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3.3直线的交点坐标与距离公式

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高中数学审核员

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                                 3.3.1   两直线的交点坐标
【课    型】新授课
【教学目标】1.了解方程组解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系;
            2.会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标。
【教学重点】判断两直线是否相交,求交点坐标。
【教学难点】两直线相交与二元一次方程的关系。
【教学过程】
【引入】
    问题:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果两直线相交于一点,
这一点与这两条直线的方程有何关系?
【探究新知】

    1.思考:已知两条直线         l1 : A1x  B1 y  C1  0 , l2 : A2 x  B2 y  C2  0 相交,如何求它们交点的坐标?
    教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看表一,并填空。
        
             几何元素及关系                        代数表示     

             点 A                                 A(a,b)
             直线  L                               L:  Ax+By+C=0
             点 A 在直线上
             直线  L1 与 L2 的交点   A


                                                            A1x  B1 y  C1  0
                  l ,l                                     
    结论:求两直线       1 2 交点的坐标,将两直线方程联立,解方程组                  A2 x  B2 y  C2  0
    2.问题:方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系?(学生讨                                    论,教师引导归纳)


                          唯一解      l1,l2相交
                          
          直线l1,l2解方程组      无解     l1,l2平行
                          无数解          重合
    结论:                            l1,l2
【例题讲解】

    例 1 求两直线    l1 :3x  4y  2  0  , l2 : 2x  2y  2  0 的交点坐标。                                                                                             


    例 2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。
           (1)    L1:x-y=0,L2:3x+3y-10=0
           (2)    L1:3x-y=0,L2:6x-2y=0
           (3)    L1:3x+4y-5=0,L2:6x+8y-10=0


      
    思考:当     变化时,方程 3x+4y-2+       (2x+y+2)=0 表示何图形,图形有何特点?求出图形的交点坐标。
         (方程表示经过这两条直线            L1 与 L2 的交点的直线系。)
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    例 3 求过两直线     l1 : 2x  3y  3  0 和 l2 : x  y  2  0 的交点且与直线 3x  y 1  0 平行的直线方程。

  


【课堂练习】
    1.P104 练习  1、2

    2.(1)已知直线      l 经过原点,且经过直线         x  y  6  0 和直线 2x  y  3  0 的交点,求 l 的方程。

      

    (2)当   k 变化时,直线      kx  (2k 1)y  3  0 恒过定点                。
【课堂小结】求两直线的交点坐标,判断两直线位置关系,能将几何问题转                                 化为代数问题来解决,并能进行应
用。
【课后作业】P109 习题          3.3 A 组 1、5
【课后反思】
                                                                                                     
                                                                                                      
                                                                                                       
                                                                                                    
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                                    3.3.2   两点间的距离
【课    型】新授课
【教学目标】掌握直角坐标系两点间距离并能灵活应用。
【教学重     点】两点间距离公式的推导。
【教学难点】应用两点间距离公式证明几何问题。
【教学过程】
【探究新知】
    两点间距离公式的推导。(略)

                                                       2          2
    两点  P1x1, y1 , P2 x2 , y2 间的距离公式  P1P2  (x2  x1)  (y2  y1)  

    原点  O(0,0) 与任一点    P(x, y) 的距离  OP     x2  y2
【例题讲解】

例  1 以知点   A(-1,2),B(2,       7  ),在   x 轴上求一点     P ,使   PA   PB ,并求     PA 的值。
解法一:教材      P105 
                                    1 2+7   
解法二:由已知得,线段           AB 的中点为M,                ,直线   AB 的斜率为
                                            
                                    2   2   

    7-22+73                    1               22                  7-2
k=              =x-PA=1+2+0-2=22                     
     32           2-7          2                                    3

                             2+73                  1 
线段   AB 的垂直平分线的方程是 y-               =x-             
                                2     2-7          2 
在上述式子中,令        y=0,解得   x=1。

                                                22
所以所求点     P 的坐标为(1,0)。因此PA=1+2+0-                 2=2   2

例  2  证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

【课堂练习】
1.P106 练习  1、2   P110A 组 6
2.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等。


