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2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业:第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 24 Word版含答案

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课时作业     24 平面向量的概念及其线性运算

    一、选择题
    1.在平行四边形       ABCD  中,对角线     AC 与 BD 交于点    O,若
→ + → =λ → ,则  λ=(  )
AB  AD   AO
    A.1  B.2
    C.4     D.6
    解析:根据向量加法的运算法则可知,                → + → = → =2 → ,故
                                     AB  AD  AC   AO
λ=2.
    答案:B
    2.在△ABC    中,  → =2 → , → =a,  → =b, → =c,则下列等式
                   AD   DC  BA    BD     BC
成立的是(  )
    A.c=2b-a     B.c=2a-b
          3a b        3b a
    C.c=  2 -2  D.c=  2 -2
    解析:依题意得       → - → =2( → - → ),
        3   1    3BD 1 BA  BC  BD
    → =2 → -2 → =2b-2a.
    BC  BD   BA
    答案:D
    3.(2018·咸阳二模)对于非零向量          a,b,“2a+3b=0”是
“a∥b”成立的(  )
    A.充分而不必要条件
    B.必要而不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
                         3
    解析:2a+3b=0⇔a=-2b⇒a∥b,但由            a∥b 不一定能得到
     3
a=-2b,故选     A.
    答案:A
    4.在四边形     ABCD  中,  → =a+2b,  → =-4a-b,    → =-5a-
                         AB        BC           CD
3b,则四边形     ABCD  的形状是(  )
    A.矩形     B.平行四边形
    C.梯形     D.以上都不对
    解析:由已知,得        → = → + → + → =-8a-2b=2(-4a-b)=2
                   AD  AB  BC  CD
→ ,故  → ∥ → .又因为  → 与 → 不平行,所以四边形         ABCD 是梯形.
BC    AD  BC      AB  CD
    答案:C
    5.在△ABC    中,  → =c,  → =b.若点  D 满足  → =2 → ,则  → =(  )
                   AB    AC              BD   DC    AD
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      2  1     5  2
    A.3b+3c  B.3c-3b
      2  1     1  2
    C.3b-3c  D.3b+3c
    解析:


                         2            2       2  1
    如图所示,可知       → = → +3( → - → )=c+3(b-c)=3b+3c.
                  AD AB    AC  AB
    答案:A


    6.如图所示,在四边形          ABCD 中,AB=BC=CD=1,且∠B=
90°,∠BCD=135°,记向量       → =a,  → =b,则   → 等于(  )
             2          AB     AC      AD
           1+
    A. 2a-(  2 )b
                 2
              1+
    B.-   2a+(  2 )b
                 2
              1-
    C.-   2a+(  2 )b
             2
           1-
    D. 2a+(  2 )b
    解析:


    如图,作    DE⊥AB   于点  E,CF⊥DE    于点  F,由题意,得
                          2
∠ACD=90°,CF=BE=FD=        2 ,因为  → = → - → =b-a,所以
                                 BC  AC  AB
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               2      2       2       2
            1-     1+       1-     1+
→ = → + → =(  2 )a+(  2 ) → =( 2 )a+( 2 )(b-a)=- 2a+
AD 2AE  ED             BC
1+
(  2 )b,故选  B.
    答案:B
    7.(2017·新课标全国卷Ⅱ,文科)设非零向量              a,b  满足|a+b|=
|a-b|,则(  )
    A.a⊥b    B.|a|=|b|
    C.a∥b    D.|a|>|b|
    解析:方法一:∵ |a+b|=|a-b|,∴ |a+b|2=|a-b|2.
    ∴ a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b.
    ∴ a·b=0.∴ a⊥b.
    故选  A.
    方法二:利用向量加法的平行四边形法则.
    在▱ABCD  中,设   → =a,  → =b,
                  AB     AD
    由|a+b|=|a-b|知|  → |=| → |,
                   AC   DB
    从而四边形     ABCD  为矩形,即     AB⊥AD,故    a⊥b.
    故选  A.
    答案:A

    8.(2018·贵州省适应性考试)已知向量           e1 与 e2 不共线,且向量

→ =e1+me2,  → =ne1+e2,若   A,B,C   三点共线,则实数        m,n  满
AB          AC
足的条件是(  )
    A.mn=1        B.mn=-1
    C.m+n=1      D.m+n=-1
    解析:因为     A,B,C   三点共线,所以一定存在一个确定的实数

