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高中数学审核员

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                 2018   高中毕业年级第一次质量预测

                            文科数学试题卷

                                   第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共             12 个小题,每小题        5 分,共   60 分.在每小题给出的四个选

项中,只有一项是符合题目要求的.

      3 i
1.复数      ( i 为虚数单位)等于(    )
       i

A. 1 3i             B. 1 3i        C.1 3i           D.1 3i

2.设集合   A  x 1 x  2, B  x x  a,若 A B  A ,则  a 的取值范围是(    )

A.a a  2           B.a a 1       C.a a 1        D.a a  2

3.设向量   a  (1,m) , b  (m 1,2) ,且 a  b ,若 (a  b)  a ,则实数 m  (    )
   1                     1
A.                    B.               C.1               D.2
   2                     3

4. 下列说法正确的是(    )

A.“若 a 1,则   a2 1”的否命题是“若      a 1,则   a2 1”

B.“若 am2  bm2 ,则  a  b ”的逆命题为真命题


                   x0   x0
C. x0 (0,) ,使 3   4  成立

            1         
D.“若 sin    ,则      ”是真命题
            2         6

6.若某几何体的三视图(单位:            cm )如图所示,则该几何体的体积等于(    )


A.10 cm3              B.20 cm3         C.30 cm3          D. 40 cm3
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5.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两

鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如

图所示,则输出结果         n  (    )


A.5 B.4               C.3              D.2
                1                                    
7.若将函数    f (x)  sin(2x  ) 图象上的每一个点都向左平移              个单位,得到
                2         3                           3
 y  g(x) 的图象,则函数      y  g(x) 的单调递增区间为(    )
              3                                    
A.[k    ,k    ](k  Z)             B.[k   ,k   ](k  Z)
        4       4                              4      4
        2                                          5
C.[k     ,k   ](k  Z)             D.[k    ,k    ](k  Z)
        3       6                             12      12

                                                                       *
8.已知数列an的前      n 项和为   Sn , a1 1, a2  2 ,且 an2  2an1  an  0(n N ) ,记

     1   1       1       *
Tn        ...  (n  N ) ,则T2018  (    )
     S1  S2      Sn
   4034                  2017            4036              2018
A.                    B.               C.                D.
   2018                  2018            2019              2019

                ex  a, x  0
9.已知函数    f (x)           (a  R) ,若函数   f (x) 在 R 上有两个零点,则实数         a 的取
                2x  a, x  0

值范围是(    )

A.(0,1]               B.[1,)         C. (0,1)          D. (,1]

              x2   y2
10. 已知椭圆   C :       1(a  b  0) 的左顶点和上顶点分别为         A, B ,左、右焦点分别是
              a2   b2
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 F1, F2 ,在线段  AB 上有且只有一个点        P 满足  PF1  PF2 ,则椭圆的离心率的平方为(    

)

    3                    3  5           1   5            3 1
A.                    B.               C.                D.
   2                       2                2                2
11.我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出                   7 名学生参加     2018 年全国高中数学联赛

(河南初赛),他们取得的成绩(满分                 140 分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的

中位数是    81,乙班学生成绩的平均数是            86,若正实数     a,b 满足  a,G,b 成等差数列且

                     1  4
 x,G, y 成等比数列,则          的最小值为(    )
                     a  b


   4                                     9
A.                    B. 2             C.                D.9
   9                                     4
                                  y    y   x
12.若对于任意的正实数         x, y 都有 (2x  )Aln      成立,则实数      m 的取值范围为(    )
                                  e    x  me
   1                      1               1                   1
A. ( ,1)              B. (  ,1]        C. ( ,e]          D. (0, ]
   e                      e2              e2                  e

                                    第Ⅱ卷

二、填空题(本题共            4 小题,每题      5 分,共    20 分)

                         x 1,
                         
13. 设变量  x, y 满足约束条件     x  y  4  0, 则目标函数   z  4x  y 的最小值为               .
                         
