQF           周长的最小值是________.
    答案:18

    解析:如图,设       F 为椭圆的左焦点,右焦点为           F2,根据椭圆的对称性可知           FQ=PF2,
OP=OQ,所以△PQF     的周长为    PF+FQ+PQ=PF+PF2+2PO=2a+2PO=10+2PO,易知
2PO 的最小值为椭圆的短轴长,即点             P,Q  为椭圆的上下顶点时,△PQF          的周长取得最小值,
最小值是    18.


                            x2
                                2
    7.              已知椭圆    4 +y =1 的左、右焦点分别为         F1,F2,点   M 在该椭圆上,
且  →  ·  → =0,则点    M 到 y 轴的距离为________.
  MF1   MF2
          2 6
    答案:    3
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    解析:由题意,得        F1(-  3,0),F2(  3,0).
    设 M(x,y),则      →  ·  →  =(-   3-x,-y)·(    3-x,-y)=0,整理得        x2+y2=3 
                   MF1   MF2
①.
                       x2                  x2
    因为点   M 在椭圆上,故      4 +y2=1,即   y2=1-  4  ②.
                  3               2 6                     2 6
    将②代入①,得4x2=2,解得          x=±   3 .故点   M 到 y 轴的距离为     3 .
    8.  (2017·苏北四市期中)如图,在平面直角坐标系                 xOy 中,已知    A,B1,B2 分别为椭
      x2 y2

圆  C:a2+b2=1(a>b>0)的右、下、上顶点,F             是椭圆   C 的右焦点.若      B2F⊥AB1,则椭圆
C 的离心率是________.


           5-1
    答案:     2
    解析:由题意得,A(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),F(c,0),
    所以   → =(c,-b),     → =(-a,-b).
        B2F            AB1
    因为  B F⊥AB  ,所以   →  · →  =0,即   b2=ac,
         2     1     B2F   AB1
                                                                   5-1
    所以  c2+ac-a2=0,e2+e-1=0.又椭圆的离心率             e∈(0,1),所以     e=   2  .
                                              x2 y2
    9.   如图,在平面直角坐标系           xOy 中,F  是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右焦点,直线
   b
y=2与椭圆交于      B,C  两点,且∠BFC=90°,则椭圆的离心率是____________.


           6
    答案:   3
                        3  b     3  b
                     -   a,       a,
    解析:由题意得,B(          2  2),C( 2  2),因为   FB⊥FC,→·→=0,→=
                                                    FB  FC     FB
    3a   b         3    b            3     b                        6
 -   -c,            a-c,              a
(   2    2),→=(   2     2),因此   c2-( 2 )2+(2)2=0,3c2=2a2,解得     e= 3 .
             FC
    10.   如图,A,B    是椭圆的两个顶点,点          C 是 AB 的中点,F   为椭圆的右焦点,OC        的延
长线交椭圆于点       M,且   OF=  2.若 MF⊥OA,则椭圆的方程为____________.


          x2  y2
    答案:   4 + 2 =1
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                           x2  y2                                 a b
                                                                   ,
    解析:设所求的椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),则               A(a,0),B(0,b),C(2    2),F(
                                                               b
                                                             2,  a2-2
 a2-b2,0).依题意得       a2-b2=   2,FM 的直线方程是      x=  2,所以   M(   a      ).由于
                             b
                     b a2-2  2
                        a     a
O,C,M  三点共线,所以          2   =2,即   a2-2=2,所以     a2=4,b2=2,所以所求椭圆的
      x2  y2
方程是   4 + 2 =1.
    二、 解答题
    11. 分别求下列椭圆的标准方程.
    (1) 经过点   P(-2  3,0),Q(0,2)两点;
    (2) 长轴长是短轴长的        3 倍,且经过     M(3,2);
    (3) 与椭圆   4x2+9y2=36  有相同焦点,且过点(3,-2).
    解:(1)   由题意,P,Q      分别是椭圆长轴和短轴上的端点,且椭圆的焦点在                     x 轴上,所
                                    x2 y2
以  a=2  3,b=2,所以椭圆的标准方程为12+             4 =1.
                                           x2  y2
    (2) 当焦点在    x 轴上时,设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),
    又点  M(3,2)在椭圆上,
                 a=3b,
               32 22          a2=45,
                 +  =1,
    由题意,得{a2      b2    )解得{  b2=5, )
                       x2  y2
    所以椭圆的标准方程为45+           5 =1.
                                       y2  x2
    当焦点在    y 轴上时,设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),
                                     a=3b,         a2=85,
                                    22 32             85
                                     +   =1,       b2=  ,
    又点  M(3,2)在椭圆上,由题意,得{a2            b2    )所以{      9 )椭圆的标准方程为
x2
85  y2
 9 +85=1.
                                    x2
                         x2  y2     85  y2
    综上,椭圆的标准方程为45+            5 =1 或 9 +85=1.
    (3) 由椭圆   4x2+9y2=36  得 c=  5,
                             x2  y2
    所以设所求椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0).
                 a2=5+b2,
               32 (-2)2           a2=15,
                 +      =1,
    由题意,得{a2        b2      ) 所以{b2=10,)
                       x2  y2
    所以椭圆的标准方程为15+10=1.
                                                   x2  y2
    12.    在平面直角坐标系        xOy 中,椭圆   C 的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),右焦点为
F,右准线为     l,短轴的一个端点为         B.设原点到直线      BF 的距离为    d1,F 到  l 的距离为   d2,
若  d2= 6d1,求椭圆    C 的离心率.
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                     a2     a2     b2

    解: 右准线     l:x=   c ,d2= c -c= c ,
                               bc

    在 Rt△BOF  中,由面积法得       d1= a ,
                  b2     bc

    若 d2=  6d1,则  c = 6×  a ,
    整理得    6a2-ab-  6b2=0,
                      b    b
    两边同除以     a2,得   6(a)2+a-  6=0,
        b   6     6
    解得a=   3 或-  2 (舍),
              b     3
           1-   2
    ∴ e=      (a) = 3 .
                      x2 y2

    13. 如图,已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),F1,F2          分别为椭圆的左、右焦点,A           为椭圆的
上顶点,直线      AF2 交椭圆于另一点      B.
    (1) 若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;
    (2) 若椭圆的焦距为       2,且   → =2  → ,求椭圆的方程.
                           AF2   F2B


    解:(1) 若∠F1AB=90°,则△AOF2        为等腰直角三角形,
    所以有   OA=OF2,即   b=c.
                   c   2
    所以  a=  2c,e=a=   2 .
    (2) 由题意知    A(0,b),F2(1,0),设     B(x,y).
                         3      b
    由  → =2  → ,解得    x=2,y=-2.
      AF2   F2B
        x2  y2       9   1
    代入a2+b2=1,即4a2+4=1,解得          a2=3,b2=a2-c2=2.
                                  x2  y2
                  所以椭圆的方程为        3 + 2 =1.第  7 课时 椭  圆(2) 
    一、 填空题
               x2  y2
    1. 已知椭圆m+      4 =1 的焦距为    2,则  m 的值为________.
    答案:5   或  3
    解析:当焦点在       x 轴上时,a2=m,b2=4,∴ c=         m-4,∴     m-4=1,∴ m=5;当
焦点在   y 轴上时,a2=4,b2=m,∴ c=          4-m,∴     4-m=1,∴ m=3.

