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安徽省铜陵市2016-2017学年高一(下)期末数学试卷(解析版)

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              2016-2017  学年安徽省铜陵市高一(下)期末数学试卷
 

一、选择题(共       12 小题,每小题      5 分,满分    60 分)
1.△ABC  的内角    A,B,C   的对边分别为      a,b,c.若    c=   ,b=   ,B=120°,则    a 等于(  )
A.     B.     C.     D.2

2.在△ABC   中,内角     A,B,C   的对边分别是      a,b,c.若    c=2a,bsinB﹣asinA= asinC,则  sinB 等于 

(  )

A.     B.     C.     D.

3.各项均为正数的等比数列{an},其前               n 项和为   Sn,若  a2﹣a5=﹣78,S3=13,则数列{an}的通项公式

an=(  )

A.2n   B.B、2n﹣1  C.3n   D.3n﹣1

                               n
4.已知数列{an}的通项为         an=(﹣1) (4n﹣3),则数列{an}的前        50 项和  T50=(  )

A.98   B.99   C.100  D.101

5.设  Sn 是公差不为零的等差数列{an}的前            n 项和,且    a1>0,若   S5=S9,则当   Sn 最大时,n=(  
)

A.6    B.7    C.10   D.9
6.某空间组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为(  )


A.48   B.56   C.64   D.72

7.设  a>0,b>0,若      2 是 4a 和 2b 的等比中项,则       + 的最小值为(  )

A.     B.4    C.     D.5
8.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的
                         中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
 太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.是中华传

 统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前                       10 项依次是    0、2、4、8、12、18、24、32、
 40、50…,则此数列第       20 项为(  )
 A.180  B.200  C.128  D.162

 9.已知等差数列{an}的前         n 项和为   Sn,若  M,N,P   三点共线,O      为坐标原点,且         =a15  +a6   
 (直线   MP 不过点    O),

 则 S20=(  )
 A.10   B.15   C.20   D.40

                               2                                            2
 10.已知   a>b,一元二次不等式          ax +2x+b≥0 对于一切实数      x 恒成立,又∃x0∈R,使       ax0 +2x0+b=0 成
立,则    2a2+b2 的最小值为(  )
 A.1    B.     C.2    D.2

 11.(理)若实数       a、b∈(0,1),且满足                  ,则   a、b 的大小关系是(  )
 A.a<b     B.a≤b     C.a>b      D.a≥b

 12.已知向量              ,           ,             (m>0,n>0),若        m+n∈[1,2],则

     的取值范围是(  )

 A.            B.               C.            D.
  

 二、填空题(共       4 小题,每小题      5 分,满分    20 分)
 13.已知向量      、  满足   •(  +  )=5,且|    |=2,|  |=1,则向量     与  夹角余弦值为            .
 14.在△ABC   中,角    A、B、C   的对边分别为      a、b、c,若     2ccosB=2a+b,△ABC  的面积为

 S=     c,则  ab 的最小值为           .

 15.半径为            的球的体积与一个长、宽分别为               6、4 的长方体的体积相等,则长方体的表面
积为        .

                              *      *
 16.设等比数列{an}满足公比          q∈N ,an∈N  ,且{an}中的任意两项之积也是该数列中的一项,若

    81
 a1=2 ,则  q 的所有可能取值的集合为                 .
  

 三、解答题(共       6 小题,满分     70 分)
 17.叙述并推导等比数列的前            n 项和公式.

 18.已知二次函数       f(x)的二次项系数为         a,且不等式     f(x)>﹣2x   的解集为(1,3).
                         中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
 (Ⅰ)若方程      f(x)+6a=0  有两个相等的根,求         f(x)的解析式;
 (Ⅱ)若    f(x)的最大值为正数,求           a 的取值范围.

 19.已知函数     f(x)=           .

 (1)若   f(x)>k   的解集为{x|x<﹣3     或 x>﹣2},则   k 的值等于         ;

 (2)对任意     x>0,f(x)≤t     恒成立,则     t 的取值范围是           .

 20.设△ABC   的内角    A,B,C   的内角对边分别为        a,b,c,满足(a+b+c)(a﹣b+c)=ac.

 (Ⅰ)求    B.

