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2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练: 11 Word版含解析

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高中数学审核员

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                  高考大题专攻练
                    11.函数与导数(A     组)

       大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!

1.已知函数    f(x)=x·ex-1-a(x+lnx),a∈R.

                                    世纪金榜导学号       92494447

(1)若曲线   y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为        x 轴,求   a 的值.

(2)在(1)的条件下,求       f(x)的单调区间.

(3)若任意   x>0,f(x)≥f(m)恒成立,且       f(m)≥0,求证:

f(m)≥2(m2-m3).

【解析】(1)f(x)的定义域是(0,+∞),

f′(x)=ex-1+x·ex-1-a      ,
故 f(1)=1-a,f′(1)=2-2a,

故切线方程是      y-(1-a)=(2-2a)(x-1),

即 y=(2-2a)x+a-1;

由 2-2a=0,且   a-1=0,解得   a=1.

(2)由(1)得  a=1,f′(x)=(x+1)            ,
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令 g(x)=ex-1- ,x∈(0,+∞),


所以  g′(x)=ex-1+  >0,故  g(x)在(0,+∞)上递增,

又 g(1)=0,x∈(0,1)时,g(x)g(1)=0,此时        f′(x)>0,f(x)递增,

故 f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增.

(3)f′(x)=(x+1)          ,


令 h(x)=ex-1- ,x∈(0,+∞),h′(x)=ex-1+      ,

①a≤0  时,h(x)>0,此时     f′(x)>0,f(x)递增,无最小值,故

a≤0 不符合题意;

②a>0 时,h′(x)>0,h(x)在(0,+∞)递增,

取实数   b,满足    01-     =     >0,

所以存在唯一的       x0∈(b,a+1),使得     h(x0)=0,即  a=x0     ,

x∈(0,x0)时,h(x)h(x0)=0,此时       f′(x)>0,f(x)递增,

故 x=x0 时,f(x)取最小值,

                      m-1
由题设,x0=m,故      a=m·e  ,lna=lnm+m-1,

f(m)=mem-1(1-m-lnm),

由 f(m)≥0,得    1-m-lnm≥0,

令 ω(m)=1-m-lnm,显然    ω(m)在(0,+∞)递减.

因为  ω(1)=0,所以     1-m-lnm≥0,故   00,所以   f(m)=m·em-1(1-m-lnm)≥m2·2(1-m)=2(m2-

m3),

综上,f(m)≥2(m2-m3).

2.已知  f(x)=bx-b,g(x)=(bx-1)ex,b∈R.

(1)若 b≥0,讨论     g(x)的单调性.

(2)若不等式    f(x)>g(x)有且仅有两个整数解,求           b 的取值范围.

【解析】(1)g′(x)=ex(bx+b-1),当      b=0 时,g′(x)<0   在 R 上恒成

立,即   g(x)在(-∞,+∞)上单调递减,

当 b>0 时,g′(x)>0   的解集为                ,即  g(x)在
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           上单调递增,在                    上单调递减.
(2)由不等式    f(x)>g(x)有且仅有两个整数解得,

b(xex-x+1)0 时,ex-1>0,x(ex-1)+1>0;当    x<0 时,ex-1<0,x(ex-


1)+1>0,所以,b<              有两个整数解,设        φ(x)=


          ,则   φ′(x)=               ,令  h(x)=2-x-ex,则

           x
h′(x)=-1-e <0,又   h(0)=1>0,h(1)=1-e<0,所以存在     x0∈(0,

1),使得   h(x0)=0,所以   φ(x)在(-∞,x0)为增函数,在(x0,


+∞)为减函数,所以        b<          有两个整数解的充要条件是


                    ,解得         ≤b<1.
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