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河北省衡水市安平中学2016-2017学年高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

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     2016-2017  学年河北省衡水市安平中学高一(下)期末数学试卷(文科)
  

 一、选择题:(每题只有一个正确选项.共                   12 个小题,每题      5 分,共   60 分.)
 1.下列数列中不是等差数列的为(  )

 A.6,6,6,6,6      B.﹣2,﹣1,0,1,2     C.5,8,11,14      D.0,1,3,6,10.

 2.已知   m 和  2n 的等差中项是      4,2m  和 n 的等差中项是      5,则   m 和 n 的等差中项是(  )
 A.2    B.3    C.6    D.9

 3.在△A BC   中内角   A,B,C   所对各边分别为        a,b,c,且    a2=b2+c2﹣bc,则角  A=(  )

 A.60°  B.120°C.30°   D.150°

 4.已知等差数列{an}中,a2=2,d=2,则           S10=(  )
 A.200  B.100  C.90   D.80

 5.已知{an}是等比数列,其中|q|<1,且              a3+a4=2,a2a5=﹣8,则 S3=(  )

 A.12   B.16   C.18   D.24
 6.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的
 太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.是中华传

 统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前                       10 项依次是    0、2、4、8、12、18、24、32、
 40、50…,则此数列第       20 项为(  )
 A.180  B.200  C.128  D.162


 7.定义               为  n 个正数   p1,p2,…,pn   的“均倒数”.若已知正数数列{an}的前              n 项的“均


倒数”为        ,又  bn=     ,则       +     +     +…+          =(  )

 A.        B.         C.        D.

 8.在△ABC   中,b2=ac,且    a+c=3,cosB=   ,则    •  =(  )

 A.     B.﹣    C.3    D.﹣3

 9.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取                    A、B  两点,从    A、B  两点分别测得树尖的仰角为
30°,45°,且   A、B  两点间的距离为        60m,则树的高度为(  )
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A.               B.                C.               D.


10.数列{an}满足                              ,则   an=(  )

A.        B.         C.     D.

11.△ABC  外接圆半径为       R,且  2R(sin2A﹣sin2C)=(    a﹣b)sinB,则角   C=(  )

A.30°  B.45°  C.60°  D.90°

12.在△ABC   中,内角     A,B,C   的对边分别为      a,b,c,且     b2+c2+bc﹣a2=0,则            =(  

)

A.﹣    B.     C.﹣    D.
 

二、填空题(共       4 个小题,每题      5 分,共   20 分.)
13.边长为    5、7、8   的三角形的最大角与最小角之和为                     .


14.若数列{an}满足                      ,则  a2017=     .


15.已知正项等比数列{an}中,a1=1,其前             n 项和为   Sn(n∈N*),且                          ,则

S4=     .

16.△ABC  的内角    A,B,C   的对边分别为      a,b,c,若     cosA=   ,cosC=     ,a=1,则    b=      
.
 

三、解答题(共       6 小题,满分     70 分)
17.在△ABC   中,a2+c2=b2+2      ac.
(1)求∠B     的大小;
                        中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
(2)求       cosA+cosC 的最大值.


18.已知{an}是公差为       3 的等差数列,数列{bn}满足         b1=1,b2=    ,anbn+1+bn+1=nbn.

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)求{bn}的前      n 项和.

19.已知数列{an}的前       n 项和为   Sn,且  n+1=1+Sn 对一切正整数    n 恒成立.

(1)试求当     a1 为何值时,数列{an}是等比数列,并求出它的通项公式;


(2)在(1)的条件下,当           n 为何值时,数列                       的前  n 项和  Tn 取得最大值.

20.在△ABC   中,AC=6,cosB=       ,C=      .
(1)求   AB 的长;

(2)求   cos(A﹣     )的值.

21.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且               b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设   cn=an+bn,求数列{cn}的前     n 项和.

22.在△ABC   中,内角     A,B,C   的对边分别为      a,b,c,已知      sin2

               .
(Ⅰ)    求角  A 的大小;
(Ⅱ)    若 b+c=2,求  a 的取值范围.
 
