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2018版高中数学第1讲坐标系一平面直角坐标系练习新人教A版选修4_4

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                         二 圆锥曲线的参数方程 

一、基础达标 

          x=cos θ,
1.参数方程              (θ  为参数)化为普通方程为(  ) 
          y=2sin θ

        y2                                      y2
  A.x2+  =1                               B.x2+  =1 
        4                                       2
        x2                                      x2
  C.y2+  =1                               D.y2+  =1 
        4                                       4
                               y       y2
  解析    易知  cos θ=x,sin θ=      ,∴x2+    =1,故选    A. 
                               2       4
  答案    A 

      xcos θ=a,
2.方程              (θ 为参数,ab≠0)表示的曲线是(  ) 
      y=bcos θ

  A.圆                                     B.椭圆 

  C.双曲线                                   D.双曲线的一部分 
                                a
  解析    由 xcos θ=a,∴cos θ=       ,代入   y=bcos θ,得    xy=ab,又由 
                                x
  y=bcos θ知,y∈[-|b|,|b|],∴曲线应为双曲线的一部分. 

  答案    D 

                                        2
                                   x=4t ,
3.若点   P(3,m)在以点    F 为焦点的抛物线             (t 为参数)上,则|PF|等于(  ) 
                                   y=4t

  A.2                                     B.3   

  C.4                                     D.5 

  解析    抛物线为    y2=4x,准线为     x=-1,|PF|为    P(3,m)到准线    x=-1  的距离,即为      4. 

  答案    C 

4.当  θ 取一切实数时,连接         A(4sin θ,6cos θ)和    B(-4cos θ,6sin θ)两点的线段

  的中点的轨迹是(  ) 

  A.圆                                     B.椭圆   

  C.直线                                    D.线段 

  解析    设中点   M(x,y),由中点坐标公式,得        x=2sin θ-2cos θ,y=3cos θ+3sin θ,
    x                  y                                 x2 y2
  即  =sin θ-cos θ,      =sin θ+cos θ,两式平方相加,得             +   =2,是椭圆. 
    2                  3                                 4  9
  答案    B 

 
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5.实数   x,y 满足  3x2+4y2=12,则   2x+   3y 的最大值是________. 

  解析    因为实数    x,y 满足   3x2+4y2=12,所以设    x=2cos α,y=      3sin α,则   2x+  3
                                                4          3
  y=4cos α+3sin α=5sin(α+φ),其中          sin φ=   ,cos φ=    .当 sin(α+φ)=1
                                                5          5

  时,2x+    3y 有最大值为     5. 

  答案    5 
               2x
6.抛物线   y=x2-    的顶点轨迹的普通方程为________. 
               t

                                2
                             1   1            1    1 
  解析    抛物线方程可化为        y=x-   -  2,∴其顶点为      ,-   2,记  M(x,y)为所求轨迹
                             t   t            t    t 
                    1
                 x=  ,
                  t
  上任意一点,则                消去   t 得 y=-x2(x≠0). 
                     1
                 y=-   ,
                    t2
  答案    y=-x2(x≠0) 
                                1
7.如图所示,连接原点        O 和抛物线    y=  x2 上的动点   M,延长   OM 到点 P,
                                2
  使|OM|=|MP|,求    P 点的轨迹方程,并说明是什么曲线? 

                                          x=2t,
                        2                 
  解   抛物线标准方程为         x =2y,其参数方程为            2 得  M(2t,
                                          y=2t .

  2t2). 

  设 P(x,y),则   M 是 OP 中点. 
         x+0
    2t=     ,
          2      x=4t                      1
  ∴             ∴      (t 为参数),消去     t 得 y=  x2,是以   y 轴为对称轴,焦点为(0,
                      2
          y+0     y=4t                      4
     2t2=     ,
         2
  1)的抛物线. 

   

   

   

二、能力提升 

               2
        x=sin θ,
8.若曲线               (θ  为参数)与直线      x=m  相交于不同两点,则          m 的取值范围是
        y=cos θ-1

  (  ) 

 
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  A.R                                     B.(0,+∞) 

  C.(0,1)                                 D.[0,1) 

                    2
              x=sin θ,
  解析    将曲线              化为普通方程得(y+1)2= 
              y=cos θ-1

  -(x-1)(0≤x≤1).它是抛物线的一部分,如图所示,由数形结合

  知  0≤m<1. 