λ,使得   → =λ → ,所以有    e1+me2=nλe1+λe2,由此可得Error!,所以
       AB  AC
mn=1.
    答案:A
    9.已知向量     a,b 不共线,且      c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若
c 与 d 共线反向,则实数       λ 的值为(  )
                    1
    A.1        B.-2
            1             1
    C.1  或-2   D.-1   或-2
    解析:由于     c 与 d 共线反向,则存在实数         k 使 c=kd(k<0),于
是 λa+b=k[a+(2λ-1)b].
    整理得   λa+b=ka+(2λk-k)b.
    由于  a,b  不共线,所以有Error!
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                                       1
    整理得   2λ2-λ-1=0,解得      λ=1 或 λ=-2.
                               1
    又因为   k<0,所以   λ<0,故   λ=-2.
    答案:B
    10.(2018·银川一模)已知△ABC       的三个顶点      A,B,C   及平面内
一点  P 满足  → +→+→=    → ,则点   P 与△ABC   的关系为(  )
          PA  PB PC  AB
    A.P  在△ABC   内部
    B.P  在△ABC   外部
    C.P  在 AB 边所在的直线上
    D.P  是 AC 边的一个三等分点
    解析:∵    → +→+→=    → ,∴  → +→+→=→-     → ,∴→=-
            PA PB  PC  AB   PA  PB  PC PB  PA    PC
2 → =2 → ,∴P 是 AC 边上靠近点      A 的一个三等分点.
 PA   AP
    答案:D
    二、填空题
    11.下列与共线向量有关的命题:
    ①相反向量就是方向相反的向量;
    ②若  a 与 b 同向,且|a|>|b|,则   a>b;
    ③λ,μ  为实数,若     λa=μb,则   a 与 b 共线;
    ④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.
    其中错误命题的序号为________.
    解析:①不正确.相反向量满足方向相反,长度相等.②不正
确,两向量不能比较大小;③不正确.当                 λ=μ=0   时,a  与 b 可能
不共线;④正确.
    答案:①②③
    12.已知▱ABCD    的对角线    AC 和  BD 相交于   O,且   → =a,  → =
                                               OA    OB
b,则  → =________,  → =________.(用 a,b 表示)
     DC           BC

    解析:如图,      → = → = → - → =b-a,  → = → - → =-  → -
                DC AB  OB  OA        BC  OC  OB   OA
→ =-a-b.
OB
    答案:b-a -a-b
    13.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量          a,b 不平行,向量      λa+
b 与 a+2b 平行,则实数      λ=________.
    解析:由题意知存在常数           t∈R,使   λa+b=t(a+2b),
                     1
    得Error!,解之得   λ=2.
          1
    答案:2
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                                                        →
                                                       A→B
                                                       | |
    14→ .(2018·怀柔模拟)在矩形     ABCD 中,AB=3,AC=5,e1=       AB ,
    A→D
   |  |   →
e2= AD ,若   =xe1+ye2,则   x+y 的值为________.
          AC
    解析:在矩形      →ABCD 中,→ AB=3,AC=5,利用勾股定理可得
                A→B    A→D
               | |     | |      →       →   →
AD=4,因为     e1= AB ,e2= AD ,所以   =3e1,    =   =4e2,所以
                                AB      BC  AD
→ = → + → =3e1+4e2,所以    x=3,y=4,x+y=7.
AC  AB  BC
    答案:7

                          [能力挑战]
    15.(2018·吉林大学附属中学摸底)在梯形            ABCD  中,  → =3 → ,
                                                 AB   DC
则 → =(  )
  BC     1    2         2   4
    A.-3  → +3 →   B.-3  → +3 →
      2   AB  AD        A2 B AD
    C.3 → - →        D.-3 → + →
      AB  AD             AB  AD
    解析:在线段      AB 上取点   E,使   BE=DC,连接     DE,则四边形
                                        2
BCDE  为平行四边形,则       → = → = → - → = → -3 → .故选 D.
                     BC  ED  AD  AE AD   AB


    答案:D


    16.设  O 在△ABC   的内部,D     为 AB 的中点,且     → + → +2 → =
                                             OA  OB   OC
0,则△ABC    的面积与△AOC      的面积的比值为(  )
    A.3   B.4
    C.5   D.6
    解析:∵D     为 AB 的中点,
          1
    则 → =2( → + → ),
      OD   OA  OB
    又 → + → +2 → =0,
      OA  OB   OC
    ∴ → =-  → ,∴O  为  CD 的中点,
      OD    OC
    又∵D   为 AB 中点,
             1      1

    ∴S△AOC=2S△ADC=4S△ABC,
      S △ ABC
    则S △ AOC=4.
    答案:B
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                                                      1
    17.(2018·扬州模拟)在△ABC      中,N   是  AC 边上一点且     → =2 → ,
                          2                       AN   NC
P 是 BN 上一点,若     → =m → +9 → ,则实数    m 的值是________.
                 AP   AB  AC


                       1                         1
    解析:如图,因为        → =2 → ,P 是 → 上一点.所以     → =3 → , → =
     2         2   AN   NC      BN           AN   2AC AP
m → +9 → =m → +3 → ,因为  B,P,N   三点共线,所以       m+3=1,则
 AB1  AC   AB   AN
m=3.
          1
    答案:3
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