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江西省景德镇一中2016-2017学年高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

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      2016-2017   学年江西省景德镇一中高一(下)期末数学试卷(文科)
 

一、选择题(每小题仅一选项符合题意,每小题                     5 分,共   60 分)

1.若              ,且                  ,则   tanα 的值等于(  )

A.     B.     C.1    D.

2.设  a=sin405°,b=cos(﹣52°),c=tan47°,则    a、b、c  的大小关系为(  )

A.a<b<c   B.c<b<a    C.b<a<c   D.a<c<b

3.函数   y=sin(2x+   )图象的对称轴方程可能是(  )

A.x=﹣     B.x=﹣      C.x=      D.x=

4.设向量                        ,若       方向相反,则       x 的值为(  )

A.0    B.±4   C.4    D.﹣4

5.若向量     =(1,2),     =(1,﹣1),则     2 + 与   ﹣ 的夹角等于(  )

A.﹣    B.     C.     D.

6.设非零向量          满足               ,则(  )

A.        B.            C.         D.

7.在区间[0,π]上随机取一个数,使函数                y=cosx 的函数值落在                 上的概率是(  )

A.     B.     C.     D.

8.已知函数     f(x)=Asin(ωx+ϕ),(A>0,ω>0,|φ|<              )的部分图象如图所示,则            f(x)的
单调递增区间(  )
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A.[6k﹣6,6k+2],k∈Z    B.[11k﹣6,12k+2],k∈Z

C.[16k﹣6,16k﹣2],k∈ZD.[16k﹣6,16k+2],k∈Z

9.已知   sinα﹣cosα= ,α∈(0,π),则       sinαcosa=(  )

A.﹣1   B.     C.     D.1

10.在下列图象中,可能是函数             y=cosx+lnx2 的图象的是(  )


A.                   B.               C.                D.

11.△ABC  的内角    A、B、C   对边分别为     a,b,c   且满足    =  = ,则                 =(  )

A.﹣    B.     C.     D.﹣

12.已知   A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4),则                  在      方向上的投影为(  )

A.            B.            C.            D.
 

二、填空题(每小题         5 分,共   20 分)

13.已知向量              夹角为   45°,且                                         ,则         =      
.

14.某产品的广告费用         x 与销售额    y 的统计数据如表:
广告费用    x(万元)       2         3        4         5

销售额   y(万元)         26       39        49       54
根据如表可以回归方程          y=bx+a 中的  b 为 9.4,据此模型预报广告费用为            6 万元时销售额为             万
元.

15.定义函数     max{f(x),g(x)}=                                        ,则  max{sinx,

cosx}的最小值为          .

16.若将函数     f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移       φ 个单位,所得图象关于           y 轴对称,则    φ 的最小
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 正值是         .
  

 三、解答题(本大题共          6 小题,满分     70 分)
 17.从一批苹果中,随机抽取            65 个,其重量(克)的数据分布表如下:
 分组(重量)
             [80,85)     [85,90)     [90,95)    [95,100)

 频数(个)           5          15          30          15
 (1)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的品种共抽取                         4 个,重量在[80,85)的有
几个?

 (2)在(1)中抽取        4 个苹果中任取      2 个,其重量在[80,85)和[95,100)中各有              1 个的概率.


 18.如图,在四边形        ABCD 中,AC   平分∠DAB,∠ABC=60°,AC=7,AD=6,S△ADC=                   ,求
 AB 的长.


 19.已知                   是同一平面内的三个向量,其中                                 .

 (1)若                     ,且           ,求     的坐标;

 (2)若                 ,且              与                垂直,求      与    的夹角   θ

 20.已知函数     f(x)=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x.

 (Ⅰ)求函数      f(x)的最小正周期;

 (Ⅱ)当    x∈[0,      ]时,求函数      f(x)的最大值和最小值.

 21.已知


 (1)当            时,求   θ 值;
 (2)求               的取值范围.

 22.已知
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                                          的图象的一部分如图所示.
(1)求   f(x)解析式;

(2)当                           时,求   y=f(x)+f(x+2)的最大、最小值及相应的               x 值.


