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2018版高中数学第一讲坐标系学案新人教A版选修4_4

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                              第一讲 坐标系

                              一 平面直角坐标系


[学习目标]

1.了解平面直角坐标系的组成,领会坐标法的应用.

2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.

3.能够建立适当的平面直角坐标系,运用解析法解决数学问题.

[知识链接]

1.如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系?

提示 (1)如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点;(2)如果图形有对称轴,可以

选对称轴为坐标轴;(3)若题目有已知长度的线段,以线段所在的直线为                            x 轴,以端点或中

点为原点.建系原则:使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上.

2.怎样由正弦曲线       y=sin x 得到曲线    y=sin 2x?

提示 曲线     y=sin x 上各点保持纵坐标不变,将横坐标缩为原来的一半.

3.怎样由正弦曲线       y=sin x 得到曲线    y=3sin x?

提示 曲线     y=sin x 上各点保持横坐标不变,将纵坐标伸长为原来的                     3 倍.

[预习导引]

1.平面直角坐标系

(1)平面直角坐标系的作用:使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立联系,从

而实现数与形的结合.

(2)坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的

性质及与其他几何图形的关系.

(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”:第一步,建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题

中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步,通过代数运算,解决代数问题;

第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论.

2.平面直角坐标系中的伸缩变换

(1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换,

这就是用坐标方法研究几何变换.

(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:设点                 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变
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       x′=λx(λ > 0),
换 φ:{  y′=μy(μ > 0) )的作用下,点     P(x,y)对应到点     P′(x′,y′),称      φ 为平面直角
坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.


要点一 运用坐标法解决解析几何问题

例 1 △ABC  的顶点    A 固定,角   A 的对边   BC 的长是   2a,边  BC 上的高的长是      b,边  BC 沿一条

直线移动,求△ABC       外心的轨迹方程.

解 以边    BC 所在的定直线为       x 轴,过  A 作 x 轴的垂线为     y 轴,建立直角坐标系,则点           A 的

坐标为(0,b).设△ABC      的外心为    M(x,y).


取 BC 的中点   N,则  MN⊥BC,即   MN 是 BC 的垂直平分线.

因为|BC|=2a,所以|BN|=a,|MN|=|y|.又         M 是△ABC  的外心,所以|MA|=|MB|.

又|MA|=   x2+(y-b)2,|MB|=   |MN|2+|BN|2=  y2+a2,所以     x2+(y-b)2=   y2+a2,化

简,得所求的轨迹方程为           x2-2by+b2-a2=0(x∈R,y>0).

规律方法 建立坐标系的几个基本原则:

(1)尽量把点和线段放在坐标轴上;

(2)对称中心一般作为原点;

(3)对称轴一般作为坐标轴.

跟踪演练    1 △ABC  的边   AB 的长为定长    2a,边   BC 的中线的长为定长       m,试求

顶点  C 的轨迹方程.

解 取   AB 的中点为原点,直线        AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系,则             A(-

a,0),B(a,0).
                            x+a y                x+a        y
                               ,                     +a
设 C(x,y),则边    BC 的中点为    D( 2  2),由|AD|=m,得(     2    )2+(2)2=m2.化简得(x+
3a)2+y2=4m2.又因点    C 在直线  AB 上时不能组成三角形,故           y≠0.

因此顶点    C 的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2(y≠0).

要点二 用坐标法解决平面几何问题

例 2 已知▱ABCD,求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).

证明 法一(坐标法)
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以 A 为坐标原点     O,AB 所在的直线为      x 轴,建立平面直角坐标系           xOy,
                                            b c
                                             ,
则 A(0,0),设   B(a,0),C(b,c),则     AC 的中点   E(2 2),由对称性知
D(b-a,c),所以|AB|2=a2,|AD|2=(b-a)2+c2,

|AC|2=b2+c2,|BD|2=(b-2a)2+c2,

|AC|2+|BD|2=4a2+2b2+2c2-4ab

=2(2a2+b2+c2-2ab),|AB|2+|AD|2=2a2+b2+c2-2ab,∴|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+

|AD|2).

法二(向量法)

在▱ABCD 中,  → =  → + →  ,两边平方得      → 2=| → |2= → 2+ → 2+2 →  · → ,同理得
           AC  AB   AD            AC    AC     AB   AD    AB  AD
→ 2=| → |2= →  2+ → 2+2 → · → ,以上两式相加,得|         → |2+| → |2=2(| → |2+
BD    BD    BA   BC    BA   BC                   AC     BD       AB
| → |2)+2 → ·( → + → )=2(|  → |2+| → |2),即|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
 AD      BC   AB   BA      AB     AD
规律方法 1.本例实际上为平行四边形的一个重要定理:平行四边形的两条对角线的平方和

等于其四边的平方和.法一是运用代数方法,即解析法实现几何结论的证明的.这种“以算代

证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一.法二运用了向量的数量积运算,更显言简意

赅,给人以简捷明快之感.

2.建立平面直角坐标系的方法步骤

(1)建系——建立平面直角坐标系,建系原则是利于运用已知条件,使运算简便,表达式简

明;

(2)设点——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程;

(3)运算——通过运算,得到所需要的结果.

跟踪演练    2 已知正△ABC     的边长为    a,在平面上求一点        P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2   最小,

并求出此最小值.

解 以   BC所在直线为     x 轴,BC  的垂直平分线为       y 轴,建立平面直角坐标
                 3      a       a
             0,   a    - ,0      ,0
系,如图,则      A(  2 ),B(  2  ),C(2   ).
                                        3        a          a
                                    y-   a    x+         x-
设 P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2=x2+(        2 )2+(   2)2+y2+(   2)
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                     5a2            3                             3
                                y-   a
2+y2=3x2+3y2-   3ay+  4 =3x2+3(    6 )2+a2≥a2,当且仅当      x=0,y=   6 a 时,等号
成立.
                                        3
                                     0,  a
∴所求的最小值为        a2,此时   P 点的坐标为    P(   6 ),即为正△ABC     的中心.
要点三 平面直角坐标系中的伸缩变换

                                             x′=3x,
例 3 在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换                   φ:{  2y′=y. )
         1
          ,-2
(1)求点  A(3    )经过  φ 变换所得的点      A′的坐标;
                                 1
                             -3,
(2)点 B 经过  φ 变换后得到点      B′(     2),求点   B 的坐标;
(3)求直线   l:y=6x  经过   φ 变换后所得直线       l′的方程;
                 y2
(4)求双曲线    C:x2-64=1   经过  φ 变换后所得曲线        C′的焦点坐标.
                                                   x′=3x,
                                       x′=3x,          1            1
                                                    y′= y.           ,-2
解 (1)设点    A′(x′,y′).由伸缩变换         φ:{2y′=y,)得到{       2 )又已知点    A(3    ).于
          1          1
是 x′=3×3=1,y′=2×(-2)=-1.
∴变换后点     A′的坐标为(1,-1).


                                           1
                                        x=  x′,
                             x′=3x,        3               1          1
                                                       -3,
(2)设 B(x,y),由伸缩变换       φ:{2y′=y,)得到{y=2y′,)由于      B′(    2),于是   x=3×(-3)=
          1
-1,y=2×2=1,∴B(-1,1)为所求.
                                                      1
                                                   x=  x′,
                                                      3
(3)设直线   l′上任意一点      P′(x′,y′),由上述可知,将{y=2y′,)代入             y=6x  得 2y′=
   1
    x′
6×(3  ),所以  y′=x′,即      y=x 为所求.
                                          1
                                       x=  x′
                                          3          y2       x′2 4y′2
(4)设曲线   C′上任意一点      P′(x′,y′),将{y=2y′)代入        x2-64=1,得   9 -  64 =1,化
    x′2 y′2
简得  9 -16=1,
                 x2  y2
∴曲线   C′的方程为     9 -16=1,
∴a2=9,b2=16,c2=25,
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因此曲线    C′的焦点    F1(5,0),F2(-5,0).

规律方法 1.解答本题的关键:(1)是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;

(2)是明确变换前后点的坐标关系,利用方程思想求解.

2.伸缩变换前后的关系

                                  x′=λx(λ > 0),
已知平面直角坐标系中的伸缩变换              φ:{y′=μy(μ   > 0),)则点的坐标与曲线的方程的关系为
               联系
                                变换前                   变换后
               类型  

               点 P              (x,y)               (λx,μy)
                                                     1   1
              曲线  C           f(x,y)=0                x′, y′
                                                    f(λ  μ )=0
跟踪演练    3 在同一直角坐标系中,将直线              x-2y=2  变成直线    2x′-y′=4,求满足条件

的伸缩变换.

                          x′=λ·x(λ > 0),
解 设满足条件的伸缩变换为{y′=μ·y(μ            > 0),)将其代入方程     2x′-y′=4,得      2λx-
μy=4,与    x-2y=2  比较,将其变成       2x-4y=4.比较系数得       λ=1,μ=4.所以

 x′=x,
{y′=4y.)直线 x-2y=2  图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的                      4 倍可得到直线
2x′-y′=4.


1.坐标系是现代数学中的重要内容,它在数学发展的历史上起着划时代的作用.坐标系的创

建,在代数和几何之间架起了一座桥梁、利用坐标系,我们可以方便地用代数的方法确定平

面内一个点的位置,也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方

法来描述,几何图形可以通过代数形式来表达,这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图

形表示出来,又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.

2.体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法

(1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变换,学习中可结合坐标间的对应关系进

行理解.

(2)对于图形的伸缩变换问题,需要搞清新旧坐标,区别                      x,y 和  x′,y′,点(x,y)在原

曲线上,点(x′,y′)在变换后的曲线上,因此点(x,y)的坐标满足原曲线的方程,点

(x′,y′)的坐标适合变换后的曲线方程.
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1.点 P(-1,2)关于点     A(1,-2)的对称点坐标为(  )

A.(3,6)                                   B.(3,-6)

C.(2,-4)                                  D.(-2,4)

解析 设对称点的坐标为(x,y),则             x-1=2,且    y+2=-4,

∴x=3,且    y=-6.

答案 B

2.在同一平面直角坐标系中,将曲线              y=3sin 2x  变成曲线    y′=sin x′的伸缩变换是(  )


   x=2x′,                                    x′=2x,
      1                                         1
   y=  y′                                    y′= y
A.{   3  )                                B.{   3  )
   x=2x′,                                    x′=2x,
C.{ y=3y′ )                               D.{ y′=3y )
        x′=λx,λ > 0,                       1                              1
解析 设{y′=μy,μ    > 0,)则 μy=sin    λx,即   y=μsin   λx.比较   y=3sin   2x 与 y=μsin 
                                      x′=2x,
         1                1              1
                                      y′= y.
λx,则有μ=3,λ=2.∴μ=3,λ=2.∴{                 3  )
答案 B
                                         1   1
3.如何由正弦曲线       y=sin x 经伸缩变换得到       y=2sin2x 的图象(  )
                     1                     1
A.将横坐标压缩为原来的2,纵坐标也压缩为原来的2
                     1
B.将横坐标压缩为原来的2,纵坐标伸长为原来的                   2 倍
C.将横坐标伸长为原来的          2 倍,纵坐标也伸长为原来的           2 倍
                                            1
D.将横坐标伸长为原来的          2 倍,纵坐标压缩为原来的2


答案 D

4.已知函数    f(x)=  (x-1)2+1+   (x+1)2+1,则    f(x)的最小值为________.
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解析 f(x)可看作是平面直角坐标系下              x 轴上一点(x,0)到两定点

(-1,1)和(1,1)的距离之和,结合图形可得,f(x)的最小值为                     2

 2.

