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安徽省黄山市2018届高三一模检测数学(理)试题

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高中数学审核员

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          黄山市        2018     届高中毕业班第一次质量检测

                         数学(理科)试题

   本试卷分第Ⅰ卷(选择题           60 分)和第Ⅱ卷(非选择题           90 分)两部分,满分       150 分,考试时间
120 分钟.
注意事项:

 1.答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘

    贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.                        务必在答题卡背面规定的地方填写

    姓名和座位号后两位.

 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用                2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.                  如需改动,

    用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.

 3.答第Ⅱ卷时,必须使用           0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰. 

    作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用                        0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 

    必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题

    无效.

 4.考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交.

                                2                      4
参考公式:球的表面积公式:            S  4 R      球的体积公式:V         R3
                                                       3

                           第Ⅰ卷(选择题           满分  60 分)

一、选择题(本大题共          12 小题,每小题     5 分,共   60 分.  在每小题给出的四个选项中,只有一项是

    符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题.)

       M  y y  lg x2 1 , x  R N  x 4x  4, x  R
1. 集合                   ,集合                ,则  M I N 等于

   A. 1,          B.1,           C.1,1            D. ,1

2. 已知复数    z1 1 ai , z2  3 2i , a  R , i 是虚数单位,若  z1  z2 是实数,则 a 

      2                    1                 1                  2
                        
   A. 3                B.  3              C. 3                D. 3
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           x2  y2
            2   2  1
3. 若双曲线    a   b     (a  0, b  0) 与直线 y  2x 无交点,则离心率       的取值范围是

                                                                 1, 5
   A. 1,2            B. 1,2           C. 1, 5           D.    
4. 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120               的扇形    AOB ,
   C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于                    AO 的
   小路CD   .已知某人从O      沿OD  走到   D 用了  2 分钟,再沿
   着 DC 走到C   用了  3 分钟.若此人步行的速度为每分钟             50
   米,则该扇形的半径的长度为(   )米. 

   A.50 5              B.50 7             C.50  11            D.50 19

5. 《九章算术》卷       5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺 .问积几何?

   答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆

   柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”. 就是说:圆堡瑽

                       1
  (圆柱体)的体积为V            (底面圆的周长的平方高),则由此可推得圆周率                    的取值为
                      12
   A. 3        B. 3.1        C. 3.14        D. 3.2  

6. 下列判断错误的是

   A. 若随机变量     服从正态分布      N(1, 2 ), P(  3)  0.72 ,

     则  P(  1)  0.28;


   B. 若 n 组数据  (x1, y1),(x2 , y2 ), ... ,(xn , yn ) 的散点都在

      y  x 1上,则相关系数       r  1;

                                      1
   C. 若随机变量     服从二项分布:       : B(5, ) , 则 E( ) 1; 
                                      5
   D. am  bm 是 a  b 的充分不必要条件;

7. 执行如图所示的程序框图,若输入的               m 168,n 112 ,

   则输出的    k , m 的值分别为

   A. 4,7      B. 4,56       C. 3,7       D. 3,56

8. 已知定义在     R 上的函数    f x满足  f x  2 f x,

                                        2
   且 f x是偶函数,当     x 0,1时,  f x x .令
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   g(x)  f (x)  kx  k ,若在区间1,3内,函数

   g x   0
         有 4 个不相等实根,则实数          k 的取值范

   围是

                   1           1
                  0,            0,         1 1
                                        , 
   A. 0,    B.  2       C.  4     D. 4 3

9. 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有                             5 架“歼—15    ”飞机准备

   着舰,如果乙机不能最先着舰,而丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻),那么不同的着舰

   方法种数为

   A. 24           B. 36               C. 48              D. 96  

10.2017 年中学数学信息技术研讨会,谈到了图像计算器在数学教学中的应用.如图输入曲线方程
                                                        y
   y 8  ( x 1  x  6  5)2  0 ,计算器显示线段  AB ,       x8
                                                        x7
                                                        6
   则线段CD    的曲线方程为                                      86
                                                        5
                                                        75
                              2                         4
     x  y  3  x  2  x  4  2  0                  2
   A.                                                 62
                                                        23
                                                        1
                                                        521
                              2                         12
     x  y  3  x  2  x  4  2  0                1
   B.                                                   21
                                                        0 1  2 3 4  5 6  7  x
                                2                       1
     x  y  3  x  2  x  4  2  0                  1    1 2 2  2 5  6  x
   C.                              
                                                               1 1  1 2  5  8
                                2
     x  y  3  x  2  x  4  2  0                                1  2  7
   D.                         
                                                                         1  6
11.如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形,                                                   5
   侧视图和俯视图为直角三角形,则该几何体外接                                                    2
                                                                            1
   球的表面积为 
      20                              19
   A.  3       B.8      C.9       D.  3
12.设函数   f x ex 2x 1 mx  m ,其中 m 1,
   若存在唯一的整数        n ,使得   f n 0 ,则 m 的
   取值范围是