 
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  2016-2017    学年江西省景德镇一中高一(下)期末数学试卷(文科)

                                      参考答案与试题解析

  

 一、选择题(每小题仅一选项符合题意,每小题                     5 分,共   60 分)

 1.若                          ,且                                   ,则  tanα 的值等于(  
 )

 A.        B.         C.1    D.
 【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用.
 【分析】把已知的等式中的            cos2α,利用同角三角函数间的基本关系化简后,得到关于                       sinα 的方程,
 根据  α 的度数,求出方程的解即可得到              sinα 的值,然后利用特殊角的三角函数值,由                  α 的范围即可
得到   α 的度数,利用      α 的度数求出     tanα 即可.

 【解答】解:由       cos2α=1﹣2sin2α,得到  sin2α+cos2α=1﹣sin2α= ,

 则 sin2α=  ,又   α∈(0,       ),

 所以  sinα=     ,

 则 α=     ,

 所以  tanα=tan     =     .
 故选:D.
  

 2.设  a=sin405°,b=cos(﹣52°),c=tan47°,则    a、b、c  的大小关系为(  )

 A.a<b<c   B.c<b<a    C.b<a<c   D.a<c<b
 【考点】GI:三角函数的化简求值.
 【分析】利用诱导公式化简            a、b  可得  1>a>b>0,再利用正切函数的单调性求得                  c>1,从而得出
 结论.

 【解答】解:∵a=sin405°=sin45°=          ,b=cos(﹣52°)=cos52°=sin38°<       ,c=tan47°>

 tan45°=1,
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 则 a、b、c  的大小关系为       c>a>b,即    b<a<c,
 故选:C.
  

 3.函数   y=sin(2x+     )图象的对称轴方程可能是(  )

 A.x=﹣         B.x=﹣         C.x=      D.x=

 【考点】HJ:函数       y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

 【分析】令     2x+     =              求出  x 的值,然后根据       k 的不同取值对选项进行验证即可.

 【解答】解:令       2x+     =              ,∴x=                (k∈Z)
 当 k=0 时为  D 选项,
 故选  D.
  

 4.设向量                                             ,若            方向相反,则      x 的值为(  
)

 A.0    B.±4   C.4    D.﹣4

 【考点】96:平行向量与共线向量.
 【分析】利用两向量是相反向量的性质直接求解.

 【解答】解:∵向量                                                  ,           方向相反,


 ∴               ,解得    x=﹣4.

 故选:D.
  

 5.若向量      =(1,2),      =(1,﹣1),则     2   +  与    ﹣ 的夹角等于(  )

 A.﹣       B.         C.        D.

 【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.

 【分析】由已知中向量            =(1,2),      =(1,﹣1),我们可以计算出           2   +  与    ﹣ 的坐标,代
                        中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
入向量夹角公式即可得到答案.

【解答】解:∵          =(1,2),      =(1,﹣1),

∴2   +  =2(1,2)+(1,﹣1)=(3,3),

  ﹣  =(1,2)﹣(1,﹣1)=(0,3),

∴(2    +  )(     ﹣  )=0×3+3×9=9,

|2  +  |=               =3    ,|    ﹣  |=3,

∴cosθ=             =      ,

∵0≤θ≤π,

∴θ=
故选:C
 

6.设非零向量               满足                            ,则(  )

A.            B.                   C.            D.

【考点】93:向量的模.
【分析】由题意|              |2=|       |2,推导出           =0,由此得到        ⊥   .

【解答】解:∵设非零向量                     满足                            ,

∴|        |2=|       |2,

∴                        =                        ,

∴          =0,∴           =0,

∴   ⊥   .

故选:A.
 

7.在区间[0,π]上随机取一个数,使函数                y=cosx 的函数值落在                            上的概率
是(  )

A.     B.     C.        D.
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 【考点】CF:几何概型.
 【分析】由函数       y=cosx 的图象与性质,利用几何概型的计算公式,求出所求的概率值.
 【解答】解:由函数         y=cosx 在区间[0,π]上的图象知,

 满足函数    y=cosx 的函数值落在                            上的  x 的取值范围是[           ,        ],

 所以所求的概率值为         P=                =   .
 故选:B.
  

