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20090509高中数学函数值域的求法

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              例说函数值域求法


    在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则

   共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定

   义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于

   如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活

   多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运

   算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。

  1、直接观察法

 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

  例    1 求函数    y=  1 的值域
                         x
                                1
 解:Q      x≠0,         ≠0
                                x
  显然函数的值域是:( -∞,0)∪(0,+∞)。

  例    2 求函数     y=3-    x 的值域。

  解:Q        x ≥0    -   x ≤0   3-    x ≤3

  故函数的值域是:[-∞,3] 

     2、配方法

  配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

   例   3、求函数      y= x 2 -2x+5,x[-1,2]的值域。

       解:将函数配方得:y=(x-1)          2 +4,Q x[-1,2],由二次函数的

   性质可知:

                                     1
当   x=1  时,y  min  =4


当   x=-1,时     ymax =8

故函数的值域是:[4,8] 


 3、判别式法                    2

                                  2
例      4 求函数     y=1  x  x 的值域。
                              1 x 2

解:原函数化为关             x 的一元二次方程(y-1)        x 2 +(y-1)x=0

(1)当   y≠1  时,xR,△=(-1)       2 -4(y-1)(y-1)≥0

解得:    1 ≤y≤  3
        2      2

                                1    3
(2)当   y=1,时,x=0,而      1[   ,   ]
                                2    2

故函数的值域为[        1 , 3 ]
                 2   2

  例    5 求函数    y=x+ x(2  x) 的值域。 

     解:两边平方整理得:2          x 2 -2(y+1)x+y 2 =0(1)

   Q xR,△=4(y+1)    2 -8y≥0

   解得:1-    2 ≤y≤1+   2

   但此时的函数的定义域由           x(2-x)≥0,得:0≤x≤2。

   由△≥0,仅保证关于         x 的方程:2    x 2 -2(y+1)x+y 2 =0 在实数集 R 有实根,而不

   能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由△≥0                           求出的范

   围可能比     y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为[                 1 , 3 ]。可以采取如下
                                                   2   2
   方法进一步确定原函数的值域。


                                     2
  Q  0≤x≤2,y=x+    x(2  x) ≥0,

                                          2  2  24 2
    y  =0,y=1+   2 代入方程(1),解得:         x1 =        [0,2],即当    x1 =
      min                                      2

    2  2  24 2
             时,原函数的值域为:[0,1+            2 ]。
        2

   注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合

   函数的定义域,将扩大的部分剔除。

       4、反函数法

      直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。


      例 6  求函数    y= 3x  4 值域。
                    5x  6
     解:由原函数式可得:x=             4  6y
                                 5y  3

  则其反函数为:y=         4  6y
                      5x  3
  其定义域为:x≠         3
                     5

  故所求函数的值域为:(-∞,               3 )
                                 5
 5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为

   主来确定函数的值域。

                                  x
例         7 求函数   y=   e 1 的值域。
                                 e x 1

                                       y 1
解:由原函数式可得:                 e x =
                                       y 1


           x      y 1
Q     e >0,      >0         
                  y 1

                                     3
解得:-1<y<1。

故所求函数的值域为(-1,1).

例         8 求函数    y=    cos x 的值域。
                                   sin x  3
 解:由原函数式可得:ysinx-cosx=3y 

可化为:          y 2 1 sinx(x+β)=3y

      即 sinx(x+β)=      3y
                       y 2 1

      ∵x∈R,∴sinx(x+β)∈[-1,1]。即-1≤             3y  ≤1
                                              y 2 1

解得:-          2 ≤y≤   2    故函数的值域为[-       2 ,  2 ]。
                    4      4                     4    4

6、函数单调性法

例        9 求函数    y=   x5     x 1  (2≤x≤10)的值域
                               2   log3


                        x5
解:令          y 1 = ,  y =      x 1 ,则 y  1  , y 在[2,10]上
                       2       2   log3                   2

   都是增函数。


所以     y= y 1  + y2 在[2,10]上是增函数。

                             3           1
当    x=2时,y     min  = 2 +log 2 1 = ,
                                   3      8
  当   x=10时,     y =  25 +     9 =33。
                     max      log3
   故所求函数的值域为:[          1 ,33]。
                        8

       例  10  求函数   y=  x 1 - x 1 的值域。

解:原函数可化为: y=                     2
                                      x 1  x 1


