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2019版高考数学一轮复习几何证明选讲课时训练选修4_1

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                         选修    4­1 几何证明选讲
                             第 1 课时 圆的进一步认识
    1.  (2017·镇江期末)如图,已知          AB 是圆  O 的直径,P   是上半圆上的任意一点,PC           是
∠APB  的平分线,点      E 是A︵B的中点.求证:直线         PC 经过点  E.


    证明:连结     AE,EB,OE,
    由题意知∠AOE=∠BOE=90°,
    因为∠APE   是圆周角,∠AOE      是同弧上的圆心角,
               1
    所以∠APE=2∠AOE=45°.
                     1
    同理可得,∠BPE=2∠BOE=45°,
    所以  PE 是∠APB  的平分线,
    又 PC 是∠APB  的平分线,
    所以  PC 与 PE 重合,所以直线       PC 经过点   E.
    2. 如图,圆    O 的两弦   AB,CD 交于点    F,从  F 点引  BC 的平行线和直线      AD 交于  P,再从
P 引这个圆的切线,切点是          Q.求证:PF=PQ.


    证明:因为     A,B,C,D   四点共圆,所以         ADF=   ABC.
    因为  PF∥BC,所以      AFP=   ABC.所以   AFP=   FDP.
    又因为     APF=  FPD,
    所以△APF∽△FPD.
        PF  PD
    所以PA=PF.所以      PF2=PA·PD.
    因为  PQ 与圆  O 相切,所以     PQ2=PA·PD.
    所以  PF2=PQ2.所以   PF=PQ.
    3.  如图,圆    O 与圆  P 相交于  A,B  两点,点    P 在圆  O 上,圆   O 的弦  BC 切圆 P 于点  B,
CP 及其延长线交圆       P 于 D,E 两点,过点     E 作 EF⊥CE 交  CB 延长线于点    F.若  CD=2,CB=2
 2,求  EF 的长.


    解:连结    PB,∵ BC   切圆  P 于点  B,
    ∴PB⊥BC.
    又 CD=2,CB=2    2,
    由切割线定理得       CB2=CD·CE,
    ∴ CE=4,DE=2,BP=1.
    ∵ EF⊥CE,
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                        EF  CE
    ∴ △CPB∽△CFE,∴ PB=CB,EF=          2.
    4. 如图,AB,AC    是圆  O 的切线,ADE    是圆   O 的割线,求证:BE·CD=BD·CE. 


    证明:∵ AB    是圆   O 的切线,
    ∴ ∠ABD=∠AEB.
    ∵ ∠BAD=∠EAB,
    ∴ △BAD∽△EAB.
       BD  AB
    ∴ BE=AE.
        CD  AC
    同理CE=AE. 
    ∵ AB,AC  是圆   O 的切线,∴ AB=AC.
       BD  CD
    ∴ BE=CE,即     BE· CD=BD· CE.
    5. (2017·南通、泰州模拟)如图,已知△ABC             内接于圆     O,连结   AO 并延长交圆     O 于点
D,∠ACB=∠ADC.求证:AD·BC=2AC·CD.


    证明:证明:连结        OC.
    因为∠ACB=∠ADC,∠ABC=∠ADC,
    所以∠ACB=∠ABC.
    因为  OC=OD,所以∠OCD=∠ADC.
    所以∠ACB=∠OCD.
    所以△ABC∽△ODC.
        AC   BC
    所以OC=CD,即      AC·CD=OC·BC.
            1
    因为  OC=2AD,
    所以  AD·BC=2AC·CD.


    6.  (2017·苏北三市模拟)如图,圆           O 的弦 AB,MN  交于点   C,且点   A 为弧  MN 的中点,
点  D 在弧 BM 上.若∠ACN=3∠ADB,求∠ADB         的大小.


    解:连结    AN,DN.
    因为  A 为弧  MN 的中点,
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    所以∠ANM=∠ADN.
    而∠NAB=∠NDB,
    所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB,
    即∠BCN=∠ADB.
    又∠ACN=3∠ADB,
    所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°,
    故∠ADB=45°.


