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2019版高考数学一轮复习第六章不等式课时训练

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                            第六章 不 等 式
                         第 1 课时 一元二次不等式及其解法
    一、 填空题
    1. 函数  f(x)=  3-2x-x2的定义域为__________.
    答案:[-3,1]
    解析:由    3-2x-x2≥0,解得-3≤x≤1.
             x+5
    2. 不等式x-1≥0     的解集是 ____________.
    答案:(-∞,-5]∪(1,+∞)
            x+5
    解析:由x-1≥0,得(x+5)(x-1)≥0          且  x-1≠0,解得     x≤-5  或  x>1.
    3. 不等式   2x2-x<4 的解集为________.
    答案:{x|-1<x<2}
    解析:由题意得       x2-x<2⇒-10 时,f(x)=x2-4x,则不等式        f(x)>x 的
解集用区间表示为________.
    答案:(-5,0)∪(5,+∞)
    解析:由已知得       f(0)=0,当   x<0 时,f(x)=-f(-x)=-x2-4x,因此          f(x)=
  x2-4x,x ≥ 0,                      x ≥ 0,       x < 0,
{-x2-4x,x  < 0.)不等式  f(x)>x 等价于{x2-4x   > x)或{-x2-4x  > x,)解得 x>5 或-52,因此   x<0.综上,f(x)0.
    解:原不等式等价于(ax-2)(x-2)>0,以下分情况进行讨论:
    (1) 当 a=0  时,x<2.
                     2            2       2
                  x-
    (2) 当 a<0 时,(    a)(x-2)<0,由a<0<2   知a0 时,(    a)(x-2)>0,考虑a-2=2·       a  的正负:
                   2              2
    ① 当  02,故    x<2 或 x>a;
                  2
    ② 当  a=1  时,a=2,故     x≠2;
                 2        2
    ③ 当  a>1 时,a<2,故    x2.
                                         2
                                        x| <x<2
    综上所述,当      a<0 时,该不等式的解集为{          a      };当  a=0 时,该不等式的解集为
{x|x<2};当   00 知
  g(m)在[-2,2]上为增函数,则由题意只需               g(2)<0 即可,即   2x2+2-2x-2<0,解得
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 00  所表示的平面区域内,则           m 的取值范围是
____________.
    答案:(1,+∞)
    解析:由    2m+3-5>0,得    m>1.
                y ≤ -x+2,
                 y ≤ x-1,
    2. 不等式组{       y ≥ 0 )所表示的平面区域的面积为 _______________.
          1
    答案:4
                                                               y=-x+2,

    解析:作出不等式组对应的区域为△BCD,由题意知                    xB=1,xC=2.由{    y=x-1,   )得
    1            1           1  1

yD=2,所以    S△BCD=2×(xC-xB)×2=4.


                      2x+y  ≤ 4,
                      x+3y  ≤ 7,
                        x ≥ 0,
                      {     ,  )
    3. 若实数   x,y  满足    y ≥ 0   则 z=3x+2y  的最大值为________.
    答案:7
    解析:由约束条件作出可行域,可知当过点(1,2)时                    z=3x+2y   的最大值为     7.


                       x+y ≤ 1,
                      x-y ≥ -1,
    4.    已知不等式组{        y ≥ 0  )所表示的平面区域为        D.若直线    y=kx-3  与平面区域
D 有公共点,则      k 的取值范围是________.


    答案:(-∞,-3]∪[3,+∞)
    解析:依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示,注意到                           y=kx-3  过定点(0,
-3),∴     斜率的两个端点值为-3,3,两斜率之间存在斜率不存在的情况,∴                             k 的取值
范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).
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                            x-y ≥ 0,
                          x+y-2  ≤ 0,
    5. 若 x,y  满足约束条件{        y ≥ 0,  )则 z=3x-4y  的最小值为________.
    答案:-1
                       3   1                      3
    解析:目标函数即        y=4x-4z,其中     z 表示斜率为     k=4的直线系与可行域有交点时直
            1
线的截距值的4,截距最大的时候目标函数取得最小值,数形结合可得目标函数在点                                   A(1,
1)处取得最小值      z=3x-4y=-1.