    2.   已知以椭圆两焦点        F1,F2 所连线段为直径的圆,恰好过短轴两端点,则此椭圆的
离心率   e 等于__________.
           2
    答案:   2
                                                c   2
    解析:由题意得       b=c,∴ a2=b2+c2=2c2,∴ e=a=        2 .
    3.       已知椭圆的中心在原点,焦距为              4,一条准线为      x=-4,则该椭圆的方程为
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

______________.
          x2  y2
    答案:   8 + 4 =1
                   a2                                              x2  y2
    解析:由    2c=4,   c =4,a2=b2+c2,得    a2=8,b2=4,则该椭圆的方程为           8 + 4 =1.
    4.   中心在原点,焦点在         x 轴上,若长轴长为       18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则
此椭圆的方程是____________.
          x2  y2
    答案:81+72=1
                                         1
    解析:依题意知       2a=18,∴ a=9,∴ 2c=3×2a,c=3,
                                           x2  y2
    ∴ b2=a2-c2=81-9=72,∴ 椭圆的方程为81+72=1.
                x2 y2

    5.  已知椭圆    4 + 2 =1 上有一点    P,F1,F2 是椭圆的左、右焦点.若△F1PF2           为直角三
角形,则这样的点        P 有________个.
    答案:6

    解析:当∠PF1F2    为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点                   P 有 2 个;同理当
∠PF2F1 为直角时,这样的点         P 有 2 个;当  P 点为椭圆的短轴端点时,∠F1PF2           最大,且为
直角,此时这样的点         P 有 2 个.故符合要求的点        P 有 6 个.
                            x2  y2

    6. 设  F1,F2 分别是椭圆    C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点             P 在椭圆  C 上.若
P 到两焦点的距离之比为          2∶1,则椭圆的离心率的取值范围是________.
           1
           ,1
    答案:[3     )
    解析:设    P 到两个焦点的距离分别是           2k,k,
    根据椭圆定义可知        3k=2a.
    又由椭圆的性质可知,椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为                            2c,即  k≤2c,
                      1
    所以  2a≤6c,即    e≥3.
                     1
    因为  0<e<1,所以3≤e<1.
                              1
                               ,1
    故椭圆的离心率的取值范围是[3              ).
                       x2  y2

    7.      已知椭圆     M:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为           F1,F2,P 为椭圆    M 上一
点.若|    → |·| →  |的最大值为     3c2,其中   c=  a2-b2,则椭圆     M 的离心率为________.
       PF1    PF2
           3
    答案:   3
                                                 →    →
                                                |PF1|+|PF2|
    解析:∵ |    →  |+| →  |=2a,∴ |   → |·|  → |≤(     2    )2=a2,∴ a2=3c2,∴ 
              PF1    PF2          PF1    PF2
    1        3
e2=3,∴ e=    3 .
                 x2 y2

    8.   已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),点       A,B1,B2,F   依次为其左顶点、下顶点、上顶点
和右焦点.若直线        AB2 与直线  B1F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为
________.
          1
    答案:2
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                          x   y                    x  y

    解析:直线     AB2 的方程为-a+b=1,直线         B1F 的方程为c+-b=1,则它们的交点的横
        x  x          a2                                         1
坐标满足c-a=2,而        x= c ,可得   a2-ac=2c2,即   2e2+e-1=0,解得      e=2.
                 x2 y2

    9.   已知椭圆    4 +b2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为            F1,F2,过   F1 的直线  l 交椭圆
于  A,B 两点.若    BF2+AF2 的最大值为     5,则  b 的值是__________.
    答案:    3

    解析:由题意知       a=2,所以    BF2+AF2+AB=4a=8,因为       BF2+AF2 的最大值为    5,所以
                                                          3           3
                                                      -c,
|AB|的最小值为     3,当且仅当     AB⊥x  轴时,取得最小值,此时           A(   2),B(-c,-2),代
            c2  9                             4-b2   9          b2   9
入椭圆方程得      4 +4b2=1.又   c2=a2-b2=4-b2,所以       4 +4b2=1,所以     4 =4b2,解得
b2=3,所以    b=  3.
                   x2  y2
    10.   设椭圆   C:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为         F,过点    F 的直线   l 与椭圆  C 相交于
A,B  两点,直线     l 的倾斜角为    60°,   → =2→,则椭圆      C 的离心率为________.
                                AF    FB
          2
    答案:3
    解析:设    A(x1,y1),B(x2,y2)(y1<0,y2>0),
    直线  l 的方程为    y=  3(x-c),其中    c=  a2-b2.
         y=  3(x-c),
          x2 y2
            +  =1,
    联立{   a2 b2     )消去  x 得(3a2+b2)y2+2  3b2cy-3b4=0.
            -  3b2(c+2a)     -  3b2(c-2a)

    解得  y1=    3a2+b2   ,y2=    3a2+b2   .
    因为  → =2→,所以-y       =2y ,
        AF   FB         1    2
       3b2(c+2a)     -  3b2(c-2a)             c  2
    即   3a2+b2  =2·     3a2+b2   ,得离心率     e=a=3.
    二、 解答题
                                                                1

    11. 已知椭圆    C 的一个焦点为      F1(2,0),相应准线为      x=8,离心率      e=2.
    (1) 求椭圆的方程;
    (2) 求过另一个焦点且倾斜角为            45°的直线截椭圆       C 所得的弦长.
    解:(1) 设椭圆上任一点         P(x,y),
                 (x-2)2+y2   1
    由统一定义得         |8-x|   =2,
    两边同时平方得       4[(x-2)2+y2]=(8-x)2,
          x2  y2
    化简得16+12=1.
    (2)  设椭圆的另一个焦点为          F2(-2,0),过    F2 且倾斜角为    45°的直线方程为       y=x+
2,
          x2  y2
    与曲线16+12=1     联立消去    y,得   7x2+16x-32=0.
                                          16

    设交点   A(x1,y1),B(x2,y2),则    x1+x2=-  7 ,
                                                    1         48

    AB=AF2+BF2=a+ex1+a+ex2=2a+e(x1+x2)=2×4+2(x1+x2)=          7 .
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                                                              x2 y2
    12.     (2017·江苏卷)如图,在平面直角坐标系              xOy 中,椭圆    E:a2+b2=1(a>b>
                                   1

0)的左、右焦点分别为         F1,F2,离心率为2,两准线之间的距离为               8.点 P 在椭圆   E 上,且
位于第一象限,过点         F1 作直线  PF1 的垂线   l1,过点   F2 作直线  PF2 的垂线  l2.