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2016-2017    学年河北省衡水市安平中学高一(下)期末数学试卷(文科)


                                     参考答案与试题解析

 

一、选择题:(每题只有一个正确选项.共                   12 个小题,每题      5 分,共   60 分.)
1.下列数列中不是等差数列的为(  )

A.6,6,6,6,6      B.﹣2,﹣1,0,1,2     C.5,8,11,14      D.0,1,3,6,10.

【考点】83:等差数列.
【分析】根据等差数列的定义,对所给的各个数列进行判断,从而得出结论.

【解答】解:A,6,6,6,6,6           常数列,公差为        0;

B,﹣2,﹣1,0,1,2    公差为   1;

C,5,8,11,14    公差为    3;
D,数列   0,1,3,6,10     的第二项减去第一项等于           1,第三项减去第二项等于            2,故此数列不是等
差数列.

故选:D.
 

2.已知   m 和  2n 的等差中项是      4,2m  和 n 的等差中项是      5,则   m 和 n 的等差中项是(  )
A.2    B.3    C.6    D.9
【考点】8F:等差数列的性质.
【分析】由等差中项的性质,利用已知条件,能求出                       m,n,由此能求出        m 和  n 的等差中项.
【解答】解:∵m        和 2n 的等差中项是      4,2m  和  n 的等差中项是      5,


∴                 ,
解得  m=4,n=2,

∴m  和 n 的等差中项=            =       =3.
故选:B.
 
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3.在△A BC   中内角   A,B,C   所对各边分别为        a,b,c,且    a2=b2+c2﹣bc,则角  A=(  )

A.60°  B.120°C.30°   D.150°
【考点】HR:余弦定理.
【分析】由已知及余弦定理可求              cosA 的值,结合范围       A∈(0°,180°),利用特殊角的三角函数值即
可得解   A 的值.

【解答】解:在△A BC        中,∵a2=b2+c2﹣bc,

∴可得:b2+c2﹣a2=bc,

∴cosA=                    =       =   ,

∵A∈(0°,180°),

∴A=60°.

故选:A.
 

4.已知等差数列{an}中,a2=2,d=2,则           S10=(  )
A.200  B.100  C.90   D.80
【考点】85:等差数列的前           n 项和.
【分析】由等差数列的通项公式,可得首项,再由等差数列的求和公式,计算即可得到所求和.

【解答】解:等差数列{an}中,a2=2,d=2,

a1+d=2,解得   a1=0,


则 S10=10a1+  ×10×9d=0+45×2=90.
故选:C.
 

5.已知{an}是等比数列,其中|q|<1,且              a3+a4=2,a2a5=﹣8,则 S3=(  )

A.12   B.16   C.18   D.24
【考点】88:等比数列的通项公式.

                           2
【分析】推导出       a3,a4 是方程   x ﹣2x﹣8=0 的两个根,|a3|>|a4|,解方程,得          a3=4,a4=﹣2,由等比数


列通项公式列出方程组,求出                                     ,由此能求出      S3.
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 【解答】解:∵{an}是等比数列,其中|q|<1,且                  a3+a4=2,a2a5=﹣8,

 ∴a3a4=a2a5=﹣8,

               2
 ∴a3,a4 是方程    x ﹣2x﹣8=0 的两个根,|a3|>|a4|,

 解方程,得     a3=4,a4=﹣2,


 ∴                 ,解得                           ,


 ∴S3=                   =                          =12.
 故选:A.
  

 6.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的
 太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.是中华传

 统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前                       10 项依次是    0、2、4、8、12、18、24、32、
 40、50…,则此数列第       20 项为(  )
 A.180  B.200  C.128  D.162
 【考点】81:数列的概念及简单表示法.

                                                                         2
 【分析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,可得偶数项的通项公式:a2n=2n                         .即可得出.
 【解答】解:由       0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,

                            2
 可得偶数项的通项公式:a2n=2n           .
 则此数列第     20 项=2×102=200.
 故选:B.
  


 7.定义                            为  n 个正数   p1,p2,…,pn   的“均倒数”.若已知正数数列


{an}的前   n 项的“均倒数”为              ,又   bn=         ,则

          +          +          +…+                    =(  )
                         中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 A.            B.            C.            D.
 【考点】8E:数列的求和.