                            y ≥ 1,
                           y ≤ 2x-1
    6.   已知实数    x,y  满足{x+y   ≤ m.),如果目标函数      z=x-y  的最小值为-1,则实数
m=________.
    答案:5
    解析:画出可行域便知,当直线              x-y-z=0   通过直线    y=2x-1   与 x+y=m  的交点
 m+1  2m-1
     ,
( 3     3  )时,函数    z=x-y   取得最小值,
       m+1   2m-1
    ∴    3 -   3  =-1,解得     m=5.
                       x+y  ≤ 2,
                      2x-3y ≤ 9,
    7. 若变量   x,y  满足{    x ≥ 0, )则 x2+y2 的最大值是________.
    答案:10
    解析:可行域如图所示,


                      x+y=2,       x=3,
    设 z=x2+y2,联立{2x-3y=9,)得{y=-1,)由图可知,当圆               x2+y2=z 过点(3,-
                       2   2     2       2
1)时,z  取得最大值,即(x        +y )max=3 +(-1)  =10.
                             x+y ≥ 1,
                            x-y ≥ -1,
    8.   若 x,y 满足约束条件{      2x-y ≤ 2, )目标函数   z=ax+2y   仅在点(1,0)处取得最小
值,则实数     a 的取值范围是________.


    答案:(-4,2)
    解析:可行域为△ABC,如图,当             a=0 时,显然成立.当        a>0  时,直线    ax+2y-z=
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             a                               a

0 的斜率   k=-2>kAC=-1,a<2.当       a<0 时,k=-2<kAB=2,∴          a>-4.综合得-4<
a<2.
    9.  某企业生产甲、乙两种产品均需用               A,B 两种原料,已知生产         1 吨每种产品所需原
料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产                    1 吨甲、乙产品可获利润分别为            3 万元、
4 万元,则该企业每天可获得最大利润为________万元.

                                   甲    乙     原料限额
                         A(吨)      3     2       12
                         B(吨)      1     2       8
    答案:18
                                                       3x+2y ≤ 12,
                                                        x+2y ≤ 8,
                                                          x ≥ 0,
                                                      {       ,   )
    解析:设每天甲、乙的产量分别为               x 吨,y  吨,由已知可得          y ≥ 0
    目标函数    z=3x+4y,


    线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:
    可得目标函数在点        A 处取到最大值.
        x+2y=8,
    由{3x+2y=12,)得   A(2,3),
    则 zmax=3×2+4×3=18(万元).
                                x-2y+5  ≥ 0,
                                  3-x ≥ 0,
    10.   设 m 为实数,若{(x,y)|{       mx+y ≥ 0 }⊆{(x,y)|x2+y2≤25},则     m 的取值范
围是________.
              4
    答案:[0,3]
    解析:由题意知,可行域应在圆内,如图,如果-m>0,则可行域取到                            x<-5  的点,
不在圆内,故-m≤0,即          m≥0.当  mx+y=0   绕坐标原点旋转时,直线过           B 点时为边界位
               4       4           4
置.此时-m=-3,∴ m=3,∴ 0≤m≤3.


    二、 解答题
    11. 某客运公司用      A,B  两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天
往返一次.A,B      两种车辆的载客量分别为           36 人和  60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为
1 600 元/辆和   2 400 元/辆,公司拟组建一个不超过            21 辆车的客运车队,并要求           B 型车不
多于   A 型车 7 辆.若每天运送人数不少于            900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,
那么应配备     A 型车、B   型车各多少辆?
    解:设   A 型、B  型车辆分别为      x,y  辆,相应营运成本为         z 元,则  z=1        600x+2 
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                                  x+y  ≤ 21,
                                   y ≤ x+7,
                                36x+60y ≥ 900,
                                  x ≥ 0,x ∈ N,
                               {      , ∈     )
400y.由题意,得     x,y  满足约束条件        y ≥ 0 y N.
    作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为                     P(5,12),Q(7,14),R(15,6).