    (1) 求椭圆   E 的标准方程;

    (2) 若直线   l1,l2 的交点   Q 在椭圆   E 上,求点    P 的坐标.
    解:(1) 设椭圆的半焦距为          c.
                       1
    因为椭圆    E 的离心率为2,两准线之间的距离为              8,
        c  1  2a2
    所以a=2,     c =8,
    解得  a=2,c=1,于是      b=  a2-c2=   3,
                         x2  y2
    因此椭圆    E 的标准方程是      4 + 3 =1.
    (2) 由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).
    设 P(x0,y0),因为    P 为第一象限的点,故        x0>0,y0>0.
    当 x0=1  时,l2 与  l1 相交于  F1,与题设不符.
                                y0                    y0

    当 x0≠1  时,直线    PF1 的斜率为x0+1,直线      PF2 的斜率为x0-1.
                                             x0+1                  x0-1

    因为  l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线       l1 的斜率为-     y0 ,直线    l2 的斜率为-     y0 ,
                           x0+1

    从而直线    l1 的方程为    y=-   y0 (x+1) ①,
                       x0-1

    直线  l2 的方程为    y=-   y0 (x-1) ②.

    由①②,解得      x=-x0,y=       ,所以    Q   .

    因为点   Q 在椭圆上,由对称性,得              =±y0,即    x02-y02=1 或 x02+y02=1.
    又 P 在椭圆   E 上,故      +     =1.
                  4 7
              x0=    ,
                   7
                   3 7
              { y0=  . )
    由     解得        7

    而     无解.
                    4 7 3 7
                       ,
    因此点   P 的坐标为(    7   7 ).
                                              x2  y2                    2
    13.  如图,在平面直角坐标系           xOy 中,已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率为            2 ,且
右焦点   F 到左准线    l 的距离为    3.
    (1) 求椭圆的标准方程;
    (2) 过点  F 的直线与椭圆交于        A,B 两点,线段      AB 的垂直平分线分别交直线          l 和 AB 于
点  P,C,若   PC=2AB,求直线     AB 的方程.
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                      c  2        a2
    解:(1) 由题意,得a=        2 ,且  c+ c =3,
    解得  a=  2,c=1,则    b=1,
                       x2
    所以椭圆的标准方程为          2 +y2=1.
    (2) 当 AB⊥x  轴时,AB=    2.又  CP=3,不合题意.

    当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线         AB 的方程为   y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
    将 AB 的方程代入椭圆方程,
    得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,
            2k2 ± 2(1+k2)

    则 x1,2=     1+2k2    ,
               2k2    -k
                   ,
    C 的坐标为(1+2k2     1+2k2),
    且 AB=  (x2-x1)2+(y2-y1)2
                        2 2(1+k2)
    =  (1+k2)(x2-x1)2=    1+2k2  .
    若 k=0,则线段      AB 的垂直平分线为      y 轴,与左准线平行,不合题意,从而               k≠0,
                          k      1     2k2
                                   x-
    故直线   PC 的方程为    y+1+2k2=-k(      1+2k2),
                        5k2+2
                  -2,
    则 P 点的坐标为(        k(1+2k2)),
            2(3k2+1)  1+k2
    从而  PC=    |k|(1+2k2) .
    因为  PC=2AB,
        2(3k2+1) 1+k2   4 2(1+k2)
    所以    |k|(1+2k2)  =   1+2k2  ,
    解得  k=±1.
    此时直线    ΑΒ   方程为   y=x-1  或  y=-x+1.
                                第 8 课时 双 曲 线
    一、 填空题
                                                          x2  y2
    1.        (2017·苏州期末)在平面直角坐标系            xOy 中,双曲线     3 - 6 =1 的离心率为
________.
    答案:    3
    解析:因为     a=  3,b=   6,则  c=  a2+b2=3,所以     e=  3.
                                     x2  y2
    2.  (2017·扬州考前调研)已知双曲线a2-20=1(a>0)的一条渐近线方程为                     y=2x,则
该双曲线的焦距为________.
    答案:10
                    2 5
    解析:由题意,得         a =2,所以    a=  5,所以   c=  5+20=5,所以该双曲线的焦距为
10.
                      x2  y2
    3.       已知双曲线a2-b2=1      的实轴长为      2,焦距为    4,则该双曲线的渐近线方程是
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

___________.
    答案:y=±      3x
    解析:由题意知       2a=2,2c=4,所以      a=1,c=2,所以      b=  c2-a2=  3.故双曲线的
渐近线方程是      y=±   3x.
                               x2  y2
    4.  (2017·天津卷)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点为                  F,离心率为     2.若
经过   F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为________.
          x2  y2
    答案:   8 - 8 =1
    解析:由离心率为         2知该双曲线为等轴双曲线,渐近线方程为                 y=±x.∵        过 F 和
                                                                    x2  y2
P(0,4)的直线与双曲线的渐近线平行,∴ c=4,a=b=2                    2.故双曲线的方程为        8 - 8 =1.
    5. 若双曲线    x2+my2=1  过点(-    2,2),则该双曲线的虚轴长为________.
    答案:4
                                                1
    解析:双曲线      x2+my2=1  过点(-    2,2),则   m=-4,得    b2=4,则该双曲线的虚轴长
2b=4.
                                                      x2  y2
    6.  (2017·南京三模)在平面直角坐标系             xOy 中,双曲线2m2-3m=1       的焦距为    6,则
所有满足条件的实数         m 构成的集合是____________.
           3
    答案:{2}
                             6                             3           x2
    解析:由题意,得        2m2+3m=(2)2,所以    2m2+3m-9=0,解得      m=2或-3.因为2m2-
y2                                     3
3m=1  是双曲线的方程,所以          m>0,所以    m=2.
                            y2
                         2
    7.  设 F1,F2 是双曲线    x -24=1  的两个焦点,P      是双曲线上的一点,且          3PF1=4PF2,
则△PF1F2  的面积为________.
    答案:24
             PF1-PF2=2,     PF1=8,
    解析:由{    3PF1=4PF2,  )得{ PF2=6. )
                                                  1

    由 F1F2=10 可得△PF1F2  是直角三角形,则         S△PF1F2=2PF1×PF2=24.
                                     x2  y2
    8.  (2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线         C:  a2-b2=1   (a>0,b>0)的一条渐近线方程为
    5           x2  y2
y=  2 x,且与椭圆12+     3 =1 有公共焦点,则双曲线          C 的方程为________.
          x2  y2
    答案:   4 - 5 =1
                                         5
    解析:∵ 双曲线的一条渐近线方程为                y= 2 x,
       b   5
    ∴ a=  2  ①.
           x2  y2
    ∵ 椭圆12+    3 =1 与双曲线有公共焦点,
    ∴ c=3,则    a2+b2=c2=9 ②.
                                            x2  y2
    由①②解得     a=2,b=    5,故双曲线     C 的方程为    4 - 5 =1.
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                x2  y2
    9.   以双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点            F 为圆心,a    为半径的圆恰好与双曲线
的两条渐近线相切,则该双曲线的离心率为____________.
    答案:    2
    解析:设    F(c,0),则点    F 到双曲线的渐近线        bx-ay=0  的距离为    b,则   a=b,c=
 2a,则该双曲线的离心率为           2.
                                                   x2
    10. (2017·江苏卷)在平面直角坐标系            xOy 中,双曲线    3 -y2=1  的右准线与它的两条
渐近线分别交于点        P,Q,其焦点是      F1,F2,则四边形      F1PF2Q 的面积是________.
    答案:2    3
                                 a2 3                    3
    解析:双曲线的右准线方程为             x= c =2,渐近线方程为       y=±   3 x,联立可得
  3  3    3    3
 ( ,  )  ( ,-   )
P 2 2 ,Q  2    2 .又四边形    F1PF2Q 的对角线互相垂直,且        F1F2=2c=4,所以四边形
               1           1

F1PF2Q 的面积  S=2×F1F2×PQ=2×4×      3=2  3.