答案 2    2


一、基础达标

                                      x′=5x,
1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换{                 y′=3y )后,曲线    C 变为曲线   x′2+y′2=0,
则曲线   C 的方程为(  )

A.25x2+9y2=0                              B.25x2+9y2=1

C.9x2+25y2=0                              D.9x2+25y2=1

                x′=5x,
解析 将伸缩变换{        y′=3y )代入 x′2+y′2=0,得      25x2+9y2=0,此即为曲线       C 的方程.
答案 A

2.平行四边形     ABCD 中三个顶点    A,B,C   的坐标分别是(-1,2),(3,0),(5,1),则顶点

D 的坐标是(  )

A.(9,-1)                                  B.(-3,1)

C.(1,3)                                   D.(2,2)

                                                                  x=1,
解析 设    D(x,y),则由题意,得        → = → ,即(4,-2)=(5-x,1-y),∴{y=3,)即
                            AB   DC
D(1,3).

答案 C

3.已知四边形     ABCD 的顶点分别为     A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),四边形

               x′=ax,
ABCD 在伸缩变换{     y′=y )(a>0)的作用下变成正方形,则          a 的值为(  )

A.1                                       B.2  
  1                                         2
C.2                                       D.3
  解析 如图,由矩形         ABCD 变为正方形     A′B′C′D′,已知       y′=y,
                                                1        1
    ∴边长为     1,∴AB  长由  2 缩为原来的一半,∴x′=2x,∴a=2.
答案 C
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4.已知  f1(x)=sin x,f2(x)=sin ωx(ω>0),f2(x)的图象可以看作把            f1(x)的图象在其所
                               1
在的坐标系中的横坐标压缩到原来的3(纵坐标不变)而得到的,则                          ω 为(  )
  1
A.2                                       B.2  
                                            1
C.3                                       D.3
                          x′=λx (λ > 0),
解析 对照伸缩变换公式           φ:{y′=μy (μ  > 0),)由 y=sin     x 得到  y′=sin      ωx′故
               1
           x′=  x
 ωx′=x         ω
{ y′=y ),即{ y′=y ).
  1  1
∴ω=3,∴ω=3.
答案 C
                                      x
                                 x′=     ,
                                    2 017
                                       y
                                { y′=     )
5.若点  P(-2016,2017)经过伸缩变换            2 016 后的点在曲线      x′y′=k   上,则   k=
________.
                                         x          -2 016
                                     x′=    ,    x′=      ,
                                        2 017        2 017
                                         y           2 017
                                    {y′=    ,)  { y′=      )
解析 ∵P(-2 016,2 017)经过伸缩变换               2 016 得      2 016
代入  x′y′=k,得     k=x′y′=-1.

答案 -1
           x2  y2
6.可以将椭圆10+      8 =1 变为圆   x2+y2=4 的伸缩变换为________.
               x2  y2         2x2 y2
解析 将椭圆方程10+         8 =1,化为    5 + 2 =4,
                        2
                   x′=   x,
                        5
   2x     y             y
                     y′=
    5     2        {     2 )
∴(   )2+(  )2=4.令
得 x′2+y′2=4,即      x2+y2=4.
           5x′= 2x,
∴伸缩变换{       2y′=y  )为所求.
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           2
      x′=   x
           5
          1
      y′=   y
      {    2 )
答案 
7.在同一平面直角坐标系中,求将曲线               x2-2y2-3x=0   变成曲线    x′2-8y′2-12x′=0     的

伸缩变换.

                x′=λx(λ > 0),
解 令伸缩变换为{       y′=μy(μ > 0). )将其代入  x′2-8y′2-12x′=0     得  λ2x2-8μ2y2-
12λx=0,与    x2-2y2-3x=0.
            4μ2=λ2,
              12       λ=4,                x′=4x,
               =3.
进行比较,得{       λ     )故{ μ=2. )从而伸缩变换为{      y′=2y. )
二、能力提升
                                                                 1
                                                              x′= x,
                                                                 3
8.在平面直角坐标系中,方程           3x-2y+1=0    所对应的直线经过伸缩变换{           y′=2y )后的直线
方程为(  )

A.3x′-4y′+1=0                             B.3x′+y′-1=0

C.9x′-y′+1=0                              D.x′-4y′+1=0
                   1      x=3x′,
                x′= x,
                   3         1
                          y=  y′,
解析 由伸缩变换{        y′=2y )得{   2  )代入方程    3x-2y+1=0   有  9x′-y′+1=0.
答案 C

                                  x′=λx(λ > 0,λ ≠ 1),
9.平面直角坐标系中,在伸缩变换             φ:{   y′=μy(μ > 0,μ ≠ 1) )作用下仍是其本身的点为

________.
                              x′=λx(λ > 0),
解析 设    P(x,y)在伸缩变换      φ:{  y′=μy(μ > 0) )作用下得到   P′(λx,μy).
        x=λx,
依题意得{y=μy,)其中      λ>0,μ>0,λ≠1,μ≠1.∴x=y=0,即              P(0,0)为所求.
答案 (0,0)

10.已知实数    x,y 满足方程     x2+y2-4x+1=0,则     x2+y2 的最大值和最小值分别为________.

解析 x2+y2   表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与

圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为                         (2-0)2+(0-0)2=2,所以

x2+y2 的最大值是(2+      3)2=7+4  3,x2+y2  的最小值是(2-      3)2=7-4   3.

答案 7+4    3;7-4   3
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                                                           1
                                                        x′= x,
                                                           2
                                                            1
                                                       { y′= y )
11.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换                              3  后的图形.
(1)5x+2y=0;

(2)x2+y2=2.
                    1
                 x′= x,
                    2
                    1      x=2x′,
                 y′= y,
                {      )    =   ,
解 (1)由伸缩变换          3   得{y   3y′ )
将其代入    5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是                  5x′+3y′=0.
                   1
                x′= x,
                   2
                   1
               {y′= y,)
所以经过伸缩变换           3   后,直线    5x+2y=0   变成直线    5x′+3y′=0.
                                                          x′2 y′2      x′2
     x=2x′,                                                1   1        1
(2)将{ y=3y′ )代入  x2+y2=2,得到经过伸缩变换后的图形的方程是                  4 + 9 =2,即   2 +
y′2
2
9 =1.
                   1
                x′= x,
                   2                          x′2 y′2
                    1                         1    2
                 y′= y
               {      )       2   2
所以经过伸缩变换            3  后,圆   x +y  =2 变成椭圆    2 +  9 =1.
12.台风中心从     A 地以  20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心               30 km 内的地区为危险

区,城市    B 在 A 地正东   40 km 处.求城市   B 处于危险区内的时间.

解 以   A 为坐标原点,AB      所在直线为     x 轴,建立平面直角坐标系,则

B(40,0),以点    B 为圆心,30   为半径的圆的方程为(x-40)2+y2=

302,台风中心移动到圆        B 内时,城市     B 处于危险区.台风中心移动的轨
                                                          40
迹为直线    y=x,与圆    B 相交于点    M,N,点   B 到直线   y=x 的距离    d=  2=20 2.求得|MN|=2
                   |MN|
 302-d2=20(km),故    20 =1,所以城市      B 处于危险区的时间为        1 h.
三、探究与创新

13.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图,
                                   x2  y2
航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为100+25=1,变轨(即航天器
运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以                   y 轴为对称轴,M
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  64
0,
(  7 )为顶点的抛物线的实线部分,降落点为                D(8,0),观测点     A(4,0),B(6,0)同时跟踪
航天器.

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;

(2)试问:当航天器在        x 轴上方时,观测点       A,B  测得离航天器的距离分别为多少时,应向航

天器发出变轨指令?
                          64
解 (1)设曲线方程为        y=ax2+  7 .
                                  64
因为  D(8,0)在抛物线上,∴0=a·82+          7 ,
          1
解得:a=-7.
                 1   64
∴曲线方程为      y=-7x2+   7 .
(2)设变轨点为     C(x,y).
              x2  y2
                +   =1 ①
             100  25
                 1    64
           {y=-   x2+   ②)
根据题意可知           7    7
得 4y2-7y-36=0,
                9
解得  y=4 或  y=-4(不合题意).
∴y=4.得   x=6 或  x=-6(不合题意,舍去).

∴C 点的坐标为(6,4).|AC|=2       5,|BC|=4.

所以当观测点      A、B 测得离航天器的距离分别为            2 5、4 时,应向航天器发出变轨指令.

                                 二 极坐标系


[学习目标]

1.理解极坐标系的概念,理解极坐标的多值性.

2.掌握极坐标与直角坐标的互化.

3.掌握极坐标系的简单应用.

[知识链接]

1.在教材第    2 页思考中,我们以信息中心为基点,用角和距离刻画点                       P 的位置,这种刻画就

是极坐标思想.这种方法与用直角坐标刻画点                  P 的位置有什么区别和联系?你认为哪种方法

更方便?
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提示 直角坐标系中点的位置用有序数组来刻画.两者的联系是都通过数刻画点,体现了数

形结合思想.在这里,应该使用角和距离刻画点                   P 位置更方便.

2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗?

提示 平面上点的极坐标不是唯一的.如果限定                   ρ>0,θ∈[0,2π),平面上的点(除去极

点)与极坐标(ρ,θ)可建立一一对应关系.

3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么?

提示 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的

纽带.
                          y          x
事实上,若     ρ>0,则   sin θ=ρ,cos θ=ρ,
                                                 y
所以  x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,tan θ=x(x≠0).
[预习导引]

1.极坐标系的概念

(1)极坐标系的建立:在平面内取一个定点                O,叫做极点;

自极点   O 引一条射线     Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及

其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

(2)极坐标:设     M 是平面内一点,极点        O 与点  M 的距离|OM|叫做点      M 的极径,记为     ρ;以极

轴 Ox 为始边,射线      OM 为终边的角    xOM 叫做点   M 的极角,记为      θ.有序数对(ρ,θ)叫做点

M 的极坐标,记为      M(ρ,θ).一般地,不作特殊说明时,我们认为                   ρ≥0,θ    可取任意实数.

2.点与极坐标的关系

一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点,特别地,极点                            O 的坐标为

(0,θ)(θ∈R).

如果规定    ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;

同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标与直角坐标的互化


(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x                  轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中

取相同的长度单位,如图所示.
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(2)互化公式:设      M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),于是

极坐标与直角坐标的互化公式如表:

      点 M           直角坐标(x,y)                       极坐标(ρ,θ)

                                                      ρ2=x2+y2
    互化公式                                                   y
                                                   tan θ=x(x=0)


要点一 极坐标系的概念
             π
           2,
例 1 设点   A(  3),直线   l 为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点                 A 关于极轴,直线       l,
极点的对称点的极坐标(限定            ρ>0,-π<θ≤π).
                                     π
                                 2,-
解 如图所示,关于极轴的对称点为               B(    3).
                       2
                     2, π
关于直线    l 的对称点为     C( 3 ).
                         2
                     2,-  π
关于极点    O 的对称点为     D(   3 ).