        3             3 3           3 3            3  
    A.    ,1       B.   ,         C.   ,        D.    ,1
       2e           2e 4         2e 4          2e 

                          第Ⅱ卷(非选择题            满分   90 分)

二、填空题(本大题共          4 小题,每小题     5 分,共   20 分.请在答题卷的相应区域答题.)
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    1
13. (   x 2  2) 4 的展开式的常数项为               .
    x 2

                                           
         f x 2sinx    0
14.将函数                3       的图象向右平移       3 个单位,得到函数        y  gx的图象,若

                
             0, 
   y  gx在   4  上为增函数,则      的最大值为          .
                                                   x  my  n
                                                   
15.已知直线    l : x  my  n(n  0) 过点 A5 3,5,若可行域  x   3y  0 的外接圆直径为     20,则
                                                   
                                                   y  0
   n       .
16.给出以下四个命题,其中所有真命题的序号为           .

                                                                     1     1
   ①函数   f x 3ax  a 1在区间 1,1上存在一个零点,则         a 的取值范围是        a   ;
                                                                     2     4

   ②“  b2  ac ”是“ a, b, c 成等比数列”的必要不充分条件;

            
   ③x 0,    , sin x  x  tan x ; 
           2 

   ④若  0  a  b 1,则 ln a  lnb  ab  ba .

三、解答题(本大题共          6 小题,共   70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题

    卷的相应区域答题.)

17.(本小题满分      12 分)


    已知数列an   是等差数列,数列bn        是公比大于零的等比数列,且            a1  b1  2 , a3  b3  8 .                          


(1)求数列an    和bn 的通项公式;

(2)记   c  a ,求数列c      的前  n 项和  S .  
        n   bn         n             n

18.(本小题满分       12 分)

    如图,在四棱锥      P  ABCD 中,底面    ABCD 为直角梯形,       ABC    BAD   90 ,且
                1
PA  AB  BC    AD  1, PA  平面  ABCD  .
                2
(1)求   PB 与平面   PCD  所成角的正弦值;

(2)棱   PD 上是否存在一点       E ,满足  AEC    90 ?若存在,求     AE 的长;若不存在,说明理由.
                                                   P

                                                  A
                                                                        D
                                            B
                                                      C
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19.(本小题满分      12 分)

    心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小

组中按分层抽样的方法抽取50           名同学(男30      人,女   20 人),给所有同学几何题和代数题各一题,

让各位同学只能自由选择其中一道题进行解答.选题情况如下表(单位:人):

                          几何题         代数题          总计                                                               几何题          代数题          总计
             男同学           22           8           30
                                                                                                        男同学           22           8           30
             女同学            8           12          20
                                                                                                        女同学            8           12          20
              总计           30           20          50
                                                                                                         总计           30           20          50
(1)能否据此判断有97.5%        的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
                                                                                                                    几何题          代数题          总计
(2)现从选择做几何题的8          名女生中,任意抽取两人,对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙
                                                                                                        男同学           22           8           30
    两位女生被抽到的人数为           X ,求   X 的分布列和     E(X ) .   
                                                                                                        女同学            8           12          20
                                   2
                  2        n(ad  bc)
    附表及公式:      K                                                                                       总计           30           20          50
                     (a  b)(c  d)(a  c)(b  d)

         2                                                                                           P(K 2  k)
     P(K   k)     0.15    0.10    0.05    0.025   0.010    0.005   0.001                                         0.15     0.10    0.05    0.025   0.010    0.005   0.001
         k        2.072   2.706    3.841   5.024   6.635    7.879   10.828                               k        2.072   2.706    3.841   5.024   6.635    7.879   10.828


20.(本小题满分      12 分)

               x2  y2
    已知椭圆     :     1(a  b  0) 的左、右焦点分别为      F 、 F ,短轴两个端点为        A 、 B ,
              a2   b2                              1   2

且四边形    AF1BF2 是边长为   2 的正方形.

(1)求椭圆      的方程;

(2)若   C 、 D 分别是椭圆      的左、右端点,动点        M  满足  MD   CD ,连接   CM  ,交椭圆于与点       P .证
          
    明:OM    OP 为定值.
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21.(本小题满分      12 分)

    已知函数    f x x  ax2  ln xa  0.

(1)讨论    f x的单调性;

(2)若       有两个极值点        ,   ,证明:                       .
       f x           x1   x2        f x1  f x2  3 2ln 2


考生注意:请在第        22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.作答时,
请用  2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑.