  答案    D 

               2
          x=t ,
9.圆锥曲线          (t 为参数)的焦点坐标是________. 
          y=2t

  解析    将参数方程化为普通方程为           y2=4x,表示开口向右,焦点在          x 轴正半轴上的抛物线,

  由 2p=4⇒p=2,则焦点坐标为(1,0). 

  答案    (1,0) 

                       x=t,
10.设曲线    C 的参数方程为         2 (t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x                 轴的正
                       y=t

  半轴为极轴建立极坐标系,则曲线              C 的极坐标方程为________. 

        x=t,
                               2
  解析       2 化为普通方程为       y=x  ,由于   ρcos θ=x,ρsin θ=y,所以化为极坐标
        y=t

  方程为   ρsin θ=ρ2cos2θ,即      ρcos2θ-sin θ=0. 

  答案    ρcos2θ-sin θ=0 

11.在直角坐标系        xOy 中,直线      l 的方程为     x-y+4=0,曲线         C 的参数方程为

  x=  3cos α,
               (α 为参数). 
  y=sin α

  (1)已知在极坐标系(与直角坐标系             xOy 取相同的长度单位,且以原点            O 为极点,以    x 轴正
                                 π
  半轴为极轴)中,点        P 的极坐标为4,       ,判断点    P 与直线   l 的位置关系; 
                                  2 
  (2)设点  Q 是曲线   C 上的一个动点,求它到直线           l 的距离的最小值. 
                             π
  解   (1)把极坐标系下的点        P4,   化为直角坐标,得点(0,4).因为点            P 的直角坐标(0,
                             2 
  4)满足直线    l 的方程   x-y+4=0,所以点       P 在直线   l 上. 

  (2)因为点   Q 在曲线   C 上,故可设点      Q 的坐标为(    3cos α,sin α),从而点       Q 到直线   l


 
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                                            π
                                     2cosα+   +4
              | 3cos α-sin α+4|              6              π
  的距离为     d=                      =               =  2cosα+    +2  2,由此
                        2                   2                  6 
               π
  得,当   cosα+    =-1  时,d   取得最小值,且最小值为            2. 
                6 
三、探究与创新 

                                                  3            3
12.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在               x 轴上,离心率     e=   ,已知点    P0,  到这个椭圆
                                                  2            2
  上的点的最远距离是          7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点               P 的距离等于      7的点的坐

  标. 

                       x=acos θ                                   2  2   2
                                                              2  c  a -b
  解   设椭圆的参数方程是                  ,其中,a>b>0,0≤θ<2π.由          e =  2=   2 =1
                       y=bsin θ                                 a    a

      2
    b    b        2 1                                                2   2
  -   可得  =   1-e =  即  a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点          P 的距离为     d,则  d =x +
    a    a          2

       2                      2
     3   2   2            3   2    2  2    2             9
  y-  =a  cos θ+bsin θ-     =a -(a -b  )sin θ-3bsin θ+     
     2                    2                              4

                            9
  =4b2-3b2sin2θ-3bsin θ+      
                            4

                   2
        2       1     2
  =-3b  sin θ+     +4b +3, 
                2b

      1         1
  如果    >1 即 b<  ,即当    sin θ=-1   时,d2 有最大值, 
      2b        2

                      2
              2    3                 3  1       1             1
  由题设得(     7) =b+   ,由此得    b=   7-  >  ,与  b<  矛盾.因此必有        ≤1 成立,于
                   2                 2  2       2             2b

                1
  是当  sin θ=-     时,d2 有最大值, 
                2b

  由题设得(     7)2=4b2+3,由此可得      b=1,a=2. 

                     x=2cos θ,
  所求椭圆的参数方程是                      
                     y=sin θ.

              1             3                        1          1
  由 sin θ=-    ,cos θ=±      可得,椭圆上的点-          3,-   ,点   3,-   到点  P 的
              2            2                         2          2
  距离都是     7. 


 
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