规律方法 1.点的极坐标不是唯一的,但若限制                   ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外,点的极坐

标是唯一确定的.

2.写点的极坐标要注意顺序:极径             ρ  在前,极角     θ 在后,不能颠倒顺序.
                                       π
                                     2,
跟踪演练    1 在极坐标系中,下列各点中与(               6)不表示同一个点的是(  )
      11                                      13
  2,-   π                                   2,  π
A.(    6 )                                B.(  6 )
    11                                          23
  2,  π                                     2,-   π
C.(  6 )                                  D.(    6 )
                π                     π                    11
              2,                    2, +2kπ             2,  π
解析 与极坐标(        6)相同的点可以表示为(          6     )(k∈Z),只有(     6 )不满足.
答案 C

要点二 极坐标化为直角坐标
                               π      2π     3
                           3,-      2,        ,π
例 2 已知点的极坐标分别为           A(    4),B(  3 ),C( 2  ),求它们的直角坐标.
                 π       2  3 2           π         2    3 2
               -                        -        -
解 因为    x=3cos(  4)=3×  2 =  2 ,y=3sin(   4)=3×(   2 )=-  2 ,所以   A 点的直角坐
    3 2   3                                               3
       ,-   2                                           -  ,0
标为(  2    2  ).同理,B,C    两点的直角坐标分别为(-1,            3),(   2   ).
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规律方法 将点的极坐标(ρ,θ)化为点的直角坐标(x,y)时,运用到求角                            θ  的正弦值和

余弦值,熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用三角恒等变换公式是关键.

跟踪演练    2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标:
     π         π
   2,       3,
(1)( 6);(2)(   2);(3)(π,π).
                         π                       π                  π
                                                                  2,
解 (1)∵x=ρcos      θ=2cos6=   3,y=ρsin    θ=2sin6=1.∴点的极坐标(          6)化为直角
坐标为(    3,1).
                     π                     π
(2)∵x=ρcos θ=3cos2=0,y=ρsin θ=3sin2=3.
              π
            3,
∴点的极坐标(       2)化为直角坐标为(0,3).
(3)∵x=ρcos θ=πcos π=-π,y=ρsin θ=πsin π=0.

∴点的极坐标(π,π)化为直角坐标为(-π,0).

要点三 直角坐标化为极坐标

例 3 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定                   ρ≥0,0≤θ<2π):
                                3π  3π
                                  ,
(1)(-2,2  3);(2)(  6,-   2);(3)( 2  2 ).
                                                 y
解 (1)∵ρ=     x2+y2=   (-2)2+(2  3)2=4,tan    θ=x=-     3,θ∈[0,2π),由于点
                           2π                                       2
                                                                 4, π
(-2,2   3)在第二象限,∴θ=        3 .∴点的直角坐标(-2,2         3)化为极坐标为(        3 ).
                                              y     3
(2)∵ρ=   x2+y2=   ( 6)2+(-  2)2=2  2,tan θ=x=-     3 ,
θ∈[0,2π),由于点(        6,-   2)在第四象限,
      11π
∴θ=   6 .
                                       11π
                                   2 2,
∴点的直角坐标(       6,-   2)化为极坐标为(          6 ).

                   3π   3π    3 2π           y                        3π 3π
                     2+    2                                            ,
(3)∵ρ=   x2+y2=   ( 2 ) ( 2 ) = 2 ,tan   θ=x=1,θ∈[0,2π).由于点(          2   2 )在

               π               3π  3π            3 2π π
                                 ,                   ,
第一象限,∴θ=4.∴点的直角坐标(              2  2 )化为极坐标为(      2  4).
规律方法 1.将直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ),主要利用公式                         ρ2=x2+y2,
          y
tan   θ=x(x≠0)进行求解,先求极径,再求极角.2.在[0,2π)范围内,由                        tan    θ=
y
x(x≠0)求  θ 时,要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许                          θ∈R,再根
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据终边相同的角的意义,表示为             θ+2kπ(k∈Z)即可.

跟踪演练    3 点  P 的直角坐标为(      2,-   2),那么它的极坐标可表示为(  )
    π                                         3π
  2,                                        2,
A.( 4)                                    B.(  4 )
    5π                                        7π
  2,                                        2,
C.(  4 )                                  D.(  4 )
                                       -  2                          7π
解析 ∵ρ=      (-  2)2+(  2)2=2,tan   θ=    2 =-1,点    P 在第四象限,θ=       4 .∴极坐
      7π
    2,
标为(    4 ).
答案 D

要点四 极坐标的应用
                           π      5π
                         2,     2,
例 4 在极坐标系中,如果          A(  4),B(   4 )为等边三角形     ABC 的两个顶点,求顶点        C 的极坐
标(ρ>0,0≤θ<2π).
              π             π           π             π
            2,
解 对于点     A(  4)有 ρ=2,θ=4,∴x=2cos4=         2,y=2sin4=   2,
                    5               5
                  2, π
则 A( 2,  2).对于  B(  4 )有 ρ=2,θ=4π,
        5                 5
∴x=2cos4π=-     2,y=2sin4π=-      2.∴B(-  2,-   2).
设 C 点的坐标为(x,y),由于△ABC         为等边三角形,

故|AB|=|BC|=|AC|=4.
    (x-  2)2+(y-   2)2=16,        x=  6,    x=-  6,
∴有{  (x+  2)2+(y+  2)2=16. )解之得{y=-    6)或{  y=  6. )
∴C 点的坐标为(      6,-   6)或(-  6,  6).
                         -  6
∴ρ=    6+6=2  3,tan θ=     6 =-1,
      7        3
∴θ=4π    或 θ=4π.
                    7        3
                2 3, π   2 3, π
故点  C 的极坐标为(        4 )或(    4 ).
规律方法 1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性

质.结合几何图形可知,点           C 的坐标有两解,设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是

关键.2.若设出     C(ρ,θ),利用余弦定理亦可求解
                                        π     5π
                                      2,    4,
跟踪演练    4 已知   A、B  两点的极坐标分别是(          3),(   6 ),求 A、B 两点间的距离和
△AOB 的面积.
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解 求两点间的距离可用如下公式:

                         5π  π
       4+16-2 × 2 × 4 × cos -
|AB|=                   ( 6  3)= 20=2  5.

      1                     1         5π π   1
                             |2 × 4 × sin( - )|
S△AOB=2|ρ1ρ2sin(θ1-θ2)|=2             6  3 =2×2×4=4.


1.极坐标系的概念

极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素:①极点;

②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.

2.点的极坐标

每一个有序实数对(ρ,θ)确定一个点的位置.其中,ρ                      是点  M 的极径,θ     是点  M 的极角.

平面上给定一点,可以写出这个点的无数多个极坐标.如果限定                          ρ>0,0≤θ<2π,则除极

点外,平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系.

3.极坐标与直角坐标的互化

任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.
                        y         x
事实上,若     ρ>0,sin θ=ρ,cos θ=ρ,所以         x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+
           y
y2,tan θ=x(x≠0).


          2π
        1,
1.极坐标(     3 )对应的点在以极点为坐标原点,极轴为横轴的直角坐标系的(  )
A.第一象限                                    B.第二象限

C.第三象限                                    D.第四象限
                          2π                    1                3
解析 由题意可得        ρ=1,θ=     3 ,∴x=ρcos     θ=-2,y=ρsin       θ=  2 ,故它的直角
        1  3
      -  ,
坐标为(    2  2 )在第二象限.
答案 B
                  7π
                2,
2.点 A 的极坐标是(       6 ),则点  A 的直角坐标为(  )
A.(-1,-   3)                              B.(-  3,1)  

C.(-  3,-1)                               D.( 3,-1)
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                      7                          7
解析 x=ρcos θ=2cos6π=-          3,y=ρsin θ=2sin6π=-1.
答案 C

3.把点  P 的直角坐标(-      3,1)化成极坐标为________(ρ>0,0≤θ<2π).
                                  1      3                          5π
解析 ρ=     (-3)2+12=2,tan θ=-       3=-   3 ,又点  P 在第二象限,故       θ=  6 ,因此,
                5π
              2,
点 P 的极坐标为(       6 ).
        5π
      2,
答案 (     6 )
                              π
4.将极轴   Ox 绕极点顺时针方向旋转6得到射线             OP,在  OP 上取点   M,使|OM|=2,则     ρ>0,
θ∈[0,2π)时点      M 的极坐标为________,它关于极轴对称点的极坐标为________(ρ>0,

θ∈[0,2π)).
                                       π
解析 ρ=|OM|=2,与        OP 终边相同的角为-6+2kπ(k∈Z).
                           11π       11π                          π
                                   2,                           2,
∵θ∈[0,2π),∴k=1,θ=           6 ,∴M(    6 ),∴M  关于极轴的对称点为(          6).
        11π     π
      2,      2,
答案 (     6 ) (  6)


一、基础达标
                  7
                2, π
1.点 P 的极坐标为(      4 ),则点   P 的直角坐标为(  )
A.( 2,  2)                                B.( 2,-  2)

C.(2,2)                                   D.(-  2, 2)

解析 x=ρcos θ=       2,y=ρsin θ=-       2.

答案 B
                    π
                  0,
2.点 M 的直角坐标为(       2),则点   M 的极坐标可以为(  )
  π                                           π
   ,0                                       0,
A.(2 )                                    B.( 2)
  π π                                       π   π
   ,                                         ,-
C.(2 2)                                   D.(2  2)
                    π        π                π π
                                               ,
解析 ∵ρ=      x2+y2=2,且    θ=2,∴M    的极坐标为(2      2).
答案 C
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              π
            2,
3.下列各点与(      3)表示极坐标系中同一点的是(  )
    2π
  2,
A.(  3 )                                  B.(2,π)
    7π
  2,
C.(  3 )                                  D.(2,2π)
                π
              2,
解析 与极坐标(        3)相同的点可以表示为
  π                    7π
2, +2kπ              2,
( 3     )(k∈Z),只有(      3 )适合.
答案 C
                          π       3π
                       (6, )   (8,  )
4.在极坐标系中,已知点          P1  4 、P2   4 ,则|P1P2|等于(  )
A.9                                       B.10  

C.14                                      D.2
              3π π  π

解析 ∠P1OP2=    4 -4=2,∴△P1OP2    为直角三角形,由勾股定理可得|P1P2|=10.
答案 B
                         3        π
                       1, π    2,
5.在极坐标系中,已知点          A( 4 ),B(   4),则 A、B  两点间的距离为________.

解析 由公式|AB|=          ,

                        3π  π
         1+4-2 × 1 × 2cos -
得|AB|=                 ( 4  4)= 1+4-0=    5.

答案     5
                                          x′=2x
                           7π                 1
                         3,               y′= y
6.平面直角坐标系中,若点           P(  2 )经过伸缩变换{        3 )后的点为   Q,则极坐标系中,极坐
标为  Q 的点到极轴所在直线的距离等于________.