 8.已知函数     f(x)=Asin(ωx+ϕ),(A>0,ω>0,|φ|<                 )的部分图象如图所示,则            f(x)
的单调递增区间(  )


 A.[6k﹣6,6k+2],k∈Z    B.[11k﹣6,12k+2],k∈Z

 C.[16k﹣6,16k﹣2],k∈ZD.[16k﹣6,16k+2],k∈Z

 【考点】H5:正弦函数的单调性.
 【分析】由函数       f(x)的部分图象求出         f(x)的解析式,再根据正弦函数的单调性求                   f(x)的单调
 递增区间.

 【解答】解:由函数         f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知,

 A=     ,     =6﹣(﹣2)=8,解得    T=16,

 ∴        =16,解得   ω=      ;

 由五点法画图知,x=﹣2       时  f(﹣2)=0,

 即﹣2×      +φ=0,解得    φ=     ;

 ∴f(x)=       sin(     x+     ),
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 令 2kπ﹣     ≤      x+     ≤2kπ+      ,k∈Z,

 解得  16k﹣6≤x≤16k+2,k∈Z;

 ∴f(x)的单调递增区间为[16k﹣6,16k+2],k∈Z.

 故选:D.
  

 9.已知   sinα﹣cosα=    ,α∈(0,π),则       sinαcosa=(  )

 A.﹣1   B.        C.         D.1

 【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用.
 【分析】已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简,整理即可求出所
 求式子的值.

 【解答】解:已知等式          sinα﹣cosα=    ,α∈(0,π),

 两边平方得:(sinα﹣cosα)2=1﹣2sinαcosα=2,

 整理得:sinαcosα=﹣     .

 故选:B.
  

 10.在下列图象中,可能是函数             y=cosx+lnx2 的图象的是(  )


 A.                                 B.                             C.


               D.

 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.

 【分析】令     f(x)=cosx+lnx2(x≠0),可得      f(﹣x)=f(x),f(x)是偶函数,其图象关于                y 轴对

称.利用导数                              (x≠0),可知:当         2>x>0  时,y′>0.及     f(π)
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 =﹣1+2lnπ>0 即可判断出.

 【解答】解:令       f(x)=cosx+lnx2(x≠0),则     f(﹣x)=f(x),即     f(x)是偶函数,其图象关于            y 轴
对称.

 ∵                        (x≠0),∴当       2>x>0  时,y′>0.

 由 f(π)=﹣1+2lnπ>0

 可知:只有     A 适合.
 故选  A.
  

 11.△ABC  的内角    A、B、C   对边分别为     a,b,c   且满足      =   =   ,则

               =(  )

 A.﹣       B.         C.        D.﹣

 【考点】HP:正弦定理.
 【分析】直接利用正弦定理化简求解即可.

 【解答】解:△ABC       的内角    A、B、C   对边分别为     a,b,c,令       =   =   =t,
 可得  a=6t,b=4t,c=3t.

 由正弦定理可知:                                      =          =                 =﹣     .

 故选:A.
  

 12.已知   A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4),则                    在      方向上的投影为(  
 )

 A.            B.            C.            D.
 【考点】9R:平面向量数量积的运算.
 【分析】求出向量坐标,然后利用向量的数量积求解即可.

 【解答】解:A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4),

 则     =(2,1),
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    =(5,5),

    在     方向上的投影为:                     =        =        .

故选:C.
 

二、填空题(每小题         5 分,共   20 分)

13.已知向量              夹角为   45°,且                                         ,则         = 

3     .

【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】利用向量的平方与其模长的平方相等,得到关于                                的方程解出.

【解答】解:因为向量                   夹角为   45°,且                                         ,则

                                ,即   4﹣2    |  |+|   |2=10,解得          =       ,(﹣
  舍去);

故答案为:3         .
 

14.某产品的广告费用         x 与销售额    y 的统计数据如表:
广告费用    x(万元)       2         3        4         5

销售额   y(万元)         26       39        49       54
根据如表可以回归方程          y=bx+a 中的  b 为 9.4,据此模型预报广告费用为            6 万元时销售额为 65.5 
万元.

【考点】BK:线性回归方程.
【分析】根据表中数据计算              、   ,代入回归方程求出回归系数,写出回归方程,利用回归方程计

算 x=6 时 y 的值即可.