令     y 1  = x 1 , y2 = x 1 ,显然 y 1 , y2 在[1,+∞)上为无上界的增函


                                     4
    数,所以     y= y 1  + y2 在[1,+∞)上也为无上界的增函数。       


                  所以当     x=1  时,y=y  1  + y2 有最小值  2 ,原函数有最大
       2
    值    =  2 。
        2

显然       y>0,故原函数的值域为(0,              2 ]。

     7、换元法

         通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析

   式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在

   求函数的值域中同样发挥作用。

例        11 求函数    y=x+      x 1 的值域。

解:令          x-1=t,(t≥0)则     x=t 2 +1
                     1   3
∵y=t     2 +t+1= (t  ) 2 + ,又 t≥0,由二次函数的性质可知
                     2   4

当     t=0 时,y  min =1,当  t→0  时,y→+∞。

 故函数的值域为[1,+∞)。

例       12 求函数    y=x+2+  1 (x 1) 2 的值域

 解:因        1- (x 1) 2 ≥0,即 (x 1) 2 ≤1

 故可令     x+1=cosβ,β∈[0,∏]。

∴y=cosβ+1+      1 cos 2 B =sinβ+cosβ+1                    

              =           2 sin(β+∏/4)+1

∵0≤β≤∏,0≤β+∏/4≤5∏/4

∴ -      2 ≤sin(β+∏/4)≤1
             2

∴ 0≤       2 sin(β+∏/4)+1≤1+     2 。      


                                     5
故所求函数的值域为[0,1+              2 ]。

                            3
 例      13 求函数 y=     x  x  的值域
                         x 4  2x 2 1

                                   1   2x  1 x 2
解:原函数可变形为:y=-                                
                                   2 1 x 2 1 x 2

                                     2
  可令   x=tgβ,则有      2x =sin2β,  1 x =cos2β
                    1 x 2        1 x 2
         1                   1
∴y=-     sin2β cos2β=-    sin4β   
         2                   4
                              1
当    β=k∏/2-∏/8    时,  y  = 。
                           max 4
当    β=k∏/2+∏/8    时,y    =- 1
                           min   4
而此时     tgβ  有意义。

 故所求函数的值域为[-             1 , 1 ]。
                             4  4
  例    14 求函数    y=(sinx+1)(cosx+1),x∈[-∏/12∏/2]的值域。

解:y=(sinx+1)(cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1
                               1
令    sinx+cosx=t,则  sinxcosx= (t 2 -1)
                               2
           1               1
 y=      (t 2 -1)+t+1=  (t 1) 2 
           2               2

由    t=sinx+cosx= 2 sin(x+∏/4)且   x∈[-∏/12,∏/2]

           2
可得:        ≤t≤   2        
           2

                    3            2       3   2
 ∴当   t=  2 时, y  =  + 2 ,当  t=   时,y=   +        
                 max 2           2       4  2

                       3   2    3
故所求函数的值域为[            +   ,    + 2 ]。
                       4  2     2

例      15 求函数     y=x+4+ 5  x 2 的值域

 解:由       5-x≥0,可得∣x∣≤         5


                                     6
故可令     x=   5 cosβ,β∈[0,∏]

 y=  5 cosβ+4+  5 sinβ= 10 sin(β+∏/4)+4

∵0≤β≤∏, ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4


 当   β=∏/4  时,  ymax =4+ 10 ,当 β=∏时,y   min =4- 5 。

      故所求函数的值域为:[4-           5 ,4+ 10 ]。

  8 数形结合法

       其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线

   斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。

 例       16 求函数    y=  (x2)2 + (x8)2 的值域。
 解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣ 


  上式可以看成数轴上点            P(x)到定点      A(2),B(-8)间的距离之和。


由上图可知:当点           P 在线段   AB 上时,

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

   当点  P 在线段   AB 的延长线或反向延长线上时,

y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10

 故所求函数的值域为:[10,+∞)

例        17  求函数    y= x2  6x 13 + x2  4x  5 的值域


                                     7
                                       2       2        2      2
   解:原函数可变形为:y=               (x3)  (02) + (x2)   (01)
                     


   上式可看成     x 轴上的点    P(x,0)到两定点       A(3,2),B(-2,-1)的距离

   之和,

   由图可知当点      P 为线段与    x 轴的交点时,                             

                                           2       2
          y       min =∣AB∣=  (32)  (21) = 43 ,

     故所求函数的值域为[            43 ,+∞)。

    例    18 求函数    y=  x2  6x 13 - x2  4x  5 的值域

                                       2       2        2      2
   解:将函数变形为:y=               (x3)  (02) - (x2)   (01)