                             x′=2x,
              7π                 1              7π
            3,               y′= y           6,
解析 ∵点     P(  2 )经过伸缩变换{         3 )后的点为    Q(  6 ),则极坐标系中,极坐标为           Q 的
                             7π
                           sin
点到极轴所在直线的距离等于            6|  6 |=3.
答案 3
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                     π
                 4 2,
7.在极轴上求与点       A(   4)距离为   5 的点  M 的坐标.

                      π                       π
                  4 2,       (4 2)2+r2-8  2rcos
解 设   M(r,0),∵A(      4),∴                    4=5,

即 r2-8r+7=0,解得      r=1 或  r=7.

∴点  M 的坐标为(1,0)或(7,0).

二、能力提升

8.下列的点在极轴上方的是(  )
                                              7π
                                            3,
A.(3,0)                                   B.(  6 )
    7π                                        17π
  4,                                        4,
C.(  4 )                                  D.(  4 )
                                                           7π     7π
                                                         3,     4,
解析 建立极坐标系,由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上,点(                           6 ),(   4 )在极轴下
        17π
      4,
方,点(     4 )在极轴上方,故选        D.
答案 D
        5π
      6,
9.点 M(  6 )到极轴所在直线的距离为________.
                    5π                                 5π
                 6,
解析 依题意,点        M(  6 )到极轴所在的直线的距离为           d=6×sin  6 =3.
答案 3
                                          π
                                        3,
10.已知极坐标系中,极点为           O,0≤θ<2π,M(      3),在直线    OM 上与点  M 的距离为    4 的点的
极坐标为________.
                           π
解析 如图,|OM|=3,∠xOM=3,在直线             OM 上取点   P,Q,使|OP|=7,
|OQ|=1,显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=3+1=

4.


                           π         4π
点 P,Q  都满足条件,且∠xOP=3,∠xOQ=           3 .
        π      4π
      7,    1,
答案 (    3)或(   3 )
                             π      2π        3π       11π
                           5,     1,      2,-        4,
11.(1)已知点的极坐标分别为         A(  3),B(   3 ),C(    4 ),D(   6 ),求它们的直角坐标.
                                         5
                                    0,-
(2)已知点的直角坐标分别为           A(3, 3),B(     3 ),C(-1,-    3),求它们的极坐标
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(ρ≥0,0≤θ<2π).
                                             5 5 3      1  3
                                              ,       -  ,
解 (1)根据    x=ρcos     θ,y=ρsin       θ,得    A(2 2 ),B(  2  2 ),C(-  2,-   2),
D(2 3,-2).
                          y         π     5 3π      4π
                               2 3,        ,      2,
(2)根据  ρ2=x2+y2,tan θ=x得      A(    6),B( 3 2 ),C(  3 ).
                                                     π                5π
                                                   2,               2,
12.在极坐标系中,已知△ABC         的三个顶点的极坐标分别为            A(  3),B(2,π),C(     3 ).
(1)判断△ABC   的形状;

(2)求△ABC  的面积.
                      π                5π
                    2,               2,
解 (1)如图所示,由        A( 3),B(2,π),C(      3 )得|OA|=|OB|=
                             2π
|OC|=2,∠AOB=∠BOC=∠AOC=       3 .
∴△AOB≌△BOC≌△AOC,∴AB=BC=CA,

故△ABC  为等边三角形.

(2)由上述可知,
         π         3
AC=2OAsin3=2×2×    2 =2 3.
         3

                 2
∴S△ABC= 4 ×(2  3) =3 3(面积单位).
三、探究与创新

13.某大学校园的部分平面示意图如图:


用点  O,A,B,C,D,E,F,G       分别表示校门,器材室,操场,公寓,教学楼,图书馆,车

库,花园,其中|AB|=

|BC|,|OC|=600        m.建立适当的极坐标系,写出除点             B 外各点的极坐标(限定         ρ≥0,

0≤θ<2π   且极点为(0,0)).


解 以点    O 为极点,OA    所在的射线为极轴        Ox(单位长度为     1 m),建立极坐标系.
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                     π         π
由|OC|=600   m,∠AOC=6,∠OAC=2,得|AC|=300         m,|OA|=300   3 m,又|AB|=|BC|,
所以|AB|=150 m.

  同理,得|OE|=2|OG|=300       2m,所以各点的极坐标分别为           O(0,0),A(300   3,0),C
                 π        π          3π                      3
             600,     300,      300 2,                 150 2, π
             (   6),D(    2),E(       4 ),F(300,π),G(        4 ).
                           三 简单曲线的极坐标方程


[学习目标]

1.了解极坐标方程的意义.

2.掌握直线和圆的极坐标方程.

3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题.

[知识链接]

1.曲线的极坐标方程是否唯一?

提示 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,所以曲线上的点的极坐标有多种表示,曲

线的极坐标方程不唯一.

2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化,若已知一曲线的极坐标方程是                                ρ=2cos 

θ,那么该曲线对应怎样的几何图形?

提示 由    ρ=2cos   θ  得 ρ2=2ρcos    θ,即   x2+y2=2x,即标准方程为(x-1)2+y2=1,

曲线为以(1,0)为圆心,半径为           1 的圆.


[预习导引]

1.曲线与方程的关系

在平面直角坐标系中,平面曲线             C 可以用方程     f(x,y)=0  表示,曲线与方程满足如下关系:


(1)曲线  C 上点的坐标都是方程        f(x,y)=0   的解;

(2)以方程   f(x,y)=0  的解为坐标的点都在曲线           C 上.

2.曲线的极坐标方程

一般地,在极坐标系中,如果平面曲线                C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程

f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程            f(ρ,θ)=0     的点都在曲线      C 上,那么方程     f(ρ,

θ)=0  叫做曲线    C 的极坐标方程.
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3.常见曲线的极坐标方程

              曲线                          图形                 极坐标方程

     圆心在极点,半径为         r 的圆                               ρ=r(0≤θ<2π)

                                                            ρ=2rcos__θ
    圆心为(r,0),半径为        r 的圆                                    π    π
                                                              -  ≤ θ ≤
                                                             (  2    2)
             π
           r,                                               ρ=2rsin__θ
     圆心为(    2),半径为    r 的圆
                                                             (0≤θ<π)

    过极点,倾斜角为        α  的直线                               θ=α   或  θ=α+π

                                                            ρcos__θ=a
   过点(a,0),与极轴垂直的直线                                             π    π
                                                              -  < θ <
                                                             (  2    2)
          π
        a,
   过点(    2),与极轴平行的直线                                       ρsin__θ=a
                                                              (0<θ<π)


要点一 圆的极坐标方程
                 3π                                            5π
               2,                                        -2,sin
例 1 求圆心在     C(   2 )处并且过极点的圆的极坐标方程,并判断点(                       6 )是否在这个圆
上.

解 如图,由题意知,圆经过极点              O,OA  为其一条直径,设

M(ρ,θ)为圆上除点        O,A 以外的任意一点,则|OA|=2r,连接             AM,则
                                                   3π
                                                     -θ
OM⊥MA.在  Rt△OAM 中,|OM|=|OA|cos∠AOM,即      ρ=2rcos(  2   ),
                                       3π
                                     4,
∴ρ=-4sin θ,经验证,点           O(0,0),A(    2 )的坐标满足上式.∴满足条件的圆的极坐标
方程为   ρ=-4sin θ.
     5π 1                         5π
∵sin 6 =2,∴ρ=-4sin θ=-4sin        6 =-2,
          5π
    -2,sin
∴点(        6 )在此圆上.
规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:(1)建立适当的极坐标系(本题无需

建);(2)在曲线上任取一点          M(ρ,θ);(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式;(4)用
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极坐标(ρ,θ)表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;

(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可).

2.求曲线的极坐标方程,关键是找出曲线上的点满足的几何条件,并进行坐标表示.

跟踪演练    1 曲线   C 的直角坐标方程为        x2+y2+2x=0,以原点为极点,x          轴的正半轴为极轴

建立极坐标系,则曲线          C 的极坐标方程为________.

解析 直角坐标方程         x2+y2-2x=0  可化为    x2+y2=2x,将   ρ2=x2+y2,x=ρcos      θ  代入

整理得   ρ=2cos θ.

答案 ρ=2cos θ

要点二 射线或直线的极坐标方程
                                     π
                                  3,
例 2 如图,在极坐标系中,直线             l 过 M(  2)且该直线与极轴的正方向
  π
成4,求此直线      l 的极坐标方程.
                                                      π  π
解 法一 设直线上任意一点为             P(ρ,θ),在△OMP      中∠OMP=2+4=
                                ρ       3
3              π                 3π       π
                               sin   sin θ-
4π,∠MPO=θ-4.根据正弦定理得              4 =   (  4),
          π   3 2
        θ-
即 ρsin(   4)=  2 .

                                                                          π
法二 设直线上任意一点为            P(ρ,θ),点     M 的直角坐标为(0,3),直线         MP 的倾斜角为4,
∴直线   l 为 y=x+3,化直角坐标方程为极坐标方程为                ρsin   θ=ρcos     θ+3,∴ρsin
   π   3 2
θ-
(  4)=  2 .
规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点                       M 所满足的等式,从而集中条件建立

了以  ρ,θ   为未知数的方程;法二先求出直线的直角坐标方程,然后通过直角坐标向极坐

标的转化公式间接得解,过渡自然,视角新颖,不仅优化了思维方式,而且简化了解题过程.
                                      π
跟踪演练    2 求以   A(1,0)为端点,倾斜角为4且在极轴上方的射线的极坐标方程.
                                                           π      2
                                                            -θ
解 由题意,设       M(ρ,θ)为射线上任意一点,根据例题可知,ρsin(4                     )= 2 ,化简得
ρ(cos θ-sin θ)=1.

经检验点    A(1,0)的坐标适合上述方程.

因此,以    A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为                  ρ(cos       θ-sin        θ)=1
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               π
其中ρ  ≥ 0,0 ≤ θ <
(              4).
要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化

例 3 若曲线    C 的极坐标方程为       ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为               x 轴的正半

轴建立直角坐标系.

(1)求曲线   C 的直角坐标方程;
                 π
              θ-
(2)若直线   ρsin(   4)=0 与曲线   C 相交于   A、B,求|AB|.
           x=ρcos θ,
解 (1)因为{y=ρsin θ,)所以     ρ2=x2+y2,由    ρ=2sin     θ+4cos     θ,得   ρ2=2ρsin 
θ+4ρcos θ,

∴x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.
             π            2      2
           θ-              sin θ- cos θ
(2)由 ρsin(   4)=0,得   ρ( 2       2    )=0,
即 ρsin θ-ρcos θ=0,∴x-y=0.


由于圆(x-2)2+(y-1)2=5      的半径为    r=  5,圆心(2,1)到直线       x-y=0  的距离为     d=
|2-1|  1
  2 =  2,∴|AB|=2    r2-d2=3  2.
规律方法 1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式                       x=ρcos θ   及 y=

ρsin    θ  直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如

ρcos  θ,ρsin     θ,ρ2   的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ                        及

方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对

变形过程的检验.2.对方程进行合理变形,并注重公式的正向、逆向与变形使用.