【解答】解:根据表中数据,计算                 =   ×(2+3+4+5)=3.5,

  =   ×(26+39+49+54)=42,
根据如表可以回归方程          y=bx+a 中的  b 为 9.4,

a=42﹣9.4×3.5=9.1,
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 回归方程    y=9.4x+9.1,
 当 x=6 时,y=9.4×6+9.1=65.5
 据此模型预报广告费用为           6 万元时销售额为       65.5 万元.
 故答案为:65.5.
  


 15.定义函数     max{f(x),g(x)}=                                        ,则  max{sinx,

 cosx}的最小值为 ﹣           .

 【考点】HW:三角函数的最值.
 【分析】根据题意求出函数            h(x)=max{sinx,cosx}的解析式,利用三角函数的图象与性质确定函
 数 h(x)的最值,从而求出结果.

 【解答】解:根据题意知,函数              max{f(x),g(x)}=                                        ,


 则 h(x)=max{sinx,cosx}=


                                      ,
 且 h(x+2π)=max{sin(x+2π),cos(x+2π)}=max{sinx,cosx}=h(x),
 所以  2π 是函数   h(x)的一个周期;

 又 h(x)≥h(           )=﹣      ,

 所以函数    h(x)的最小值为﹣            .

 故答案为:             .
  

 16.若将函数     f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移       φ 个单位,所得图象关于           y 轴对称,则    φ 的最小

正值是              .
 【考点】HJ:函数       y=Asin(ωx+φ)的图象变换;GL:三角函数中的恒等变换应用.
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 【分析】把函数式        f(x)=sin2x+cos2x 化积为                                        ,然后利用

 三角函数的图象平移得到                    sin(2x        ﹣2φ).结合该函数为偶函数求得             φ 的最小正

 值.

 【解答】解:由                                                                    ,
 把该函数的图象右移         φ 个单位,所得图象对应的函数解析式为:

                                                 sin(2x        ﹣2φ).

 又所得图象关于       y 轴对称,则              φ=k            ,k∈Z.

 ∴当  k=﹣1 时,φ  有最小正值是             .

 故答案为:            .
  

 三、解答题(本大题共          6 小题,满分     70 分)
 17.从一批苹果中,随机抽取            65 个,其重量(克)的数据分布表如下:
 分组(重量)
             [80,85)     [85,90)     [90,95)    [95,100)

 频数(个)           5          15          30          15
 (1)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的品种共抽取                         4 个,重量在[80,85)的有
几个?

 (2)在(1)中抽取        4 个苹果中任取      2 个,其重量在[80,85)和[95,100)中各有              1 个的概率.
 【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
 【分析】(1)用分层抽样的方法能求出结果.
 (2)从重量在[80,85)和[95,100)的品种共抽取                 4 个,则在[80,85)中抽        1 个,设为    A,在

[95,100)中抽     3 个,设为    a、b、c,由此利用列举法能求出             4 个苹果中任取      2 个,其重量在[80,

85)和[95,100)中各有        1 个的概率.
 【解答】解:(1)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的品种共抽取                               4 个,

 则重量在[80,85)的有        4×          =1 个.
 (2)从重量在[80,85)和[95,100)的品种共抽取                 4 个,
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 则在[80,85)中抽      1 个,设为    A,
 在[95,100)中抽     3 个,设为    a、b、c,
 4 个任取   2 个,有(A,a)(A,b)(A,c)(a,b)(a,c)(b,c),共有                        6 种情况,
 其重量在[80,85)和[95,100)中各有            1 个,包含的基本事件有(A,a)(A,b)(A,c),共
 有 3 种情况,

 ∴4 个苹果中任取       2 个,其重量在[80,85)和[95,100)中各有              1 个的概率                 .
  


 18.如图,在四边形        ABCD 中,AC   平分∠DAB,∠ABC=60°,AC=7,AD=6,S△ADC=                   ,求
 AB 的长.


 【考点】HT:三角形中的几何计算.
 【分析】利用三角形的面积公式求出                sin∠DAC 的值,即得      sin∠BAC 的值,从而求得       cos∠BAC  的
 值.利用两角差的正弦公式求得              sin∠ACB=sin 的值.三角形      ABC 中,利用正弦定理,即可求出
AB 的长.


