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广东省湛江市湛江实验中学 2018-2019学年度第一学期高二第一次月考

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        湛江市实验中学(2017                  级)高二上学期第一次月考
                               数     学(文科)
                     命题:吴   雅     审题:许小贞       罗武明      2018.10.15
             本试卷共   4 页,22 小题,满分    150 分.  考试用时   120 分 钟.
说明:
  1、选择题每小题选出答案后,用           2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
  2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;
如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无
效。
  3、答案必须写在答题卡上,收卷时只交答题卡。
一.选择题(本大题共          12 小题,每小题      5 分,满分    60 分。在每小题给出的四个选项中,只有
    一项是符合题目要求的。)


1.已知等差数列an      中,   an  4n  3,则首项  a1 和公差  d 的值分别为(  )

    A.1, 3   B.   3, 4    C.1,    2  D.1,    4

2.在  ABC  中,已知    a 2  b 2  c 2  2ab ,则 C  (      )

   A.300        B.1500         C.450         D.1350
3.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是(                            )
   A. y  x3    B. y  x 1    C. y  x2 1    D. y  2x 1


4.在等比数列{an     }中,已知     a1  2 , q  3, an  54 ,则 n  (   )

   A.4             B.5            C.6               D.7
5.如图   1 所示的算法流程图中,          若输入的    x 值为   3 , 
则输出的    y 值是(      )
        1              1
    A.            B.            C.   2           D.  8
        8              2
6.在  ABC  中,已知    A  75, B  60, c  2 ,则 b 等于(      )

   A.   2        B.    6        C. 3         D.  2  3

          1
         
          3        1         1
7.已知 a  2 , b  log2 , c  log 1 ,则(     )
                   3        2 3

   A. a  b  c      B. a  c  b        C. c  a  b       D. c  b  a
8.在  ABC 中,   a  2bcosC ,则 ABC 一定是(   )
   A.直角三角形   B.等腰三角形                   C.等腰直角三角形   D.等边三角形
                      中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                     2
9.在等比数列an中,若         a1, a10 是方程3x   2x  6  0的两根,则   a3a8 等于(     )
      2                           2
   A.           B.2          C.              D.  2
      3                           3
10.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为(                           )

   A.1            B.  2            C. 3           D.2

11.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出
的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A                 测得水柱顶端的仰角为
45°,沿点  A 向北偏东30°前进      100 米到达点   B,在  B 点测得水柱顶端
的仰角为30°,则水柱的高度是(               )
A.  50 米       B.60  米        C.80  米        D.100  米

12.偶函数    f (x) 满足 f (1 x)  f (1 x) ,且在 x [0,1] 时,

f (x)  2x  x 2 ,若直线 kx  y  k  0 (k  0) 与函数 f (x) 的图像有且仅有三个交点,则        k 的取
值范围是(         )

       15   15            15  3             5  15          1   5
  A. (    ,   )      B. (   ,   )      C. (  ,   )     D. ( ,   )
       15   3            15   3            3   3           3  3

二.填空题(本大题共         4 小题,每小题      5 分,满分    20 分)


13.如果直线l1    : 2x  ay 1  0 与直线l2 : 4x  2y  7  0 垂直,则 a=          .

                                                 3
14.在  ABC 中,   A  60 ,| AB | 2 ,且 ABC 的面积为    ,则|  AC |             .
                                                2
                                                    
15.已知   a ,b 均为单位向量,它们的夹角为120             ,那么|   a +3b |的值为________.  

16.若  a,b  是函数   f x x2  px  qp  0,q  0 的两个不同的零点,且     a,b,2  这三个数可适

当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则                        p  q  的值等于________.
三、解答题(本大题共          6 小题,共    70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分       10 分)


     已知等差数列an     的前   n 项和为  S n , a2  2, a5  4 .


   (I)求数列an     的通项公式;


   (II)求出    S10 的值.  


18.(本小题满分       12 分)
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                         5          3
                 cos A     cos B 
    在△ABC    中,         13 ,        5 . 

   (I)求sin   C 的值;
   (II)设   BC  5 ,求△ABC   的面积.


19. (本小题满分      12 分) 
   在某中学举行的环保知识竞赛中,随机抽取                   x 名参
赛同学的成绩(得分的整数)进行整理后分成五组,绘制

出如图   4 所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第
一、第三、第四、第五小组的频率分别为

0.30 , 0.15 , 0.10 , 0.05 ,第二小组的频数为    40 .
(1)求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图;

(2)若采用分层抽样的方法,从样本中随机取                    20 人,则第三组和第四组各抽取多少人?

