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2018年高中数学课时跟踪检测十二等比数列的前n项和新人教A版必修5

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             课时跟踪检测(十二)  等比数列的前                          n 项和
                               层级一 学业水平达标

    1.设{an}是公比为      q 的等比数列,Sn     是它的前    n 项和,若{Sn}是等差数列,则          q 等于
(  )
    A.1                                B.0
    C.1 或  0                            D.-1

    解析:选    A 因为    Sn-Sn-1=an,又{Sn}是等差数列,所以          an 为定值,即数列{an}为常
               an
数列,所以     q=an-1=1.

                                                      n        *
    2.已知数列{an}是公比为         3 的等比数列,其前       n 项和  Sn=3 +k(n∈N   ),则实数    k 为
(  )
    A.0                                 B.1
    C.-1                                D.2

                                       n        *
    解析:选    C 由数列{an}的前      n 项和  Sn=3 +k(n∈N  ),

    当 n=1  时,a1=S1=3+k;
    当 n≥2  时,

                  n      n-1
    an=Sn-Sn-1=3  +k-(3     +k)
    =2×3n-1.

                                                 1-1
    因为数列{an}是公比为        3 的等比数列,所以       a1=2×3    =3+k,解得     k=-1.
    3.已知等比数列的公比为           2,且前   5 项和为   1,那么前    10 项和等于(  )
    A.31                                B.33
    C.35                                D.37
                                 S10-S5
    解析:选    B 根据等比数列性质得            S5  =q5,
      S10-1
               5
    ∴   1   =2 ,∴S10=33.
                                             5           5    Sn

    4.已知等比数列{an}的前         n 项和为  Sn,a1+a3=2,且    a2+a4=4,则an=(  )
    A.4n-1                              B.4n-1
    C.2n-1                              D.2n-1

    解析:选    D 设等比数列{an}的公比为          q,

    则Error!解得Error!
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                            1
                     2 × 1-
                        (  2n)
                          1
                        1-
          a11-qn        2
      Sn     1-q         1
                     2 ×  n-1
    ∴an=   a1qn-1  =    (2)   =2n-1.故选    D.

    5.等比数列{an}的前       n 项和为  Sn,S5=2,S10=6,则     a16+a17+a18+a19+a20 等于(  )
    A.8                                 B.12
    C.16                                D.24

                                                     n                5
    解析:选    C 设等比数列{an}的公比为          q,因为   S2n-Sn=q Sn,所以   S10-S5=q  S5,所

          5       5                                 15    15    15   15
以  6-2=2q  ,所以   q =2,所以    a16+a17+a18+a19+a20=a1q  +a2q  +a3q  +a4q  +

   15  15                    15    3
a5q =q  (a1+a2+a3+a4+a5)=q    S5=2 ×2=16.

    6.等比数列{an}共有       2n 项,它的全部各项的和是奇数项的和的                3 倍,则公比    q=
________.

                                                           2
    解析:设{an}的公比为        q,则奇数项也构成等比数列,其公比为                q ,首项为    a1,

    偶数项之和与奇数项之和分别为              S 偶,S 奇,

    由题意   S 偶+S  奇=3S 奇,

    即 S 偶=2S  奇,

    因为数列{an}的项数为偶数,
           S偶
    所以  q=S奇=2.
    答案:2

    7.等比数列{an}中,若        a1+a3+…+a99=150,且公比       q=2,则数列{an}的前       100 项
和为________.
            a2+a4+…+a100               a2+a4+…+a100

    解析:由    a1+a3+…+a99   =q,q=2,得           150     =2⇒a2+a4+…+a100=

300,则数列{an}的前      100 项的和   S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=150+
300=450.
    答案:450
                                           1   1      1

    8.在等比数列{an}中,a1+a2+…+a6=10,a1+a2+…+a6=5,则

a1·a2·…·a6=________.
                                                  a1-a6q      1   1       1

    解析:由等比数列的前          n 项和公式,a1+a2+…+a6=         1-q  =10,a1+a2+…+a6=
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 1  1 1
  -   ·
a1  a6 q a6q-a1
     1    a1a6
  1-
     q =  q-1  =5,把    a1-a6q=10(1-q)代入,得      a1a6=2,又  a1·a2·…·a6=

       3   3
(a1·a6) =2  =8.
    答案:8

    9.设等比数列{an}的前        n 项和为  Sn.已知  a2=6,6a1+a3=30,求    an 和 Sn.

    解:设{an}的公比为       q,由题设得Error!

    解得Error!或Error!

                             n-1        n
    当 a1=3,q=2   时,an=3×2      ,Sn=3(2  -1);

                             n-1      n
    当 a1=2,q=3   时,an=2×3      ,Sn=3  -1.

    10.已知{an}为递减的等比数列,且{a1,a2,a3}{-4,-3,-2,0,1,2,3,4}.

    (1)求数列{an}的通项公式;
             1--1n                                  16

    (2)当 bn=     2    an 时,求证:b1+b2+b3+…+b2n-1<       3 .

    解:(1)∵{an}是递减的等比数列,

    ∴数列{an}的公比      q 是正数,

    又∵{a1,a2,a3}{-4,-3,-2,0,1,2,3,4},

    ∴a1=4,a2=2,a3=1.
         a2  2 1
    ∴q=a1=4=2,
                 8
            n-1
    ∴an=a1q    =2n.
                         8[1--1n]

    (2)证明:由已知得       bn=    2n+1    ,

                *
    当 n=2k(k∈N   )时,bn=0,

                   *
    当 n=2k-1(k∈N    )时,bn=an.

    即 bn=Error!