    由图可知,当直线        z=1   600x+2    400y 经过可行域的点      P 时,直线    z=1   600x+2 
                    z
400y 在 y 轴上的截距2 400最小,即        z 取得最小值,
    故应配备    A 型车  5 辆、B  型车  12 辆,可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小.
    12. 某工厂生产甲、乙两种产品,计划每天每种产品的生产量不少于                           15 吨,已知生产
甲产品   1 吨,需煤    9 吨,电力    4 千瓦时,劳力      3 个;生产乙产品      1 吨,需煤    4 吨,电力
5 千瓦时,劳力      10 个;甲产品每吨的利润为          7 万元,乙产品每吨的利润为           12 万元;但每
天用煤不超过      300 吨,电力不超过       200 千瓦时,劳力只有       300 个.问每天生产甲、乙两种
产品各多少吨,才能使利润总额达到最大?
    解:设每天生产甲、乙两种产品分别为                 x 吨、y 吨,利润总额为        z 万元,
                     9x+4y ≤ 300,
                     4x+5y ≤ 200,
                    3x+10y ≤ 300,
                        x ≥ 15,
                    {       ,    )
    则线性约束条件为            y ≥ 15    目标函数为     z=7x+12y,作出可行域如图,


    作出一组平行直线        7x+12y=t,当直线经过直线          4x+5y=200  和直线   3x+10y=
300 的交点   A(20,24)时,利润最大,即生产甲、乙两种产品分别为                    20 吨、24  吨时,利润

总额最大,zmax=7×20+12×24=428(万元).
    答:每天生产甲产品         20 吨、乙产品     24 吨,才能使利润总额达到最大.
                      x-4y+3  ≤ 0,
                     3x+5y-25  ≤ 0,
    13. 变量  x,y  满足{      x ≥ 1.   )
             y
    (1) 设 z=x,求    z 的最小值;
    (2) 设 z=x2+y2,求    z 的取值范围;
    (3) 设 z=x2+y2+6x-4y+13,求       z 的取值范围.
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                   x-4y+3  ≤ 0,
                   3x+5y-25 ≤ 0,
    解:由约束条件{           x ≥ 1,   )作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示.
           x=1,
    由{3x+5y-25=0,)
            22
          1,
    解得  A(   5 ).
          x=1,
    由{x-4y+3=0,)解得     C(1,1).
        x-4y+3=0,
    由{3x+5y-25=0,)解得     B(5,2).
              y  y-0
    (1) ∵ z=x=x-0,
                                                                   2

    ∴ z 的值是可行域中的点与原点            O 连线的斜率.观察图形可知            zmin=kOB=5.
    (2) z=x2+y2  的几何意义是可行域上的点到原点              O 的距离的平方.结合图形可知,可
行域上的点到原点的距离中,

    dmin=|OC|=  2,dmax=|OB|=  29,
    故 z 的取值范围是[2,29].
    (3)   z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2       的几何意义是可行域上的点到点(-
3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,

