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2018版高中数学第1讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介练习新人教A版选修4_4

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高中数学审核员

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                      四 柱坐标系与球坐标系简介

一、基础达标
                                      π
                                    2, ,3
1.在空间直角坐标系中,点           P 的柱坐标为(      4  ),P 在 xOy 平面上的射影为       Q,则  Q 点的
  坐标为(  )
                                               π
                                             2, ,0
  A.(2,0,3)                               B.(  4  )
        π                                       π
      2, ,3                                   2, ,0
  C.(   4  )                              D.(   4  )
  解析 由点的空间柱坐标的意义可知,选                  B.

  答案 B

2.空间直角坐标系       Oxyz 中,下列柱坐标对应的点在平面             yOz 内的是(  )
       π                                       π
     1, ,2                                   2, ,0
  A.(  2  )                               B.(  3  )
       π π                                     π π
     3, ,                                    3, ,
  C.(  4 6)                               D.(  6 2)
                              π
  解析 由    P(ρ,θ,z),当      θ=2时,点      P 在平面  yOz 内.
  答案 A

3.设点  M 的直角坐标为(2,0,2),则点           M 的柱坐标为(  )

  A.(2,0,2)                               B.(2,π,2)

  C.( 2,0,2)                              D.( 2,π,2)
                                                             y
  解析 设点     M 的柱坐标为(ρ,θ,z),∴ρ=             x2+y2=2,tan θ=x=0,
  ∴θ=0,z=2.∴点       M 的柱坐标为(2,0,2).

  答案 A
                    π  5
                  8, ,  π
4.若点  M 的球坐标为(      3  6 ),则它的直角坐标为(  )
  A.(-6,2   3,4)                          B.(6,2  3,4)

  C.(-6,-2    3,4)                        D.(-6,2   3,-4)
                 π   5π              π  5π              π
  解析 由    x=8sin3cos 6 =-6,y=8sin3sin    6 =2 3,z=8cos3=4,得点      M 的直角坐
  标为(-6,2     3,4).

  答案 A
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                      π  3π
                    4, ,
5.已知点   M 的球坐标为(      4  4 ),则点  M 到 Oz 轴的距离为________.
                                                     π 3
                                                   4, , π
  解析 设    M 的直角坐标为(x,y,z),则由(r,φ,θ)=(                4 4 ),知  x=
      π  3                π   3                      π
  4sin4cos4π=-2,y=4sin4sin4π=2,z=rcos φ=4cos4=2           2.
  ∴点  M 的直角坐标为(-2,2,2         2).

  故点  M 到 Oz 轴的距离    (-2)2+22=2   2.

  答案 2    2
                         π 5π                   π
                      (4, ,  )               (2, ,1)
6.已知点   P1 的球坐标是     P1  2  3 ,P2 的柱坐标是     P2  6   ,则|P1P2|=________.

  解析 点    P1 的直角坐标为(2,-2       3,0)点   P2 的直角坐标为(     3,1,1),由两点距离公

  式得|P1P2|=   21.

  答案     21
                      5π                        π π
                    4,  ,-  3                 8, ,
7.已知点   P 的柱坐标为(       6     ),点  B 的球坐标为(      3 4),求这两个点的直角坐标.
                                           5π        3                5π
                                                  -
  解 设点    P 的直角坐标为(x,y,z),则         x=4cos  6 =4×(   2 )=-2  3,y=4sin  6 =4×
  1
  2=2,z=-    3.
                                       π   π      3   2             π   π
  设点  B 的直角坐标为(x,y,z),则         x=8sin3cos4=8×   2 × 2 =2  6,y=8sin3sin4=
      3   2             π     1
  8× 2 × 2 =2 6,z=8cos3=8×2=4.
  所以点   P 的直角坐标为(-2       3,2,-    3),点  B 的直角坐标为(2      6,2  6,4).

