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上海市徐汇区2018届高考二模数学试题含答案

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高中数学审核员

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     2017-2018       学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

                              高三数学            2018.4
一、填空题(本大题共有           12 题,满分    54 分,第   1-6 题每题  4 分,第   7-12 题每题  5 分)
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

                               2
1.已知全集U        R ,集合   A  x x  2x  3  0,则 CU A               . 

            6
         1 
2.在   x   的二项展开式中,常数项是              .                  
         x 

3.函数    f (x)  lg(3x  2x ) 的定义域为_____________.

                                     1
4.已知抛物线      x2  ay 的准线方程是     y    ,则  a            .
                                     4
                   32
5.若一个球的体积为             ,则该球的表面积为_________.
                    3

                    x  0,
                    
6.已知实数     x,y  满足  y  0,   则目标函数     z  x  y 的最小值为___________.
                    
                    x  y 1.

              sin x  cos x2 1
7.函数    f (x)                    的最小正周期是___________.
                   1          1

8.若一圆锥的底面半径为           3 ,体积是12    ,则该圆锥的侧面积等于         .

9.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次,记第一颗骰子出现的点数是                           m ,记第二颗骰子出现的
                                                    
点数是   n ,向量   a  m  2,2  n,向量 b  1,1,则向量   a  b 的概率是                 .


10.已知直线     l1 : mx  y  0,l2 : x  my  m  2  0 .当 m 在实数范围内变化时,  l1 与 l2 的交

  点  P 恒在一个定圆上,则定圆方程是                          .

                 2(x 1)2  sin x
11.若函数     f (x)              的最大值和最小值分别为           M 、  m ,则函数
                     x2 1

 g(x)  M  mx  sin M  mx 1 图像的一个对称中心是                          . 

                                      8          4
12.已知向量     a,b 的夹角为锐角,且满足|         a |     、| b |    ,若对任意的
                                         15          15
                                                      
 (x, y)(x, y) | xa  yb |1, xy  0,都有| x  y |1 成立,则 a b 的最小值为              .
二、选择题(本大题共有           4 题,满分    20 分,每题5分)每题有且只有一个正确选项。考生
                   中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
                            
13.在四边形     ABCD   中,  AB  DC ,且  AC · BD =0,则四边形     ABCD  是--------(   )

    (A)菱形               (B)矩形           (C)直角梯形            (D)等腰梯形
                                                      1
14. 若无穷等比数列an       的前   n 项和为   S n ,首项为1,公比为        ,且  lim S n  a ,
                                                      2     n
                        1
    ( n N* ),则复数  z      ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于----------(                )
                       a  i
                                 
    (A)第一象限.         (B)第二象限.          (C)第三象限.         (D)第四象限.

15.在  ABC  中,“   cos A  sin A  cos B  sin B ”是“ C  900 ”的------------(   )

    (A)   充分非必要条件            (B)必要非充分条件
    (C)   充要条件               (D)既不充分也不必要条件

16.如图,圆     C 分别与   x 轴正半轴,     y 轴正半轴相切于点        A, B ,过

劣弧   AB 上一点T    作圆  C 的切线,分别交       x 轴正半轴,     y 轴正半轴于

点  M , N ,若点  Q(2,1) 是切线上一点,则       MON   周长的最小值为----

------------------(    )

(A)10         (B)8      (C)   4 5      (D)12


三、解答题(本大题共有           5 题,满分    76 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
要的步骤.

17.(本题满分     14 分,第   1 小题满分    6 分,第  2 小题满分    8 分)


如图在长方体      ABCD    A1B1C1D1 中,  AB  2 , AD  4 ,               D1                   C1


 AC1   21 ,点  M 为  AB 的中点,点     N 为  BC 的中点.
                                                                               B1
                                                          A1
                                                                   D                   C
(1)求长方体      ABCD    A1B1C1D1 的体积;
                                                                                   N
(2)求异面直线       A M  与 B N 所成角的大小(用反三角函数表
                1      1                                   A         M        B

     示).
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18.(本题满分     14 分,第   1 小题满分    6 分,第  2 小题满分    8 分)
    如图:某快递小哥从         A 地出发,沿小路       AB   BC 以平均时速      20 公里 / 小时,送快件
    到 C 处,已知    BD  10 (公里),     DCB    450 ,CDB  300 , ABD  是等腰三角形,

    ABD   1200 .
                                                               C
(1)   试问,快递小哥能否在          50 分钟内将快件送到       C 处?
(2)快递小哥出发        15 分钟后,快递公司发现快件有重大问题,
由于通讯不畅,公司只能派车沿大路                AD   DC  追赶,若汽车平                  B                D
均时速    60 公里 / 小时,问,汽车能否先到达           C 处?