    二、 解答题
    11. 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
    (1) 焦点在   x 轴上,离心率为       2,且过点(-5,3);
    (2) 焦距是   10,实轴长是虚轴长的         2 倍;
                x2  y2
    (3) 与双曲线16-     4 =1 有相同的焦点,且经过点(3           2,2). 
                               x2  y2
    解:(1) 设双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0).
          c
    ∵ e=a=    2,∴ c=   2a,b2=c2-a2=a2.
    把点(-5,3)代入双曲线方程,得             a2=16.
                            x2  y2
    ∴ 所求双曲线的标准方程为16-16=1.
    (2) 由题意得    2c=10,2a=4b,即     c=5,a=2b.
    利用  c2=a2+b2,解得    a2=20,b2=5.
                                                       x2 y2      y2 x2
    由于双曲线的焦点所在的轴不确定,故双曲线的标准方程为20-                          5 =1 或20-  5 =1.
    (3) (解法  1)∵ c2=16+4=20,∴ c=2       5,
    ∴ F(±2   5,0),
    ∴ 2a= |   (3 2-2 5)2+4-   (3 2+2  5)2+4|=4  3,∴ a2=12,
                                         x2  y2
    ∴ b2=c2-a2=8,∴ 双曲线的标准方程为12-              8 =1.
                              x2    y2
    (解法  2)设所求双曲线方程为16-λ-4+λ=1(-4<λ<16).
                               18    4
    ∵ 双曲线过点(3       2,2),∴ 16-λ-4+λ=1,
    解得  λ=4   或 λ=-14(舍去).
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                       x2 y2
    ∴ 所求双曲线方程为12-          8 =1.
                   y2  x2
    12.   已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为                2x+y=0,且顶点到渐近
          2 5
线的距离为      5 .
    (1) 求此双曲线的方程;
    (2)  设 P 为双曲线上一点,A,B        两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、第二象
限,若   → =→,求△AOB      的面积.
      AP  PB
                         a
                          =2,
                         b
                    |2 × 0+a| 2 5
                            =   ,      a=2,
                    {   5      5  )     =  ,
    解:(1) 依题意得                    解得{b    1 )
                    y2
    故双曲线的方程为        4 -x2=1.
    (2) 由(1)知双曲线的渐近线方程为            y=±2x,
    设 A(m,2m),B(-n,2n),其中       m>0,n>0.
                           m-n
                               ,m+n
    由 → =→得点     P 的坐标为(    2       ),
      AP  PB
                    y2
    将点  P 的坐标代入     4 -x2=1,整理得     mn=1.
                                            4
    设∠AOB=2θ,则      tan θ=2,从而     sin 2θ=5.
    又 OA=  5m,OB=   5n,
             1

    ∴ S△AOB=2OA·OBsin 2θ=2mn=2.
    13.  已知双曲线的中心在原点,焦点              F1,F2 在坐标轴上,离心率为          2,且过点(4,-
 10).
    (1) 求双曲线的方程;
    (2) 若点  M(3,m)在双曲线上,求证:           → ·  →  =0;
                                     MF1  MF2
    (3) 求△F1MF2 的面积.
    (1) 解:∵ e=     2,
    ∴ 设双曲线方程为        x2-y2=λ.
    又双曲线过点(4,-         10),
    ∴ λ=16-10=6,
                               x2  y2
    ∴ 双曲线方程为       x2-y2=6,即    6 - 6 =1.
    (2) 证明:(证法     1)由(1)知  a=b=   6,c=2   3,

    ∴ F1(-2  3,0),F2(2   3,0),
               m            m
             +             -
    ∴ kMF1=3   2 3,kMF2=3   2 3,
                   m2    m2

    ∴ kMF1·kMF2=9-12=-3.
    又点(3,m)在双曲线上,∴ m2=3,

    ∴ kMF1·kMF2=-1,
    ∴ MF  ⊥MF ,即   →  · →  =0.
         1   2    MF1   MF2
    (证法  2)∵   →  =(-3-2    3,-m),   →  =(2  3-3,-m),
              MF1                   MF2
    ∴   →  · →  =(3+2   3)(3-2  3)+m2=-3+m2.
       MF1   MF2
    ∵ M 在双曲线上,∴ 9-m2=6,∴ m2=3,
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    ∴   →  · →  =0.
       MF1   MF2
    (3) 解:∵ 在△F1MF2    中,F1F2=4   3,且|m|=    3,
                         1           1

             ∴ S△F1MF2=2·F1F2·|m|=2×4     3×  3=6.第  9 课时 抛 物 线
    一、 填空题
                1
    1. 抛物线   y=4x2 的准线方程是____________.
    答案:y=-1
                       1
    解析:因为抛物线        y=4x2 的标准方程为      x2=4y,所以其准线方程为          y=-1.
    2.   已知过抛物线      x2=-12y  的焦点作直线垂直于         y 轴,交抛物线于      A,B  两点,O   为
抛物线的顶点,则△OAB         的面积是________.
    答案:18
                                      2
    解析:∵     F(0,-3),将    y=-3   代入  x =-12y,得    xA=6,∴    AB=12,∴    S△OAB=
1
2×12×3=18.
                                                               5
    3.            顶点在原点,以       x 轴为对称轴,焦点到准线的距离为2的抛物线方程为
____________.
    答案:y2=5x    或 y2=-5x
                       5
    解析:由题意可知        p=2,所求方程为       y2=5x 或  y2=-5x.
    4.            若抛物线    y2=2px(p>0)上的动点    Q 到焦点的距离的最小值为           1,则  p=
__________.
    答案:2
    解析:因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离,所以抛物线上动点到焦
                                 p
点的最短距离为顶点到准线的距离,即2=1,所以                    p=2.
    5.            已知圆   x2+y2+6x+8=0   与抛物线     y2=2px(x>0)的准线相切,则        p=
______________.
    答案:4   或  8
                                 p
    解析:抛物线的准线方程为            x=-2,圆心坐标为(-3,0),半径为             1,由题意知      3-
p     p
2=1 或2-3=1,∴ p=4      或  p=8.
    6. 如图是抛物线形拱桥,当水面在              l 上时,拱顶离水面       2 米,水面宽     4 米,水位下降
1 米后,水面宽________米.


    答案:2    6
    解析:设水面与拱桥的一个交点为               A,如图,建立平面直角坐标系,则              A 的坐标为
(2,-2).


