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2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件:1.2 综合法与分析法1.2.1

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§2 综合法与分析法


                              -1-
2.1 综合法


                          -2-
                                                                 目标导航                 知识梳理                  典例透析              随堂演练
                                                             MUBIAODAOHANG         ZHISHI SHULI         DIANLI TOUXI       SUITANGYANLIAN


了解综合法的思考过程,会用综合法证明一些数学问题. 
                                  知识梳理   典例透析     随堂演练
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综合法
  从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演
绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们
把这样的思维方法称为综合法.
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 题型一   题型二  题型三


  反思此题用综合法证明时,可以先从条件出发,也可以先从基本不
等式出发,通过换元、拼凑等方法构造定值.若连续两次或两次以
上利用基本不等式,则需要注意这几次利用基本不等式时等号成立
的条件是否相同.
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 题型一   题型二  题型三


  【例2】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D,E分别为C1C

与AB的中点,A1B交AB1于点G.

  求证:(1)A1B⊥AD;

  (2)CE∥平面AB1D.


  分析:(1)为了证明A1B⊥AD,可证A1B⊥平面AB1D,连接DG,显然

A1B⊥AB1,所以证明A1B⊥DG,可利用△A1DB是等腰三角形以及点

G是A1B的中点得证.

  (2)要证CE∥平面AB1D,只需证CE与平面AB1D内的一条直线
(DG)平行即可.
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题型一   题型二  题型三


 证明:(1)连接A1D,DG,BD.

 如图,∵三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱,

 ∴四边形A1ABB1为正方形,

 ∴A1B⊥AB1.

 ∵D是C1C的中点,∴△A1C1D≌△BCD.

 ∴A1D=BD.

 易知G为A1B的中点,∴A1B⊥DG.

 又DG∩AB1=G,∴A1B⊥平面AB1D.

 ∵AD⫋平面AB1D,∴A1B⊥AD.
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题型一   题型二  题型三

 (2)连接GE,

 ∴ GE ∥A1A,
 ∴GE⊥平面ABC.
 ∵DC⊥平面ABC,
 ∴GE∥DC.


 ∴EC∥GD.

 又EC⊈平面AB1D,DG⫋平面AB1D,

 ∴EC∥平面AB1D.
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 题型一   题型二  题型三

  【变式训练2】 


  如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1

上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.

  求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;

  (2)直线A1F∥平面ADE.
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题型一   题型二  题型三


 证明:(1)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,

 ∴CC1⊥平面ABC.

 ∵AD⫋平面ABC,∴CC1⊥AD.

 又AD⊥DE,CC1⫋平面BCC1B1,DE⫋平面BCC1B1,CC1∩DE=E,

 ∴AD⊥平面BCC1B1.

 又AD⫋平面ADE,∴平面ADE⊥平面BCC1B1.
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 题型一   题型二  题型三


  (2)∵A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,∴A1F⊥B1C1.

  ∵CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⫋平面A1B1C1,

  ∴CC1⊥A1F.

  又CC1⫋平面BCC1B1,B1C1⫋平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,∴A1F⊥

平面BCC1B1.

  由(1)知AD⊥平面BCC1B1,故A1F∥AD.

  又AD⫋平面ADE,A1F⊈平面ADE,

  ∴A1F∥平面ADE.
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 题型一   题型二  题型三

  【变式训练3】 已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-

2an(n∈N+).

  (1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;

  (2)求数列{an}的通项公式.

  (1)证明:因为an+2=3an+1-2an,所以an+2-an+1=2an+1-2an=2(an+1-an),

所以                                    .又a2-a1=2,所以数列{an+1-an}是以2为首
项,2为公比的等比数列.
                    n
  (2)解:由(1)得an+1-an=2 (n∈N+).
                                     n-1 n-2        n
  所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2 +2 +…+2+1=2

-1(n∈N+).
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A.-2     B.0    C.1  D.2
答案:C
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2已知角A,B为△ABC的内角,则“A>B”是“sin A>sin B”的(  )
A.充分不必要条件        B.必要不充分条件
C.充要条件       D.既不充分也不必要条件


  ∵角A,B为△ABC的内角,
  ∴sin A>0,sin B>0.
  ∴sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B(其中R是△ABC外
接圆的半径).
答案:C
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5若sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)=    . 
解析:因为已知条件中有三个角α,β,γ,而所求结论中只有两个角α,β,
所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可,依据sin2γ+cos2γ=1消去
γ.
  由已知,得sin γ=-(sin α+sin β),
  cos γ=-(cos α+cos β),
  则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2
  =sin2γ+cos2γ=1,
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