                                                           A


19.(本题满分     14 分,第   1 小题满分    6 分,第  2 小题满分    8 分)

   已知函数     f (x)  x2  3tx 1,其定义域为[0,   3][12, 15] ,

    (1) 当 t  2 时,求函数   y  f (x) 的反函数;

    (2) 如果函数    y  f (x) 在其定义域内有反函数,求实数           t 的取值范围.


20.(本题满分     16 分,第   1 小题满分    4 分,第  2 小题满分    6 分,第   3 小题满分    6 分)

                    x2
如图,    A, B 是椭圆  C :   y2 1长轴的两个端点,
                    2

 M , N 是椭圆上与    A, B 均不重合的相异两点,设直线


 AM , BN, AN 的斜率分别是      k1,k2 ,k3 .


(1)求 k2 k3 的值;

                   2                   1
(2)若直线   MN  过点      ,0 ,求证:     k k    ;
                               1  3
                  2                    6

(3)设直线   MN  与 x 轴的交点为     (t,0) ( t 为常数且 t  0 ),试探究直线   AM  与直线    BN 的交点

 Q 是否落在某条定直线上?若是,请求出该定直线的方程;若不是,请说明理由.
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21.(本题满分     18 分,第   1 小题满分    4 分,第  2 小题满分    6 分,第   3 小题满分    8 分)
                              A     A   1
已知数列a     的前   n 项和  A 满足    n1  n   (n N * ) ,且 a 1,数列b    满足
          n             n    n 1   n   2              1           n

                       *
 bn2  2bn1  bn  0(n N ) , b3  2 ,其前 9 项和为 36.


(1)求数列an和bn的通项公式;


(2)当 n 为奇数时,将     an 放在  bn 的前面一项的位置上;当          n 为偶数时,将     bn 放在  an 前面一项


的位置上,可以得到一个新的数列:                a1,b1,b2 ,a2 ,a3 ,b3 ,b4 ,a4 ,a5 ,b5 , ,求该数列的前 n 项


和  Sn ;

           1
(3)设 cn       ,对于任意给定的正整数           k k  2,是否存在正整数       l,m(k  l  m) ,使
         an  bn


得 ck ,cl ,cm 成等差数列?若存在,求出        l,m (用 k 表示);若不存在,请说明理由.
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         2017    学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
      数学学科参考答案及评分标准              
                                                                          2018.4
一.   填空题:(本大题共有          12 题,满分   54 分,第   1-6 题每题  4 分,第   7-12 题每题   5 分

1.[1,3]    2.20   3.    (0,)     4.1     5.16         6.     1


                          1            2   2                   1       8
7.          8.     9.       10.   x  y  2x  y  0    11.  ,1  12.           
                          6                                    4       15

二.选择题:(本大题共有            4 题,满分    20 分,每题5分)

13.A   14.D   15.B   16.A

三.解答题:(本大题共           5 题,满分    74 分)
17.(本题满分     14 分,第   1 小题满分    6 分,第  2 小题满分    8 分)

                                                          2   2
【解】(1)      连 AC  、 AC1 .  ABC  是直角三角形,        AC    2   4  2 5 .


  ABCD   A1B1C1D1 是长方体,      C1C  BC ,  C1C  CD ,又   DC  BC   C ,

  C C  平面  ABCD  ,   C C  AC  .
    1                    1                                        z

                                                                D1               C
又在   RtACC  中,   AC    21 , AC  2  5 , CC   1 ,                               1
            1       1                         1          A1     D          B         y
                                                                            1 N C
                                                      x  A       M        B
     V            8 .--------6 分
         ABCDA1B1C1D1

(2)解法一:如图建立空间直角坐标系

则  A1 4,0,1、 M 4,1,0、 B1 4,2,1、 N 2,2,0,所
              
以  A1M  0,1,1、 B1N  2,0,1,10 分
        
则向量    A1M 与 B1N
                     
                    A M  B N    10
所成角    满足  cos  1 1   .
                                10
                    A1M  B1N
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                                         10
异面直线      A M 与 B  N 所成的角等于      arccos    .14 分
            1      1                    10


解法二:取     AD  的中点   E ,连  A1E 、 EM  .
                                                               D1                  C1

