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2.2.2平面与平面平行的判定

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高中数学审核员

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    在现实生活中我们也经常要判断平面与
平面是否平行。

 如建筑师是如何检验屋顶平面是与水平面平行。
    可以根据定义判定平面与平面是否平行,即
 判定它们是否有公共点。
                        公共点

α
                                 β
 β                   α

    但是,平面无限延展,用定义判定平面与
平面平行的可行性不大。
      探
      究
     1、若平面α内有一条直线a平行于平面β,
则能保证    ∥  吗?
         β

     a               a

                                β
β                   

  如图可知,平面α与平面β不一定平行。
      2、若平面    内有两条直线a、b都平行于平
 面  ,能保证     ∥ 吗?
   β         β

                                    a
                                  b
  a                     
     b
              β

                       β

左图中,平面       内两直线平行,两平面不平行。
           

右图中,平面       内两直线相交,两平面平行。
           
 平面和平面平行的判定定理:            定理证明

     一个平面内有两条相交直线与此另
 一平面平行,则这两个平面平行。

 符号表示:
           ab,            
                              
              a   b    p        //
                              
             ab// ,  //     

线线相交、线面平行           面面平行
    解决问题的数学思想:

        转化为             转化为
面面问题            线面问题            线线问题


               转化为
     空间问题              平面问题
 判断
(1)平行于同一条直线的两平面平行。
                     错误
     α
               a

                  β
    (2)若平面α内有两条直线都平行于平面
β,则α∥β。                      错误


        a
           b
        α             β
    (3)若平面α内有无数条直线都平行于平
面β,则α∥β。                     错误


        α            β
    (4)过平面外一点,只可作1个平面与已知
平行。                           正确
    (5)设a、b为异面直线,则存在平面α、β,
使                            正确
         a    ,b     β且α    //β。


        α         a

                 b
       β
       例三
       已知   正方体                 ,
                   ABCD              A1B1C1D1
       求证: 
            平面B1AD1//平面BC1D
    D1
                C1
                  分析:
A
 1          B1
                  在四边形ABC1D1中,
                  AB∥C1D1且AB=C1D1故四边
    D
                C 形ABC1D1为平行四边形。

                  即AD1∥BC1
 A          B
    证明:
∵ABCD-A   B C D 是正方体,
         1 1 1 1          D1
                                      C1
∴D1C1//A1B1,D1C1=A1B1, 
  AB//A B ,AB=A B ,    A
      1 1      1 1      1          B1
∴D1C1//AB,D1C1=AB,
∴D  C BA为平行四边形,
   1 1                     D
                                      C
∴  D1A//C1B,
  又D  A  平面C  BD,
     1       1        A           B
        平面      ,
  C1B     C1BD

∴D1A//平面C1BD。
                        D1
                                    C1
同理D1B1//平面C1BD,
又D  A D B =D ,       A
   1   1 1 1        1          B1
       平面
  D1A     AB1D1 ,
  D B   平面AB  D ,
   1 1       1 1       D
                                    C
∴平面AB1D1//平面C1BD。
                     A          B
         例四
        已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P、Q、R分
   别为A1A、AB、AD的中点        .求证:平面PQR∥
   平面CB1D1。
                  连结A1B,BD。

                  因为PQ∥   A1B且A1B ∥CD1。
                  故PQ∥CD   。
P                         1
                  同理可得,RQ//B1D1。
  R
                  所以平面PQR∥平面CB1D1。
      Q
                                                     正方体中面与面的平行关系有还有这些:


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    D1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      C1
                                                                                                                                                                                                            D1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                C1
                                                 D1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                F
                                                                                                                                 C1


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         A1

 A                                                                                                                                                             A1
  1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  E
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     B1

                                                                                                                                                                                                                                                              B1
                                                                                               B1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               Q

                                                                                                                                                                                                                                                                                                          E


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            P


                                                                                                                                                                   F                                                                                                                                                                                                                                               N
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    D
                                                                                                                                                                                                            D

                                          D                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                C
                                                                                                                                                                                                                                                                                                     C

                                                                                                                                     C                                                                                                                                                                                                                                                                                                              M

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                A
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  B
                                                                                                                                                                       A
                                                                                                                                                                                                                                                           B

   A                                                                                    B


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 D1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       C1

                                                                                                                                                                                                                D
                                           D1                          N                                                                                                                                         1                                                                                C
                                                                                                                             C1                                                                                                                                                                     1

                                                                                                                                                                                                  E


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   A1

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  E
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    B1
                                                                                                                 M                                                  A1
A1

                                                                                                                                                                                                                                                                 B1
                                                                                            B1


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      F

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 D

                                                                                                                                                                                                                D
                                           D                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                C
                       F
                                                                                                                                                                                                                                                                                                       C
                                                                                                                                  C

                                                                                                                                                                                                                                                                                       F
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          A
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 B
                                                                                                                                                                           A
                                                                                              B                                                                                                                                                               B
       A                                            E
             课堂小结

 证明平面与平面平行的方法:
(1)利用定义:      平面与平面没有公共点
(2)利用判定定理:        线面平行          面面平行

 平面和平面平行的判定定理:

    一个平面内有两条相交直线与此另
  一平面平行,则这两个平面平行。
    利用判定定理证明两个平面平行,必须
具备以下的两个条件:

 (1)有两条直线平行于同一个平面。
 (2)这两条直线必须相交。

                      a
          α         b

          β
              高考链接

  1 (2009 福建)设m,n是平面       内的两条不
                         
  同直线:     是平面      内的两条相交直线,
        ll12,    
  则  ∥  的一个充分不必要的条件是(           B  )
      

  A.   ∥  且   ∥    B.  ∥  且   ∥
    m              m       n
            l1                  l2
                         l1
  C.  ∥  且   ∥     D.  ∥  且   ∥
    m      n         m      n
                       
                                l2
【解析】考察直线与平面平行,两平面平行的判定
               随堂练习

      1.经过平面外两点可作该平面的平行平面的
  个数为   (  C  )
     A.   0        B.   1
     C.   0或1      D.   1或2

    2.平面M∥平面N,直线a         M直线b    N,下面
                                
四种情况:(1)a//b      (2)a⊥b (3)a与b异面  (4)a与b
相交,其中可能出现的情形有(             C )
    A. 1种               B. 2种
    C. 3种               D. 4种
    3.下面两组平面哪一组看上去象平行平面?


α                       α

   β                   β

    (1)                 (2)
  4.判断.
1)如果一个平面内的一条直线于行于另
   一个平面,那么这两个平面平行。                ×
 )如果一个平面内的两条直线平行于
2                                 ×
   另一个平面,那么这两个平面平行。
3)如果一个平面内的无数条直线平行于
   另一个平面,那么这两个平面平行。               ×
4)如果一个平面内的任何一条直线都
   平行于另一个平面,那么这两个平面               √
   平行。
5.求证:垂直于同一条直线的两个平面平行。
  已知:α⊥AA',β⊥AA'
  求证:α∥β 

                           a’
                   A’
                δ       b’
           β

                           a
             γ     A
        α              b
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