 (Ⅱ)若    sinAsinC=         ,求  C.
 21.已知一四面体的三组对边分别相等,且长度依次为                       5、        、        .
 (1)求该四面体的体积;
 (2)求该四面体外接球的表面积.


                                            n     *
 22.设数列{an}的前      n 项和为   Sn,已知        =an﹣2 (n∈N ).

                      n
 (1)求   a1 的值,若   an=2 cn,证明数列{cn}是等差数列;


                                                                                  *
 (2)设   bn=log2an﹣log2(n+1),数列{        }的前  n 项和为   Bn,若存在整数      m,使对任意      n∈N  且


n≥2,都有     B3n﹣Bn>     成立,求    m 的最大值.

  
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           2016-2017    学年安徽省铜陵市高一(下)期末数学试卷

                                      参考答案与试题解析

  

 一、选择题(共       12 小题,每小题      5 分,满分    60 分)
 1.△ABC  的内角    A,B,C   的对边分别为      a,b,c.若    c=     ,b=      ,B=120°,则    a 等于(  
 )

 A.        B.         C.        D.2
 【考点】HP:正弦定理.
 【分析】由题意和正弦定理求出              sinC,由内角的范围和条件求出            C,由内角和定理求出         A,利用边角
 关系求出    a.
 【解答】解:∵c=           ,b=      ,B=120°,

 ∴由正弦定理得,                            ,


 则 sinC=             =               =    ,

 ∵0°<C<120°,∴C=30°,

 ∴A=180°﹣B﹣C=30°,

 即 A=C,a=c=      ,
 故选  B.
  

 2.在△ABC   中,内角     A,B,C   的对边分别是      a,b,c.若    c=2a,bsinB﹣asinA=   asinC,则  sinB 等于 

(  )

 A.        B.     C.         D.
 【考点】HP:正弦定理.

 【分析】由正弦定理化简已知可得:b2﹣a2=                      ,又  c=2a,可解得     a2+c2﹣b2=3a2,利用余弦定理可

 得 cosB,结合范围     0<B<π,即可解得        sinB.
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【解答】解:∵bsinB﹣asinA=        asinC,

∴由正弦定理可得:b2﹣a2=               ,

又∵c=2a,

∴a2+c2﹣b2=4a2﹣     =3a2,


∴利用余弦定理可得:cosB=                             =           =   ,

∴由于   0<B<π,解得:sinB=                        =            =      .
故选:A.
 

3.各项均为正数的等比数列{an},其前               n 项和为   Sn,若  a2﹣a5=﹣78,S3=13,则数列{an}的通项公式

an=(  )

A.2n   B.B、2n﹣1  C.3n   D.3n﹣1

【考点】89:等比数列的前           n 项和.

【分析】设公比为        q 的等比数列{an},运用等比数列的通项公式,列方程,解方程即可得到首项和
公比,即可得到所求通项公式.

【解答】解:各项均为正数,公比为                q 的等比数列{an},

a2﹣a5=﹣78,S3=13,

          4              2
可得  a1q﹣a1q =﹣78,a1+a1q+a1q =13,

解得  a1=1,q=3,

       n﹣1 n﹣1
则 an=a1q =3  ,n∈N*,

故选:D.
 

                               n
4.已知数列{an}的通项为         an=(﹣1) (4n﹣3),则数列{an}的前        50 项和  T50=(  )

A.98   B.99   C.100  D.101
【考点】8E:数列的求和.
                         中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

 【分析】由数列的通项公式,可得前                50 项和  T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197=(﹣1+5)+(﹣9+13)

+(﹣17+21)+…+(﹣193+197),计算即可得到所求和.

                                     n
 【解答】解:数列{an}的通项为            an=(﹣1) (4n﹣3),

 前 50 项和  T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197

 =(﹣1+5)+(﹣9+13)+(﹣17+21)+…+(﹣193+197)

 =4+4+4+…+4=4×25=100.

 故选:C.
  

 5.设  Sn 是公差不为零的等差数列{an}的前            n 项和,且    a1>0,若   S5=S9,则当   Sn 最大时,n=(  
 )

 A.6    B.7    C.10   D.9
 【考点】85:等差数列的前           n 项和.

 【分析】由题意可得         a7+a8=0,从而可得数列的前         7 项为正数,从第       8 项开始为负数,可得结论.