                         x  3y  4  0,

14.如果直线    ax  2y  3a  0 与直线 3x  (a 1)y  a  7 平行,则 a                 .

                                            *
15.已知数列an满足      log2 an1 1 log2 an (n N ) ,且 a1  a2  a3 ... a10 1,则


log2 (a101  a102 ... a110 )                .

                x2   y2
16.已知双曲线     C :      1 的右焦点为     F ,过点    F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂
                a2   b2
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                                  
足为  M  ,交另一条渐近线于         N ,若  2FM    FN ,则双曲线的渐近线方程为           .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. 在A ABC  中,角   A, B,C 的对边分别为     a,b,c ,且  2c cos B  2a  b .

(1)求角    C ;

                          3
(2)若A    ABC 的面积为    S     c ,求  ab 的最小值.
                          2
18.2017 年 10 月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试,为了考察高中学生的身体

素质比情况,现抽取了某校            1000 名(男生    800 名,女生   200 名)学生的测试成绩,根据性

别按分层抽样的方法抽取           100 名进行分析,得到如下统计图表:

男生测试情况:
抽样情况         病残免试         不合格           合格           良好           优秀
人数           5            10            15           47           x

女生测试情况
抽样情况         病残免试         不合格           合格           良好           优秀
人数           2            3             10           y            2

(1)现从抽取的       1000 名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生,求选出的这两

名学生恰好是一男一女的概率;

(2)若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”,其它等级的学生(含病残免试)

为“非体育达人”,根据以上统计数据填写下面列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过

0.010 的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关?
                    男性                  女性                 总计
体育达人
非体育达人
总计

临界值表:


     2         0.10         0.05        0.025        0.010        0.005
 P(K   k0 )
               2.706        3.841       5.024        6.635        7.879
k0
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                  n(ad  bc)2
附:(   K 2                         ,其中   n  a  b  c  d )
           (a  b)(c  d)(a  c)(b  d)


19.如图,在三棱锥       P  ABC 中,平面    PAB   平面  ABC  , AB  6 , BC  2 3 ,

 AC  2 6 ,  D, E 为线段  AB  上的点,且     AD  2DB  , PD   AC .

(1)求证:     PD   平面  ABC  ;
               
(2)若   PAB     ,求点    B 到平面   PAC 的距离.
                4


20.已知圆   C : x2  y2  2x  2y 1  0 和抛物线 E : y2  2 px( p  0) ,圆心 C 到抛物线焦

点  F 的距离为     17 .

(1)求抛物线      E 的方程;

(2)不过原点的动直线          l 交抛物线于    A, B 两点,且满足     OA  OB  .设点 M  为圆  C 上任意

一动点,求当动点        M  到直线   l 的距离最大时的直线       l 方程.
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21.已知函数    f (x)  ln x  a(x 1) , a  R 在 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.

(1)求    f (x) 的单调区间;

                                            x2      1
(2)若存在     x  1,当   x (1, x ) 时,恒有  f (x)   2x    k(x 1) 成立,求   k 的取
            0              0                2       2

值范围.


22.在平面直角坐标系        xOy 中,直线    l 过点 (1,0) ,倾斜角为    ,以坐标原点为极点,          x 轴

                                                    8cos
的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线                C 的极坐标方程是       =         .
                                                   1 cos2 

(1)写出直线      l 的参数方程和曲线       C 的直角坐标方程;
           
(2)若       ,设直线    l 与曲线  C 交于   A, B 两点,求A   AOB  的面积.
           4

23.设函数   f (x)  x  3 , g(x)  2x 1 .

(1)解不等式       f (x)  g(x) ;

(2)若   2 f (x)  g(x)  ax  4 对任意的实数  x 恒成立,求    a 的取值范围.
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         2018   年高中毕业年级第一次质量预测
                   文科数学   参考答案
一、选择题
   题号     1  2   3    4    5    6   7    8    9   10   11   12
二、填空题答案   A  D   C    D    B    B   A    C    A   B    C    D

                               3
13. 6; 14. 3;  15.100; 16. y   x.
                               3
三、解答题:
          a    b     c
 17.(1)              .
        sin A sin B sin C
由已知可得,2sin   C cos B  2sin A  sin B,

则有2(sin C cos B  2sin B  C)  sin B.

