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3.2.2直线的两点式方程

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高中数学审核员

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求直线的点斜式和截距式都用到了什么?

            截距


         截距
3.2.2 直线的两点式方程
          教学目标

   知识与能力

Ø掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围。
Ø了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
    过程与方法

Ø让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新
的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应
用获得新知识的特点。

     情感态度与价值观

 Ø认识事物之间的普遍联系与相互转化。
 Ø培养学生用联系的观点看问题。
         教学重难点

    重点

Ø直线方程两点式。

    难点
Ø两点式推导过程的理解。
           思考

    已知直线l上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1≠x2 
,y1≠y2 ),如何求过这两点的直线方程?
           y


          O                   x
     已知直线上一点,和直线的斜率,我们可以求
出它的点斜式方程,能不能把思考中的问题转化为
已经解决的问题?

   当x1≠x2时,所求直线的斜率

任取P1,P2中的一点,例如,取P1(x1,y1),由点
斜式方程,得
     当y2≠y1时,可写为


     经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1≠x2 ,y1≠y2 
), 的直线方程,叫做直线的两点式方程,简称两点
式。
        思考


     若点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2,此时
 直线的方程是什么?有两点式方程吗?

       当x1 =x2或y1= y2时,直线P1  P2没有两点式方程

。( 因为x1 =x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有
意义)。
     y                    y


     O            x      O             x


                         y  =y
    x1 =x2                1  2

           当x1 =x2时,直线P1  P2平行于y轴,直线方程

为x-x1=0或x=x1.

           当y1 =y2时,直线P1  P2平行于x轴,直线方程

为y-y1=0或y=y1.
        例三

     如图,已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的
 交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l的方程。
y               解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐
                 标代入两点式, 得:
B
      l

                     即
O         A     x

                所以直线l 的方程为:
    直线l与y轴交点B(0,b)的纵坐标b叫做直线l
在y轴上的截距.直线l与x轴交点A(a,0)的横坐标
a叫做直线l在x轴上的截距。
               y

               B
                    l

              O         A     x

     方程         由直线l在两坐标上的截距a和b
 决定,所以叫做直线的截距式方程。
   总结

 直线的两点式方程
 (不能表达与坐标轴平行的直线)


直线的截距式方程
(不能表达平行于坐标轴或经过原点的直线)
         例四

    求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截距相
等的直线方程。
                   y
             P

                     o
                            x
        (1)若截距不为0,直线在两坐标上截距相等
,设为a,则直线与x,y轴相交的两点分别为(0,
a),(a,0)则斜率

        将点P(-5,4)和斜率k=-1代入点斜式方
 程                            整理得  y =-x-1。

       (2)若截距为0,则直线经过点(0,0),
将两个已知点带入两点式方程,                       整
理,得
      例五
     已知三角形的三个顶点是A(-5,0),B(3
,-3),C(0,2),求BC边所在的直线方程,以
及该边上中线的直线方程。

               y

                 C
      A         o
                    M x

                      B
              y

                C
     A         o
                   M x

                     B

解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为:

    整理得:5x+3y-6=0
    这就是BC边所在直线的方程。
      BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线
 段,由中点坐标公式可得点M的坐标为:

                              即
        y
                    过A,M的直线方程
           C
A        o
             M  x
                     整理得:x+13y+5=0
                B    这就是BC边上中线所在
                     的直线的方程。
           课堂小结


直线的两点式方程(x1≠x2 ,y1≠y2 )


直线的截距式方程(a≠0,b≠0)
     中点坐标公式:

    若P1 ,P2坐标分别为(x1y1), (x2 y2)且中点M
的坐标为(x,y)。

 则:
随堂练习

      C
2.求满足下列条件的直线方程:

 (1)过点A(0,0),B(1,1)

      解

      即y=x。

(2)在x轴上的截距是-2,在y轴上的截距是2

    解

    即x-y+2=0。
 (3)过定点且在两坐标轴上的截距相等

 解:设直线的两截距皆为a,当a=0时,直线方
程设为y=kx。
  将P(2,3)代入k=
  当a≠0时,设直线方程为

  将P(2,3)代入得a=5。
  所求直线方程为:

          或
    3.已知直线 l  :2x+y+3=0,求关于点A(1,2)

对称的直线l1的方程。 

            y


              (1,2)

             O           x
解:当x=0时,y=-3.(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对
称点为(2,7)。       
当x=-2时,y=1.(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点
为(4,3)。

那么,点(2,7) ,(4,3)在l1上。

因此,直线l1的方程为:

化简得:2x+y-11=0
还有其它的方法吗?

∵l∥l1,所以l与l1的斜率相同,
∴k =-2
   l1

 经计算,l1过点(4,3)
 所以直线的点斜式方程为:y-3=-2(x-4)
化简得: 2x + y -11=0
4.已知直线L过点(-2,2),且与两坐标轴构成单
位面积的三角形,求直线L的方程。 
 因为能构成三角形,
 所以不是水平或者垂直的直线,
 所以可以设y=kx+b。
 且直线与坐标轴交点为:
 根据该三角形的面积为单位面积,
 得出:
 又根据,L过(-2,2),得出
 2=-2k+b,
 解方程组,得
习题答案
3.解:
(1)设直线l的方程为                 ,因为由直线l过
点(0,5),且在两坐标上得截距之和为2,所以

                   a+b=2。
解得 a=-3,b=5。
因此所求直线的方程是                 ,即5x-3y+15=0。
(2)设直线l的方程为                 ,因为由直线l过
点(5,0),且在两坐标上得截距之差为2,所以

                    |a-b|=2。
解得 a=5,b=3,或者a=5,b=7。
因此所求直线的方程是 3x+5y-15=0,即7x+5y-35=0。
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