跟踪演练    3 (1)将  x2-y2=a2 化为极坐标方程;

(2)将 ρ=2asin θ   化为直角坐标方程.
         π
(3)将 θ=3化为直角坐标方程.
解 (1)直接代入互化公式,ρ2cos2            θ-ρ2sin2   θ=a2,∴ρ2cos     2θ=a2,这就是所求

的极坐标方程.

(2)两边同乘以     ρ 得  ρ2=2a·ρsin θ.∴x2+y2=2ay,这就是要求的直角坐标方程.
          y       π  y
(3)tan θ=x,∴tan3=x=      3,化简得    y=  3x(x≥0).
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要点四 极坐标方程的应用

例 4 从极点    O 作直线与另一直线        l:ρcos        θ=4  相交于点     M,在  OM 上取一点    P,使

|OM|·|OP|=12.

(1)求点  P 的轨迹方程;

(2)设 R 为 l 上的任意一点,试求|RP|的最小值.

解 (1)设动点     P 的极坐标为(ρ,θ),M        的极坐标为(ρ0,θ),则          ρρ0=12.

∵ρ0cos θ=4,∴ρ=3cos θ        即为所求的轨迹方程.
                                                     3       3
                                                  x-
(2)将 ρ=3cos θ   化为直角坐标方程,得          x2+y2=3x,即(      2)2+y2=(2)2,
              3                3
               ,0
知 P 的轨迹是以(2      )为圆心,半径为2的圆.直经          l 的直角坐标方程是        x=4.
结合图形易得|RP|的最小值为          1.


规律方法 1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然,因为建系

的不同,曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当,这样可以简化运

算过程,转化为直角坐标时也容易一些.

                                                          2       2
跟踪演练    4 在直角坐标系       xOy 中,直线    C1:x=-2,圆    C2:(x-1)   +(y-2)  =1,以坐

标原点为极点,x       轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求 C1,C2 的极坐标方程;
                             π

(2)若直线   C3 的极坐标方程为      θ=4(ρ∈R),设      C2 与 C3 的交点为   M,N,求△C2MN   的面积.

解 (1)因为    x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以          C1 的极坐标方程为      ρcos θ=-2,C2     的极

坐标方程为:

ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
         π
(2)将 θ=4代入    ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,

    2
得 ρ  -3  2ρ+4=0,解得      ρ1=2  2,ρ2=    2.故 ρ1-ρ2=    2,即|MN|=    2.因为  C2 的半
                         1

径为  1,所以△C2MN    的面积为2.


1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别

由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ,2π+θ),(-ρ,π+
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θ),(-ρ,-π+θ)都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同,所以

对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如
                          π π           π π       π π         π 5π
                           ,             , +2π     , -2π    - ,
对于极坐标方程       ρ=θ,点     M(4 4)可以表示为(4     4   )或(4  4   )或(   4 4 )等多种形式,
          π π
           ,
其中,只有(4     4)的极坐标满足方程        ρ=θ.
2.求曲线的极坐标方程,就是在曲线上任找一点                   M(ρ,θ),探求      ρ,θ   的关系,经常需

利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.


1.极坐标方程分别为        ρ=cos θ   和 ρ=sin θ    的两个圆的圆心距是(  )

A.3                                       B. 2  
                                             2
C.1                                       D. 2
                                                                     1
                                                                     ,0
解析 极坐标方程化直角坐标方程为               x2+y2=x  和 x2+y2=y,它们的圆心分别是(2            ),
  1            2
0,
( 2),圆心距是     2 .
答案 D
        θ
2.4ρsin22=5 表示的曲线是(  )
A.圆                                       B.椭圆

C.双曲线的一支                                  D.抛物线
            θ       1-cos θ
解析 4ρsin22=5⇒4ρ        2   =5⇒2ρ=2ρcos θ+5.
                                                                           25
∵ρ=    x2+y2,ρcos θ=x,代入上式得          2 x2+y2=2x+5,两边平方整理得          y2=5x+  4 ,
∴它表示的曲线为抛物线.

答案 D
                                   π                          7π
                                θ-                        2 2,
3.已知直线    l 的极坐标方程为      2ρsin(    4)= 2,点  A 的极坐标为     A(    4 ),则点   A 到直
线 l 的距离为________.
                 π
              θ-
解析 由    2ρsin(   4)=  2得 y-x=1.∴x-y+1=0.
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                                                                    |2+2+1|
而点  A 对应直角坐标为       A(2,-2),则点     A(2,-2)到直线     x-y+1=0   的距离为       2   =
5 2
 2 .
      5 2
答案     2
        π                                 3π
      2,
4.设 P(  4),直线   l 经过  P 点且与极轴所成的角为         4 ,求直线    l 的极坐标方程.


解 如图,设      M(ρ,θ)为直线      l 上除  P 点外的任意一点,连接         OM、
                                                   3π
OP,直线   l 交 Ox 于点  A,则有|OM|=ρ,|OP|=2,∠xAM=         4 ,
       π          π             π
∠AOP=4,故∠OPM=2,∠MOP=θ-4,所以有|OM|cos∠MOP=|OP|,
          π                                                          π
        θ-                                                        θ-
即 ρcos(   4)=2,显然    P 点也在这条直线上.∴直线          l 的极坐标方程为       ρcos(   4)=2.


一、基础达标

1.圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为(  )

A. ρ=1                                    B.ρ=cos θ

C.ρ=2cos θ                                D.ρ=2sin θ

解析 圆的直角坐标方程是(x-1)2+y2=1,将               x=ρcos    θ,y=ρsin     θ  代入上式,整

理得,ρ=2cos θ,即为此圆的极坐标方程.

答案 C

2.在极坐标系中,圆        ρ=2cos θ   的垂直于极轴的两条切线方程分别为(  )
                                                π
A.θ=0(ρ∈R)和     ρcos θ=2                  B.θ=2(ρ∈R)和     ρcos θ=2
      π
C.θ=2(ρ∈R)和     ρcos θ=1                  D.θ=0(ρ∈R)和     ρcos θ=1
解析 由    ρ=2cos   θ,得    ρ2=2ρcos    θ,化为直角坐标方程为           x2+y2-2x=0,即(x-

1)2+y2=1,其垂直于极轴的两条切线方程为               x=0  和 x=2,相应的极坐标方程为           θ=
π
2(ρ∈R)和   ρcos θ=2.
答案 B
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3.极坐标方程     ρ·sin θ=2sin 2θ     表示的曲线为(  )

A.两条直线                                    B.一条射线和一个圆

C.一条直线和一个圆                                D.圆

解析 由    ρ·sin   θ=2sin    2θ,得   ρsin   θ=4sin   θcos   θ,即   sin  θ(ρ-4cos 

θ)=0,∴sin θ=0      或 ρ-4cos θ=0.∴极坐标方程          ρ·sin θ=2sin 2θ     表示的曲线

为直线   sin θ=0  和圆   ρ=4cos θ.

答案 C
                                                   π
4.在极坐标系中,设圆         C:ρ=4cos       θ  与直线   l:θ=4(ρ∈R)交于       A,B 两点,则以
AB 为直径的圆的极坐标方程为(  )
               π                                   π
            θ+                                  θ-
A.ρ=2   2sin(  4)                     B.ρ=  2sin(  4)
               π                                   π
            θ+                                  θ-
C.ρ=2   2cos(  4)                     D.ρ=  2cos(  4)
解析 根据题意可得圆          C 的直角坐标方程为       x2+y2=4x,直线     l 的直角坐标方程为       y=x,

联立两方程,解方程组可得交点的直角坐标为(0,0),(2,2),所以在直角坐标系中,以

AB 为直径的圆的圆心为(1,1)、半径为             2,则方程为     x2+y2=2x+2y,所以所求极坐标方
                                    π
                                 θ+
程为  ρ=2(cos θ+sin θ)=2      2sin(   4).
答案 A
                                          π
5.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,直线              θ=4被圆    ρ=2sin          θ  截得的弦长是
________.


解析 直线为      y=x(x≥0),圆的方程为        x2+(y-1)2=1,交于原点和点         A(1,1),弦长为     2.

答案     2

                                            2
6.在极坐标系中,曲线         C1 与 C2 的方程分别为    2ρcos  θ=sin   θ 与  ρcos  θ=1.以极点为

平面直角坐标系的原点,极轴为             x 的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线                 C1 与 C2 交点的

直角坐标为________.
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解析 由    2ρcos2θ=sin θ⇒2ρ2cos2θ=ρsin θ⇒2x2=y.又由           ρcos θ=1⇒x=1,由
 2x2=y,    x=1,

{ x=1  )⇒{y=2,)故曲线    C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,2).
答案 (1,2)
                                       π
                                    θ-
7.已知圆   C 的极坐标方程为       ρ2+2  2ρsin(   4)-4=0,求圆     C 的半径.
解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点                    O,以极轴为     x 轴的正半轴,建立直角坐标
                                   2      2
                                    sin θ- cos θ
系 xOy.圆 C 的极坐标方程为       ρ2+2   2ρ( 2      2    )-4=0,
化简,得    ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.

则圆  C 的直角坐标方程为        x2+y2-2x+2y-4=0,

即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆        C 的半径为    6.

二、能力提升

8.下列点不在曲线       ρ=cos θ   上的是(  )
  1 π                                         1 2π
   ,                                        -  ,
A.(2 3)                                   B.( 2  3 )
  1   π                                     1   2π
   ,-                                        ,-
C.(2  3)                                  D.(2   3 )
        1   2                  1       2                        2     1
         ,-  π                                                -  π
解析 点(2      3 )的极坐标满足      ρ=2,θ=-3π,且         ρ≠cos θ=cos(     3 )=-2.
答案 D

9.在极坐标系中与圆        ρ=4sin θ   相切的一条直线的方程为(  )
           1
A.ρcos θ=2                                B.ρcos θ=2
             π                                         π
          θ+                                        θ-
C.ρ=4sin(    3)                           D.ρ=4sin(    3)
解析 极坐标方程        ρ=4sin    θ 化为   ρ2=4ρsin     θ,即   x2+y2=4y,即    x2+(y-2)2=

4.由所给的选项中       ρcos θ=2   知,x=2   为其对应的直角坐标方程,该直线与圆相切.

答案 B

10.在极坐标系中,曲线         ρcos2θ=4sin       θ  的焦点的坐标为________.(规定:ρ≥0,

0≤θ<2π)

解析 易知曲线       ρcos2θ=4sin θ    的直角坐标方程为        x2=4y,故该曲线焦点的直角坐标为
                  π
                1,
(0,1),极坐标为(       2).
        π
      1,
答案 (    2)
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                                   π                     π     3
                                 2,                   θ-
11.在极坐标系中,已知圆          C 经过点  P(   4),圆心为直线      ρsin(   3)=-  2 与极轴的交点,
求圆  C 的极坐标方程.
              π      3
            θ-
解 在   ρsin(   3)=-  2 中,令   θ=0,得    ρ=1,所以圆      C 的圆心坐标为(1,0),因为圆
              π
            2,
C 的经过点   P(   4),

                                       π
                   ( 2)2+12-2 × 1 × 2cos
所以圆   C 的半径   PC=                      4=1,于是圆     C 过极点,所以圆       C 的极坐标

方程为   ρ=2cos θ.