22.(本小题满分      10 分)选修    4—4:坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系        xOy 中,以   O 为极点,    x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
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                                                           2
                                                  x  2   t
                    2                                     2
C 的极坐标方程为        sin   4cos ,直线  l 的参数方程为                 ( t 为参数),直线      l 与
                                                            2
                                                  y  4    t
                                                         2

曲线  C 交于  M  , N 两点.

(1)写出曲线      C 的直角坐标方程和直线         l 的普通方程;

(2)若   P2,4,求   PM   PN 的值.


23.(本小题满分      10 分)选修    4—5:不等式选讲

    已知函数    f x k  x  4 , x  R ,且 f x  4 0 的解集为1, 1.

(1)求   k 的值;
                         1   1    1             1   2    3
(2)若   a,b,c 是正实数,且                1 ,求证:     a   b  c 1.
                        ka  2kb   3kc           9   9    9
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          黄山市        2018     届高中毕业班第一次质量检测

                     数学(理科)参考答案

一、选择题(本大题共          12 小题,每小题     5 分,共   60 分.)

        题号      1    2    3     4    5    6    7     8    9    10   11   12
二、                                                                            填空
        答案      B    A    D     B    A    D    C     C    C    A    D     A
题                                                                             (本

大题共   4 小题,每小题      5 分,共   20 分.)

13.  70         14.   2         15.  10 3       16.   ②③④  

三、解答题(本大题共          6 小题,共   70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分      12 分)

解:(1)设等差数列            的公差为     ,等比数列        的公比为     ,且      .

       由             ,得            ,解得        .

       所以                                    .      …………………………3           分

       由              ,得        ,又      ,解得        .

       所以                           .     ………………………………………6                分

(2)因为                      ,

       所以                                          .   ……………………12         分

18.(本小题满分      12 分)

解:(1)以      为坐标原点,分别以            ,    ,    为      轴建立空间直角坐标系                ,

    则        ,         ,        ,         ,     ………………………………2             分

    从而               ,              ,              ,

       设平面        的法向量为               ,则            ,且            ,即              ,

    且          ,不妨取        ,则      ,      ,

    所以平面        的一个法向量为                  ,    …………………………………5             分
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    此时                               ,

    所以    与平面        所成角的正弦值为          .         ………………………………7            分

(2)设                      ,则               , 则                       ,

                     ,若             ,则                                  ,化简得
                   ,该方程无解,所以,棱              上不存在一点       满足             .

     …………………………………………………………………………………………12                                 分

19.(本小题满分      12 分)

解:(1)由表中数据得            的观测值:


                                        ,      …………………………………3             分

    所以根据统计有            的把握认为视觉和空间能力与性别有关.    ………………5                      分

(2)    可能取值为          ,


                    ,                         ,                   , ……9   分

     的分布列为:


                             …………………………………………………………11                     分

                                    .    …………………………………………12               分

20.(本小题满分      12 分)

解:(1)由题意得,                     ,    ∴            ,       ,

    ∴所求的椭圆方程为                   .      ……………………………………………4                分
(2)由(1)知,              ,       . 由题意可设                     ,         ,

    ∵         ,∴         .


    由                 整理得:                                  .        ……6  分
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    ∵               ,∴              ,                        ,

    所以                    ,    ………………………………………………………9                     分

    ∴                                                   ,
    即         为定值.   …………………………………………………………………12                          分


21.(本小题满分      12 分)

解:(1)函数         的定义域为           .                                   .   …1 分
        ,方程                    的判别式             .

   ①当       时,       ,∴          ,故函数        在        上递减;

   ②当          时,        ,由          可得                 ,               .    


   函数      的减区间为                   ;增区间为           .    ………………………5         分

   所以,当         时,     在        上递减;当              时,      在

                        上递增,在                  ,                 上递减.…6    分

(2)由 (1)知当               时,函数        有两个极值点          ,且                         .


                                                                                 
……………………………………………………………………………………………9                                 分

        设           ,则                                  ,                        ,
    所以      在       上递增,                       ,

    所以                        .  ……………………………………………………12                   分

22.(本小题满分      10 分)选修    4—4:坐标系与参数方程
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解:(1)曲线               ,直线                     ……………………………………5             分

(2)将直线     的参数方程代入              ,可得                     ,

    设      对应得参数分别为           ,则

    所以                                        .     …………………………10          分

23.(本小题满分      10 分)选修    4—5:不等式选讲

             f (x) =k  x  4
解:(1)因为                    ,所以   f (x  4)  0 等价于      ,

     由       有解,得        ,且其解集为                      .

     又 f (x  4)  0 的解集为      ,故       .          ……………………………5          分

(2)由(1)知                    ,又      是正实数,由均值不等式得:


                                ,

    当且仅当                时取等号,所以                       .   …………………10       分
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