    ∴b1+b2+b3+…+b2n-2+b2n-1=a1+a3+…+a2n-1
           1
      4 1-  n
       [  (4) ]
           1
        1-
    =      4
      16    1   16
        1-   n
    = 3 [  (4) ]< 3 .
                               层级二 应试能力达标
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                                                    S5

    1.设  Sn 为等比数列{an}的前      n 项和,且    8a2+a5=0,则S2等于(  )
    A.11                               B.5
    C.-8                                D.-11

    解析:选    D 设{an}的公比为      q.因为  8a2+a5=0.

                  3              3
    所以  8a2+a2·q  =0.所以   a2(8+q  )=0.

                    3
    因为  a2≠0,所以    q =-8.所以    q=-2.
            a11-q5
               1-q
        S5  a11-q2   1-q5   1+32   33
    所以S2=      1-q   =1-q2=   1-4 =-3=-11.故选      D.
                                                                       { 1 }
    2.已知{an}是首项为       1 的等比数列,Sn     是{an}的前   n 项和,且   9S3=S6,则数列     an 的
前  5 项和为(  )
      15                                31
    A. 8 或 5                           B.16或 5
      31                                15
    C.16                               D. 8
                                             a11-q3   a11-q6

    解析:选    C 由题意,q≠1,由        9S3=S6,得   9×    1-q   =    1-q   ,解得    q=
                      1   1            1               1
            n-1  n-1     ( )n-1       {  }
2,故   an=a1q  =2    ,an=  2   ,∴数列     an 是以  1 为首项,2为公比的等比数列,其
                 1
          1 × 1-  5
             [  (2) ]
                1     31
             1-
前  5 项和为        2   =16.

                                          n
    3.在等比数列{an}中,若         a1+a2+…+an=2    -1,则   a12+a2+…+an2=(  )
                                        1
    A.(2n-1)2                          B.3(4n-1)
      1
    C.3(2n-1)                           D.4n-1

                                 n
    解析:选    B 由   a1+a2+…+an=2    -1,得   a1=1,a2=2,所以{an}是以       1 为首项,
2 为公比的等比数列,所以{an2}是以           1 为首项,4    为公比的等比数列,所以           a12+a2+…+a
   1 × 1-4n  1
n2=   1-4    =3(4n-1).
    4.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的                        2 倍,一共点     381 盏灯,则
底层所点灯的盏数是(  )
    A.190                               B.191
    C.192                               D.193
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                                                             a1 1-  7
                                                              [   (2) ]
                                                  1               1
                                                               1-
    解析:选    C 设最下面一层灯的盏数为            a1,则公比    q=2,n=7,由          2  =381,

解得   a1=192.

    5.设数列{an}是首项为        1,公比为-2     的等比数列,则       a1+|a2|+a3+|a4|=________.

    解析:依题意得       a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,所以          a1+|a2|+a3+|a4|=15.
    答案:15
                                     Sn                     1
                                   n,
                                  (    )    *
    6.设数列{an}的前      n 项和为   Sn,点    n (n∈N  )均在直线    y=x+2上.若     bn=

    1
 a 
  n 2
3    ,则数列{bn}的前      n 项和  Tn=________.
                  Sn    1            1                             1
                                                                n2+ n
                                  2                            (     )
    解析:依题意得       n =n+2,即    Sn=n +2n.当  n≥2  时,an=Sn-Sn-1=       2  -[(n-
     1            1                    3              1
  2
1) +2(n-1)]=2n-2;当      n=1 时,a1=S1=2,符合      an=2n-2,所以     an=2n-
1                           bn+1   32n+1
                   1
                 a 
      *          n 2   2n                     2
2(n∈N  ),则  bn=3    =3   ,由   bn =    32n  =3  =9,可知{bn}为等比数列,b1=
               91-9n   9n+1-9
 2×1
3   =9,故   Tn=   1-9   =    8   .
          9n+1-9
    答案:      8
    7.某地本年度旅游业收入估计为              400 万元,由于该地出台了一系列措施,进一步发展
                                             1
旅游业,预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加4.
    (1)求 n 年内旅游业的总收入;
    (2)试估计大约几年后,旅游业的总收入超过                 8 000 万元.

    解:(1)设第    n 年的旅游业收入估计为          an 万元,
                        1    5
                    (1+  )
    则 a1=400,an+1=      4 an=4an,
      an+1  5                    5

    ∴  an  =4,∴数列{an}是公比为4的等比数列,
                            5
                     400 1-  n
                        [  (4) ]
          a11-qn         5
                        1-
    ∴Sn=    1-q    =       4
            5
              n-1
    =1 600[(4)   ],
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                            5
                              n-1
即 n 年内旅游业总收入为         1 600[(4)  ]万元.
                    5
                   [( )n-1]
(2)由(1)知  Sn=1 600  4     ,

令 Sn>8 000,
         5
          n-1
即 1 600[(4)   ]>8 000,
   5         5
∴(4)n>6,∴lg(4)n>lg 6,
    lg 6
      5
    lg 
∴n>   4≈8.029 6.
∴大约第    9 年后,旅游业总收入超过           8 000 万元.


8.在数列{an}中,若       an=Error!求数列{an}的前    n 项和.

解:当   n=1  时,S1=a1=1.
当 n≥2  时,

若 a=0,有    an=Error!
         1        n+1

则 Sn=1+2(n-1)=     2 .

若 a=1,有    an=Error!
         3        3n-1

则 Sn=1+2(n-1)=      2 .
若 a≠0  且 a≠1,
          1     1           1
         ( +a)  ( +a2)     ( +an-1)
则 Sn=1+   2   + 2     +…+   2
     1
=1+2(n-1)+(a+a2+…+an-1)
  n+1   a-an
=  2  + 1-a .

综上所述,Sn=Error!
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