12.在直角坐标系      xOy 中,以   O 为极点,x   正半轴为极轴建立极坐标系,曲线               C 的极坐标方
            π
          θ-
程为  ρcos(   3)=1,M,N   分别为   C 与 x 轴,y  轴的交点.
(1)写出  C 的直角坐标方程,并求         M,N  的极坐标;

(2)设 MN 的中点为    P,求直线    OP 的极坐标方程.
                 π
              θ-
解 (1)由   ρcos(   3)=1,
     1      3
      cos θ+ sin θ
得 ρ(2       2    )=1.又  x=ρcos θ,y=ρsin θ.
                       x   3
∴曲线   C 的直角坐标方程为2+        2 y=1,即   x+  3y-2=0.
当 θ=0  时,ρ=2,∴点        M(2,0).
      π        2          2   π
                           3,
当 θ=2时,ρ=3       3,∴点   N(3   2).
                                         2
                                       0,  3
(2)由(1)知,M   点的坐标(2,0),点       N 的坐标(    3  ).又 P 为 MN 的中点,
         3                   2 3 π
      1,                       ,
∴点  P(  3 ),则点   P 的极坐标为(    3   6).
                            π
所以直线    OP 的极坐标方程为       θ=6(ρ∈R).
三、探究与创新
                                            π
                                          2,
13.在极坐标系中,O       为极点,已知圆       C 的圆心为(     3),半径   r=1,P  在圆  C 上运动.
(1)求圆  C 的极坐标方程;

(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点                       O 为原点,以极轴为       x 轴正半轴)中,

若 Q 为线段   OP 的中点,求点      Q 轨迹的直角坐标方程.
                                                                        π
                                                                     θ-
解 (1)设圆    C 上任一点坐标为(ρ,θ),由余弦定理得                12=ρ2+22-2·2ρcos(       3),所
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                               π
                             θ-
以圆的极坐标方程为         ρ2-4ρcos(    3)+3=0.
(2)设 Q(x,y),则   P(2x,2y),由于圆     C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-           3)2=1,P 在圆
                                                      1        3    1
                                                    x-      y-
C 上,所以(2x-1)2+(2y-      3)2=1,则   Q 的直角坐标方程为(         2)2+(    2 )2=4.
                          四 柱坐标系与球坐标系简介


[学习目标]

1.了解柱坐标系、球坐标系的意义.

2.掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.

3.能够根据空间坐标的转化解决某些问题.

[知识链接]

1.要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什么限制?

提示 空间点的坐标都是三个数值,其中至少有一个是距离.

2.在柱坐标系中,方程         ρ=1  表示空间中的什么曲面?在球坐标系中,方程                   r=1  分别表示

空间中的什么曲面?

提示 ρ=1     表示以   z 轴为中心,以      1 为半径的圆柱面;球坐标系中,方程               r=1 表示球心

在原点的单位球面.

3.空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些?

提示 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱坐标系中一点在平面

xOy 内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以一点到

原点的距离和两个角刻画点的位置.

(2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系,空间点的坐标都是三个数值的

有序数组.


[预习导引]

1.柱坐标系

如图所示,建立空间直角坐标系             Oxyz.设  P 是空间任意一点,它在

Oxy 平面上的射影为      Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点              Q 在

平面  Oxy 上的极坐标,这时点        P 的位置可用有序数组(ρ,θ,

z)(z∈R)表示.建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对
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应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点                                 P 的柱

坐标,记作     P(ρ,θ,z),其中       ρ≥0,0≤θ<2π,z∈R.

2.球坐标系

建立如图所示的空间直角坐标系             Oxyz.设  P 是空间任意一点,连接         OP,记|OP|=r,OP    与

Oz 轴正向所夹的角为       φ.设   P 在 Oxy 平面上的射影为      Q,Ox 轴按逆时针方向旋

转到  OQ 时所转过的最小正角为         θ,这样点      P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这

样,空间的点与(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球

坐标系(或空间极坐标系).

有序数组(r,φ,θ)叫做点           P 的球坐标,记做      P(r,φ,θ),其中       r≥0,0≤φ≤π,

0≤φ<2π.


要点一 将点的柱坐标化为直角坐标

例 1 将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标:
     5π
   6,  ,-2
(1)(  3    );(2)(1,π,0).
                        5π
                      6,  ,-2
解 (1)∵(ρ,θ,z)=(         3     ),
                 5π
    x=ρcos θ=6cos  =3,
                 3
               5π
   y=ρsin θ=6sin =-3  3,
               3
  {        =-   ,       )          3
∴         z    2         ∴(3,-3     ,-2)为所求.
                                x=ρcos θ=cos π=-1,
                                 y=ρsin θ=sin π=0,
(2)∵(ρ,θ,z)=(1,π,0),∴{                 z=0,        )

∴(-1,0,0)为所求.

规律方法 1.由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标,可以先设出点                           M 的柱坐标为(ρ,θ,z),

            x=ρcos θ,
            y=ρsin θ,                                               y
代入变换公式{       z=z,   )求 ρ;也可以利用       ρ2=x2+y2,求    ρ.利用    tan θ=x,求     θ,

在求  θ  的时候特别注意角        θ 所在的象限,从而确定          θ 的取值.2.点的柱坐标和直角坐标的
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

竖坐标相同.

跟踪演练    1 根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标:
     5π            π
   2,  ,3        2, ,5
(1)(  6  );(2)(    4  ).
解 设点的直角坐标为(x,y,z).

                5π
    x=ρcos θ=2cos =-   3,
                 6
                 5π
     y=ρsin θ=2sin =1,
                  6
   {         = ,         )
(1)         z  3
因此所求点的直角坐标为(-            3,1,3).

                 π
    x=ρcos θ= 2cos =1,
                 4
                 π
    y=ρsin θ= 2sin =1,
                 4
   {        =         )
(2)        z  5.
故所求点的直角坐标为(1,1,5).

要点二 将点的球坐标化为直角坐标
                         3  3
                       2, π, π
例 2 已知点    M 的球坐标为(      4  4 ),求它的直角坐标.
解 设点的直角坐标为(x,y,z).
        3    3      2      2
   x=2sin πcos π=2 ×  × -   =-1,
        4    4      2  (  2 )
           3   3       2   2
     y=2sin πsin π=2 ×  ×   =1,
           4   4      2   2
             3         2
      z=2cos π=2  × -   =-   2.
  {          4                    )
则                  (  2 )
因此点   M 的直角坐标为(-1,1,-          2).

规律方法 根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系,首先要明确点的球坐标(r,

φ,θ)中角     φ,θ   的边与数轴     Oz,Ox  的关系,注意各自的限定范围,即              0≤φ≤π,

0≤θ<2π,化点的球坐标(r,φ,θ)为直角坐标(x,y,z),需要运用公式:

 x=rsin φcos θ,
 y=rsin φsin θ,
{ z=rcos φ,  )转化为三角函数的求值与运算.

跟踪演练    2 根据下列点的球坐标,分别求其直角坐标:
     π  7π        5π 5π
   2, ,         3,  ,
(1)( 4  4 );(2)(  6  3 ).
解 设点的直角坐标为(x,y,z),
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                    π 7π
                  2, ,
(1)∵(r,φ,θ)=(       4  4 ),
                   π  7π
   x=rsin φcos θ=2sin cos =1,
                   4   4
                  π  7π
   y=rsin φsin θ=2sin sin =-1,
                  4   4
                   π
      z=rcos φ=2cos =  2,
  {                          )           2
∴                  4          ∴(1,-1,     )为所求.
                    5π 5π
                  3,  ,
(2)∵(r,φ,θ)=(       6   3 ),
                    5π  5π  3
    x=rsin φcos θ=3sin cos = ,
                    6    3  4
                  5π  5π    3 3
   y=rsin φsin θ=3sin sin =-   ,
                   6   3     4
                   5π    3 3
  {   z=rcos φ=3cos  =-    .    )
∴                  6      2
  3   3 3   3 3
   ,-    ,-
∴(4    4     2 )为所求.
要点三 将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标

例 3 已知正方体      ABCDA1B1C1D1 的棱长为  1,如图建立空间直角坐标系

Axyz,Ax 为极轴,求点      C1 的直角坐标、柱坐标以及球坐标.

解 点   C1 的直角坐标为(1,1,1).设        C1 的柱坐标为(ρ,θ,1),ρ=
                    y         π                     π
                                                  2, ,1
 x2+y2   2                                      (      )
      =   ,tan θ=x=1,θ=4,所以          C1 的柱坐标为       4   ,

设 C1 的球坐标为(r,φ,θ),其中           r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π,由           x=rsin       φcos 

θ,y=rsin φsin θ,z=rcos φ,

得 r=  x2+y2+z2=   12+12+12=   3.
                         3            3            y
由 z=rcos φ,∴cos φ=      3 ,φ=arccos   3 ,又 tan θ=x=1,
      π
∴θ=4,又     ρ=   12+12=  2,
                           3 π              π
                  ( 3,arccos , )         ( 2, , 1)
从而点   C1 的球坐标为             3 4 ,柱坐标为        4     .
规律方法 1.由直角坐标化为球坐标时,我们可以选设点                       M 的球坐标为(r,φ,θ),再利

          x=rsin φcos θ,
          y=rsin φsin θ,                                          y         z
用变换公式{       z=rcos φ. )求出 r,θ,φ.2.利用       r2=x2+y2+z2,tan θ=x,cos φ=r,

特别注意由直角坐标求球坐标时,应首先看明白点所在的象限,准确取值,才能无误.
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跟踪演练    3 若本例中条件不变,求点            C 的柱坐标和球坐标.

解 易知    C 的直角坐标为(1,1,0).设点         C 的柱坐标为(ρ,θ,0),球坐标为

(r,φ,θ),其中       0≤φ≤π,0≤θ<2π.
                                      y
由于  ρ=   x2+y2=   12+12=  2.又 tan θ=x=1,
      π                      π
                           2, ,0
∴θ=4.因此点      C 的柱坐标为(       4  ).
由 r=  x2+y2+z2=   12+12+0=   2.
         z           π
∴cos φ=r=0,∴φ=2.
                   π π
                 2, ,
故点  C 的球坐标为(       2 4).


1.空间点的坐标的确定

(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的,即(x,y,z).

(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的,即(ρ,θ,z).

(3)空间点的球坐标是点在          Oxy 平面上的射影和原点连线与           x 轴正方向所成的角       θ,点和原

点的连线与     z 轴的正方向所成的角        φ,以及点到原点的距离组成的即(r,φ,θ).注意求

坐标的顺序为:①到原点的距离             r;②与    z 轴正方向所成的角       φ;③与    x 轴正方向所成的角

θ.

2.柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的,

空间任一点     P 的位置可以用有序数组(ρ,θ,z)表示,(ρ,θ)是点                     P 在 Oxy 平面上的射

影 Q 的极坐标,z     是 P 在空间直角坐标系中的竖坐标.