 【分析】直接利用给出的定义得到                                        =         ,整理得到

     2
 Sn=2n +n.分 n=1 和 n≥2  求出数列{an}的通项,验证          n=1 时满足,所以数列{an}的通项公式可求;

再利用裂项求和方法即可得出.

 【解答】解:由已知定义,得到                                       =         ,

 ∴a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn,

        2
 即 Sn=2n +n.

 当 n=1 时,a1=S1=3.

                        2            2
 当 n≥2  时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2n +n)﹣[2(n﹣1)  +(n﹣1)]=4n﹣1.

 当 n=1 时也成立,

 ∴an=4n﹣1;


 ∵bn=          =n,

 ∴              =             =   ﹣       ,

 ∴          +          +          +…+              =1﹣  +    ﹣  +…+    ﹣      =1﹣

    =       ,

 ∴          +          +          +…+                    =         ,

 故选:C
  

 8.在△ABC   中,b2=ac,且    a+c=3,cosB=    ,则       •    =(  )

 A.     B.﹣    C.3    D.﹣3
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 【考点】HR:余弦定理;9R:平面向量数量积的运算.
 【分析】利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,把已知等式及                                  cosB 的值代入求出
 ac 的值,原式利用平面向量的数量积运算法则变形,将各自的值代入计算即可求出值.

 【解答】解:∵在△ABC         中,b2=ac,且    a+c=3,cosB=    ,

 ∴由余弦定理得:cosB=                           =                   =                      =

            =   ,即  ac=2,

 则     •    =﹣cacosB=﹣  .

 故选:B.
  

 9.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取                    A、B  两点,从    A、B  两点分别测得树尖的仰角为
30°,45°,且   A、B  两点间的距离为        60m,则树的高度为(  )


 A.                          B.                          C.
    D.
 【考点】HU:解三角形的实际应用.
 【分析】要求树的高度,需求             PB 长度,要求     PB 的长度,在△PAB       由正弦定理可得.
 【解答】解:在△PAB,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60,

 sin15°=sin(45°﹣30°)=sin45°cos30°﹣cos45°sin30

 °=     ×       ﹣     ×    =


 由正弦定理得:                                       ,∴PB=                =30(      +     ),
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∴树的高度为      PBsin45°=30(     +     )×        =(30+30      )m,
答:树的高度为(30+30            )m.
故选  A
 


10.数列{an}满足                                                        ,则   an=(  )

A.               B.                C.        D.

【考点】8H:数列递推式.
【分析】利用数列递推关系即可得出.

【解答】解:∵                                                           ,


                    n﹣2
∴n≥2  时,a1+3a2+…+3   an﹣1=      ,


   n﹣1
∴3  an=   ,可得   an=               .


n=1 时,a1=    ,上式也成立.  


则 an=               .

故选:B.
 

11.△ABC  外接圆半径为       R,且  2R(sin2A﹣sin2C)=(      a﹣b)sinB,则角   C=(  )

A.30°  B.45°  C.60°  D.90°
【考点】HR:余弦定理.

【分析】先根据正弦定理把            2R(sin2A﹣sin2C)=(      a﹣b)sinB 中的角转换成边可得        a,b  和 c 的关

系式,再代入余弦定理求得            cosC 的值,进而可得       C 的值.

【解答】解:△ABC       中,由    2R(sin2A﹣sin2C)=(     a﹣b)sinB,

根据正弦定理得       a2﹣c2=(    a﹣b)b=      ab﹣b2,

∴cosC=                        =      ,
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∴角  C 的大小为    30°,
故选  A.
 

12.在△ABC   中,内角     A,B,C   的对边分别为      a,b,c,且     b2+c2+bc﹣a2=0,则

            =(  )

A.﹣    B.     C.﹣       D.

【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.

【分析】由     b2+c2+bc﹣a2=0,利用余弦定理可得        cosA=                   =﹣   ,A=120°.再利用正

弦定理可得                              =                                =


                                        ,化简即可得出.

【解答】解:∵b2+c2+bc﹣a2=0,

∴cosA=                    =﹣   ,

∴A=120°.