  EN //AB//A1B1 ,四边形    A1B1 NE 为平行四边形,

                                                                           B
                                                       A                     1
            ,           等于异面直线           与     所成       1
  A1E // B1 N  EA1M              A1M    B1 N                 D                  C
                                                                 E
的角或其补角.----------------------------------------9 分                              N

                                                        A         M       B
  AM  1,  AE  2 , AA1  1,得  A1M    2 , A1E   5 ,

 EM    5 ,

                2  5  5   10                   10
  cosEA  M                 , EA  M  arccos    .
          1    2  2  5   10        1           10

                                         10
异面直线      A M 与 B  N 所成的角等于      arccos    .----------------------------14 分
            1      1                    10

18.(本题满分     14 分,第   1 小题满分    6 分,第  2 小题满分    8 分)
【解】(1)     AB  10 (公里),
               BD      BC
 BCD  中,由                 ,得  BC   5 2 (公里)-------------------2 分
             sin 450  sin300
        10  5 2
于是,由             60  51.21  50 知,
           20
快递小哥不能在       50 分钟内将快件送到        C 处.---------------------------------------6 分

                       2    2    2            1 
(2)在   ABD   中,由   AD  10  10   21010    300 ,
                                              2 

得  AD 10  3 (公里),------------------------------------------------------------8 分

                                CD      5  2
在  BCD  中,  CBD   1050 ,由                 ,
                              sin1050  sin300

得 CD   51  3(公里),-----------------------------------------------------10 分
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  10  3  51  3
由                 60 15  20 15 3  45.98  51.21(分钟)
         60
知,汽车能先到达        C 处.-----------------------------------------------------------14 分


19.(本题满分     14 分,第   1 小题满分    6 分,第  2 小题满分    8 分)
             3 x  8, x [8, 1]
【解】(1)   y                        ;   ------------------------------------------------------6 分
             3 x  8, x [73, 136]
        3t
(2)10  若   0 ,即  t  0 ,则 y  f x在定义域上单调递增,所以具有反函数;---8               分
        2
      3t
 20  若   15 ,即  t 10 ,则 y  f x在定义域上单调递减,所以具有反函数;--10                 分
       2
         3t                                           3t
 30  当 3   12 ,即  2  t  8 时,由于区间0,3关于对称轴          的对称区间是
         2                                            2
                    3t 12  3t  3 15
                            
  3t  3,3t,于是当   3t    或 3t        ,即  t 2,4或 t 6,8时, 
                        3       12
                     2      2

  函数   y  f x在定义域上满足      1-1 对应关系,具有反函数.

  综上,   t (, 0][2,  4)  (6, 8][10, ) .------------------------------------------14 分

20.(本题满分     16 分,第   1 小题满分    4 分,第  2 小题满分    6 分,第   3 小题满分    6 分)

【解】(1)设    N(x0 , y0 ) ,由于 A( 2,0), B( 2,0) ,

              y       y        y2
所以             0       0        0  ,
    k2 k3                 2
            x0  2  x0  2   x0  2

                             x2
因为   N(x , y ) 在椭圆 C 上,于是     0  y2 1,即  x2  2  2y2 ,
        0  0                  2    0        0         0

             y2      1
所以            0                                                    分
    k2 k3  2       .------------------------------------------------------------------4
            x0  2   2

                                                           2
                       2                         x  my 
(2)设直线   MN  : x  my   , M  (x1, y1), N(x2 , y2 ) ,由    2
                       2                           2    2
                                                 x   2y  2
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                  3
得 (m2  2)y2  2my   0 ,
                  2
              2m            3
于是  y  y      , y  y      ,------------------------------------6 分
     1  2   m2  2 1 2   2m2  2

        y      y             y y
 k k   1     2            1 2
 1  3 x   2 x  2         3 2          9
       1      2     m2 y y    my  y 
                       1 2  2     1  2  2
                3
                                         3
               2
             2m  2                               1
                                       2          .10 分
         3     3 2      2m  9    3  2   2 9   2      6
  m2            m          m   3m  m  2
      2m2  2 2     m2  2 2   2        2