二、能力提升
                       π                      π  π
                     2, ,5                  6, ,
8.已知点   P 的柱坐标为(       4  ),点  B 的球坐标为(       3  6),则这两个点在空间直角坐标
  系中的点的坐标为(  )
                      3 6 3 2  6
                         ,   ,
  A.P 点(5,1,1),B    点( 4   4   2 )
                      3 6 3 2  6
                         ,   ,
  B.P 点(1,1,5),B    点( 4   4   2 )
        3 6 3 2  6
           ,   ,
  C.P 点( 4   4   2 ),B 点(1,1,5)
                       6 3 6 3 2
                        ,   ,
  D.P 点(1,1,5),B    点( 2  4   4 )
                                              π       2              π
  解析 设    P 点的直角坐标为(x,y,z),x=           2·cos4=   2· 2 =1,y=   2·sin4=1,
  z=5.
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  设  B 点的直角坐标为(x,y,z),
            π     π      3   3  3 6
  x=  6·sin3·cos6=    6· 2 · 2 = 4 ,
            π     π      3  1  3 2
  y=  6·sin3·sin6=    6· 2 ·2=  4 ,
            π      1  6
  z=  6·cos3=   6·2=  2 .
                                                  3 6 3 2   6
                                                     ,   ,
  所以,点    P 的直角坐标为(1,1,5),点          B 的直角坐标为(     4   4   2 ).
  答案 B
                                                  π
9.在球坐标系中,方程         r=1 表示____________,方程     φ=4表示空间的____________.
                                                                        π
  答案 球心在原点,半径为            1 的球面 顶点在原点,中心轴为             z 轴,轴截面顶角为2的上
  半个圆锥面
                                          π
                                        2, , 5
10.已知柱坐标系      Oxyz 中,若点    M 的柱坐标为(      3   ),则|OM|=________.
                         π
                       2, , 5
  解析 ∵(ρ,θ,z)=(          3   ),设  M 的直角坐标为(x,y,z),则         x2+y2=ρ2=4,
  ∴|OM|=   x2+y2+z2=   4+( 5)2=3.

  答案 3
                           π π      π 3π
                         3, ,     3, ,
11.在球坐标系中,求两点          P(  6 4),Q(  6  4 )的距离.
  解 设   P,Q 两点球坐标转化为直角坐标.设点              P 的直角坐标为(x,y,z),
         π  π  3           π   π  3          π      3  3
  x=3sin6cos4=4  2,x=3sin6sin4=4    2,z=3cos6=3×    2 =2 3.
     3 2 3 2 3 3                                        π  3π    3 2
     (  ,   ,   )
  ∴P  4   4   2  .设点  Q 的直角坐标为(x1,y1,z1),x1=3sin6cos        4 =-  4 ,y1=
      π  3π  3 2          π 3

  3sin6sin 4 = 4 ,z1=3cos6=2  3.
          3 2 3 2 3 3
        -   ,    ,
  ∴点  Q(   4   4   2 ).

           3 2  3 2    3 2 3 2    3 3  3 3
              +    2+     -    2+    -     2
  ∴|PQ|=   ( 4   4 )  ( 4   4 )   ( 2   2 )
    3 2                     3 2
  =  2 .即 P,Q 两点间的距离为        2 .

                         ρ=1
                       0 ≤ θ < 2π
12.在柱坐标系中,求满足{          0 ≤ z ≤ 2 )的动点 M(ρ,θ,z)的围成的几何体的体积.
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  解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足                     ρ=1,

  0≤θ<2π,0≤z≤2      的动点   M(ρ,θ,z)的轨迹如图所示,是以直线

  Oz 为轴,轴截面为正方形的圆柱,圆柱的底面半径                   r=1,h=2,

  ∴V=Sh=πr2h=2π.

三、探究与创新

13.在赤道平面上,我们选取地球球心               O 为极点,以    O 为端点且与零子午线相交的射线
                                                             π π
                                                           R, ,
  Ox 为极轴,建立坐标系.有         A、B 两个城市,它们的球坐标分别为              A(  4 6)、
      π 2π
   R,  ,
  B(  4 3 ),飞机从   A 到 B 应该走怎样的航线最快?所走的路程有多远?
                     π π       π 2π
                   R, ,      R, ,
  解 如图所示,∵A(         4  6)、B(  4  3 ),
                   π

  ∴∠AOO1=∠BOO1=4.
  设赤道面上与      A、B 经度相同的点分别为         C、D,x   轴与赤道大圆的
                    π        2π           2π  π  π
  交点为   E,则∠EOC=6,∠EOD=       3 ,∴∠COD=   3 -6=2.
                  π

  ∴∠AO1B=∠COD=2.
                       π                 2            2            π

  在 Rt△OO1B 中,∠O1BO=4,OB=R,∴O1B=        2 R,同理   O1A= 2 R.∵∠AO1B=2,∴AB=R.在
                                  π
  △AOB 中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=3.
                            π
  则经过   A、B 两地的球面距离为3R.
                                                 π
  答:走经过     A、B 两地的大圆,飞机航线最短,其距离为3R.
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