(3)在(2)的条件下,从第三组和第四组抽取的人中任选取                          2 人,则她们不在同一
     组别的概率是多少?


20.(本小题满分       12 分)
   如图,在底面是菱形的四棱锥             P  ABCD 中,

   BAD   60 , PA  PD , E 为 PC 的中点.

   (I)求证:     PA// 平面  EBD ;
   (II)求证:     PB  BC .


21.(本小题满分       12 分)
                      中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
     已知圆心为     (7,1) 的圆C 与直线    x  y  2  0 相切.

   (I)求圆C     的方程;
                                                                        
   (II)设点    A (2,4) ,若斜率为1的直线l      与圆C   相交于不同的两点M、N          ,   求  AM  AN 的取

    值范围.


22.(本小题满分       12 分)
                                                                    1
  已知函数     f (x)  2x , g(x)  x2  2x  b (b R ),记 h(x)  f (x) 
                                                                   f (x)
(Ⅰ)判断      h(x) 的奇偶性,并证明;

(Ⅱ)对任意       x1,2,都存在    x1, x2 1,2,使得 f (x)  f (x1) , g(x)  g(x2 ) .若

      f (x1)  g(x2 ) ,求实数 b 的值;
(Ⅲ)若     2x h(2x)  mh(x)  0对于一切   x1,2恒成立,求实数       m 的取值范围.


        湛江市实验中学(2017                  级)高二上学期第一次月考
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                         数     学(文科)参考答案
一.选择题(本大题共          12 小题,每小题      5 分,满分    60 分。在每小题给出的四个选项中,只有
    一项是符合题目要求的。)
      题号      1    2    3     4    5    6    7     8    9    10   11    12
      答案      D    C    B     A    C    B    C     B    D    C    A     B

二.填空题(本大题共         4 小题,每小题      5 分,满分    20 分)

       13.    4        14.    1        15. 7       16.   9    

三、解答题(本大题共          6 小题,共    70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分       10 分)


解: (I)设等差数列an       的公差为    d


                   a1  d  2
 a2  2, a5  4 ,             …………………………………………………2                   分
                   a1  4d  4


     解得       a1  4, d  2 .……………………………………………………………4                    分


        an  4  n 1  2 6  2n .   ……………………………………………5             分
                    (a  a )n (4  6  2n)n
(II)由(I)得:      S   1   n              n2  5n ………………………………8           分
                 n     2          2

                     2
             S10  10  510  50 .            ………………………………………9                分       


          因此  S10 的值为  50 .  ……………………………………………………………10                       分

18.(本小题满分       12 分)

解:(I)    ABC 中,  A, B (0, )
              5           12
    由 cos A   ,得sin  A    ,……………………………2            分
             13           13
            3           4
    由 cos B  ,得sin  B   .……………………………4            分
            5           5
                                             16
    所以sin C  sin(A  B)  sin Acos B  cos Asin B  .…………………………6      分
                                             65
                                   4
                                 5
                      BC sin B        13
(II)由正弦定理得       AC              5    .……………………………9             分
                        sin A     12   3
                                  13
                      1                 1    13  16  8
   所以△ABC    的面积   S   BC  AC sin C  5       .……………12     分
                      2                 2     3  65  3
19. (本小题满分      12 分) 
                      中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
   19.(本小题满分       12 分)
   解:(1)因为各小组的频率之和为1,第一、三、四、五组的频率分别是                        0.30 , 0.15 , 0.10 , 0.05 ,
   所以第二小组的频率为
   1 0.30  0.15  0.10  0.05 0.40 ……2 分
   因为第二小组的频率为        0.40 ,所以落在  59.5  69.5 的第二小组的
               频率    0.4
   小长方形的高              0.04 ,由此可补全频率分布直方图
               组距    10
   如图所示.……………………………………………………………………4           分

                                        40
(2)因为第二小组的频数为         40 ,频率为  0.40 ,所以     0.40 ,得 x 100 (人).…………………………6     分
                                         x
                    20                                   20
所以第三组抽取的人数为           100 0.15  3 (人),第四组抽取的人数为          100 0.10  2 (人)
                   100                                   100
……8 分

(3)用  a1 、 a2 、 a3 表示第三组抽取的三位学生,第四组抽取的二位学生用              b1 、 b2 表示,则所有的基本事件

为: a1,a2 、 a1,a3 , a1,b1 、 a1,b2 、 a2 ,a3 、 a2 ,b1 、 a2 ,b2 、 a3 ,b1 、 a3 ,b2 、 b1,b2 ,共
10 种.  …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………10            分