    设抛物线方程为       x2=-2py(p>0),则    22=-2p×(-2),得     p=1,则    x2=-2y.设水位

下降   1 米后水面与拱桥的交点坐标为(x0,-3),则               x02=6,解得   x0=±   6,所以水面宽为
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2 6米.
    7.     (2017·丹东月考)已知点        P 是抛物线   y2=2x 上的一个动点,则点         P 到点  A(0,
2)的距离与点     P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________.
           17
    答案:    2
                                                                 1
                                                                  ,0
    解析:依题设      P 在抛物线准线上的射影为           P′,抛物线的焦点为         F,则  F(2  ),由抛物
线的定义知     P 到该抛物线准线的距离          PP′=PF,则点     P 到点  A(0,2)的距离与     P 到该抛物
                                1         17
                                  2+22
线准线的距离之和        d=PF+PA≥AF=     (2)    =  2 .
    8. 抛物线   y2=8x 的焦点到直线      x-  3y=0  的距离是____________.
    答案:1
    解析:根据点到直线的距离公式可求得抛物线                   y2=8x 的焦点(2,0)到直线       x-  3y=
           |2-0|
0 的距离   d=   2 =1.
    9.    (2017·襄阳联考)直线       m 经过抛物线     C:y2=4x  的焦点   F,与抛物线     C 交于  A,
B 两点,且    AF+BF=10,则线段      AB 的中点   D 到 y 轴的距离为________.
    答案:4

    解析:由已知,得点         F(1,0),抛物线     C 的准线   l:x=-1,设     A(x1,y1),B(x2,
y2),∴   AF+BF=x1+1+x2+1=10,∴        x1+x2=8,∴    点  D 的横坐标为    4,故线段     AB 的
中点   D 到 y 轴的距离是    4.
    10.      设抛物线    y2=8x 的焦点为     F,准线为    l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A          为垂
足.如果直线      AF 的斜率为-     3,那么    PF=____________.
    答案:8
    解析:由抛物线方程         y2=8x,可得准线      l 的方程为   x=-2,焦点坐标为        F(2,0).设
                             n-0
点  A 坐标为(-2,n),∴ -       3=-2-2,∴ n=4       3.
    ∴   P 点纵坐标为    4 3.由(4  3)2=8x,得   x=6,∴     P 点坐标为(6,4     3),∴   |PF|=
|PA|=|6-(-2)|=8.
    二、 解答题
    11.    在平面直角坐标系        xOy 中,A,B   分别为直线     x+y=2   与 x,y 轴的交点,C      为
AB 的中点.若抛物线        y2=2px(p>0)过点  C,求焦点     F 到直线  AB 的距离.
    解:由已知可得        A(2,0),B(0,2),C(1,1),解得抛物线方程为              y2=x,则焦点为
                               1
                                +0-2
  1                            |4     | 7 2
   ,0
F(4  ), 故点   F 到直线   AB 的距离为      2   =  8 .
    12.   已知抛物线的顶点在原点,对称轴是               x 轴,抛物线上的点        M(-3,m)到焦点的距
离等于   5,求抛物线的方程与         m 的值.
    解:设抛物线的方程为          y2=-2px(p>0),
           p
    ∵ MF=2+3=5,∴ p=4,
    则抛物线的方程为        y2=-8x,∴ m2=24,m=±2        6.
                                                              1
                                                            0,
    13. (2017·北京卷)已知抛物线         C:y2=2px  过点   P(1,1).过点(     2)作直线   l 与抛物
线  C 交于不同的两点      M,N,过点    M 作 x 轴的垂线分别与直线         OP,ON 交于点   A,B,其中
O 为原点.
    (1) 求抛物线    C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
    (2) 求证:点    A 为线段   BM 的中点.
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                                                1
    (1) 解:由抛物线      C:y2=2px  过点  P(1,1),得    p=2,
    所以抛物线     C 的方程为    y2=x,
                        1                    1
                         ,0
    抛物线   C 的焦点坐标为(4       ),准线方程为      x=-4.
                                             1
    (2) 证明:由题意,设直线          l 的方程为    y=kx+2(k≠0),直线      l 与抛物线   C 的交点为
M(x1,y1),N(x2,y2).
             1
       y=kx+  ,
             2
    由{  y2=x,   )得 4k2x2+(4k-4)x+1=0,
              1-k        1

    则 x1+x2=   k2 ,x1x2=4k2.
    因为点   P 的坐标为(1,1),

    所以直线    OP 的方程为    y=x,点   A 的坐标为(x1,x1).
                      y2                  y2x1
                                       x1,
    直线  ON 的方程为    y=x2x,点   B 的坐标为(       x2 ).
            y2x1      y1x2+y2x1-2x1x2

    因为  y1+  x2 -2x1=        x2
           1          1
       kx1+  x2+ kx2+  x1-2x1x2
      (    2)   (     2)
    =             x2
                  1                   1  1-k
      (2k-2)x1x2+  (x2+x1)  (2k-2) ×    +
                  2                  4k2  2k2
    =          x2         =         x2       =0,
            y2x1

    所以  y1+  x2 =2x1.
    故点  A 为线段   BM 的中点.
                      第  10 课时 直线与圆锥曲线的综合应用(1)
    一、 填空题
                           x2  y2                      2
    1.   已知椭圆    C 的方程为    4 +m2=1(m>0),如果直线       y= 2 x 与椭圆的一个交点       M 在
x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点             F,则   m 的值为________.
    答案:    2
    解析:根据已知条件得          c=  4-m2,
                 2             x2  y2
          4-m2,    4-m2
    则点(         2       )在椭圆   4 +m2=1(m>0)上,
       4-m2   4-m2
    ∴    4  +  2m2 =1,可得    m=  2.
    2. 已知过抛物线       y2=4x 的焦点   F 的直线交该抛物线于        A,B  两点,且    AF=2,则   BF=
________.
    答案:2
                                            2
    解析:设点     A(x1,y1),点   B(x2,y2),抛物线    y =4x,焦点为(1,0),准线为         x=-
1,AF=x1-(-1)=2,所以        x1=1.则  AF 与 x 轴垂直,故    BF=AF=2.
    3. 若直线   x-y-1=0   与抛物线     y=ax2 相切,则    a=________.
          1
    答案:4
             x-y-1=0,
    解析:由{      y=ax2,  )消去  y 得 ax2-x+1=0,
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           a ≠ 0,        1
    所以{1-4a=0,)解得     a=4.
                                                                         x2
    4.  (2017·南通、泰州一调)在平面直角坐标系                xOy 中,直线   2x+y=0  为双曲线a2-
y2
b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线,则该双曲线的离心率为________.
    答案:    5
                                  x2  y2                                b
    解析:因为直线       2x+y=0  为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线,所以a=
                                         c
2,b=2a,所以     b2=4a2,c2-a2=4a2,所以     e=a=   5.
                x2  y2

    5.  已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为               F1,F2,过  F1 作倾斜角为    30°的
直线与椭圆有一个交点          P,且  PF2⊥x 轴,则此椭圆的离心率          e=________.
           3
    答案:   3
    解析:在    Rt△PF2F1 中,∠PF1F2=30°,F1F2=2c,PF1=2PF2,根据椭圆的定义得
     2       4                     16    4             c   3
                                      2    2   2
PF2=3a,PF1=3a.又   PF12-PF2=F1F2,即   9 a -9a =4c ,则  e=a=  3 .
                             x2  y2

    6.  已知  F1,F2 分别是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点                F2 与双曲线的
一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点                     M.若点   M 在以线段   F1F2 为直径的圆上,
则双曲线的离心率为____________.
    答案:2