2sin B cosC  sin B  0,
                                    1
 B为三角形的内角         sin B  0. cosC   .
                                    2
                          2
又为C三角形的内角,          C     .
                           3
         1         3      1
(2)S    absin C  c,c  ab.  
         2        2       2

又c2  a2  b2  2abcosC  a2  b2  ab,

  a2b2
      a2  b2  ab  3ab.
   4
ab 12.
故 ab 的最小值为   12.
18.(1)按分层抽样男生应抽取        80 名,女生应抽取   20 名.
 x  80  (5 10 15  47)  3 , y  20  (2  310  2)  3.
抽取的  100 名且测试等级为优秀的学生中有三位男生,设为            A , B , C ;
两位女生设为    a , b .从 5 名任意选 2 名,总的基本事件有    (A,B) , (A,C) , (A,a) ,
(A,b) (B,C) , (B,a) , (B,b) , (C,a) , (C,b) , (a,b) ,共 10 个.
设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件            A ”.
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则事件包含的基本事件有       (A,a) , (A,b) , (B,a) , (B,b) , (C,a) , (C,b) 共 6 个.
         6  3
 P(A)      
        10  5
(2) 2 2 列联表如下表:
                男生              女生               总计
体育达人            50              5                55
非体育达人           30              15               45
总计              80              20               100
          n(ad bc)2     100(5015  305)2
则 k 2                                  9.091.
      (a b)(c d)(a c)(b d) 80 2055 45

9.091  6.635 且 P(k2  6.635)  0.010 .

所以在犯错误的概率不超过        0.010 的前提下可以认为“是否为‘体育达人’与性别无关”. 

19.(1)证明:连接    CD ,据题知   AD  4, BD  2.
                                                A        CP D   B
                                       2 3   3
 AC 2  BC 2  AB2 ,ACB  90 , cosABC   ,
                                        6    3

CD2   22 12  2 2 2 3 cosABC  8CD  2 2.

CD2  AD2  AC 2 ,则 CD  AB ,
又因为  平平  PAB  平平 ABC ,所以  CD  平平 PAB,CD   PD,  
因为  PD  AC , AC,CD 都在平面  ABC 内,所以   PD  平面 ABC ; 
            
(2)PAB     , PD  AD  4, PA  4 2,
             4

在R中t,PCD   PC   PD2  CD2  2 6,


PAC是等腰三角形,可求得S=8PAC      ,  2

设点B到平面的P距AC离为        d,

               1         1             SABC  PD
由V,BPAC  VPABC  SPAC  d  SABC  PD,d  =3.
               3         3               SPAC
故点B到平面的P距AC离为3

20.(1)  C : x2  y2  2x  2 y 1  0 可化为 (x 1)2  ( y 1)2  1,则

圆心C为()-.1,1

    p           p   2      2
 F  ,0 , CF  ( 1)  (0 1)  17,解得p  6.
    2           2

∴抛物线的方程为     y2 12x.
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(2)设直线l为:     x  my  t(t  0), A(x1, y1), B(x2 , y2 ).

         2
联立可得y     12my 12t  0.  y1  y2  12m, y1Ay2  12t,


OA   OB, x1x2  y1 y2  0,


     2                  2
即(m   1)y1 y2  mt(y1  y2 )  t  0.

整理可得    2
        t 12t  0 ,t  0,t  12.  
直线l的方程为:      x  my 12, 故直线l过定 P(12,0).  
当C时N,即l 动点经过圆M心时到动直C线(的1,距1)离取得最大l值.
当 CP  l 时,即动点  M 经过圆心  C(-1,1)时到动直线 l 的距离取得最大值.