 (3)由于直线  MN 与 x 轴的交点为  (t,0) ,于是 MN : x  my  t ,

                          x2
联立直线   MN : x  my  t 与椭圆 C :  y2 1的方程,可得
                          2

 (m2  2)y2  2mty  t 2  2  0 ,

             2mt        t 2  2
于是  y  y      , y  y    .-------------------------------------------------12 分
     1  2   m2  2 1 2  m2  2

                y                       y
因为直线   AM : y   1  (x  2) ,直线 BN : y  2  (x  2) ,
              x1  2                  x2  2
两式相除,可知
 x  2  x  2  y  my  t  2 y  my y  (t  2)y
        1     2  1       2   1 2        2
 x  2  x2  2 y1 my2  t  2 y1 my1 y2  (t  2)y1
     t 2  2        2mt
  m       (t  2)(    y )         2         2
      2             2     1  m(t  2)  (t  2)(m  2)y
    m  2         m  2                           1
         t 2  2               m(t 2  2)  (t  2)(m2  2)y
       m      (t  2)y                           1
         m2  2       1
  t  2 m(t  2)  (m2  2)y t  2
                      1      ,
                   2
  t  2 m(t  2)  (m  2)y1 2  t

                2                                    2
于是  xt  2 ,所以 x  ,即直线  AM 与直线  BN 的交点  Q 落在定直线   x  上.16 分
                 t                                    t
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21.(本题满分     18 分,第   1 小题满分    4 分,第  2 小题满分    6 分,第   3 小题满分    8 分)

                   A     A   1       *            A                   1
【解】答案:(1)因为         n1  n   (n N  ) ,于是数列      n  是首项为  1,公差为      的等
                   n 1  n    2                   n                   2

差数列,

     A   1    1          n(n 1)
所以    n   n   ,即  A          (n N * ) ,
     n    2   2       n     2

                                                          *
当  n  2 时, an  An  An1  n ,又因为 a1 1,所以   an  n(n N ) .--------------2 分

                             *
又因为   bn2  2bn1  bn  0(n N ) ,于是数列bn是等差数列,


设bn的前    n 项和为   Bn ,由于  B9  9b5  36 ,则 b5  4 ,由于 b3  2 ,


所以  bn  n 1(n N*) .---------------------------------------------------------------------------------4 分

                          n(n 1)                        (n 1)n
(2)数列a   的前  n 项和  A          ,数列b   的前   n 项和  B         .----5 分
         n            n     2            n            n     2

                                       k(k 1)  (k 1)k
当  n  2k(k  N*) 时, S  S   A   B                  k 2 ;-----------6 分
                      n   2k   k    k     2        2

当  n  4k  3(k  N*) 时,

                                                   2
 Sn  S4k 3  A2k 1  B2k 2  k(2k 1)  (2k  3)(k 1)  4k  6k  3 ;----------7 分

当  n  4k 1(k  N*) 时,

                                             2
 Sn  S4k 1  A2k 1  B2k  (2k 1)k  (2k 1)k  4k  2k ;------------------------8 分

            1
              n2 ,n  2k
            4
          2
         n   3                     *
所以   Sn       ,n  4k  3 ,其中 k  N .------------------------------------------------10 分
           4
          n2 1
               ,n  4k 1
           4


                   1
(3)由(1)可知,   c        .
              n  2n 1
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若对于任意给定的正整数           k k  2,存在正整数     l,m(k  l  m) ,使得  ck ,cl ,cm 成等差数列,

                    2      1       1
则  2c  c  c ,即                    ,---------------------------------------11 分
     l  k   m     2l 1  2k 1  2m  1

       1      2      1       4k  2l 1
于是                                   ,
     2m 1   2l 1 2k 1   (2l 1)(2k 1)

         2kl  k  2l (k 1)(2l 1 4k)  (2k 1)2
所以  m             
         4k  2l 1          4k  2l 1

         (2k 1)2      (2k 1)2
 1 k           ,即             m  k 1,------------------------------------------13 分
        4k  2l 1    4k  2l 1

则对任意的     k k  2,k  N  , 4k  2l 1能整除 (2k 1)2 ,且 4k  2l 1  0 .
由于当   k  2 时, 2k 1 中存在多个质数,

                                      2
所以  4k  2l 1只能取   1 或 2k 1 或 2k 1 ------------------------------------------------14 分

若  4k  2l 1 1,则 l  2k 1, m  4k 2  5k  2 ,于是

 m  l  4k 2  7k  3  (4k  3)(k 1)  0 ,符合 k  l  m ;----------------------------15 分

若  4k  2l 1  2k 1,则 k  l ,矛盾,舍去;---------------------------------------------16 分

若  4k  2l 1  (2k 1)2 ,则 m  k  2 ,于是 m  0 ,矛盾.-------------------------------17 分

综上,当    k  2 时,存在正整数      l  2k 1,m  4k 2  5k  2 ,满足 k  l  m ,且使得


 ck ,cl ,cm 成等差数列.-------------------------------------------------------------------------------------------

----------18 分
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