    解析:设    M(x,y),根据题意,设        M 在第四象限.因为点         M 在以线段   F1F2 为直径的圆
                                      x2+y2=c2,
                   b                        b
                                       y=-   x,
上,且在渐近线       y=-ax   上,则可得方程组{             a   )再结合   a2+b2=c2 可得   M(a,-
            -b   b                   c

b).又  kMF2=a-c=a,所以      c=2a,故   e=a=2.
    7. (2017·无锡期末)设      P 为有公共焦点      F1,F2 的椭圆   C1 与双曲线   C2 的一个交点,且
PF1⊥PF2,椭圆    C1 的离心率为    e1,双曲线    C2 的离心率为    e2.若 3e1=e2,则  e1=________.
           5
    答案:   3
    解析:设椭圆的长半轴长为            a1,双曲线的实半轴长为         a2,则由定义知,不妨设          P 在第
                                  PF1+PF2=2a1,

一象限,F1,F2    分别为左、右焦点,则{PF1-PF2=2a2,)所以             PF1=a1+a2,PF2=a1-a2.因

                                                      2
为  PF1⊥PF2,所以   PF12+PF2=F1F2,即(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c    ,整理得       +     =
                        5

2.因为  3e1=e2,所以    e1= 3 .
    8.  已知圆心在     x 轴正半轴上的圆      C 过双曲线    x2-y2=1  的右顶点,且被双曲线的一条
渐近线截得的弦长为         2 7,则圆   C 的方程为____________.
    答案:(x-6)2+y2=25
    解析:设圆心(m,0),则圆方程为(x-m)2+y2=(m-1)2,圆心到双曲线的一条渐近线
        m        m
的距离为     2,则有(   2)2+(  7)2=(m-1)2,解得    m=6,∴ 圆    C 的方程为(x-6)2+y2=25.
    9.    已知抛物线     C 的顶点在坐标原点,焦点           F(1,0),直线    l 与抛物线   C 相交于   A,
B 两点.若    AB 的中点为(2,2),则直线        l 的方程为__________.
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    答案:y=x
                                   2
    解析:由题意,知抛物线的方程为               y =4x,设   A(x1,y1),B(x2,y2),则有    x1≠x2,
                                   y1-y2     4

    两式相减得     y12-y2=4(x1-x2),∴ x1-x2=y1+y2.
                                           y1-y2

    ∵ A,B  的中点为(2,2),∴ y1+y2=4,∴ x1-x2=1.
    ∴ 直线   l 的方程为    y-2=x-2,即     y=x.
                        x2  y2
    10. 如图,已知过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左顶点             A(-a,0)作直线     l 交 y 轴于点   P,
交椭圆于点     Q.若△AOP   是等腰三角形,且       →  =2 → ,则椭圆的离心率为________.
                                   PQ   QA


          2 5
    答案:    5
    解析:(解法     1)因为△AOP   是等腰三角形,所以         OA=OP,故    A(-a,0),P(0,a).又
                  2a a                  4  a2         b2  1
                -   ,
→  =2 → ,所以   Q(  3  3),由点   Q 在椭圆上得9+9b2=1,解得a2=5,故离心率              e=
PQ   QA
    b2      1 2 5
 1-      1-
    a2=     5= 5 .
    (解法  2)因为△AOP    是等腰三角形,所以         OA=OP,故直线     AP 的方程  y=x+a   与椭圆方
                                                     a2c2            ac2
                  2  2  2   3    2 2
程联立并消去      y 得(a +b  )x +2a x+a  c =0,从而(-a)xQ=a2+b2,即       xQ=-a2+b2.又
                                      2a       ac2     2a
由  A(-a,0),P(0,a),    → =2  → 得 x =-  3 ,故-a2+b2=-     3 ,即  5c2=4a2,故  e=
                      PQ   QA    Q
2 5
 5 .
    二、 解答题
    11.  已知椭圆    ax2+by2=1  与直线   x+y-1=0    相交于   A,B 两点,C   是  AB 的中点.若
                      2
|AB|=2  2,OC 的斜率为     2 ,求椭圆的方程.
           ax2+by2=1,
    解:由{     x+y=1,   )得(a+b)x2-2bx+b-1=0.
                                                 2b        b-1

    设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由韦达定理得          x1+x2=a+b,x1x2=a+b,
                               4b2-4(a+b)(b-1)
    AB=  (k2+1)(x1-x2)2=   2·        a+b       .
                    a+b-ab
    ∵ AB=2   2,∴     a+b   =1 (*).
                     x1+x2   b              a
    设 C(x,y),则    x=   2  =a+b,y=1-x=a+b.
                  2     a   2
    ∵ OC 的斜率为     2 ,∴ b=  2 .
                    1      2
    代入(*)式,得     a=3,b=   3 .
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                   x2  2
    ∴ 椭圆的方程为       3 + 3 y2=1.
                  x2 y2

    12. 设椭圆    C:a2+  2 =1(a>0)的左、右焦点分别为         F1,F2,A  是椭圆   C 上的一点,且
                                         1
 → ·  →  =0,坐标原点      O 到直线   AF 的距离为3OF    .
AF2  F1F2                       1           1
    (1) 求椭圆   C 的方程;
    (2)    设 Q 是椭圆   C 上的一点,过点       Q 的直线   l 交 x 轴于点  P(-1,0),交    y 轴于点
M.若  → =2 → ,求直线     l 的方程.
    MQ    QP
                           -             -
    解:(1) 由题设知      F1(-  a2 2,0),F2(   a2 2,0).
                                                          2
                                                  a2-2, ±
    ∵  → ·  →  =0,则有     → ⊥  →  ,∴点   A 的坐标为(            a),故  AF 所在直线方
      AF2  F1F2         AF2  F1F2                                 1
             x    1
                +
程为   y=±(a  a2-2  a).
                                  a2-2

    ∴坐标原点     O 到直线   AF1 的距离为   a2-1 (a> 2).
              -
    又 OF1=  a2  2,
       a2-2  1
    ∴  a2-1 =3 a2-2,解得    a=2(a>  2),
                    x2 y2
    所求椭圆的方程为        4 + 2 =1.
    (2)    由题意可知直线       l 的斜率存在,设直线         l 斜率为  k,直线    l 的方程为   y=k(x+