由正弦定理可得                                =                                =


                                        =                                =   .

故选:B.
 

二、填空题(共       4 个小题,每题      5 分,共   20 分.)
13.边长为    5、7、8   的三角形的最大角与最小角之和为 120° .
【考点】HR:余弦定理.
【分析】直接利用余弦定理求出              7 所对的角的余弦值,求出角的大小,利用三角形的内角和,求解
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最大角与最小角之和.
【解答】解:根据三角形中大角对大边,小角对小边的原则,

所以由余弦定理可知         cosθ=                   =    ,

所以  7 所对的角为     60°.
所以三角形的最大角与最小角之和为:120°.
故答案为:120°.
 


14.若数列{an}满足                                      ,则  a2017= 2 .

【考点】8H:数列递推式.


【分析】数列{an}满足        a1=2,an=1﹣        ,可得    an+3=an,利用周期性即可得出.


【解答】解:数列{an}满足          a1=2,an=1﹣        ,


可得  a2=1﹣  =   ,

a3=1﹣2=﹣1,

a4=1﹣(﹣1)=2


a5=1﹣  =   ,

…,

∴an+3=an,数列的周期为       3.

∴a2017=a672×3+1=a1=2.

故答案为:2
 


15.已知正项等比数列{an}中,a1=1,其前             n 项和为   Sn(n∈N*),且                          ,则

S4= 15 .
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【考点】89:等比数列的前           n 项和.
【分析】由题意先求出公比,再根据前                 n 项和公式计算即可.


【解答】解:正项等比数列{an}中,a1=1,且                                    ,

∴1﹣   =     ,

即 q2﹣q﹣2=0,

解得  q=2 或 q=﹣1(舍去),


∴S4=          =15,

故答案为:15.
 

16.△ABC  的内角    A,B,C   的对边分别为      a,b,c,若     cosA=   ,cosC=     ,a=1,则    b=        
.

【考点】HX:解三角形.
【分析】运用同角的平方关系可得               sinA,sinC,再由诱导公式和两角和的正弦公式,可得                   sinB,运用

正弦定理可得      b=           ,代入计算即可得到所求值.

【解答】解:由       cosA=   ,cosC=      ,可得

sinA=                 =            =   ,

sinC=                 =              =     ,

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=  ×      +   ×      =      ,

由正弦定理可得       b=


=            =     .

故答案为:          .
 

三、解答题(共       6 小题,满分     70 分)
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17.在△ABC   中,a2+c2=b2+2      ac.
(1)求∠B     的大小;
(2)求       cosA+cosC 的最大值.
【考点】HT:三角形中的几何计算.

【分析】(1)由余弦定理求出             cosB=     ,由此能求出∠B        的值.

(2)推导出                     ,从而                          =

               =                    ,由此能求出           cosA+cosC 的最大值.
【解答】解:(1)∵在△ABC           中,a2+c2=b2+2      ac.

∴                               ,

∴由余弦定理得:                                                           ,

∵0<B<π,∴                  .

(2)∵A+B+C=π,                  ,

∴                 ,
∴

=

=                              =                    ,

∵                 ,

∴                             ,

∴                                    ,

∴                     最大值为    1,

∴     cosA+cosC 的最大值为      1.

 


18.已知{an}是公差为       3 的等差数列,数列{bn}满足         b1=1,b2=    ,anbn+1+bn+1=nbn.

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)求{bn}的前      n 项和.
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【考点】8H:数列递推式.

【分析】(Ⅰ)令        n=1,可得    a1=2,结合{an}是公差为      3 的等差数列,可得{an}的通项公式;


(Ⅱ)由(1)可得:数列{bn}是以             1 为首项,以       为公比的等比数列,进而可得:{bn}的前                 n 项
和.

【解答】解:(Ⅰ)∵anbn+1+bn+1=nbn.

当 n=1 时,a1b2+b2=b1.


∵b1=1,b2=    ,

∴a1=2,

又∵{an}是公差为      3 的等差数列,

∴an=3n﹣1,

(Ⅱ)由(I)知:(3n﹣1)bn+1+bn+1=nbn.

即 3bn+1=bn.