    dmin=1-(-3)=4,
          (-  - ) +(  -  )
    dmax=    3 5 2   2  2 2=8,
                  故  z 的取值范围是[16,64].第        3 课时 基本不等式
    一、 填空题
             5                 1
    1. 已知  x>4,则函数    y=4x+4x-5的最小值为________.
    答案:7
                   1              1                               1
    解析:y=4x+4x-5=(4x-5)+4x-5+5≥2+5=7.当且仅当                 4x-5=4x-5,即    x=
3
2时取等号.
                          (x+5)(x+2)
    2. 设 x>-1,则函数      y=     x+1     的最小值为________.
    答案:9
    解析:因为     x>-1,所以    x+1>0.设   x+1=z>0,则     x=z-1,所以     y=
(z+4)(z+1)   z2+5z+4      4        4
                                  z·
     z     =     z   =z+z+5≥2      z+5=9,当且仅当       z=2,即   x=1  时取等号,所
以当   x=1 时,函数    y 有最小值    9.
                      1 2
    3. 若实数   a,b  满足a+b=    ab,则  ab 的最小值为________.
    答案:2    2
                                1  2    2  2 2          1  2
    解析:依题意知       a>0,b>0,则a+b≥2       ab=  ab,当且仅当a=b,即        b=2a 时等号成
        1  2               2 2
立.因为a+b=       ab,所以   ab≥  ab,即  ab≥2  2,所以   ab 的最小值为     2 2.
    4. 已知正实数     x,y  满足  xy+2x+y=4,则     x+y 的最小值为__________.
    答案:2    6-3
                                 4-2x                  6             6
    解析:由    xy+2x+y=4,解得      y=  x+1 ,则  x+y=x-2+x+1=(x+1)+x+1-3≥2
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                      6
 6-3,当且仅当      x+1=x+1,即     x=  6-1 时等号成立.所以        x+y  的最小值为     2 6-3.
    5. 已知正实数     x,y  满足(x-1)(y+1)=16,则      x+y  的最小值为__________.
    答案:8
                       16              16
    解析:由题知      x-1=y+1,从而      x+y=y+1+(y+1)≥2      16=8,当且仅当      y+1=
 16
y+1,即   y=3  时取等号.所以       x+y 的最小值为     8.
                                    x+8y
    6. 已知正数    x,y  满足  x+2y=2,则     xy 的最小值为__________.
    答案:9
          x+8y  1 1  8         1       x  y      1            1
                   +
    解析:    xy  =2(y  x)(x+2y)=2(2+8+y+x·16)≥2(10+2       16)=2×18=9,当且
    x                    1     4
仅当y=4,x+2y=2,即        y=3,x=3时等号成立.
                       x    y
    7. 若 x>0,y>0,则x+2y+x的最小值为________.
              1
    答案:    2-2
                                                     1
                       y          x    y   1           1     1   1   1  1
                                                   2 t+    t+
    解析:(解法     1)设  t=x(t>0),则x+2y+x=1+2t+t=        (  2)+(  2)-2≥2  2-2=
    1              2-1     y   2-1
 2-2,当且仅当      t=   2  ,即x=    2  时等号成立. 
                 x          x    y   t   1                  (t-2)2-8
    (解法  2)设  t=y(t>0),令x+2y+x=t+2+t=f(t),则         f′(t)=   t2(t+2)2 ,易知当
                        1