    7. 如图,在△ABC     中,∠ACB=90°,以边        AC 上的点   O 为圆心,OA   为半径作圆,与边
AB,AC 分别交于点      E,F,EC  与圆  O 交于点   D,连结   AD 并延长交    BC 于 P.
    (1) 求证:AE·AB=AD·AP.
    (2) 已知  AE=EB=4,AD=5,求      AP 的长.


    (1)证明:连结     EF,则∠AEF=90°.
    ∵ ∠ACB=90°,∴ B,C,F,E         四点共圆.
    则∠AFE=∠B.
    ∵ ∠ADE=∠AFE,∴ ∠ADE=∠B.
    ∴ B,P,D,E    四点共圆.
    则 AE·AB=AD·AP.
    (2)解:∵ AE=EB=4,AD=5,∴ AB=8.
                               32
    由(1)AE·AB=AD·AP,得      AP= 5 .
    8. (2017·苏锡常镇二模)如图,直线            DE 切圆 O 于点  D,直线    EO 交圆 O 于 A,B  两点,
DC⊥OB 于点   C,且  DE=2BE,求证:2OC=3BC.


    证明:连结     OD,设圆的半径为       R,BE=x,
    则 OD=R,DE=2BE=2x,
    在 Rt△ODE  中,∵ DC⊥OB,∴ OD2=OC•OE,
    ∴ R2=OC(R+x) ①.
    ∵ 直线   DE 切圆  O 于点  D,∴ DE2=BE•AE,
    ∴ 4x2=x(2R+x) ②,
          2R
    ∴ x=   3 .
                    3R                 2R
    代入①,解得      OC=  5 ,∴ BC=OB-OC=    5 ,
    ∴ 2OC=3BC.
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    9.      如图,已知     AB 为圆  O 的直径,BC    切圆  O 于点  B,AC 交圆   O 于点 P,E  为线段
BC 的中点.求证:OP⊥PE.


                                  
     证明:连结     BP,∵ AB  是圆   O 的直径,
    ∴ ∠APB=90°,∴∠BPC=90°.
    在 Rt△BPC  中,∵ E   是边  BC 的中点,


    ∴ BE=EC,∴BE=EP,
    ∴ ∠1=∠3.
    ∵ B,P  为圆   O 上的点,
    ∴ OB=OP,∴∠2=∠4.
    ∵ BC 切圆   O 于点  B,
    ∴ ∠ABC=90°,即∠1+∠2=90°,
    从而∠3+∠4=90°,
    ∴ ∠OPE=90°.
    ∴ OP⊥PE.
    10.    (2017·金陵中学质检)如图,已知            AB 为圆  O 的直径,C,F     为圆  O 上的两点,
OC⊥AB,过点    F 作圆  O 的切线   FD 交 AB 的延长线于点     D,连结    CF 交 AB 于点 E.求证:DE2=
DA·DB.


                                 
    证明:连结     OF.
    ∵ DF 切圆   O 于 F,∴ ∠OFD=90°.


    ∴ ∠OFC+∠CFD=90°.
    ∵ OC=OF,∴ ∠OCF=∠OFC.
    ∵ CO⊥AB  于  O,
    ∴ ∠OCF+∠CEO=90°.
    ∴ ∠CFD=∠CEO=∠DEF,
    ∴ DF=DE.
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    ∵ DF 是圆   O 的切线,
    ∴ DF2=DB·DA.
    ∴ DE2=DB·DA.
    11. (2017·南通、泰州期末)已知圆           O 的直径   AB=4,C  为 AO 的中点,弦     DE 过点  C 且
满足   CE=2CD,求△OCE    的面积.


    解:设   CD=x,则    CE=2x.
    因为  CA=1,CB=3,
    由相交弦定理,得        CA·CB=CD·CE,
                                  6
    所以  1×3=x·2x=2x2,所以       x= 2 .
    取 DE 的中点   H,连结    OH,则  OH⊥DE.
                          3    5
                           x
    因为  OH2=OE2-EH2=4-(2   )2=8,
             10
    所以  OH=  4 .
    因为  CE=2x=   6,
                       1       1   10       15
    所以△OCE   的面积    S=2OH·CE=2×    4 ×  6=  4 .
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