网校教育资源平台

2.3《等差数列的前n项和》

评价文档:
文档评论: 0

相关文档推荐

人教A版 必修5 第二章 数列 2.3等差数列的前n项和导学案
免费
人教A版 必修5 第二章 数列2.3等差数列的前n项和(第一课时)
免费
2.3《等差数列的前n项和》
免费
2018年高中数学第二章数列2.2等差数列学案新人教A版必修5
免费
2018年高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和学案新人教A版必修5
免费
2018年高中数学课时跟踪检测八等差数列的性质新人教A版必修5
免费
等差数列前n项和性质及应用
免费
安徽省长丰县高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和2教案新人教A版必修5
免费
安徽省长丰县高中数学第二章数列2.2等差数列2.2.2等差数列的通项公式教案新人教A版必修5
免费
安徽省长丰县高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和1教案新人教A版必修5
免费
安徽省长丰县高中数学第二章数列2.2等差数列2.2.1等差数列的概念等差数列的通项公式教案新人教A版必修5
免费
1.2.1 第2课时 等差数列的性质 课件(北师大版必修五) (1)
免费
1.2.1 第1课时 等差数列 课件(北师大版必修五)
免费
2.2《等差数列》课件(人教A版必修5)
免费
《2.3.1等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)
免费
2.3.1 等差数列的前n项和(共2课时,第1课时)
免费
2.2.2 等差数列(共两课时,第2课时)
免费
2.2.1 等差数列(共两课时,第1课时)
免费
等差数列及其前n项和
免费
高三数学等差数列练习题
免费

高中数学审核员

中国现代教育网
分享到:
0积分 下载
                  中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                           2.3  等差数列的前        n 项和

(1)教学目标
1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具
体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一
次函数的关系。
2.  过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍,引导学生发现等差数列的第                                k 项与倒数
第  k 项的和等于首项与末项的和这个规律;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简
单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性
质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3.情感态度与价值观:培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。

(二)教学重、难点
重点:探索并掌握等差数列的前              n 项和公式;学会用公式解决一些实际问题。

难点:等差数列前        n 项和公式的推导.


(三)教学用具准备
教学用具:多媒体课件

(四)教学设想
[创设情景]
 泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏
伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝
石镶饰,图案之细致令人叫绝。
  传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有                             100 层(见左图),
奢靡之程度,可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗?(图见课件)
   等差数列在现实生活中比较常见,因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的
问题。在     200 多年前,历史上最伟大的数学家之一,被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演
了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时,高斯的数学老师提出了下面的问题:
1+2+3+……+100=?当时,当其他同学忙于把              100 个数逐项相加时,10       岁的高斯却用下面的
方法迅速算出了正确答案:(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5050
高斯的算法实际上解决了求等差数列                1,2,3,…,n,…前        100 项的和的问题。
  今天我们就来学习如何去求等差数列的前                  n 项的和。
[探索研究] 
    我们先来看看人们由高斯求前             100 个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受
到启发,于是用下面的这个方法计算                1,2,3,…,n,…的前         n 项的和:
    由   1   +   2   + … + n-1   +  n
         n   +  n-1  + … +  2    +  1    
      (n+1)+(n+1)+ … +(n+1)+(n+1)
                         (n 1)  n
    可知1   2  3  ...  n 
                            2
                  中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    上面这种加法叫“倒序相加法”
  请同学们观察思考一下:高斯的算法妙在哪里?
  高斯的算法很巧妙,他发现了整个数列的第                   k 项与倒数第    k 项的和与首项与尾项的和是相
等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前                                     n 项
和的。

[等差数列求和公式的教学]

  一般地,称     a1  a2  a3  ...  an 为数列{an }的前 n 项的和,用   S n 表示,即


 S n  a1  a2  a3  ...  an

1、  思考:受高斯的启示,我们这里可以用什么方法去求和呢?
    思考后知道,也可以用“倒序相加法”进行求和。

    我们用两种方法表示         S n :


    S n  a1  (a1  d)  (a1  2d)  ...  [a1  (n 1)d], ①


    S n  an  (an  d)  (an  2d)  ...  [an  (n 1)d], ②
   由①+②,得        2S  (a)+(a )+(a)+.a..+()a    a          a  a
                   n   1n1n1       n  1    n
                                            n个

                      n(a1  an )

                                             n(a  a )
    由此得到等差数列{a         }的前   n 项和的公式    S      1   n
                      n                  n       2
    对于这个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前
n 项和了。

2、  如果已知    a1,d,n,能否求   Sn?
                                                        n(a   a )
   这两个公式是可以相互转化的。把               a  a  (n 1)d 代入 S     1   n 中,就可以得
                                  n   1              n      2
            n(n 1)
到  S  na         d
    n    1     2
    引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列的任意的第                                   k 项
与倒数第     k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前                               n 项
和与它的首项、公差之间的关系,而且是关于                    n 的“二次函数”,可以与二次函数进行比较。

这两个公式的共同点都是知道             a 1 和 n,不同点是第一个公式还需知道            a n ,而第二个公式是

要知道    d,解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
                  中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

[公式运用]
 例1.求S    2  4  6  8  2000

 解:
 方法一
     n(a  a )  (2  2000)1000
 S     1   n                  1001000
  n      2             2

 方法二:
          n(n 1)d
 S  na            1001000
  n    1      2
    题评述:此例题目的是对公式的运用。

[例题分析]

例  2.已知等差数列a      n 满足  a2  a5 14 , a10  20 ,求相应等差数列a     n 的 sn


     引导学生分析得到:等差数列前              n 项和公式就是一个关于         an、a、1 n或者a、1、n     d 的


方程。若要确定其前         n 项求和公式,则要确定         a1和d  的关系式,从而求得。

     解:由题意知    

          a2  a5 14            2a1  5d 14         a1  2
                                                      
           a   20                 a  9d  20           d  2
           10                     1                   
 将它们代入公式   

                   n(n 1)d   2
         Sn  na1          n   n
                      2
    例题评述:此例题目的是建立等差数列前                  n 项和与解方程之间的联系.已知几个量,通
过解方程,得出其余的未知量.

例  3:在等差数列an    中,满足     a4  7, 求 S7 .

解:
       7(a    a  )
 S        1     7  
   7        2

 a1   a7   2a4

 7  2a
        4   7a    49
    2           4
                  中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 [随堂练习]
    教材   P45.  练习第   1、3 题

 [总结反思]
    1.本节课学到了哪些知识?
    2.你觉得本节课的难点是什么?
    3.高斯的故事对你有什么启发?
 
课后作业:
          A 组:教材    P46.  习题  2.3 A 组第  1、2 题
          B 组:教材    P46.  习题  2.3 B 组第  4 题


    思考:已知等差数列an         的前  n 项和为   Sn . 且 S1  2, S4  20  求数列an 的通项   an .

(用多种方法解决这个问题)
0积分下载