t=2+2   2时,f(t)min=   2-2.
    8.      已知  x>0,y>0,若不等式        x3+y3≥kxy(x+y)恒成立,则实数         k 的最大值为
________.
    答案:1
                     (x+y)(x2-xy+y2)
    解析:由题设知       k≤      (x+y)xy     ,
         x2-xy+y2   x  y
    ∴k≤      xy   =y+x-1   恒成立.
      x  y
    ∵y+x-1≥2-1=1,当且仅当           x=y 时等号成立,从而        k≤1,即   k 的最大值为     1.
                       1  1        4x    9y
    9. 已知正数    x,y  满足x+y=1,则x-1+y-1的最小值为________.
    答案:25
            1  1                  4x   9y   4(x-1)+4   9(y-1)+9         4
    解析:由x+y=1,得        x+y=xy,x-1+y-1=         x-1   +    y-1   =13+x-1+
  9       9x+4y-13                    1  1      4y  9x
                                       +
y-1=13+xy-x-y+1=9x+4y=(9x+4y)(x          y)=13+  x + y ≥13+2  36=25,当且仅
  x  2
当y=3时等号成立.
    10.    若不等式    x2-2y2≤cx(y-x)对任意满足       x>y>0  的实数    x,y 恒成立,则实数
c 的最大值为________.
    答案:2    2-4
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                               x2-2y2      2y2
                                        1-
                                  x2       x2
                       x2-2y2   xy-x2    y       y                    1-2t2
                                          -1
    解析:由题意可得        c≤ xy-x2 =    x2  =  x   ,令x=t,则      00,
x∈N)户农民从事蔬菜加工,那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高                                 2x%,从
                                  3x
                               a-
事蔬菜加工的农民每户年均收入为               3(  50)(a>0)万元.
    (1)  在动员   x 户农民从事蔬菜加工后,要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动
员前从事蔬菜种植的农民的年总收入,试求                   x 的取值范围;
    (2) 在(1)的条件下,要使        100 户农民中从事蔬菜加工的农民的年总收入始终不高于从
事蔬菜种植的农民的年总收入,试求实数                  a 的最大值.
    解:(1) 由题意得      3(100-x)(1+2x%)≥3×100,
    即 x2-50x≤0,解得     0≤x≤50.
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    因为  x>0,所以    00,所以   a≤  x +25+1  恒成立,而      x +25+1≥5(当且仅当
x=50  时取等号),所以       a 的最大值为    5.
                            第 4 课时 不等式的综合应用
    一、 填空题

    1. 已知  log2x+log2y=1,则    x+y 的最小值为________.
    答案:2    2

    解析:由    log2x+log2y=1  得 x>0,y>0,xy=2,x+y≥2       xy=2 2.
    2. 若 2x+2y=1,则    x+y 的取值范围是________.
    答案:(-∞,-2]
                                                 1
    解析:∵ 2x+2y≥2      2x+y,且   2x+2y=1,∴ 2x+y≤4,∴ x+y≤-2.
    3. 设实数   x,y  满足  x2+2xy-1=0,则     x2+y2 的最小值是________.
           5-1
    答案:     2
                                1-x2               x4-2x2+1   1     1   1
                                                               5x2+
    解析:由    x2+2xy-1=0,得     y=  2x  .故 x2+y2=x2+     4x2   =4(     x2)-2≥
 5-1
  2  .
                        x-2y+1  ≥ 0,
                         x-y-1  ≤ 0,       y
    4. 已知实数    x,y  满足{  x+y+1  ≥ 0, )则 z=x+1的取值范围是________.
               1
           -1,
    答案:[       2]
                                                   y
    解析:作出不等式组表示的平面区域(如图所示),z=x+1的几何意义为区域内的点与
                                            1
点  P(-1,0)的连线的斜率       k,由图象,得-1≤k≤2.