 【解答】解:由题意可得           S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0,

 ∴2(a7+a8)=0,∴a7+a8=0,

 又 a1>0,∴该等差数列的前          7 项为正数,从第       8 项开始为负数,

 ∴当  Sn 最大时,n=7
 故选:B
  

 6.某空间组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为(  )


 A.48   B.56   C.64   D.72
 【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.
                         中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
 【分析】由题意,组合体的下方是三个长为                   2,宽为    4,高为   1 的长方体,上方为长为          2,宽为    4,
高为   5 的长方体,利用长方体的体积公式,可求组合体的体积.
 【解答】解:由题意,组合体的下方是三个长为                     2,宽为    4,高为   1 的长方体,上方为长为          2,宽为
4,高为    5 的长方体.
 所以组合体的体积为         3×2×4×1+2×4×5=64.
 故选:C.
  

 7.设  a>0,b>0,若      2 是 4a 和 2b 的等比中项,则        +   的最小值为(  )

 A.        B.4    C.     D.5
 【考点】7F:基本不等式.

 【分析】根据题意,由等比数列的性质可得                   4a×2b=22,分析可得      2a+b=2,分析可得        +   =   (

    +   )(2a+b)=       [5+     +     ],由基本不等式的性质分析可得答案.
 【解答】解:根据题意,若            2 是 4a 和 2b 的等比中项,则有       4a×2b=22,即   22a+b=22,
 则有  2a+b=2,

    +   =   (    +   )(2a+b)=        [5+     +     ]≥    (5+2                  )=     ,

 当且仅当    a=b=   时,等号成立;
 故选:C.
  

 8.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的
 太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.是中华传

 统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前                       10 项依次是    0、2、4、8、12、18、24、32、
 40、50…,则此数列第       20 项为(  )
 A.180  B.200  C.128  D.162
 【考点】81:数列的概念及简单表示法.

                                                                         2
 【分析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,可得偶数项的通项公式:a2n=2n                         .即可得出.
 【解答】解:由       0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,

                            2
 可得偶数项的通项公式:a2n=2n           .
 则此数列第     20 项=2×102=200.
 故选:B.
                         中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台
  

 9.已知等差数列{an}的前         n 项和为   Sn,若  M,N,P   三点共线,O      为坐标原点,且            =a15   +a6

      (直线   MP  不过点   O),

 则 S20=(  )
 A.10   B.15   C.20   D.40
 【考点】9H:平面向量的基本定理及其意义.

 【分析】利用向量共线定理可得:a15+a6=1,再利用等差数列的前                        n 项和公式及其性质即可得出.

 【解答】解:∵M,N,P          三点共线,O      为坐标原点,且           =a15    +a16    (直线   MP 不过点
O),

 ∴a15+a6=1,


 ∴S20=                       =10(a15+a6)=10,

 故选  A.
  

                               2                                            2
 10.已知   a>b,一元二次不等式          ax +2x+b≥0 对于一切实数      x 恒成立,又∃x0∈R,使       ax0 +2x0+b=0 成
立,则    2a2+b2 的最小值为(  )
 A.1    B.        C.2    D.2
 【考点】3W:二次函数的性质.
 【分析】根据二次函数的性质求出               ab=1,根据基本不等式的性质求出              2a2+b2 的最小值即可.
 【解答】解:∵已知         a>b,二次不等式        ax2+2x+b≥0 对于一切实数      x 恒成立,

 ∴a>0,且△=4﹣4ab≤0,∴ab≥1.

                 2
 再由∃x0∈R,使    ax0 +2x0+b=0 成立,可得△=0,∴ab=1,

 ∴2a2+b2≥2               =2    ,
 当且仅当    2a2=b2 即 b=    a 时“=”成立,
 故选:D.
  

 11.(理)若实数       a、b∈(0,1),且满足                            ,则  a、b  的大小关系是(  )
 A.a<b     B.a≤b     C.a>b      D.a≥b
 【考点】72:不等式比较大小.
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【分析】可根据条件,利用不等式的性质将                                      化为

                    即可得到答案.

【解答】解:∵a、b∈(0,1),且满足                                  ,

∴                         ,又                                       ,

∴                   ,∴b>a.
故选  A.
 

