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2018版高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4

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高中数学审核员

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三 简单曲线的极坐标方程
1.了解极坐标方程的意义.
2.掌握直线和圆的极坐标方程.
3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题              .
[知识链  接]
1.曲线的极坐标方程是否唯一?
 提示 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,所以曲线
 上的点的极坐标有多种表示,曲线的极坐标方程不唯一.

2.上节课  我们学了点的直角坐标与极坐标的互化,若已知一曲
 线的极坐标方程是ρ=2cos θ,那么该曲线对应              怎样的几何图
 形?提示 由ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ,即x2+y2=2x,即标准方程
  为(x-1)2+y2=1,曲线为以(1,0)为圆心,半径为1的圆.
[预习导   引]
 1.曲线与方程的关系
  在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程f(x,y)=0表
  示,曲线与方程满足如下关系:
  (1)曲线C上   点的坐标     都是方程f(x,y)=0的解;
  (2)以方程f(x,y)=0的解为       坐标  的点   都在曲线C上.
2.曲线的极坐标方程

  一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极
  坐标中至少有一个满足方程           f(ρ,θ)=0  ,并且坐标适
                                          ,
  合方程   f(ρ,θ )=   0    的点都在曲线C上,那么方程f(ρ    θ  )         
  =0叫做曲线C的极坐标方程.
3.常见曲线的极坐标方程


                                  ρ=r


                                    ρ=2rcos θ


                                    ρ=2rsin θ
θ=α或θ=α+π

  pcos θ=a


  psin  θ=a
要点一 圆的极坐标方程
规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:(1)建
立适当的极坐标系(本题无需建);(2)在曲线上任取一点M(ρ,
θ);(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式;(4)用极坐标(ρ
,θ)表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;(5)证明所得
的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可
).
2.求曲线的极坐标方程,关键是找出曲线上的点满足的几何条
件,并进行坐标表示.
跟踪演练1 曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2x=0,以原点为
   极点,x轴的正半轴为       极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标
   方程为________.

   解析 直角坐标方程x2+y2-2x=0可化为x2+y2=2x,将ρ2=
   x2+y2,x=ρcos θ代入整理得ρ=2cos θ.
   答案 ρ=2cos θ
要点二 射线或直线的极坐标方程
规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所
满足的等式,从而集中条件建立了以ρ,θ为未知数的方程;
法二先求出直线的直角坐标方程,然后通过直角坐标向极坐
标的转化公式间接得解,过渡自然,视角新颖,不仅优化了
思维方式,而且简化了解题过程.

要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化
例3 若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点
 ,极轴为    x轴的正半轴建立直角坐标系.

规律方法 1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x
=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;而极坐标方程化
为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的
形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及
方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方
程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验.2.对方程进
行合理变形,并注重公式的正向、逆向与变形使用.
跟踪演练3 (1)将x2-y2=a2化为极坐标方程;
要点四 极坐标方程的应用

例4   从极点O作直线与另一直线l:ρcos θ=4相交于点M,
  在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12.

  (1)求点P的轨迹方程;
  (2)设R为l上的任意一点,试求|RP|的最小值.
规律方法 1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接
、简单的解法.当然,因为建系的不同,曲线的极坐标方程
也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当,这样可以简化
运算过程,转化为直角坐标时也容易一些.
跟踪演练4 在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-
  1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为             极轴建立
  极坐标系.

1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别


2.求曲线的极坐标方程,就是在曲线上任找一点M(ρ,θ),探求ρ
  ,θ的关系,经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.
1.极坐标方程分别为       ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是(
    )


   答案 D
A.圆                  B.椭圆
C.双曲线的一支             D.抛物线


答案 D

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