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2018版高中数学第2讲参数方程三直线的参数方程练习新人教A版选修4_4

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高中数学审核员

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                            三 直线的参数方程

一、基础达标

       x=1+tcos α,
1.直线{y=-2+tsin α)(α   为参数,0≤a<π)必过点(  )
  A.(1,-2)                                B.(-1,2)

  C.(-2,1)                                D.(2,-1)

  解析 直线表示过点(1,-2)的直线.

  答案 A

2.下列可以作为直线        2x-y+1=0   的参数方程的是(  )

     x=1+t,                                  x=1-t,
  A.{ y=3+t )(t 为参数)                      B.{y=5-2t)(t 为参数)
                                                   2
                                             x=2+   5t,
                                                   5
     x=-t,                                           5
                                              y=5+    t
      =  -                                  {          )
  C.{y  1 2t)(t 为参数)                      D.        5   (t 为参数)
                                                                       1
  解析 题目所给的直线的斜率为              2,选项   A 中直线斜率为      1,选项   D 中直线斜率为2,所
  以可排除选项      A、D.而选项    B 中直线的普通方程为         2x-y+3=0,故选      C.

  答案 C

                                 x=-1-t,
3.极坐标方程     ρ=cos θ    和参数方程{      y=2+t  )(t 为参数)所表示的图形分别是(  )
  A.直线、直线                                 B.直线、圆

  C.圆、圆                                   D.圆、直线
                                                        1       1
                                                     x-
  解析 ∵ρ=cos θ,∴ρ2=ρcos θ,即              x2+y2=x,即(      2)2+y2=4,
  ∴ρ=cos θ    所表示的图形是圆.

     x=-1-t
  由{  y=2+t  )(t 为参数)消参得:x+y=1,表示直线.
  答案 D
              1
         x=1+  t,
              2
                 3
       y=-3  3+   t
      {            )              2  2
4.直线             2 (t 为参数)和圆     x +y =16 交于   A、B 两点,则    AB 的中点坐标为(  )
  A.(3,-3)                                B.(-  3,3)

  C.( 3,-3)                               D.(3,-   3)
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                t             3                  t            3
                                              1+      -3  3+   t
  解析 将    x=1+2,y=-3      3+ 2 t 代入圆方程,得(        2)2+(       2 )2=16,

     2
  ∴t  -8t+12=0,则     t1=2,t2=6,
                            t1+t2
  因此  AB 的中点   M 对应参数    t=   2  =4,
          1                  3
  ∴x=1+2×4=3,y=-3        3+  2 ×4=-   3,
  故  AB 中点 M 的坐标为(3,-      3).

  答案 D

                                    x=t,
5.在平面直角坐标系        xOy 中,若直线     l:{y=t-a)(t  为参数)过椭圆      C:
   x=3cos φ,
   { y=2sin φ )(φ 为参数)的右顶点,则常数         a 的值为________.
                   x=t,
    解析 直线     l:{y=t-a)消去参数      t 后得  y=x-a.
            x=3cos φ,               x2  y2
    椭圆  C:{  y=2sin φ )消去参数   φ 后得   9 + 4 =1.
    又椭圆   C 的右顶点为(3,0),代入         y=x-a  得 a=3.

    答案 3
                                                     x= 5cos θ,
                                                    { y= 5sin θ )
6.在平面直角坐标系        xOy 中,曲线    C1 和 C2 的参数方程分别为                 (θ 为参数,
                    2
             x=1-    t,
                   2
        π           2
            { y=-    t )
  0≤θ≤2)和          2   (t 为参数),则曲线      C1 与 C2 的交点坐标为________.
                                         2   2
    解析 曲线     C1 和 C2 的直角坐标方程分别为         x +y =5(0≤x≤   5,0≤y≤    5)①,x-

    y=1②

                 x=2,
    联立①②解得{      y=1. )

    ∴C1 与 C2 的交点坐标为(2,1).

    答案 (2,1)
                     x=-3+t
7.化直线   l 的参数方程{y=1+       3t),(t 为参数)为普通方程,并求倾斜角,说明|t|的几
  何意义.
           x=-3+t
    解 由{y=1+     3t)消去参数    t,得直线    l 的普通方程为      3x-y+3   3+1=0.
                                             π
    故斜率   k=  3=tan α,由于     0≤α<π,即     α=3.
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                       π
    因此直线    l 的倾斜角为3.


       x+3=t,
    又{y-1=   3t.)得(x+3)2+(y-1)2=4t2,
            (x+3)2+(y-1)2
    ∴|t|=         2        .
    故|t|是  t 对应点   M 到定点   M (-3,1)的向量     →  的模的一半.
                            0             M0M

二、能力提升

                                    x=2s+1,

8.在平面直角坐标系        xOy 中,若直线     l1:{   y=s   )(s 为参数)和直线     l2:
   x=at,
  {y=2t-1)(t 为参数)平行,则常数        a 的值为________.
             x=2s+1,
    解析 由{      y=s   )消去参数    s,得  x=2y+1.
        x=at,
    由{y=2t-1)消去参数      t,得  2x=ay+a.
               2  1  1