12.已知向量                       ,                      ,                        (m>0,

n>0),若    m+n∈[1,2],则             的取值范围是(  )
A.                          B.                          C.                      D.

【考点】7C:简单线性规划;7D:简单线性规划的应用;9R:平面向量数量积的运算.

【分析】根据题意,由向量的坐标运算公式可得                                           =(3m+n,m﹣3n),再由

向量模的计算公式可得                   =                       ,可以令     t=             ,将

m+n∈[1,2]的关系在直角坐标系表示出来,分析可得                    t=              表示区域中任意一点与原

点(0,0)的距离,进而可得            t 的取值范围,又由                 =       t,分析可得答案.

【解答】解:根据题意,向量                               ,                      ,

                      =(3m+n,m﹣3n),

则          =                                   =                       ,

令 t=              ,则           =       t,

而 m+n∈[1,2],即    1≤m+n≤2,在直角坐标系表示如图,

t=             表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离,

分析可得:          ≤t<2,
又由           =       t,
故     ≤           <2        ;
故选:B.
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二、填空题(共       4 小题,每小题      5 分,满分    20 分)
13.已知向量       、   满足     •(   +   )=5,且|     |=2,|   |=1,则向量       与   夹角余弦值为 

    .
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】由|       |=2,|   |=1,     •(   +  )=5,利用平面向量数量积的运算公式可求得向量                        与

  夹角余弦值.

【解答】解:∵|         |=2,|   |=1,     •(   +  )=5,

∴     +|   |•|  |cos<   ,    >=4+2cos<    ,   >=5

∴cos<    ,   >=    ,

即向量     与   夹角余弦值为:           ,

故答案为:        .
 

14.在△ABC   中,角    A、B、C   的对边分别为      a、b、c,若     2ccosB=2a+b,△ABC  的面积为

S=     c,则  ab 的最小值为           .
【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.

【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得                        cosC=﹣  ,C=         .根据△ABC    的面积

为 S=   ab•sinC=     ab=      c,求得   c=3ab.再由余弦定理化简可得           9a2b2=a2+b2+ab≥3ab,由
此求得   ab 的最小值.
【解答】解:在△ABC        中,由条件用正弦定理可得             2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB,
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 即  2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB,∴2sinBcosC+sinB=0,∴cosC=﹣ ,C=        .

 由于△ABC   的面积为     S=   ab•sinC=     ab=      c,∴c=3ab.

 再由余弦定理可得        c2=a2+b2﹣2ab•cosC,整理可得    9a2b2=a2+b2+ab≥3ab,当且仅当     a=b 时,取等号,

 ∴ab≥     ,

 故答案为:        .
  

 15.半径为            的球的体积与一个长、宽分别为               6、4 的长方体的体积相等,则长方体的表面
积为 88 .
 【考点】LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
 【分析】由题意,长、宽分别为              6、4  的长方体的体积与球的体积相等,求出长方体的高,再求长方
 体的表面积.

 【解答】解:由题意,长、宽分别为                6、4  的长方体的体积与球的体积相等,球的半径

 为         .

 则有:

 ⇔
 解得  h=2
 长方体的表面积       S=2×4×6+2×2×4+2×2×6=88
 故答案为    88.
  

                              *      *
 16.设等比数列{an}满足公比          q∈N ,an∈N  ,且{an}中的任意两项之积也是该数列中的一项,若

    81                                81  27  9   3
 a1=2 ,则  q 的所有可能取值的集合为 {2             ,2  ,2  ,2  ,2} .
 【考点】88:等比数列的通项公式.

 【分析】依题意可求得该等比数列的通项公式                    an,设该数列中的任意两项为            am,at,它们的积为


 ap,求得   q=               ,分析即可.

                        81 n﹣1
 【解答】解:由题意,an=2           q ,设该数列中的任意两项为             am,at,它们的积为       ap,

                  81 m﹣1 81 t﹣1 81 p﹣1              *
 则为  am•at=ap,即  2 q  •2 q  =2 •q  ,(q,m,t,p∈N      ),
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 ∴q=               ,

 故 p﹣m﹣t+1 必是 81 的正约数,

 即 p﹣m﹣t+1 的可能取值为     1,3,9,27,81,

 即                的可能取值为      1,3,9,27,81,
 所以  q 的所有可能取值的集合为{281,227,29,23,2}
  

 三、解答题(共       6 小题,满分     70 分)
 17.叙述并推导等比数列的前            n 项和公式.
 【考点】88:等比数列的通项公式.
 【分析】写出等比数列的求和公式,可由错位相减法证明.


