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2019高考数学(文)培优二轮(优课件+精讲义+优习题)全国通用版:专题五 第3讲

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第3讲 圆锥曲线中的热点问题


                    真题感悟  考点整合                      热点聚焦  分类突破                     归纳总结  思维升华
高考定位 1.圆锥     曲线中的定点与定值、最值与范围问题               是高考必考的问题       之一
,主要以解答题形式考查,往往作为试               卷的压轴题    之一;2.以椭圆     或抛物线为    背
景,尤其是与条件或结论         相关存在性开放问题        .对考生的代数恒等变形能力、计算
能力有较高的要求,并突出数学思想方法考查.


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
        真 题 感 悟


真题感悟  考点整合                      热点聚焦  分类突破                     归纳总结  思维升华
答案 5


                                                真题感悟  考点整合                      热点聚焦  分类突破                     归纳总结  思维升华
(1)求椭圆M的方程;
(2)若k=1,求|AB|的最大值.


                                                真题感悟  考点整合                      热点聚焦  分类突破                     归纳总结  思维升华
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
(1)求C的方程;

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1
,证明:l过定点.


                       真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
(2)证明 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.
如果直线l的斜率不存在,l垂直于x轴.


此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.
从而可设l:y=kx+m(m≠1).


由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.


解之得m=-2k-1,此时Δ=32(m+1)>0,方程有解,
∴当且仅当m>-1时,Δ>0,
∴直线l的方程为y=kx-2k-1,即y+1=k(x-2).
所以l过定点(2,-1).


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
                           考 点 整 合

1.圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函
  数值),或者利用式子的几何意义求解.
  温馨提醒 圆锥      曲线上点的坐标是有范围的,在涉及到求最值或范围问题时                       注意
  坐标范围的影响.
2.定点、定值问题
  (1)定点问题:在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线的方程,不论参数如何变
  化,其都过某定点,这类问题称为定点问题.

  若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直
  线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).

                        真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
  (2)定值问题:在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和
  动点坐标或动直线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题.
3.存在性问题的解题步骤:
  (1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).
  (2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在.
  (3)得出结论.


                        真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
热点一 圆锥曲线中的最值、范围


   (1)求椭圆C的方程;
   (2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A,B两个不同的点,且λ=|MA|·|MB|,求λ的取值范围.


                        真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
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(2)当直线l的斜率为0时,λ=|MA|·|MB|=12.

当直线l的斜率不为0时,设直线l:x=my+4,点A(x1,y1),B(x2,y2),


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
探究提高 求圆锥       曲线中范围、最值的主要方法:(1)几何法:若题目中的条件和
结论  能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解.
(2)代数法:若题目中的条件和结论           能体现一种明确的函数关系,或者不等关系,
或者已知参数与新参数之间的等量关系等,则利用代数法求参数的范围.


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
【训练1】 (2018·浙江卷)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上
  存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.


  (1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;


                        真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
所以y1+y2=2y0,
因此,PM垂直于y轴.


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热点二 定点、定值问题
考法1 圆锥曲线中的定值


  (1)求椭圆C的方程;


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探究提高 1.求定值问题        常见的方法有两种:
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
2.定值问题   求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题                 ,然后证明与参数无关
,这类问题选择       消元的方向是非常关键的.


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
(1)求椭圆E的方程;
(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P
,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值.


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
由已知Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,


从而直线AP,AQ的斜率之和 


故kAP+kAQ为定值2.


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
考法2 圆锥曲线中的定点问题


  (1)求动点P的轨迹C的方程;

  (2)过F(1,0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G,H,M,N,且E1,E2分别是

  GH,MN的中点.求证:直线E1E2恒过定点.


                        真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
(1)解 设点P坐标为(x,y),∴点Q坐标为(0,y).


                                                真题感悟  考点整合                      热点聚焦  分类突破                     归纳总结  思维升华
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探究提高 1.动直线l过定点问题          .设动  直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设           条
件将t用k表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过             定点(-m,0).
2.动曲线C过定点问题       .引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量恒成立
,令其系数等于零,得出定点.


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
【训练3】 已知曲线C:y2=4x,曲线M:(x-1)2+y2=4(x≥1),直线l与曲线C交于A,
  B两点,O为坐标原点.


  解 设l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2).


  ∴y1+y2=4m,y1y2=-4n.
             2          2
  ∴x1+x2=4m  +2n,x1x2=n  .

  ∴直线l方程为x=my+2,∴直线l恒过定点(2,0).

                        真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
整理得4m2=n2-2n-3(n≥3).①
又点P坐标为(1,0),∴由已知及①,得


又y=4-4n(n≥3)是减函数,
∴当n=3时,y=4-4n取得最大值-8.


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
热点三 圆锥曲线中的存在性问题


                                                   真题感悟  考点整合                      热点聚焦  分类突破                     归纳总结  思维升华
解 (1)在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C=(CA+CB)2-
3CA·CB=4.


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
(2)设直线方程y=k(x-1),E(x1,y1),F(x2,y2),


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
探究提高 1.此类问题       一般分为探究条件、探究结论           两种.若探究条件,则可先假
设条件成立,再验证结论          是否成立,成立则存在,不成立则不存在;若探究结论
,则应   先求出结论    的表达式,再针对       其表达式进行讨论       ,往往涉及对参数的讨
论.
2.求解步骤:假设满      足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设
出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或
参数)存在,否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
【训练4】 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B
 两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
 (1)D是抛物线C上的动点,点E(-1,3),若直线AB过焦点F,求|DF|+|DE|的最小值;


 解 (1)∵直线2x-y+2=0与y轴的交点为(0,2),
 ∴F(0,2),则抛物线C的方程为x2=8y,准线l:y=-2.
 设过D作DG⊥l于G,则|DF|+|DE|=|DG|+|DE|,
 当E,D,G三点共线时,|DF|+|DE|取最小值2+3=5.


                        真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
(2)假设存在,抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立消去y得
:x2-4px-4p=0,

                         2          2
设A(x1,y1),B(x2,y2),Δ=(4p) +16p=16(p +p)>0,则x1

+x2=4p,x1x2=-4p,∴Q(2p,2p).


                      真题感悟  考点整合    热点聚焦  分类突破    归纳总结  思维升华
1.解答圆锥曲线的定值、定点问题,从三个方面把握:
  (1)从特殊开始,求出定值,再证明该值与变量无关;(2)直接推理、计算,在整
  个过程中消去变量,得定值;(3)在含有参数的曲线方程里面,把参数从含有参数
  的项里面分离出来,并令其系数为零,可以解出定点坐标.
2.圆锥曲线的范围问题的常见求法
  (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质
  来解决;
  (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标
  函数,再求这个函数的最值.


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3.存在性问题求解的思路及策略
  (1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若结论不正确,
  则不存在.
  (2)策略:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;
  ②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.


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