   其中满足条件的基本事件为:          a1,b1 、 a1,b2 、 a2 ,b1 、 a2 ,b2 、 a3 ,b1 、 a3 ,b2 ,共 6 种.
   …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………11              分
                   6  3
   所以所求概率为      P     .…………………………………………………………………………………………………………………………12      分
                   10 5
20.(本小题满分       12 分)

证明:  (I)连接    AC, AC 与 BD 相交于点O     ,  连接OE    ,  则O  为 AC 的中点.……………2          分

             E 为 PC 的中点,      EO // PA .……………………………………………3                 分
        EO  平面  EBD  , PA  平面  EBD ,    PA// 平面 EBD  .   ……………………5        分

(II)设  F 为 AD  的中点,     连接  PF, BF .    PA  PD ,  PF  AD .………………6        分

   ABCD 是菱形,    BAD   60 ,  ABD  是等边三角形.

  BF  AD.     ………………………………………………………7                      分      

  PF  BF  F, ………………………………………………………8                     分

  AD   平面  PBF .   …………………………………………………9                   分   

  BC // AD,  BC  平面 PBF .……………………………………10               分

  PB  平面  PBF ,   PB  BC . ……………………………………12           分
21.(本小题满分       12 分)

 解:(I)因为圆心为         (7,1) 的圆C  与直线   x  y  2  0 相切,设圆  C 半径为   r ,则圆心    C 到直
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                  7 1 2
   线的距离     d  r        5 2          
                     2

   ……………………………………………………3                     分

圆C  的方程为     x  72  y 12  50 .   ……………………………………………………5               分

                                                     y  x  m,
 (II)设直线l    的方程为     y  x  m, M x1, y1 , N x2 , y2 .由  2  2     
                                                     x  7  y 1  50.

    消去  y 得 2x2  2m 16 x  m2  2m  0 .………………………………………………7              分

    由   (2m 16)2  4 2(m2  2m)  0 解得: 4  m 16

                       m2  2m
     x  x  m  8, x x     .………………………………………………………8                       分
      1   2       1 2     2


     AM  AN  (x1  2)(x2  2)  (y1  4)(y2  4) …………………………………………9       分


                (x1  2)(x2  2)  (x1  m  4)(x2  m  4)

                                           2
                2x1 x2  m  2x1  x2  m  4  4 ……………………………………10    分

                m 2  2m  m  2m  8 m  42  4

                m2 12m  36  m  62 [0,100)     ……………………………………11         分

     AM  AN 的取值范围是0,100.        ……………………………………………………12                     分
22.(本小题满分       12 分)
                         1
解:(Ⅰ)函数       h(x)  2x   为奇函数………………………………………………………1                          分
                         2x
      现证明如下:

      ∵函数   h(x) 的定义域为     R ,关于原点对称。…………………………………………………2                     分

                      1    1              1
      由 h(x)  2 x        2x  (2x   )  h(x) ………………………………………3        分
                     2 x 2x              2x
                       1
      ∴函数   h(x)  2x   为奇函数………………………………………………………………………4                      分
                       2x

    (Ⅱ)据题意知,当         x1,2时,   f (x)max  f (x1) , g(x)max  g(x2 ) ……………………5 分
      ∵ f (x)  2x 在区间1,2上单调递增     ,
                       2
      ∴ f (x)max  f (2)  2  4 ,即 f (x1)  4 ……………………………………………………6            分
                   中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
   又∵  g(x)  x2  2x  b  (x 1)2  b 1
   ∴函数   y  g(x) 的对称轴为     x 1
   ∴函数   y  g(x) 在区间1,2上单调递减

   ∴ g(x)max  g(1) 1 b ,即 g(x2 ) 1 b …………………………………………………7              分

   由 f (x1)  g(x2 ) ,
   得1 b  4 ,∴b  3 ………………………………………………………………………8                           分
                           1          1
(Ⅲ)当     x[1,2] 时, 2x (22x  )  m(2x  )  0
                          22x        2x
    即 m(22x 1)  (24x 1) ,

   ∵22x 1  0 ,∴m  (22x 1) ……………………………………………………………10                     分

   令 k(x)  (22x 1) , x[1,2]

   ∵x[1,2] ,∴(22x 1)[17,5]


   ∴ k(x)max  5……11 分;       故 m 的取值范围是[5,) …………………………………12           分
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