 【解答】解:若数列{an}为公比为             q 的等比数列,则其前         n 项和公式    Sn=                  ,

(q≠1),当      q=1 时,Sn=na1.

                                     2      n﹣1
 下面证明:∵Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q    +…+a1q ,①

             2   3      n
 ∴qSn=a1q+a1q +a1q +…+a1q ,②

                       n
 ①﹣②可得(1﹣q)Sn=a1﹣a1q   ,


 当 q≠1  时,上式两边同除以         1﹣q 可得  Sn=                  ,

 当 q=1 时,数列各项均为        a1,故  Sn=na1.
  

 18.已知二次函数       f(x)的二次项系数为         a,且不等式     f(x)>﹣2x   的解集为(1,3).

 (Ⅰ)若方程      f(x)+6a=0  有两个相等的根,求         f(x)的解析式;
 (Ⅱ)若    f(x)的最大值为正数,求           a 的取值范围.
 【考点】57:函数与方程的综合运用;3H:函数的最值及其几何意义;75:一元二次不等式的应
 用.

 【分析】(Ⅰ)f(x)为二次函数且二次项系数为                    a,把不等式      f(x)>﹣2x  变形为    f(x)+2x>0   因

 为它的解集为(1,3),则可设             f(x)+2x=a(x﹣1)(x﹣3)且     a<0,解出     f(x);又因为方程
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 f(x)+6a=0 有两个相等的根,利用根的判别式解出                  a 的值得出    f(x)即可;(Ⅱ)因为          f(x)为开

 口向下的抛物线,利用公式当             x=        时,最大值为                   =                   .和

 a<0 联立组成不等式组,求出解集即可.

 【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)+2x>0            的解集为(1,3).f(x)+2x=a(x﹣1)(x﹣3),且               a<0.因

而  f(x)=a(x﹣1)(x﹣3)﹣2x=ax2﹣(2+4a)x+3a.①

 由方程   f(x)+6a=0  得 ax2﹣(2+4a)x+9a=0.②

 因为方程②有两个相等的根,所以△=[﹣(2+4a)]2﹣4a•9a=0,

 即 5a2﹣4a﹣1=0.解得  a=1 或 a=﹣  .

 由于  a<0,a=﹣    ,舍去,故      a=﹣   .

 将 a=﹣   代入①得    f(x)的解析式                                       .

 (Ⅱ)由


 及 a<0,可得    f(x)的最大值为                         .就


 由                            解得  a<﹣2﹣     或﹣2+     <a<0.
 故当  f(x)的最大值为正数时,实数             a 的取值范围是

                          .

  

 19.已知函数     f(x)=           .

 (1)若   f(x)>k   的解集为{x|x<﹣3     或 x>﹣2},则   k 的值等于 ﹣        ;
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(2)对任意     x>0,f(x)≤t     恒成立,则     t 的取值范围是 [            ,+∞) .
【考点】7E:其他不等式的解法;3R:函数恒成立问题.
【分析】(1)根据不等式和方程之间的关系,转化为方程进行求解即可.


(2)任意    x>0,f(x)≤t     恒成立,等等价于        t≥           =        恒成立,根据基本不等式即
可求出.

【解答】解:(1):f(x)>k⇔kx2﹣2x+6k<0.

由已知{x|x<﹣3,或     x>﹣2}是其解集,

得 kx2﹣2x+6k=0 的两根是﹣3,﹣2.

由根与系数的关系可知(﹣2)+(﹣3)=               ,

解得  k=﹣  ,


(2)任意    x>0,f(x)≤t     恒成立,等价于       t≥           =        恒成立,

∵x+    ≥2           =2     ,当且仅当     x=     时取等号,

∴t≥       ,

故答案为:(1):﹣          ,(2):[          ,+∞)
 

20.设△ABC   的内角    A,B,C   的内角对边分别为        a,b,c,满足(a+b+c)(a﹣b+c)=ac.

(Ⅰ)求    B.