1),则有   M(0,k),设    Q(x1,y1).
    ∵   → =2 → ,
       MQ    QP
    ∴ (x1,y1-k)=2(-1-x1,-y1),
             2
        x1=-  ,
             3
             k
       { y1=  . )
    ∴        3
                        2    k
                      -   2    2
                      ( 3)  (3)
    由 Q 在椭圆   C 上,得     4 +   2 =1,
    解得  k=±4. 
    故直线   l 的方程为    y=4(x+1)或   y=-4(x+1),即     4x-y+4=0   或  4x+y+4=0.
                                                         x2 y2
    13. (2017·绍兴模拟)已知点        A(-2,0),B(0,1)在椭圆       C:a2+b2=1(a>b>0)上.
    (1) 求椭圆   C 的方程;
                                    1
    (2) 设  P 是线段  AB 上的点,直线      y=2x+m(m≥0,且     m≠1)交椭圆    C 于 M,N 两点.若
△MNP  是斜边长为     10的直角三角形,求直线          MN 的方程.
                                         x2  y2
    解:(1) 因为点     A(-2,0),B(0,1)在椭圆a2+b2=1         上,
    所以  a=2,b=1,
                    x2
    故椭圆   C 的方程为    4 +y2=1.
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                                    1
                                  y= x+m,
                                    2
                                 x2                  1
                                   +y2=1,
                                {          )           2      2
    (2) 设 M(x1,y1),N(x2,y2).由     4        消去   y,得2x  +mx+m   -1=0,
              2                        2
    则 Δ=2-m    >0,x1+x2=-2m,x1x2=2m     -2,
             5
                          -
    所以  MN=  2 |x1-x2|= 10  5m2.
    ① 当  MN 为斜边时,      10-5m2=   10,解得   m=0,满足    Δ>0,
                                      5
    此时以   MN 为直径的圆的方程为         x2+y2=2.
    因为点   A(-2,0),B(0,1)分别在圆外和圆内,所以在线段                  AB 上存在点   P,此时直线
              1
MN 的方程为    y=2x.
                                                    2 5
    ② 当  MN 为直角边时,两平行直线           AB 与 MN 间的距离   d=  5 |m-1|,
                 4
    所以  d2+MN2=5|m-1|2+(10-5m2)=10,
    即 21m2+8m-4=0,
           2        2
    解得  m=7或   m=-3(舍).
                    2
    又 Δ>0,所以     m=7.
                       1   2                        12   4
                                                  -  ,-
    过点  A 作直线   MN:y=2x+7的垂线,可得垂足坐标为(               7    7),垂足在椭圆外,即
                                          1   2
在线段   AB 上存在点    P,所以直线     MN 的方程为    y=2x+7.
                                 1      1   2
     综上所述,直线       MN 的方程为    y=2x 或 y=2x+7.第    11 课时 直线与圆锥曲线的综合
                                   应用(2) 
    一、 填空题
             x2  y2
    1. 以椭圆   4 + 3 =1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为____________.
             y2
    答案:x2-    3 =1
              x2  y2
    解析:椭圆     4 + 3 =1 的焦点为(±1,0),顶点为(±2,0),则双曲线中                 a=1,c=
                                          y2
2,b=   c2-a2=  3,所以所求双曲线方程为           x2- 3 =1.
                    x2  y2                      1
    2.   已知椭圆    C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率         e=2,直线    l:x-my-1=0(m∈R)过
椭圆   C 的右焦点   F, 则椭圆   C 的标准方程为____________.
          x2  y2
    答案:   4 + 3 =1
                    c=1,
                    c  1
                     =  ,
    解析:由题设,得{a         2 )
          c=1,                                         x2 y2
    解得 {a=2,)从而     b2=a2-c2=3,所以椭圆       C 的标准方程为     4 + 3 =1.
    3.  已知点    A(-2,3)在抛物线      C:y2=2px  的准线上,记      C 的焦点为   F,则直线     AF 的
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

斜率为________.
            3
    答案:-4
                         p
    解析:根据已知条件得-2=-2,所以                p=4.从而抛物线方程为        y2=8x,其焦点
                            3-0      3
F(2,0),从而直线      AF 的斜率为-2-2=-4.
                 y2
    4. 双曲线   x2- 3 =1 的渐近线与圆      x2+(y-4)2=r2(r>0)相切,则       r=________.
    答案:2
                                                                        |4|
    解析:渐近线的方程为           3x±y=0,圆心(0,4)到渐近线的距离等于              r,则  r=  3+1=
2.
                                       2          x2 y2
    5. 在平面直角坐标系        xOy 中,离心率为      2 的椭圆   C:a2+b2=1(a>b>0)的左顶点为
                                                                      2
A,过原点    O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆             C 交于 P,Q  两点.当直线      PQ 斜率为   2 时,
PQ=2  3,则椭圆    C 的标准方程为____________.
          x2  y2
    答案:   4 + 2 =1
                  2                       2                       2
              x0,  x0                                              x0
    解析:设    P(   2   ),∵    直线   PQ 斜率为  2 时,PQ=2    3,∴    x02+( 2  )2=3,∴ 
          2  1           c   a2-b2   2
x02=2.∴  a2+b2=1.∵    e=a=    a   = 2 ,∴    a2=4,b2=2.∴     椭圆  C 的标准方程为
x2  y2
 4 + 2 =1.
                   1          x2 y2
    6.  已知直线     y=2x 与双曲线    9 - 4 =1 交于  A,B 两点,P    为双曲线上不同于        A,B 的
点,当直线     PA,PB  的斜率   kPA,kPB 存在时,kPA·kPB=____________.
          4
    答案:9
                                                     1
                                                  y=  x,
                                                     2
                                                 x2  y2         36
                                                   -   =1
                                                {         )   2
    解析:设点     A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则由       9  4    得  y = 7 ,y1+y2=
          36                      36

0,y1y2=-   7 ,x1+x2=0,x1x2=-4×     7 .
               y0-y1  y0-y2                    4                 4

    由 kPA·kPB=x0-x1·x0-x2=        =    =     =9,知   kPA·kPB 为定值9.
                                         x2                   1    1
    7. 若  C(-  3,0),D(   3,0),点   M 是椭圆  4 +y2=1  上的动点,则MC+MD的最小值
为________.
    答案:1
                x2
    解析:由椭圆      4 +y2=1  知 c2=4-1=3,∴ c=      3,
    ∴ C,D  是该椭圆的两焦点.令          MC=r1,MD=r2,
    则 r1+r2=2a=4,
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

        1    1   1   1  r1+r2   4
    ∴ MC+MD=r1+r2=       r1r2 =r1r2.
            (r1+r2)2  16        1    1    4

    ∵ r1r2≤     4   = 4 =4,∴ MC+MD=r1r2≥1.
    当且仅当    r1=r2 时,上式等号成立.
       1    1
    故MC+MD的最小值为         1.
                                                          2
    8.  已知直线    l1:4x-3y+6=0    和直线   l2:x=-1,则抛物线       y =4x 上一动点     P 到直
线  l1 和直线  l2 的距离之和的最小值是__________.
    答案:2
                                 2
    解析:直线     l2:x=-1   为抛物线    y =4x 的准线.由抛物线的定义知,P             到  l2 的距离
等于   P 到抛物线的焦点      F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线              y2=4x 上找一个点     P 使得

P 到点  F(1,0)和直线    l1 的距离之和最小,最小值为           F(1,0)到直线    l1:4x-3y+6=0    的
             |4-0+6|

距离,即    dmin=   5    =2.
                                                              y2 x2
    9.  (2017·常州期末)已知抛物线          x2=2py(p>0)的焦点    F 是椭圆     a2+b2=1(a>b>
0)的一个焦点.若       P,Q  是椭圆与抛物线的公共点,且直线              PQ 经过焦点    F,则该椭圆的离
心率为________.
    答案:    2-1
                                                                  c2 4c2
    解析:由题意,p=2c,P(         2pc,c),即   P(2c,c),代入椭圆方程,可得a2+            b2 =1,
整理可得    e4-6e2+1=0.∵ 0<e<1,∴ e=         2-1.
    10.  (2017·全国卷Ⅰ)已知       F 为抛物线    C:y2=4x  的焦点,过     F 作两条互相垂直的直