    上式可看成定点       A(3,2)到点      P(x,0)的距离与定点         B(-2,1)到点

                                     8
    P(x,0)的距离之差。即:y=∣AP∣-∣BP∣

   由图可知:(1)当点          P 在 x 轴上且不是直线       AB 与 x 轴的交点时,如点       P¹,则

    构成△ABP¹,根据三角形两边之差小于第三边,

                                               2      2
有 ∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣<∣AB∣=               (32)   (21) = 26

   即:-    26 <y<   26             

(2)当点        P 恰好为直线     AB 与 x 轴的交点时,                       

           有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=                    26 。

           综上所述,可知函数的值域为:(-               26 ,-  26 ]。          

                     注:由例           17,18 可知,求两距离之和

        时,要将函数式变形,使           A,B 两点在    x轴的两侧,而求两距离之差时,

        则要使两点     A,B   在 x 轴的同侧。

 如:例       17 的 A,B  两点坐标分别为:(3,2),(-2,-1),

   在  x 轴的同侧;

例      18 的 A,B  两点坐标分别为:(3,2),(2,-1),在

        x 轴的同侧。

 9 、不等式法

                                                           
        利用基本不等式       a+b≥2   ab ,a+b+c≥33 abc (a,b,c∈   R  ),求函数的
   最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,

   不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例         19 求函  y=(sinx+1/sinx)+(cosx+1/cosx)的值域

解:原函数变形为: 

y=(sin2     x +cos2 x )+1/sin2 x +1/cos2 x


                                     9
=1+       csc2 x +sec2 x

               2     2     3
  =3+tg     x +ctg x  

                2    2
≥3       tg xctg x +2               

         

=5

当且仅当         tgx=ctgx,即当   x=k∏±∏/4   时(k∈z),等号成立。

 故原函数的值域为:[5,+∞)。

   例     20  求函数    y=2sinxsin2x 的值域

       解:y=2sinxsinxcosx

            =4sin2 x cosx

         2     4    2
       y =16sin x cos x
         =8sin2 x sin2 x (2-2sin2 x )
         ≤8(sin2  x +sin2 x +2- sin2 x )

                                        3
         =8[(sin2 x +sin2 x +2- sin2 x )/3]

         = 64
           27
         当且当sin2   x =2-2sin2 x ,即当sin2 x =时,等号成立。

         由  y2 ≤ 64 ,可得:-  8 3 ≤y≤  8 3
                27          9        9

         故原函数的值域为:[-         8 3 , 8 3 )。
                              9     9

         10、多种方法综合运用

         例  21  求函数   y= x  2 的值域
                         x  3

                                    10
 解:令    t= x  2  (t≥0),则   x+3= t 2 +1

(1) 当   t>0 时,y=    t =  1  ≤  1 , 当且仅当    t=1,即  x=-1 时取等号
                  t 2 1 t 1/ t 2
所以  0<y≤  1 。
          2
 (2) 当   t=0 时,y=0。综上所述,函数的值域为:[0,               1 ]。
                                                 2
 注:先换元,后用不等式法。

                  1 x  2 2  3  4
   例 22  求函数    y=      x   x  x 的值域。
                     1 2 x2  x4

                                    2
              2  4       3        2
         1 2       x 
   解:y=      x  x +     x   = 1x   +  x
              2  4      2  4 (     )     2
         1 2 x  x 1 2 x  x 1x2   1 x

                  2 2
             1         2     x    1
 令  x=tg ,则      x   =     ,     =  sin  ,
              (    )  cos        2
        2     1x2            1 x  2

         2  1          2    1
 ∴y=      + sin  =-    +  sin  +1
     cos    2       sin     2
                2
              1   17
    =-(sin   ) +
              4   16
           1         17
 ∴当   sin  = 时, y  =  。当   sin  =-1 时,y  =-2。
            4     max 16                 min
          
    此时  tg  都存在,故函数的值域为:[-2,17               ]。
          2                                16

    注:此题先用换元法。后用配方法,然后再运用                    sin  的有界性。

    例 23(用导数求函数的极值及最值               )、

       求函数    y  x 4  2x 2  5在区间  2,2上的最大值与最小值。
解:先求导数,得         y /  4x 3  4x
       /       3
    令 y =0 即  4x  4x  0 解得 x1  1, x2  0, x3  1
    导数  y / 的正负以及    f (2) , f (2) 如下表

          (-2,        (-1,         (0,         (1,
 X    -2         -1            0          1           2
           -1)         0)           1)          2)
 y/               0     +      0    -     0     +

                            11
 y    13          4            5          4           13

从上表知,当       x  2 时,函数有最大值       13,当  x  1时,函数有最

小值  4

    总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,

然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式

法,然后才考虑用其他各种特殊方法。


                            12
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