(Ⅱ)若    sinAsinC=         ,求  C.
【考点】HR:余弦定理;GQ:两角和与差的正弦函数.
【分析】(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示
出 cosB,将关系式代入求出         cosB 的值,由    B 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出
B 的度数;

(II)由(I)得到      A+C 的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简                    cos(A﹣C),变形后将
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 cos(A+C)及   2sinAsinC 的值代入求出     cos(A﹣C)的值,利用特殊角的三角函数值求出                  A﹣C 的值,与

A+C 的值联立即可求出         C 的度数.

 【解答】解:(I)∵(a+b+c)(a﹣b+c)=(a+c)2﹣b2=ac,

 ∴a2+c2﹣b2=﹣ac,

 ∴cosB=                    =﹣  ,

 又 B 为三角形的内角,
 则 B=120°;

 (II)由(I)得:A+C=60°,∵sinAsinC=                ,cos(A+C)=      ,

 ∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC= +2×

      =     ,

 ∴A﹣C=30°或 A﹣C=﹣30°,

 则 C=15°或 C=45°.
  

 21.已知一四面体的三组对边分别相等,且长度依次为                       5、        、        .
 (1)求该四面体的体积;
 (2)求该四面体外接球的表面积.
 【考点】LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.
 【分析】由棱锥的对边相等可知四面体为长方体切去                       4 个小棱锥得到的,求出长方体的棱长即可得
 出四面体的体积和外接球的表面积.

 【解答】解:(1)∵四面体的三组对边分别相等,
 ∴四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥,


 设长方体的棱长为        a,b,c,则                              ,


 解得          ,
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 ∴四面体的体积       V=abc﹣   abc×4=    abc=20.

 (2)由(1)可知四面体的外接球为长方体的外接球,

 外接球直径为长方体的体对角线长                                    =5     ,

 ∴外接球的半径为        r=        ,
 ∴外接球的表面积为         S=4πr2=50π.
  


                                            n     *
 22.设数列{an}的前      n 项和为   Sn,已知        =an﹣2 (n∈N ).

                      n
 (1)求   a1 的值,若   an=2 cn,证明数列{cn}是等差数列;


                                                                                  *
 (2)设   bn=log2an﹣log2(n+1),数列{        }的前  n 项和为   Bn,若存在整数      m,使对任意      n∈N  且


n≥2,都有     B3n﹣Bn>     成立,求    m 的最大值.

 【考点】8K:数列与不等式的综合;8C:等差关系的确定.

 【分析】(1)由            =            ,得                          ,从而


              ,由此能求出       a1=4;当  n≥2  时,an=Sn﹣Sn﹣1=                         ,从而得


 到                 =1,由此能证明数列{cn}是首项为            2,公差为    1 的等差数列.


 (2)求出         =2+(n﹣1)×1=n+1,从而                             ,进而    bn=log2an﹣log2(n+1)


 =n,由此得到                                      ,B3n﹣Bn=                               ,

令  f(n)=                                ,则   f(n+1)﹣f(n)=

                      =                                >

                 =0,从而数列{f(n)}为递增数列,当              n≥2  时,f(n)的最小值为         f(2)
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=     ,从而        <      ,由此能求了出       m  的最大值.

【解答】证明:(1)由               =            ,得                          ,


∴                            ,解得    a1=4,

                         n+1        n
当 n≥2  时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2an﹣2 )﹣(2an﹣1﹣2 )=                          ,

∴                        ,n≥2,∴                      =1,


     n
∵an=2 cn,∴cn=      ,


∴                       ,cn﹣cn﹣1=1,

∴数列{cn}是首项为       2,公差为    1 的等差数列.

(2)∵                   =1,       =2,∴        =2+(n﹣1)×1=n+1,

∴                        ,∴bn=log2an﹣log2(n+1)=n,


∵数列{        }的前  n 项和为   Bn,

∴                                  ,


∴B3n﹣Bn=                              ,

令 f(n)=                                ,

则                                                                                 ,

∴f(n+1)﹣f(n)=

=                                >                                  =0,

∴f(n+1)>f(n),∴数列{f(n)}为递增数列,

∴当  n≥2  时,f(n)的最小值为         f(2)=                      =     ,
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据题意,               <         ,得     m<19,
又   m  为整数,∴m           的最大值为          18.
 
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2017   年  8 月   7 日
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