    ∵l1∥l2,∴a=2≠a,∴a=4.
    答案 4

         x=1-2t
9.若直线{y=2+3t)(t    为参数)与直线      4x+ky=1  垂直,则常数      k=________.
             x=1-2t           3  7              3

    解析 将{y=2+3t)化为       y=-2x+2,∴斜率       k1=-2,显然    k=0  时,直线    4x+ky=
                                                           4

    1 与上述直线不垂直.∴k≠0,从而直线              4x+ky=1  的斜率    k2=-k.依题意    k1k2=-
           4    3
              -
    1,即-k×(     2)=-1,
    ∴k=-6.

    答案 -6
       x2  y2
10.椭圆25+16=1    上的点到圆     x2+(y-6)2=1   上的点的距离的最大值是(  )
  A.11                                    B. 74

  C.5 5                                   D.9


                           x2  y2
  解析 由平面几何知识,椭圆25+16=1              上的点到圆      x2+(y-
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  6)2=1 上的点的距离最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径.如图,设圆

  x2+(y-6)2=1   圆心为   O′,P(5cos       θ,4sin       θ)是椭圆上的点,则|PO′|=

   (5cos θ)2+(4sin θ-6)2

  =  25cos2θ+16sin2θ-48sin θ+36

  =  -9sin2θ-48sin θ+61

              8                 8
     -9 sin θ+ 2+125    -9 -1+   2+125
  =     (     3)     ≤     (    3)     =10

  (当  sin θ=-1   时取等号).则所求距离最大值为            11.

  答案 A
                                    3
                             x=2+    t,
                                   2
                                   1
                            {   y= t  )
11.在直角坐标系中,参数方程为                   2   (t 为参数)的直线      l 被以原点为极点,x       轴
  的正半轴为极轴,极坐标方程为             ρ=2cos θ   的曲线    C 所截,求截得的弦长.
                         3
                   x=2+   t,
                         2
                        1
                  {  y=  t  )
    解 参数方程为             2   (t 为参数)表示的直线        l 是过点   A(2,0),倾斜角为
    30°,极坐标方程       ρ=2cos θ   表示的曲线     C 为圆  x2+y2-2x=0.

    此圆的圆心为(1,0),半径为           1,且圆   C 也过点   A(2,0);设直线     l 与圆  C 的另一个交

    点为  B,在   Rt△OAB 中,|AB|=2cos 30°=      3.

                                             x=t+1,
12.在平面直角坐标系        xOy 中,直线    l 的参数方程为{      y=2t  )(t 为参数),曲线     C 的参数
        x=2tan2θ,
  方程为{   y=2tan θ )(θ 为参数).试求直线      l 和曲线   C 的普通方程,并求出它们的公共
  点的坐标.

                              x=t+1,
    解 因为直线      l 的参数方程为{       y=2t  )(t 为参数),由    x=t+1,得    t=x-1,代入
    y=2t,得到直线      l 的普通方程为      2x-y-2=0.

    同理得到曲线      C 的普通方程为      y2=2x.

               y=2(x-1),                            1
                                                     ,-1
    联立方程组{       y2=2x,  )解得公共点的坐标为(2,2),(2              ).
三、探究与创新

                          x=2cos φ

13.已知曲线    C1 的参数方程是{y=3sin φ)(φ      为参数),以坐标原点为极点,x            轴的正半轴

  为极轴建立极坐标系,曲线           C2 的极坐标方程是      ρ=2,正方形       ABCD 的顶点都在    C2 上,
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                                              π
                                            2,
且 A,B,C,D   依逆时针次序排列,点          A 的极坐标为(      3).
(1)求点  A,B,C,D    的直角坐标;

                             2     2      2     2
(2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|      +|PB|  +|PC| +|PD|  的取值范围.
                       π    π
                   2cos ,2sin 
解 (1)由已知可得       A(    3    3),
      π π      π  π        π         π
  2cos +  ,2sin +      2cos +π  ,2sin +π
B(   (3  2)   (3  2)),C(   (3  )    (3  )),
      π 3π      π  3π
  2cos +   ,2sin +
D(   (3  2 )   (3  2 )),
即  A(1, 3),B(-   3,1),C(-1,-      3),D( 3,-1).

(2)设 P(2cos  φ,3sin    φ),令   S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则    S=(2cos   φ-

1)2+(  3-3sin φ)2+(-    3-2cos φ)2+(1-3sin φ)2+(-1-2cos φ)2+(-          3-

3sin   φ)2+(   3-2cos    φ)2+(-1-3sin      φ)2=16cos2φ+36sin2φ+16=32+

20sin2φ.∵0≤sin2φ≤1,∴S      的取值范围是[32,52].
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