                                                               2
    5.  在平面直角坐标系        xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数              f(x)=x的图象交于      P,
Q 两点,则线段      PQ 长的最小值是________.
    答案:4
    解析:P,Q    两点关于原点      O 对称,设    P(m,n)为第一象限内的点,则           m>0,n>0,
   2                                 4                    4
                                 m2+
n=m,所以     PQ2=4OP2=4(m2+n2)=4(      m2)≥16,当且仅当      m2=m2,即   m=  2时取等
号.故线段     PQ 长的最小值是      4.
    6.          若实数    a,b 满足  ab-4a-b+1=0(a>1),则(a+1)(b+2)的最小值为
________.
    答案:27
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                                     4a-1
    解析:∵      ab-4a-b+1=0,∴       b= a-1 ,ab=4a+b-1.∴       (a+1)(b+2)=ab+
                        4a-1             [4(a-1)+3] × 2            6
2a+b+2=6a+2b+1=6a+       a-1 ·2+1=6a+         a-1     +1=6a+8+a-1+1=
          6                                              6
6(a-1)+a-1+15.∵      a>1,∴    a-1>0.∴    原式=6(a-1)+a-1+15≥2        6 × 6+15=
27.当且仅当(a-1)2=1,即        a=2 时等号成立.∴ (a+1)(b+2)的最小值为             27.
                             4x    y
    7. 已知  x,y  为正实数,则4x+y+x+y的最大值为______.
          4
    答案:3
                                          m-n      4n-m     4x    y   8  1
    解析:设    m=4x+y>0,n=x+y>0,则         x=   3 ,y=    3  ,4x+y+x+y=3-3
 4n m   8  4  4
   +
(m   n )≤3-3=3.
                                                              b-a
    8.   若二次函数      f(x)=ax2+bx+c(a≤b)的值域为[0,+∞),则a+b+c的最大值是
________.
          1
    答案:3
                                            c  b2
    解析:由题意可得        b2-4ac=0,且    b≥a>0,则a=4a2.
                                 b        b
                                 -1        -1
                                 a        a
           b-a          b-a    c  b      b   b          b
                                +  +1     2+  +1
    令 y=a+b+c,则     y=a+b+c=a     a   =(2a)  a   ,令  t=a,则    t≥1,则   y=
                                                      4
 4(t-1)                        4u                     9     4  1
                                                   u+  +6
t2+4t+4,再令    t-1=u,则    y=u2+6u+9,当     u>0 时,y=     u  ≤12=3,当且仅当
                   b-a            1
u=3  时等号成立,即a+b+c的最大值是3.
    9. 已知函数    f(x)=|x|+|x-2|,则不等式        f(x2+6)>f(5x)的解集是________.
    答案:(-∞,-4)∪(-1,2)∪(3,+∞)
    解析:因为当      x>2 时,f(x)单调递增,当        x<0 时,f(x)单调递减,且       f(x)=f(2-
x).因此不等式      f(x2+6)>f(5x)等价于    2-(x2+6)<5x3 或 x<-4 或-
1 2, )若∃x0∈R,使得    f(x0)≤5m-4m  成立,则实数
m 的取值范围是________.
           1
           ,1
    答案:[4     ]
                     x2-2x+2,x  ≤ 2,
    解析:函数     f(x)={   log2x,x > 2, )当 x≤2 时,f(x)=(x-1)2+1≥1;当       x>2 时,
                                                         1
                                                2
f(x)=log2x>1,故函数     f(x)的最小值为     1,所以   5m-4m  ≥1,解得4≤m≤1.
    二、 解答题
    11.        已知二次函数      f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足:对任意实数             x,都有
                                  1
f(x)≥x,且当    x∈(1,3)时,有     f(x)≤8(x+2)2  成立.
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    (1) 求证:f(2)=2;(2) 若      f(-2)=0,求    f(x)的解析式.
    (1) 证明:由条件知       f(2)=4a+2b+c≥2    恒成立,又取      x=2  时,f(2)=4a+2b+c≤
1
8×(2+2)2=2   恒成立,
    ∴ f(2)=2.
                4a+2b+c=2,
    (2) 解:∵ {4a-2b+c=0,)∴ 4a+c=2b=1,
           1
    ∴   b=2,c=1-4a.又     f(x)≥x 恒成立,即      ax2+(b-1)x+c≥0   恒成立.∴       a>0,
     1                           1     1    1           1   1   1
      -1
Δ=(2    )2-4a(1-4a)≤0,解得      a=8,b=2,c=2,∴ f(x)=8x2+2x+2.
    12. 某科研小组研究发现:一棵水蜜桃树的产量                  w(单位:百千克)与肥料费用           x(单位:
                          3
百元)满足如下关系:w=4-x+1,且投入的肥料费用不超过                       5 百元.此外,还需要投入其
他成本(如施肥的人工费等)2x           百元.已知这种水蜜桃的市场售价为                16 元/千克(即   16 百元
/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为                            L(x)(单位:百元).
    (1) 求利润   L(x)的函数解析式,并写出定义域.
    (2) 当投入的肥料费用为多少时,该水蜜桃树获得的利润最大?最大利润是多少?
                        3                48
                    4-
    解:(1) L(x)=16(     x+1)-x-2x=64-x+1-3x(0≤x≤5).
                    48            48                   48
                                     +3(x+1)             ·3(x+1)
    (2)  L(x)=64-x+1-3x=67-[x+1              ]≤67-2   x+1       =43.当且仅当
 48