         1 0    1      1
k   k         ,m    ,
 MP   CP 112   13     13

                    1
此时直线l的方程为:即x      为  y 12,  13x  y 156  0.
                    13
21.(1)由已知可得     f (x) 的定义域为 (0,).
        1                               1    1 x
 f (x)   a,  f (1)  1 a  0, a  1.  f (x)  1  ,
        x                               x      x
令f得(x)  0 0  x  1, 令f得(x)  0 x  1,

 f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).

                x2     1                  x2    1
(1)   不等式  f (x)   2x   k(x 1) 可化为 ln x   x   k(x 1) ,
                2      2                  2     2
            x2    1
令g(x)  ln x   x   k(x 1),(x 1),
            2     2
         1            x2  (1 k)x 1
令g(x)     x 1 k                ,
          x                  x
                                         1 k
 x  1, 令h(x)  x2  (1 k)x 1, h(x)的对称轴为x  ,
                                           2
          1 k
      ① 当时,即   1     k  1, 易知h在(x() ,上1单x调)递减   ,
            2                            0
h(x)  h(1)  1 k,


若k则 1, h(x)  0, g(x)  0, g(x)在(1,上x0 )单调递减 , g(x)  g(1)  0 ,不

适合题意.
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若-1  k  1,则 h(1)  0, 必存在x使0 得(x,时1 x0 ) g(x)  0,


g(x)在(1,上x0 )单调递增    , g(x)  g(1)  0恒成立, 适合题意.

          1 k
      ② 当时,即   1     k  1, 易知必存在x使得在h((x,) 上单1 调x递) 增     ,
            2                        0             0

h(x)  h(1)  1 k  0, g(x)  0, g(x)在(1,上x0 )单调递增 ,

g(x)  g(1)  0恒成立, 适合题意.
综上,  k 的取值范围是   (,1).

                     x 1 t cos,
22.(1)直线 l 的参数方程为:             (t为参数).
                     y  t sin

     8cos
       ,  sin2   8cos,  2 sin2   8 cos, 即y2  8x.
     sin2 
                                    2
                              x 1  t,
                                  2
(2)当     时,直线  l 的参数方程为:            (t为参数),
         4                         2
                              y   t
                                2

     2       2
代入  y  8x 可得 t 8 2t 16  0,


设A、两B点对应的参数分别为则t1,t2       ,  t1  t1  8 2, t1At2  16


                   2
 AB  t1  t2  (t1  t2 )  4t1At2  8 3.

                             2
又点O到直线的A距B离       d 1sin     ,
                          4   2
        1       1        2
S      AB  d  8 3    2 6.
   AOB 2       2       2
23.(本小题满分   10 分)
(1)由已知,可得     x  3  2x 1 ,
即  x  3 2  2x 1 2 .
则有:3x2   10x 8  0,
      2
 x   或x  4.
      3
                        2
故所求不等式的解集为:(,         )  (4,).
                        3
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                                             
                                             4x  5, x  3,
                                             
                                                      1
 (2)由已知,设h(x)     2 f (x)  g(x)  2 x  3  2x 1  7,3  x  ,
                                                      2
                                                      1
                                              4x  5, x  .
                                                     2
 当x时,3只需恒成立即4x    5  ax  4   , ax  4x  9,
                   4x  9     9
 x  3  0  a          4  恒成立.
                      x        x
          9
a   (4  ) ,a  1,
          x max
          1
 当时 3,只x 需恒成立即恒7成  a立x. 4   ,  ax  3  0
          2
      3a  3  0
                a  1
 只需1          ,     ,1 a  6.
       a  3  0 a  6
     2
      1
 当x时,只需恒成立4x即    5  ax  4   ,  ax  4x 1.
      2
      1            4x 1    1
 x    0,   a        4  恒成立.
      2              x       x
     1
4     4 ,且无限趋近于    4,
     x
a   4.
 综上,  a 的取值范围是    (1,4].
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