 【解答】解:∵在△ADC         中,已知     AC=7,AD=6,S△ADC=            ,

 则由  S△ADC=   •AC•AD•sin∠DAC=           ,∴sin∠DAC=           ,

 故  sin∠BAC=        ,cos∠BAC=       .

 由于∠ABC=60°,故     sin∠ACB=sin=sin120°cos∠BAC﹣cos120°sin∠BAC

 =               ﹣(﹣   )×          =        .


 △ABC 中,由正弦定理可得                                          ,即                    ,解得
 AB=8.
  

 19.已知                   是同一平面内的三个向量,其中                                 .
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(1)若                     ,且           ,求     的坐标;

(2)若                 ,且              与                垂直,求      与    的夹角   θ

【考点】9R:平面向量数量积的运算.

【分析】(1)根据题意,设              =λ  ,由数乘向量的坐标公式可得                =(λ,﹣3λ),又由向量模的计

算公式可得     λ 的值,代入       的坐标中即可得答案.
(2)由数量积的性质可得                       •              =0,可得关于      θ 的关系式,结合向量夹角
的范围,即可得答案.

【解答】解:(1)根据题意,由于                        ,且                     .

则设    =λ  ,则     =λ(1,﹣3)=(λ,﹣3λ),

又由                    ,

则有(λ)2+(﹣3λ)2=40,

解可得   λ=±2,

则   =(2,﹣6)或(﹣2,6);

(2)若               与               垂直,

则有                                                        =

                        =                                               ,

∴cos=0,则              .
 

20.已知函数     f(x)=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x.

(Ⅰ)求函数      f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)当    x∈[0,      ]时,求函数      f(x)的最大值和最小值.
【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象.
【分析】(Ⅰ)由三角函数二倍角公式及辅助角公式化简                         f(x),由此得到       f(x)的最小值.

(Ⅱ)由    x 的范围得到     2x﹣    的范围,由此得到         f(x)的范围即可.

【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x.
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∴f(x)=﹣cos2x+sin2x=     sin(2x﹣     ),

∴函数   f(x)的最小正周期        T=π.

(Ⅱ)当    x∈[0,      ]时,

2x﹣    ∈[﹣     ,        ]

∴sin(2x﹣     )∈[﹣       ,1]

∴f(x)∈[﹣1,        ]

∴当  x∈[0,      ]时,求函数      f(x)的最大值和最小值分别为                 和﹣1.

 

21.已知


(1)当            时,求   θ 值;
(2)求               的取值范围.
【考点】9T:数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【分析】(1)由                ,得到          =cosθ﹣sinθ=0,由此能求出     θ 的值.

(2)                                               ,从而推导出|              |=

                                    ,由此能求出                  的取值范围.

【解答】解:(1)∵

                                          ,
         ,

∴        =cosθ﹣sinθ=0,∴tanθ=1,

∵﹣                       ,∴             .

(2)∵                                                ,
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∴


=                                    ,

∵                          ,∴                                     ,

∴                                        ,

∴                                   ,即              的取值范围是

[                  ].

 

22.已知

                                          的图象的一部分如图所示.
(1)求   f(x)解析式;

(2)当                           时,求   y=f(x)+f(x+2)的最大、最小值及相应的               x 值.


【考点】HK:由      y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出                   A,由周期求出       ω,由特殊点的坐标求出           φ 的值,可得
函数的解析式.

(2)利用三角恒等变换化简            y=f(x)+f(x+2)的解析式,再利用余弦函数的最值,

【解答】解:(1)根据已知

                                          的图象的一部分,可得          A=2,         ,∴T=8,

                     .

把点(1,2)代入函数的解析式,求得                sin(     +φ)=1,可得               ,即

                                     .

(2)由(1)可得                                                        =
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             ,

∴y=f(x)+f(x+2)=2sin(         x+     )+2cos(       x+     )=

                    =                                                             ,

∵                    ,∴                                   ,∴①                   时,即 

x=﹣4 时,                    ;

②                 ,即            时,                  .
 
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2017   年  8 月   7 日
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