1.在空间直角坐标系        Oxyz 中,方程   x=1  表示(  )

A.点                                       B.直线

C.平面                                      D.以上都不对

解析 由空间点的直角坐标的定义知,方程                  x=1  表示与   x 轴垂直且到原点的距离为          1 的平

面.

答案 C
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                              π
                        0 ≤ φ ≤ ,0 ≤ θ < 2π
2.在球坐标系中,方程         r=2(      2         )表示(  )
A.圆                                       B.半圆  

C.球面                                      D.半球面


                                                π
                                          0 ≤ φ ≤ ,0 ≤ θ < 2π
解析 由空间点的球坐标的定义可知,方程                  r=2(       2        )表示半球面.
答案 D
                    5π
                  2,  ,-1
3.若点  M 的柱坐标为(      6     ),则它的直角坐标为______.
                           5π
                         2,  ,-1
解析 ∵M    点的柱面坐标为       M(  6     ),设点   M 的直角坐标为(x,y,z),
         5π
   x=2cos  ,
         6
         5π    x=-   3,
   y=2sin ,
         6       y=1,
  {  =-  ,  )    =-  ,
∴   z   1   即{  z   1  )
∴点  M 的直角坐标为(-       3,1,-1).

答案 (-    3,1,-1)

4.设点  M 的直角坐标为(1,1,        2),求点   M 的柱坐标和球坐标.
                                                    y         π
解 由坐标变换公式,可得            ρ=  x2+y2=   2,tan      θ=x=1,θ=4(点(1,1)在平面
xOy 的第一象限),r=       x2+y2+z2=   12+12+(  2)2=2.
                             2   2      π
由 rcos φ=z=    2,得  cos φ=   r = 2 ,φ=4.
                   π                π π
                 2, , 2           2, ,
∴点  M 的柱坐标为(       4   ),球坐标为(      4 4).


一、基础达标
                                     π
                                   2, ,3
1.在空间直角坐标系中,点           P 的柱坐标为(     4   ),P 在 xOy 平面上的射影为       Q,则  Q 点的坐
标为(  )
                                              π
                                            2, ,0
A.(2,0,3)                                 B.( 4   )
     π                                         π
   2, ,3                                     2, ,0
C.(  4   )                                D.(  4   )
解析 由点的空间柱坐标的意义可知,选                 B.
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

答案 B


2.空间直角坐标系       Oxyz 中,下列柱坐标对应的点在平面             yOz 内的是(  )
    π                                         π
  1, ,2                                     2, ,0
A.( 2   )                                 B.( 3   )
    π  π                                      π  π
  3, ,                                      3, ,
C.( 4  6)                                 D.( 6  2)
                            π
解析 由    P(ρ,θ,z),当      θ=2时,点     P 在平面   yOz 内.
答案 A

3.设点  M 的直角坐标为(2,0,2),则点          M 的柱坐标为(  )

A.(2,0,2)                                 B.(2,π,2)

C.( 2,0,2)                                D.( 2,π,2)
                                                           y
解析 设点     M 的柱坐标为(ρ,θ,z),∴ρ=             x2+y2=2,tan θ=x=0,
∴θ=0,z=2.∴点       M 的柱坐标为(2,0,2).

答案 A
                    π 5
                  8, , π
4.若点  M 的球坐标为(      3 6 ),则它的直角坐标为(  )
A.(-6,2  3,4)                             B.(6,2  3,4)

C.(-6,-2   3,4)                           D.(-6,2  3,-4)
               π   5π             π   5π             π
解析 由    x=8sin3cos 6 =-6,y=8sin3sin   6 =2  3,z=8cos3=4,得点      M 的直角坐标为
(-6,2   3,4).

答案 A
                      π 3π
                    4, ,
5.已知点   M 的球坐标为(      4  4 ),则点  M 到 Oz 轴的距离为________.
                                                   π 3             π   3
                                                 4, , π
解析 设    M 的直角坐标为(x,y,z),则由(r,φ,θ)=(                4 4 ),知  x=4sin4cos4π=
           π   3                       π
-2,y=4sin4sin4π=2,z=rcos φ=4cos4=2         2.
∴点  M 的直角坐标为(-2,2,2         2).

故点  M 到 Oz 轴的距离    (-2)2+22=2   2.

答案 2    2
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                         π 5π                   π
                      (4, ,  )               (2, ,1)
6.已知点   P1 的球坐标是    P1   2 3 ,P2 的柱坐标是     P2   6  ,则|P1P2|=________.

解析 点    P1 的直角坐标为(2,-2       3,0)点   P2 的直角坐标为(     3,1,1),由两点距离公式得

|P1P2|= 21.

答案     21
                      5π                        π π
                    4,  ,-  3                 8, ,
7.已知点   P 的柱坐标为(      6      ),点  B 的球坐标为(      3 4),求这两个点的直角坐标.
                                         5π        3                5π
                                                -
解 设点    P 的直角坐标为(x,y,z),则         x=4cos  6 =4×(   2 )=-2  3,y=4sin  6 =
   1
4×2=2,z=-     3.
                                     π   π      3   2             π   π
设点  B 的直角坐标为(x,y,z),则         x=8sin3cos4=8×   2 × 2 =2  6,y=8sin3sin4=8×
 3   2             π     1
2 × 2 =2 6,z=8cos3=8×2=4.
所以点   P 的直角坐标为(-2       3,2,-    3),点  B 的直角坐标为(2      6,2  6,4).

二、能力提升
                       π                      π π
                     2, ,5                  6, ,
8.已知点   P 的柱坐标为(       4  ),点  B 的球坐标为(       3 6),则这两个点在空间直角坐标系
中的点的坐标为(  )
                    3 6 3 2  6
                       ,   ,
A.P 点(5,1,1),B   点(  4   4  2 )
                    3 6 3 2  6
                       ,   ,
B.P 点(1,1,5),B   点(  4   4  2 )
      3 6 3 2  6
         ,   ,
C.P 点( 4   4  2 ),B 点(1,1,5)
                     6 3 6 3 2
                      ,   ,
D.P 点(1,1,5),B   点( 2   4   4 )
                                           π       2               π
解析 设    P 点的直角坐标为(x,y,z),x=           2·cos4=  2·  2 =1,y=   2·sin4=1,z=5.
设 B 点的直角坐标为(x,y,z),
         π     π       3   3  3 6
x=  6·sin3·cos6=   6·  2 · 2 = 4 ,
         π     π       3  1  3 2
y=  6·sin3·sin6=   6·  2 ·2=  4 ,
         π      1   6
z=  6·cos3=  6·2=   2 .
                                                3 6 3 2  6
                                                   ,   ,
所以,点    P 的直角坐标为(1,1,5),点         B 的直角坐标为(      4   4   2 ).
答案 B
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                                  π
9.在球坐标系中,方程         r=1 表示____________,方程     φ=4表示空间的____________.
                                                                      π
答案 球心在原点,半径为            1 的球面 顶点在原点,中心轴为             z 轴,轴截面顶角为2的上半
个圆锥面
                                         π
                                       2, ,  5
10.已知柱坐标系      Oxyz 中,若点   M 的柱坐标为(      3   ),则|OM|=________.
                       π
                     2, , 5
解析 ∵(ρ,θ,z)=(          3   ),设  M 的直角坐标为(x,y,z),则         x2+y2=ρ2=4,
∴|OM|=   x2+y2+z2=   4+( 5)2=3.

答案 3
                          π π       π 3π
                        3, ,      3, ,
11.在球坐标系中,求两点          P( 6 4),Q(   6 4 )的距离.
解 设   P,Q 两点球坐标转化为直角坐标.设点              P 的直角坐标为(x,y,z),
       π  π  3           π   π  3          π      3  3
x=3sin6cos4=4  2,x=3sin6sin4=4    2,z=3cos6=3×    2 =2 3.
   3 2 3 2 3 3                                        π  3π    3 2
   (  ,   ,   )
∴P  4   4   2  .设点  Q 的直角坐标为(x1,y1,z1),x1=3sin6cos        4 =-  4 ,y1=
    π  3π  3 2          π 3

3sin6sin 4 = 4 ,z1=3cos6=2  3.
        3 2 3 2 3 3
      -   ,    ,
∴点  Q(   4   4   2 ).

         3 2  3 2    3 2 3 2    3 3  3 3
            +    2+     -    2+    -     2
∴|PQ|=   ( 4   4 )  ( 4   4 )   ( 2   2 )
  3 2                     3 2
=  2 .即 P,Q 两点间的距离为        2 .

                         ρ=1
                       0 ≤ θ < 2π
12.在柱坐标系中,求满足{         0 ≤ z ≤ 2 )的动点 M(ρ,θ,z)的围成的几何体的体积.

解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足                     ρ=1,0≤θ<2π,

0≤z≤2  的动点   M(ρ,θ,z)的轨迹如图所示,是以直线                Oz 为轴,轴截

面为正方形的圆柱,圆柱的底面半径               r=1,h=2,∴V=Sh=πr2h=2π.

三、探究与创新

13.在赤道平面上,我们选取地球球心              O 为极点,以     O 为端点且与零子午线相交的射线             Ox 为
                                                       π π       π 2π
                                                    R,  ,     R, ,
极轴,建立坐标系.有         A、B 两个城市,它们的球坐标分别为              A(  4 6)、B(   4 3 ),飞机从
A 到 B 应该走怎样的航线最快?所走的路程有多远?
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                   π π       π 2π
                 R, ,      R, ,
解 如图所示,∵A(         4  6)、B(  4  3 ),
                 π

∴∠AOO1=∠BOO1=4.
设赤道面上与      A、B 经度相同的点分别为         C、D,x   轴与赤道大圆的交
                π        2π           2π  π  π

点为  E,则∠EOC=6,∠EOD=       3 ,∴∠COD=   3 -6=2.∴∠AO1B=
       π
∠COD=2.
                     π                 2            2            π

在 Rt△OO1B 中,∠O1BO=4,OB=R,∴O1B=        2 R,同理   O1A= 2 R.∵∠AO1B=2,∴AB=R.
                                  π
在△AOB  中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=3.
                          π
则经过   A、B 两地的球面距离为3R.
                                               π
答:走经过     A、B 两地的大圆,飞机航线最短,其距离为3R.


                                   讲末复习


1.平面直角坐标系中的伸缩变换

                                                   x′=λx(λ > 0),
设点  P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换                  φ:{   y′=μy(μ > 0) )的作用下,点
P(x,y)对应到点     P′(x′,y′),称      φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变

换.
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2.极坐标系


(1)在平面上取一个定点         O,由  O 点出发的一条射线       Ox,一个长度单位及计算角度的正方向

(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系.O                 点称为极点,Ox      称为极轴.平面上任一点          M 的

位置可以由线段       OM 的长度   ρ 和从  Ox 到 OM 的角度   θ 来刻画(如图所示).这两个数组成的有

序数对(ρ,θ)称为点         M 的极坐标.ρ    称为极径,θ      称为极角.

(2)极坐标与直角坐标的互化


设 M 为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).由图可知下面的关系式

成立:

              ρ2=x2+y2,
 x=ρcos θ,        y
             tan θ= (x ≠ 0),
{ y=ρsin θ )或{    x       )
顺便指出,上式对        ρ<0 也成立.