即数列{bn}是以     1 为首项,以       为公比的等比数列,


                                          ﹣n
∴{bn}的前   n 项和  Sn=               =   (1﹣3 )=    ﹣             .
 

19.已知数列{an}的前       n 项和为   Sn,且  n+1=1+Sn 对一切正整数    n 恒成立.

(1)试求当     a1 为何值时,数列{an}是等比数列,并求出它的通项公式;


(2)在(1)的条件下,当           n 为何值时,数列                       的前  n 项和  Tn 取得最大值.

【考点】8E:数列的求和.

【分析】(1)由已知数列递推式可得                an+1=2an,再由数列{an}是等比数列求得首项,并求出数列通
项公式;


(2)把数列{an}的通项公式代入数列                             ,可得数列                      是递减数列,

可知当   n=9 时,数列                    的项为正数,n=10      时,数列                    的项为负数,

则答案可求.
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【解答】解:(1)由         an+1=1+Sn 得:当 n≥2  时,an=1+Sn﹣1,

两式相减得:an+1=2an,

∵数列{an}是等比数列,∴a2=2a1,

又∵a2=1+S1=1+a1,解得:a1=1.

得:                ;

(2)                            ,可知数列                       是一个递减数列,

∴

                                                ,


由此可知当     n=9 时,数列                    的前项和    Tn 取最大值.
 

20.在△ABC   中,AC=6,cosB=       ,C=      .
(1)求   AB 的长;

(2)求   cos(A﹣     )的值.

【考点】HX:解三角形;HP:正弦定理;HR:余弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理,即可求                AB 的长;

(2)求出    cosA、sinA,利用两角差的余弦公式求             cos(A﹣     )的值.

【解答】解:(1)∵△ABC          中,cosB=     ,

∴sinB=   ,

∵                     ,


∴AB=              =5     ;

(2)cosA=﹣cos(C+B)=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣     .
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∵A 为三角形的内角,

∴sinA=        ,

∴cos(A﹣      )=       cosA+   sinA=               .
 

21.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且               b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设   cn=an+bn,求数列{cn}的前     n 项和.
【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.

【分析】(1)设{an}是公差为           d 的等差数列,{bn}是公比为         q 的等比数列,运用通项公式可得
q=3,d=2,进而得到所求通项公式;

                      n﹣1
(2)求得    cn=an+bn=2n﹣1+3 ,再由数列的求和方法:分组求和,运用等差数列和等比数列的求和公
式,计算即可得到所求和.

【解答】解:(1)设{an}是公差为             d 的等差数列,

{bn}是公比为    q 的等比数列,


由 b2=3,b3=9,可得    q=     =3,

     n﹣2   n﹣2 n﹣1
bn=b2q =3•3 =3  ;

即有  a1=b1=1,a14=b4=27,

则 d=              =2,

则 an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;

                  n﹣1
(2)cn=an+bn=2n﹣1+3  ,

则数列{cn}的前     n 项和为

(1+3+…+(2n﹣1))+(1+3+9+…+3n﹣1)=        n•2n+

=n2+         .
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22.在△ABC   中,内角     A,B,C   的对边分别为      a,b,c,已知      sin2

               .
(Ⅰ)    求角  A 的大小;
(Ⅱ)    若 b+c=2,求  a 的取值范围.
【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.

【分析】(Ⅰ)由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得                                                ,由   0<

B+C<π,可求                 ,进而可求      A 的值.

(Ⅱ)根据余弦定理,得           a2=(b﹣1)2+3,又   b+c=2,可求范围      0<b<2,进而可求       a 的取值范围.

【解答】(本小题满分          12 分)

解:(Ⅰ)由已知得                                                     ,

化简得                                                                 ,

整理得                                          ,即                        ,

由于  0<B+C<π,则                  ,

所以             .

(Ⅱ)根据余弦定理,得

=b2+c2+bc

=b2+(2﹣b)2+b(2﹣b)

=b2﹣2b+4

=(b﹣1)2+3.

又由  b+c=2,知  0<b<2,可得      3≤a2<4,
所以  a 的取值范围是                         .
 
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2017   年  8 月   7 日
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