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选修2-3 1.2.2组合(2018)

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高中数学审核员

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先看下面的问题

问题一:
    从甲,乙,丙3名同学中选出2名去参加某天的一
项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参
加下午的活动,有多少种不同的选法            ?
        观察

问题二:
   从甲,乙,丙3名同学中选出2名去参加一项活
动,有多少种不同的选法        ?


            问题一与问题二
        有何不同?
    问题1中不但要求选出2名同学,而且还要按
照一定的顺序“排列”,而问题2只要求选出2名
同学,是与顺序无关的.

       这就是我们这节课要学习的内容
    ———组合
1.2.2组合
               知识要
                  点

1 组合
      一般地,从n个不同元素中取出m
(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元
素中取出m个元素的一个组合.
   ab与ba是相同的排列还是相同的组
合?为什么?


        由于组合与顺序无关,
       ab与ba是相同的组合.
       例题1

   判断下列问题是组合问题还是排列问题?

   (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元
素的子集有多少个?

    (2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共
需准备多少种车票?
              知识要
                 点

2  组合数

   从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取
出m个元素的组合数.用符号            表示.
                      m
                      Cn
                        知识要
                            点

 3 组合数公式


                               m
            m             An                n(n          1)(n                          m      1)
      Cn                      m      
                          Am                                             m!

这里,n,m∈N*,并且m≤n.
                                                0
                                              Cn  1.
因为

                             n!
            Am      =                   ,
                n       (n   - m)!
所以,上面的组合数公式还可以写成


                                  n!
            Cm      =                            .
                n        m!(n         - m)!
  例1.学校开设了6门任意选修课,要求每个学
       生从中选学3门,共有多少种不同选法?


                  654
             C3          20
              6   321       组合问题
  例2.(1)平面内有10个点,以其中每2个点为
     端点的线段共有多少条?               排列问题
     (2)平面内有10个点,以其中每2个点为
     端点的有向线段共有多少条?


         109    (2)A2   109     90
(1)C 2          45   10
    10    21
例3.在100件产品中,有98件合格品,2件次品,从这
100件产品中任意抽取3件,
(1)有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?


                   1009998
   (1)C3                                  161700
          100           321


       1    2
  (2)C2 C98   9506


          1      2        2       1
  (3)C2     C98      C2   C98       9604
                                               知识要
                                                        点

4   组合数的两个性质

        性质1
                                         m                  n-m
                                   Cnn          =     C              .

        性质
                      2                    m                          m                    m-1
                                    Cn+1               =       C      n      +      C      n         .
        课堂小结

l、组合的概念;
2、组合与排列的区别;
3、组合数公式;
4、组合的应用:分清是否要排序.
             课堂练习

 (1)  从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3
台,其中至少要有甲型和乙型电视机各1台,则
不同的取法共有      (    )
 A.140种  B.84种 C.70√种 D.35种
           习题解答

 1.
    (1)甲、乙,甲、丙,甲、丁,乙、丙,
乙、丁,丙、丁;
    (2)

 冠
    甲 乙  甲 丙  甲 丁  乙 丙  乙 丁  丙 丁
 军
 亚
    乙 甲  丙 甲  丁 甲  丙 乙  丁 乙  丁 丙
 军
2.     △ABC, △ABD, △ACD, △BCD

3.
              3
       C6          =      20 (种               ).
4.
             2
         C4      =    6 (个         ).


5.(1)                                  6*5
                   C2          =                         =      15;
                         6             1*         2
     (2)
                                        8*7*6
                   C3           =                                      =       56;
                          8             1*2*3
5.(3)
                   32
             C76        -   C          =      35       -15           =      20;
   (4)
                           32
             3C85               -     2C                  =       3*56                      -    2*10                      =       148.
 6.
          m            +1                                                       m            +1                                                                        (n            +1)!
                                         Cm+1                        =                                         *
            n         +1n+1                                                       n         +1                         (m                +1)!                        (n           +1)-(m                                       +1)                     !


                                     n!
                         =
                             m!(n       -  m)!


                              m
                          = Cn .
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