线  l1,l2,直线   l1 与 C 交于 A,B  两点,直线     l2 与 C 交于 D,E 两点,则     AB+DE 的最小值
为________.
    答案:16

    解析:根据题意可知直线           l1,l2 的斜率存在且不为零,抛物线            C 的焦点   F 的坐标为
                                                       2 2    2        2
(1,0),设直线     l1 的方程为   y=k(x-1),代入抛物线方程,得            k x -(2k +4)x+k  =
                                  2k2+4      4

0.设  A(x1,y1),B(x2,y2),则   x1+x2=   k2  =2+k2.根据抛物线定义得         AF=x1+1,
                                        4                     1

BF=x2+1,所以     AB=AF+BF=x1+x2+2=4+k2.因为        l2⊥l1,所以用-k代替       k,得  DE=
                         1               1
                          +k2             ·k2
4+4k2,所以    AB+DE=8+4(k2      )≥8+4×2   k2   =16,当且仅当      k=±1  时,等号成立,
故所求的最小值为        16.
    二、 解答题
                                                  x2 y2
    11.      (2018·南通中学开学考试)如图,已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为
                2 10
             (2,    )
F2(1,0),点   H    3  在椭圆上.
    (1) 求椭圆的方程;
    (2)  点 M 在圆  x2+y2=b2 上,且    M 在第一象限,过      M 作圆  x2+y2=b2 的切线交椭圆于

P,Q  两点,求证:△PF2Q      的周长是定值. 
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    (1) 解:根据已知,椭圆的左、右焦点为分别是                  F1(-1,0),F2(1,0),c=1.
           2 10
         2,
    ∵ H(    3  )在椭圆上,
    ∴ 2a=HF1+HF2
                2 10             2 10
       (2+1)2+      2   (2-1)2+       2
    =          ( 3  ) +          ( 3 ) =6,
                                         x2  y2
    ∴ a=3,b2=a2-c2=8,∴ 椭圆的方程是            9 + 8 =1.
    (2) 证明:设    P(x1,y1),Q(x2,y2),

    则     +    =1,

    PF2=    =
        x1
         -3  2
    =  ( 3  ) .
                           x1

    ∵ 0<x1<3,∴ PF2=3-      3 .
    在圆中,M    是切点,

    ∴ PM=   OP2-OM2=
            1

    =     =3x1,
                  1    1

    ∴ PF2+PM=3-3x1+3x1=3,同理        QF2+QM=3,
    ∴ F2P+F2Q+PQ=3+3=6,因此△PF2Q         的周长是定值      6.
                                             x2 y2
    12. (2017·扬州考前调研)如图,已知椭圆              E:a2+b2=1(a>b>0)的左顶点        A(-2,
             3
        (-1, )
0),且点        2 在椭圆上,F1,F2    分别是椭圆的左、右焦点.过点              A 作斜率为    k(k>0)的
直线交椭圆     E 于另一点    B,直线   BF2 交椭圆   E 于点 C.
    (1) 求椭圆   E 的标准方程;

    (2) 若 F1C⊥AB,求   k 的值.


                       a=2,
                    a2=b2+c2,        a=2,
                     1   9          b=  3,
                      +   =1,
                    {          )      = ,
    解:(1) 由题意得       4  4b2    解得{   c 1  )
                        x2  y2
    ∴ 椭圆   E 的标准方程为      4 + 3 =1.
    (2) 设直线   AB 的方程   lAB:y=k(x+2),
       y=k(x+2),
       x2  y2
         +   =1,
    由{  4   3    )得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
                     16k2-12         -8k2+6

    ∴ xA·xB=-2xB=     3+4k2 , ∴ xB=   3+4k2  ,
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                     12k         -8k2+6    12k
                                        ,
              +      +          ( +       +    )
    ∴ yB=k(xB   2)=3  4k2, ∴ B    3 4k2  3  4k2  .
         1        3         3                        3
                1,      1,-
                (  )   (    )      -  ,
    若 k=2,则    B  2 ,C      2 .∵ F1( 1 0),∴ kCF1=-4,∴ F1C     与 AB 不垂直,
          1                    4k            1

    ∴ k≠2.∵ F2(1,0),kBF2=1-4k2,kCF1=-k,
                               4k                                 1

    ∴ 直线   BF2 的方程   lBF2:y=1-4k2(x-1),直线      CF1 的方程  lCF1:y=-k(x+1).
            4k
       y=      (x-1),
          1-4k2
             1             x=8k2-1,
        y=-   (x+1),
      {               )      =-    ,
    由        k         解得{  y    8k  ) 
    ∴ C(8k2-1,-8k).
                    (8k2-1)2  (-8k)2                                    1
    又点  C 在椭圆上得        4    +    3  =1,即(24k2-1)·(8k2+9)=0,即        k2=24.
                   6
    ∵ k>0,∴ k=12.
                                   x2  y2

    13. (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆         C:a2+b2=1(a>b>0),四点      P1(1,1),P2(0,1),P3
      3        3
(-1,   )   (1,  )
     2 ,P4    2 中恰有三点在椭圆        C 上.
    (1) 求椭圆   C 的方程;

    (2) 设直线    l 不经过  P2 点且与   C 相交于  A,B  两点.若直线      P2A 与直线  P2B 的斜率的和
为-1.求证:直线       l 过定点.

    (1) 解:由于    P3,P4 两点关于    y 轴对称,故由题设知椭圆          C 经过  P3,P4 两点.
        1   1  1   3

    又由a2+b2>a2+4b2知,椭圆       C 不经过点    P1,所以点    P2 在椭圆  C 上.
            1
             =1,
           b2
         1   3           a2=4,
           +   =1,
        {          )       =
    因此   a2 4b2     解得{  b2  1. )
                    x2
    故椭圆   C 的方程为    4 +y2=1.
    (2) 证明:设直线      P2A 与直线  P2B 的斜率分别为      k1,k2.
    如果  l 与 x 轴垂直,设     l:x=t,由题设知       t≠0,且|t|<2,
                            4-t2        4-t2
                         t,        t,-
    可得  A,B  的坐标分别为(         2  ),(      2  ),
               4-t2-2    4-t2+2

    则 k1+k2=     2t   -    2t   =-1,得    t=2,不符合题设.
    从而可设    l:y=kx+m(m≠1).
                   x2
    将 y=kx+m   代入  4 +y2=1 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
    由题设可知     Δ=16(4k2-m2+1)>0.

    设 A(x1,y1),B(x2,y2),
                 8km        4m2-4

    则 x1+x2=-4k2+1,x1x2=     4k2+1 .
              y1-1  y2-1

    而 k1+k2=   x1 +   x2
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  kx1+m-1    kx2+m-1
=    x1    +    x2
  2kx1x2+(m-1)(x1+x2)
=          x1x2        .
由题设   k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,
           4m2-4           -8km               m+1
即(2k+1)·   4k2+1 +(m-1)·4k2+1=0,解得       k=-    2 .
                                       m+1                  m+1
当且仅当    m>-1  时,Δ>0,于是直线        l:y=-    2  x+m,即   y+1=-    2  (x-2),
所以直线    l 过定点(2,-1).
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