x+1=3(x+1),即     x=3 时取等号.故       L(x)max=43.
    答:当投入的肥料费用为           300 元时,种植该水蜜桃树获得的利润最大,最大利润是                      4 
300 元.
    13.  如图,某机械厂要将长          6 m,宽   2 m 的长方形铁皮      ABCD 进行裁剪.已知点       F 为
AD 的中点,点     E 在边  BC 上,裁剪时先将四边形         CDFE 沿直线   EF 翻折到  MNFE 处(点  C,D  分
别落在直线     BC 下方点   M,N  处,FN  交边  BC 于点  P),再沿直线     PE 裁剪.
                 π
    (1) 当∠EFP=4时,试判断四边形           MNPE 的形状,并求其面积;
    (2) 若使裁剪得到的四边形          MNPE 面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由.


                     π                                π
    解:(1) 当∠EFP=4时,由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=4.
               π
    所以∠FPE=2.所以      FN⊥BC,四边形     MNPE 为矩形.
    所以四边形     MNPE 的面积   S=PN·MN=2 m2.
                                π
                           0<θ<
    (2) (解法  1)设∠EFD=θ(         2),由条件,知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ.
                2        2                    2           2
    所以  PF=sin(π-2θ)=sin 2θ,NP=NF-PF=3-sin 2θ,ME=3-tan θ.
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           2                 2
       3-     >0,      sin 2θ> ,
          sin 2θ             3
           2               2
       3-     >0,     tan θ> ,( * )
          tan θ            3
              π              π
      {  0<θ<  ,  )  {  0<θ<  .  )
    由         2    得         2
                            1             1      2         2            2
                                             3-     +  3-
    所以四边形     MNPE 的面积   S=2(NP+ME)·MN=2[(     sin 2θ) (  tan θ)]×2=6-tan θ-
  2        2   2(sin2θ+cos2θ)           3                3
                                 tan θ+           tan θ ×
sin 2θ=6-tan θ-  2sin θcos θ =6-(      tan θ)≤6-2       tan θ=6-2 3.
                     3                      π
    当且仅当    tan θ=tan θ,即   tan θ=   3,θ=3时取等号.此时,(*)式成立.
               π
    故当∠EFD=3时,沿直线         PE 裁剪,四边形     MNPE 面积最大,最大值为(6-2          3)m2.
    (解法  2)设  BE=t m,3<t<6,则      ME=6-t.
    因为∠EFP=∠EFD=∠FEP,所以          PE=PF,即   (3-BP)2+22=t-BP.
             13-t2                                      13-t2
    所以  BP=2(3-t),NP=3-PF=3-PE=3-(t-BP)=3-t+2(3-t).
           3<t<6,
          13-t2
                >0,
         2(3-t)             3<t<6,
            13-t2            t> 13,
       3-t+       >0,
      {      ( - )    )    -   +   <
    由       2 3  t     得{t2  12t 31  0.)(*)
                            1             1         13-t2
    所以四边形     MNPE 的面积   S=2(NP+ME)·MN=2{[3-t+2(3-t)]+(6-t)}×2=
3t2-30t+67      3         2
  2(3-t)  =6-[2(t-3)+t-3]≤6-2       3.
            3         2           2 3
    当且仅当2(t-3)=t-3,即        t=3+   3 时取等号.此时,(*)式成立.故当点              E 距 B 点
    2 3
 3+
(    3 )m 时,沿直线    PE 裁剪,四边形     MNPE 面积最大,最大值为(6-2          3)m2.
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