3.在直线   x-3y-2=0 上求两点,使它与(-2,2)构成一个等边三角形。


【课堂小结】两点间距离公式的推导及应用,懂得用代数的方法解决几何问题,建立直角坐标系的重要性。
【课后作业】P110  A        组 7、8                 
【课后反思】
                                                                                                    
                                                                                                     
                                                                                                     
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                                 3.3.3  点到直线的距离
                              3.3.4  两条平行线间的距离

【课    型】新授课
【教学目标】掌握点到直线距离公式并能应用;会用点到直线距离公式求解两平行线间的距离。
【教学重     点】点到直线的距离公式。
【教学难点】点到直线距离公式的理解与应用。
【教学过程】
【复习导入】
    前面几节课,我们一起研究了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的夹角公式,两直线的交点问题,两
点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线
的方程直接求点       P 到直线   l 的距离。
【探究新知】
知识点   1.点到直线的距离

                                                         Ax0  By0  C
    (1)点   P(x0 , y0 ) 到直线 l : Ax  By  C  0 的距离为: d               (当   A  0或B  0 时,公式也
                                                            A2  B 2
成立。)推导过程(略)。
    (2)特殊情况下点到直线的距离:

        ①点   P0 (x0 , y0 ) 到 x 轴的距离 d  y0 ;

                        y
        ②点   P0 (x0 , y0 ) 到 轴的距离 d  x0 ;


        ③点   P0 (x0 , y0 ) 到与 x 轴平行的直线 y  a(a  0) 的距离 d  y0  a ;

                          y
        ④点   P0 (x0 , y0 ) 到与 轴平行的直线   x  b(b  0) 的距离 d  x0  a 。

知识点   2.两平行线间的距离公式

                                                                                C1  C2
    两平行线直线      l1 : Ax  By  C1  0 , l2 : Ax  By  C2  0 (C1  C2 ) 间的距离为 d 
                                                                                 A2  B 2


    (证明:设     P0 (x0 , y0 ) 是直线 Ax  By  C2  0 上任一点,则点  P0 到直线   Ax  By  C1  0 的距离为


     Ax0  By0  C1                                                 C1  C2
 d                ,又   Ax0  By0  C2  0 即 Ax0  By0  C2 ,∴d=             )
         A2  B 2                                                   A2  B 2
【例题讲解】
例  1 求点  P=(-1,2)到直线  3x=2      的距离。

       31 2   5
解:d=              
         32  02   3

例  2 已知点   A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形               ABC 的面积。
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例  3 求两平行线     l1 : 2x  3y  8  0 , l2 : 2x  3y 10  0 的距离.


解法一:在直线       l1 上取一点   P(4,0),

                                                             2 4  3 0 10    2    2
       因为  l1 ∥ l2  ,所以点  P 到 l2 的距离等于    l1 与 l2 的距离,即  d                            13
                                                                  22  32       13   13

                                                              8  (10)  2  3
解法二:    l1 ∥ l2 又 C1  8,C2  10 .由两平行线间的距离公式得         d             
                                                                22  32    13
例  4  P108 例 7 

【课堂练习】
    1.P108 练习  1、2    P109 练习

    2.已知点   A(a,6) 到直线  3x  4y  2 的距离  d=4,求  a 的值。


    3.已知一直线被两平行线          3x+4y-7=0 与 3 x+4y+8=0 所截线段长为    3,且该直线过点(2,3),求该直线方程。


    4.点 P 在直线   2x  y 1  0 上, O 为原点,则     OP 的最小值为             。

    5.若直线   x  y  0 上存在点  P ,到原点的距离与到直线           x  y  2  0 的距离相等,则    P 的坐标为         

    。

    6.已知点   A(1,3), B(3,1) ,在 x 轴上求一点  C ,使△   ABC  的面积为    5.


    7.求点  P(2,-1)到直线      2 x +3 y -3=0  的距离.


【课堂小结】点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离。
【课后作业】 P110 习题          3.3A 组 9、10
【课后反思】
                                                                                                   
                                                                                                     
                                                                                                     
                                                                                                    
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