这就是极坐标与直角坐标的互化公式.

(3)圆的极坐标方程

①圆心在极点,半径为          r 的圆的极坐标方程为        ρ=r.

②圆心在极轴上的点(a,0)处,且圆过极点                O 的圆的极坐标方程为         ρ=2acos          θ,
  π     π
-   ≤ θ ≤
( 2     2)
            π
          a,
③圆心在点(      2)处且过极点的圆的极坐标方程为             ρ=2asin θ,0≤θ<π.


题型一 伸缩变换

                                                           x′=λx(λ > 0),
平面图形的伸缩变换可由坐标伸缩变换来实现,在使用坐标变换公式{                            y′=μy(μ > 0) )时,一
定要分清变换前后的新旧坐标.
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                                             1
                                         x′=  x,
                                             2
例 1 在平面直角坐标系中,已知伸缩变换                 φ:{  3y′=y. )求直线  l:y=-3x   经过  φ  变换后
所得直线    l′的方程.

解 设   P′(x′,y′)是直线       l′上任意一点.
                  1
               x′= x,
                  2     x=2x′,
由伸缩变换     φ:{3y′=y,)得{y=3y′,)
代入  y=-3x,得    3y′=-3×2x′,

∴y′=-2x′为所求直线          l′的方程.

因此变换后直线       l′的方程为     2x+y=0.

跟踪演练    1 在同一平面直角坐标系中,使曲线                y=2sin  3x 变为曲线    y′=sin   x′的伸缩

变换是________.

解析 将曲线      y=2sin  3x 变为曲线    y′=sin   x′,横坐标变为原来的          3 倍,纵坐标变为原
                    x′=3x,
    1                   1
                    y′=  y.
来的2.因此伸缩变换为{            2 )
      x′=3x,
          1
       y′= y
答案 {      2  )
题型二 极坐标与直角坐标的互化

互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点,x                   轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相

同的单位,互化公式为:

x=ρcos θ,y=ρsin θ
                   y
ρ2=x2+y2,tan θ=x(x≠0)
直角坐标方程化为极坐标方程可直接将                x=ρcos θ,y=ρsin θ       代入即可.而极坐标方程

化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为                 ρcos   θ,ρsin    θ 的整体形式.然后用        x,y  代

表较为方便,常常两边同乘以            ρ  即可达到目的,但要注意变形的等价性.
                                                                        π
                                                             (ρ ≥ 0,0 ≤ θ < )
例 2 已知曲线     C1,C2 的极坐标方程分别为         ρcos  θ=1,ρ=4cos      θ            2 ,则

曲线  C1 与 C2 交点的极坐标为________.

解析 由曲线      C1 的极坐标方程     ρcos   θ=1,可得     x=1.曲线    C2 的极坐标方程为      ρ=4cos 
               π
θ(ρ≥0,0≤θ<2)可得        ρ2=4ρcos θ,即可得到        x2+y2=4x.
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       x=1,          x=1,
联立{x2+y2=4x,)解得{y=      3,)即交点(1,     3).
                                     π         π            π
                                                          2,
∴ρ=    12+( 3)2=2,tan θ=     3,0≤θ<2,取     θ=3,故答案为(        3).
        π
      2,
答案 (    3)

跟踪演练    2 设⊙O1   和⊙O2  的极坐标方程分别为         ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.

(1)把⊙O1 和⊙O2  的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)求经过⊙O1,⊙O2     交点的直线的直角坐标方程.


解 以极点为原点,极轴为            x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长

度单位.

(1)x=ρcos θ,y=ρsin θ,由         ρ=4cos θ   得 ρ2=4ρcos θ,所以       x2+y2=4x,即

 2  2
x +y -4x=0  为⊙O1  的直角坐标方程.

     2   2
同理  x +y +4y=0   为⊙O2 的直角坐标方程.
           x2+y2-4x=0,        x1=0,     x2=2,

(2)法一 由{    x2+y2+4y=0   )解得{  y1=0 )或{y2=-2),即⊙O1,⊙O2      交于点(0,0)和(2,
-2).

过交点的直线的直角坐标方程为             y=-x.

        x2+y2-4x=0,
法二 由{    x2+y2+4y=0   )两式相减得-4x-4y=0.
即过交点的直线的直角坐标方程为              y=-x.

题型三 求曲线的极坐标方程

求曲线的极坐标的方法和步骤,和求直角坐标方程类似,就是把曲线看作适合某种条件的点

的集合或轨迹,将已知条件用曲线上的极坐标(ρ,θ)的关系式                          f(ρ,θ)=0    表示出来,

就得到曲线的极坐标方程.
                 π
               3,
例 3 求圆心为     C(  6),半径为    3 的圆的极坐标方程.
解 如图,设圆上任一点为            P(ρ,θ),则|OP|=ρ,∠POA=
    π
θ-6,|OA|=2×3=6.
                                              π
                                            θ-
在 Rt△POA 中,|OP|=|OA|cos∠POA,则      ρ=6cos(    6),
                             π
                          θ-
即圆的极坐标方程为         ρ=6cos(    6),可验证,
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      2π      π
    0,      6,
点 O(  3 ),A(  6)满足上式.
                                                            π
跟踪演练    3 已知定点     A(a,0),动点    P 对极点   O 和点  A 的张角∠OPA=3.在     OP 的延长线上
取点  Q,使|PQ|=|PA|.当    P 在极轴上方运动时,求点          Q 的轨迹的极坐标方程.

解 设   Q,P 的坐标分别是(ρ,θ),(ρ1,θ1),则              θ=θ1.
                 a                   asin θ
                  π     2π              π
               sin     (  -θ)         sin
在△POA  中,ρ1=      3·sin 3    ,|PA|=     3 ,
又|OQ|=|OP|+|PA|,
           π
            -θ
∴ρ=2acos(3     ).
题型四 曲线的极坐标方程的求解与应用

应用曲线的极坐标方程处理相关问题要注意以下几点:

(1)极坐标的基本概念.

(2)常见曲线的极坐标方程形式.

(3)有必要时把极坐标方程化为直角坐标方程,体现了转化与化归思想.

(4)注意变量的范围.

例 4 将圆   x2+y2=1  上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的                    2 倍,得曲线     C.

(1)写出  C 的方程;

(2)设直线   l:2x+y-2=0    与 C 的交点为    P1,P2,以坐标原点为极点,x          轴正半轴为极轴建

立极坐标系,求过线段          P1P2 的中点且与   l 垂直的直线的极坐标方程.

解 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线                  C 上的点(x,y),依题意,得
 x=x1,
{y=2y1.)
                  y
由 x12+y12=1 得 x2+(2)2=1,
                   y2
即曲线   C 的方程为    x2+ 4 =1.
          y2
      x2+   =1,
           4          x=1,     x=0,
     { +  -  =  ,)      =       =
(2)由 2x  y  2  0  解得{  y  0 )或{ y 2. )不妨设  P1(1,0),P2(0,2),则线段      P1P2 的中点
      1                      1                          1   1
       ,1                                                x-
坐标为(2    ),所求直线斜率为        k=2,于是所求直线方程为           y-1=2(    2),化为极坐标方程,
并整理得
                                     3
2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即        ρ=4sin θ-2cos θ.
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                                                π
                                             (θ- )
跟踪演练    4 已知极坐标方程        C1:ρ=10,C2:ρsin        3 =6,

(1)化 C1、C2 的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线形状;

(2)求 C1、C2 交点间的距离.

                         2
解 (1)由   C1:ρ=10,得     ρ =100,

∴x2+y2=100,

所以  C1 为圆心在(0,0),半径等于         10 的圆.
              π          1       3
           (θ- )         ( sin θ- cos θ)
由 C2:ρsin     3 =6,得   ρ 2      2     =6.
∴y-   3x=12,

即  3x-y+12=0.所以     C2 表示直线.
                                                    12
(2)由于圆心(0,0)到直线        3x-y+12=0   的距离为    d=  ( 3)2+(-1)2=6 2,∴曲线    C1 与

C2 相离.

17.(1)在极坐标系中,求以点(1,1)为圆心,半径为                 1 的圆  C 的方程;
                            π
(2)将上述圆    C 绕极点逆时针旋转2得到圆          D,求圆   D 的方程.
解 (1)设   M(ρ,θ)为圆上任意一点,如图,圆               C 过极点  O,∠COM=θ-1,

作 CK⊥OM 于  K,则  ρ=|OM|=2|OK|=2cos(θ-1),

∴圆  C 的极坐标方程为       ρ=2cos(θ-1).
                                        π                       π
                                                           θ-1-
(2)将圆  C:ρ=2cos(θ-1)按逆时针方向旋转2得到圆               D:ρ=2cos(        2),即  ρ=
2sin(θ-1).
                                                             π
                                                          θ-
                                                         (    )  2
18.在极坐标系中,极点为          O,已知曲线     C1:ρ=2   与曲线   C2:ρsin     4 =  交于不同的
两点  A,B.

(1)求|AB|的值;

(2)求过点   C(1,0)且与直线     AB 平行的直线     l 的极坐标方程.
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                                          π
                                        θ-
解 (1)法一∵ρ=2,∴x2+y2=4.又∵ρsin(              4)=  2,∴y=x+2.∴|AB|=2      r2-d2=2

     2
 4-    2
    ( 2) =2 2.

                                                           π    2         π
                                                       (θ1- )        (θ2-  )
法二 设    A(ρ,θ1),B(ρ,θ2),θ1,θ2∈[0,2π),则              sin    4 = 2 ,sin     4 =
 2
2 ,
                                 π           π

∵θ1,θ2∈[0,2π),∴|θ1-θ2|=2,即∠AOB=2,
又|OA|=|OB|=2,∴|AB|=2      2.

(2)法一 ∵曲线      C2 的斜率为   1,∴过点(1,0)且与曲线         C2 平行的直线    l 的直角坐标方程为
                                                           π    2
                                                         θ+
y=x-1,∴直线      l 的极坐标为    ρsin θ=ρcos θ-1,即        ρcos(   4)= 2 .
                                                       π              3π
法二 设点     P(ρ,θ)为直线      l 上任一点,因为直线        AB 与极轴成4的角,则∠PCO=          4 或
       π          3π                                                   3π
∠PCO=4,当∠PCO=      4 时,在△POC   中,|OP|=ρ,|OC|=1,∠POC=θ,∠PCO=             4 ,
                                1      ρ
       π                        π       π          π      2
                             sin -θ   sin           -θ
∠OPC=4-θ,由正弦定理可知:              (4  )=   4,即  ρsin(4   )=  2 ,
                             π      2
                             -θ
即直线   l 的极坐标方程为:ρsin(4          )= 2 .
              π                    π      2
                                    -θ
同理,当∠PCO=4极坐标方程也为            ρsin(4   )=  2 .
                         π      2
                          -θ
当 P 为点  C 时显然满足     ρsin(4   )= 2 .
                                   π      2
                                    -θ
综上,所求直线       l 的极坐标方程为      ρsin(4    )= 2 .
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